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(共27张PPT)
2026年中考数学复习专题课件★★
二次函数的图象和性质
考点一：二次函数的概念及解析式的三种形式
概念 形如y＝ax2 ＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)的函数叫做y是x的二次函数 解析式的 三种形式 一般式 y＝ax2 ＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)
顶点式 y＝a(x－h)2 ＋k(a≠0)
交点式 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标
考点二：二次函数的图象和性质
解析式 大致 图象 a＞0： 开口 ①_____
a＜0： 开口 ②_____
向上
向下
对称轴 直线x＝③_____ 直线x＝④____
顶点坐标 ⑤________________ ⑥________
最 值 a＞0 x＝h时，y有最小值⑧___
a＜0 x＝h时，y有最大值⑩___
－
h
(h，k)
k
k
增 减 性 a＞0 在对称轴左侧时，y随x增大而 ____；
在对称轴右侧时，y随x增大而 ____
a＜0 在对称轴左侧时，y随x增大而 ____；
在对称轴右侧时，y随x增大而 ____
减小
增大
增大
减小
考点三：二次函数图象与系数a，b，c的关系(见P48微专题)
考点四：二次函数与一元二次方程的关系
解析式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) b2－4ac的取值 ＞0 ＝0 ＜0
与x轴的交点个数 两个 一个(即顶点在x轴上) 没有交点
方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况 ______
_______
没有实数根
考点五：二次函数与不等式的关系
图 示 不等式 解 集
ax2＋bx＋c>0(a>0) x< ____或x> ____
ax2＋bx＋c＜0(a>0) ________
ax2＋bx＋c>0(a＜0) ________
ax2＋bx＋c＜0(a＜0) x< ____或x> ____
－2
3
－2－2－2
3
【拓展】二次函数y＝ax2＋bx＋c与不等式ax2＋bx＋c>t或ax2＋bx＋c(1)将解不等式ax2＋bx＋c>t看作求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在直线y＝t上方部分对应的自变量x的取值范围；
(2)将解不等式ax2＋bx＋c＜t看作求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在直线y＝t下方部分对应的自变量x的取值范围.
1．(人教九上P42习题T11变式)已知二次函数y＝－3x2＋12x－9.
(1)二次函数图象的对称轴是直线 ，顶点坐标为 ，该二次函数有最 值(选填“大”或“小”)，其值为 ；
(2)二次函数图象与x轴的交点A，B的坐标分别为 (点A在点B的左侧)，与y轴的交点C的坐标为 ；
x＝2
(2，3)
大
3
(1，0)，(3，0)
(0，－9)
(3)在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
解：(3)如图所示．
(4)若点E(－2，y1)，F(－4，y2)在该函数图象上，则y1 y2(选填“＞”“＜”或“＝”)；
(5)若二次函数图象上的点M(5，m)与点N关于对称轴对称，则m＝ ，点N的坐标为 ．
＞
－24
(－1，－24)
2．(人教九上P47习题T5变式)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，看图填空：
(1)b2－4ac 0；
(2)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根为 ；
(3)关于x的方程ax2＋bx＋c＝－3的根为 ；
(4)关于x的方程ax2＋bx＋c＋4＝0的根为 .
＞
x1＝－3，x2＝1
x1＝－2，x2＝0
x＝－1
2
3.(沪科九上P31观察变式)抛物线y＝x2＋x－2与x轴的交点个数为 .
4．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－3，0)，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 .
－3＜x＜5
重难点1：二次函数图象的对称性
(1)抛物线y＝x2＋2x－2的对称轴是直线 ；
(2)抛物线y＝－ax2＋4ax－c(a≠0)的对称轴是直线 ；
(3)若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点A(1，0)，B(3，0)，则该抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线 ；
x＝－1
x＝2
x＝2
(4)若抛物线y＝a(x－3)2－3(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(1，0)，求该抛物线与x轴的另一个交点坐标；
解：由题意得抛物线的对称轴为直线x＝3.
∵抛物线与x轴的一个交点为(1，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(5，0)．
(5)若抛物线y＝ax2－2ax＋1(a≠0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线，交抛物线于点B，求点B的坐标．
解：由题意得抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，
令x＝0，则y＝1，∴A(0，1)，
∴点B的坐标为(2，1)．
【提分关键】
1．二次函数图象是轴对称图形，对称轴为y轴或平行于y轴的直线
(1)二次函数y＝ax2(a≠0)图象关于y轴对称；
(2)二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)图象关于直线x＝h对称；
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象关于直线x＝－对称；
(4)二次函数y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)图象关于直线x＝对称．
2．二次函数图象上纵坐标相同的两点必关于二次函数图象的对称轴对称，可根据对称轴与其中一点坐标，求出与之关于对称轴对称的另一点的坐标．
(1)函数值y的取值范围是 ，当0≤x≤5时，函数值y的取值范围是
；
(2)若二次函数图象经过点(－1，y1)，(2，y2)，则y1 y2(选填“>”“<”或“＝”)；
(3)若二次函数图象经过点(－3，y1)，(2，y2)，则y1 y2(选填“>”“<”或“＝”)；
(4)若点A(－5，y1)，B(3，y2)，C(4，y3)都在该二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 (用“<”连接)；
(5)若二次函数的函数值的取值范围为1_____________________；
(6)若点A(－1，y1)和B(m，y2)都在该二次函数图象上，且y1重难点2：二次函数图象的增减性
已知二次函数y＝x2＋4x＋1.
y≥－3
1≤y≤46
<
<
y1－2－
m<－3或m>－1
【提分关键】
增减性
判断图象上的点对应的函数值大小时，若点位于对称轴异侧，先将点转化到对称轴同侧，再根据增减性求解．
重难点3：二次函数与方程、一次函数及不等式的关系
(一题多角度)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于(－1，0)，(3，0)两点．
(1)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为 ；
(2)若抛物线与直线y＝5交于(－2，5)，(4，5)两点，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝5的解为 ；不等式ax2＋bx＋c<5的解集为 ；不等式ax2＋bx＋c>5的解集为 ；
(3)若抛物线与直线y＝kx＋m(k≠0)交于(－2，5)，(3，0)两点，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝kx＋m的解为 .
x1＝－1，x2＝3
x1＝－2，x2＝4
－2x<－2或x>4
x1＝－2，x2＝3

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