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(共57张PPT)
1.分式的乘除
01
预习导航
1.分式的乘法
法 则：分式乘以分式，用__________作为积的分子，__________
作为积的分母，即 ___.
注 意：分式乘法的结果应化为最简分式.
分子的积
分母的积
2.分式的除法
法 则：分式除以分式，把除式的分子、分母__________后，与被
除式______，即 ___.
3.分式的乘方
法 则：分式的乘方是将分子、分母分别______，即___
是正整数 .
颠倒位置
相乘
乘方
02
归类探究
一
分式的乘除运算
例1 计算：
（1） ;
解： ；
（2） ;
解： ；
（3） ;
解： ；
（4） .
解： .
二
分式的乘方
例2 计算:
（1） ;
解： ；
（2） .
解： .
三
分式的乘除、乘方混合运算
例3 计算：
（1） ;
解： ；
（2） .
解： .
03
当堂测评
1.计算 的结果是( )
D
A. B. C. D.
2.计算 的结果是( )
D
A. B. C. D.
3.计算 的结果是( )
B
A. B. C. D.
4.计算 的结果是( )
B
A. B. C. D.
5.计算 的结果是( )
A
A. B. C. D.
04
分层训练
A组·基础达标
1.老师设计了接力游戏，用合作
的方式完成分式化简.规则是：每
人只能看到前一人给的式子，并
进行一步计算，再将结果传递给
下一人，最后完成化简.过程如下：
接力中，出现错误的是( )
D
A.只有乙 B.甲和丁 C.乙和丙 D.乙和丁
2.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） .
解：原式 .
3.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式
.
（3） .
解：原式 .
B组·能力提升
4.计算：
（1） ；
解：原式
.
（2） .
解：原式 .
5.先化简，再求值：，其中 .
解：原式 .
当时，原式 .
C组·核心素养拓展
6.（应用意识）有甲、乙两筐水果，甲筐水果重 ，乙筐
水果重其中 ，售完后，两筐水果都卖了50元.
（1）哪筐水果的单价低？
解：甲筐水果的单价为元/ ，
乙筐水果的单价为元/ .
， ,
.
答：乙筐水果的单价低.
（2）高的单价是低的单价的多少倍？
解： .
答：高的单价是低的单价的 倍.
2.分式的加减
01
预习导航
1.同分母分式的加减法
法 则：同分母的分式相加减，分母______，分子________，即
____.
注 意：加减过程中分数线具有括号的作用，当分子为多项式时，
要把分子当作一个整体.
不变
相加减
2.异分母分式的加减法
法 则：异分母的分式相加减，先______，变为________的分式，
然后再加减，即 ______.
3.分式的混合运算
注 意：（1）分式的混合运算顺序与分数的混合运算顺序类似，即
先算______，再算______，最后算加减，有括号的要先算括号内的；
（2）进行分式混合运算时，要灵活地运用交换律、结合律和分配律.
通分
同分母
乘方
乘除
02
归类探究
一
同分母分式的加减运算
例1 计算：
（1） ；
解： ；
（2） .
解： .
二
异分母分式的加减运算
例2 计算：
（1） ；
解： ；
（2） .
解： .
三
分式的混合运算及化简求值
例3 计算： ；
解：原式
例4 先化简，再求值：，在 中选一个合
适的整数求值.
解：原式
.
，， ，
.
当时，原式 .
03
当堂测评
1.计算 的结果是( )
B
A.1 B. C. D.
2.计算 的结果是( )
C
A. B. C. D.1
3.计算：
（1） ___；
（2） ___；
（3） ___；
（4） ________.
4.计算 的结果是____.
04
分层训练
A组·基础达标
1.计算 的结果是( )
A
A.3 B. C. D.
2.若是非负整数，则表示 的值的对应点落在下图数轴
上的范围是( )
B
A.① B.② C.③ D.①或②
3.化简： ____.
[解析] 原式 .
4.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
5.计算：
（1） ；
解：原式
.
（2） .
解：原式
.
6.先化简，再求值：，其中 .
解：原式
.
当时，原式 .
7.下面是某同学计算 的解题过程：
解：
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程.
解：从第②步开始出现错误，正确的解题过程如下：
原式 .
B组·能力提升
8.若，则 ___.
9.若，且，则 _____.
10.已知，求、 的值.
解： ，
解得
11.先化简： ，再从1、2、3中选择一个合适的数
作为 的值代入求值.
解：原式
.
， ，
， ，
只能取3.
当时，原式 .
12.（1）甲、乙两地相距，汽车从甲地到乙地以 的速度
行驶，可按时到达.若每小时多行驶 ，则汽车可提前几小时到
达？（用含、、 的式子表示）
解：由题意，可知汽车可提前 .
（2）周末，小明去市场做关于苹果价格的调查.市场上有两种苹果，
甲种苹果每箱重，售元；乙种苹果每箱重 ，售
元.请问甲种苹果的单价是乙种苹果单价的多少倍？
（用含、 的式子表示）
解：由题意，得 ，
即甲种苹果的单价是乙种苹果单价的 倍.
C组·核心素养拓展
13.（运算能力）数学活动课上，小云和小亮在讨论张老师出示的
一道代数式求值问题：
已知实数、同时满足， ，求代数
式 的值.
结合他们的对话，请解答下列问题：
当时，代数式 的值是___.(共22张PPT)
2.科学记数法
01
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科学记数法
意 义：对于一些绝对值较小的数，我们可以仿照绝对值较大的数
的记法，用10的负整数指数幂来表示，即将原数写成 的形
式，其中为正整数， ，这也称为科学记数法.
注 意：（1）只能是整数位为1，2， ，9的数；
（2） 就是原数中第一个不为0的数字前面所有0的个数，包括小数
点前的0.
02
归类探究
一
用科学记数法表示数
例1 用科学记数法表示下列各数：
（1） ;
解： ；
（2） .
解： .
二
科学记数法的实际应用
例2 纳米是非常小的长度单位，.把 的物体放
到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，则 的空间可以放
多少个 的物体？
解：， ，
（个）.
答：的空间可以放个 的物体.
三
用科学记数法表示计算结果
例3 用科学记数法表示下列各式的结果：
（1） ；
解： ；
（2） ；
解： ；
（3） .
解： .
03
当堂测评
1.下列用科学记数法表示的数:
；
；
；
.
其中正确的有( )
C
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.一个细胞约有，数据 用科学记数法可表示为
( )
B
A. B. C. D.
3.“冲天香阵透长安，满城尽带黄金甲”，菊花作为花中君子，因她
的花色鲜艳、清香四溢、气节高洁而深受人们喜爱.人们能够闻到
花香，是花的香味分子不断挥发向四周扩散的结果.已知菊花香味
分子的平均直径约为，且 ，将菊花
香味分子的平均直径换算成以“米”为单位后，用科学记数法表示正
确的是( )
C
A. B.
C. D.
4.2015年诺贝尔生理学或医学奖得主中国科学家屠呦呦，发现了一
种长度约为的病毒，把 用科学记
数法表示为____________.
04
分层训练
A组·基础达标
1.世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多很多，它是被命名为
的原生动物，它的最长直径也不过，数据 用科
学记数法表示为( )
C
A. B. C. D.
2.据报道，芯片被誉为现代工业的掌上明珠,芯片制造的核心是光刻
技术,我国的光刻技术水平已突破到.已知 ,则
用科学记数法表示是( )
C
A. B.
C. D.
3.红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，主要负责运输氧气和二
氧化碳，人的红细胞的直径大约在 左右，数据
用科学记数法表示为_________.
4.为满足高速通信需求，我国某企业成功开发出一款 基站芯片，
其处理一个基本数据单元仅需.已知 ，则该芯片
一秒可以处理___________个基本数据单元.（用科学记数法表示）
5.某颗粒物的直径是，把数据 用科学记数
法表示为___________.
6.用科学记数法表示下列各数：
（1） ；
解： ;
（2） ；
解： ;
（3） ；
解： ;
（4） .
解： .
B组·能力提升
7.计算下列各题:
（1） ;
解： ;
（2） .
解： .
8.一微型电子元件的直径约为 ，合多少米？
解： .
答：合 .
C组·核心素养拓展
9.（运算能力）某户居民家的水龙头有漏水现象，据观察， 漏
水40滴.若一年（按365天计算）由于这种现象而浪费的水的质量约
为 ，则1滴水的质量约为多少克？（结果用科学记
数法表示）
解：1滴水的质量约为
.
答：1滴水的质量约为 .(共55张PPT)
1.分式
01
预习导航
1.分式的概念
分 式：形如___、是整式，且___中含有字母 的式子，叫做分
式．其中叫做分式的分子， 叫做分式的分母．
注 意：（1）分式有意义的条件是分母的值不为零；
（2）分式的值为零的条件是字母的取值使分子等于零，但分母不
等于零．
2.有理式的概念
有理式:______和______统称为有理式.
整式
分式
02
归类探究
一
分式的概念
例1 下列有理式中，哪些是整式？哪些是分式？
（1）；（2）；（3） ；
（4）； （5） .
解：整式有（2）（4）;分式有（1）（3）（5）.
二
分式有意义的条件
例2 当 取何值时，下列分式有意义？
（1） ；
解： ；
（2） ；
解： ；
（3） ；
解： ；
（4） .
解： 为任意实数.
三
分式的值为零的条件
例3 当 取何值时，下列分式的值为零？
（1） ；
解： ；
（2） ；
解： ；
（3） ；
解： ；
（4） .
解： .
四
分式的应用
例4 用分式填空：
（1）小明走了的路，则小明的速度是_ _ ；
（2）某工厂有煤，原计划每天烧煤 ，现每天节约用煤
，则这批煤可比原计划多烧_ _________天；
（3）小明参加打靶比赛，有次打了环，次打了 环，则此次打
靶的平均成绩是_______环；
（4）一箱苹果售价元，总重，箱重 ，则每千克苹果的售
价是_____元.
03
当堂测评
1.下列各式：，，，5，，， ，分式有( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.写出使分式有意义的 的一个值：_________________.
3.若分式的值为0，则 的值为___.
2（答案不唯一）
4.（1）若分式，则 ____；
（2）若分式，则 ____.
04
分层训练
A组·基础达标
1.下列各式中，不论 取何值分式都有意义的是( )
C
A. B. C. D.
2.若某种商品的售价为元，则这种商品 的售价为( )
A
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
3.若分式的值为0，则 的值为____.
B组·能力提升
4.当 取何值时，下列分式有意义？
（1） ;
解：由，得 ，
当时，分式 有意义.
（2） .
解：由，得 ，
当时，分式 有意义.
5.已知分式 ，解答下列问题.
（1）若分式无意义，求 的取值范围；
解：由题意，得 ，
解得 .
（2）若分式的值为零，求 的值；
解：由题意，得，且 ，
解得 .
（3）若分式的值为正数，求 的取值范围.
解：由题意，得或
解不等式组①，无解；
解不等式组②，得 ，
分式的值为正数时， .
6.已知分式 .试问：
（1）当 为何值时，分式有意义？
解：由题意，得，解得 ,
则当 时，分式有意义.
（2）当 为何值时，分式的值为零？
解：由题意，得，且，解得
或 ，
当 的值为1或3时，分式的值为零.
C组·核心素养拓展
7.（运算能力）若分式的值为正整数，则整数 可取的值有 ( )
A
A.4个 B.5个 C.6个 D.10个
8.（创新意识）对于两个非零实数、 ，定义一种新的运算：
.若，则 的值是____.
2.分式的基本性质
01
预习导航
1.分式的基本性质
文字叙述:分式的分子和分母都乘以（或都除以）_______________
_______，分式的值不变.
字母表示:， .
同一个不等于0
的整式
2.分式的约分
约 分:分式的约分，即把分式的分子与分母的________约去.
关 键:约分的关键是确定公因式.
方 法:（1）分子、分母都是单项式时，公因式为分子、分母中系
数的最大公约数与分子、分母中都含有的字母的最低次幂的积；
（2）分子、分母都是多项式时，应先进行因式分解，再约去公因式.
最简分式：分子与分母没有________的分式称为最简分式.
注 意：约分后，分子与分母不再有公因式，即为最简分式.
公因式
公因式
3.分式的通分
通 分:分式的通分，即把几个异分母的分式分别化为与原来的分式
相等的同分母的分式.
注 意:通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因
式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）.
02
归类探究
一
利用分式的基本性质进行分式变形
例1 下列分式变形一定成立的是( )
B
A. B. C. D.
二
分式的约分
例2 约分：
（1） ;
解： ；
（2） ;
解： ；
（3） .
解： .
三
分式的通分
例3 通分：
（1）， ；
解：， .
（2）， .
解： ，
.
03
当堂测评
1.下列分式中是最简分式的是( )
B
A. B. C. D.
2.分式与分式 的最简公分母是( )
C
A. B.
C. D.
3.把，， 通分的过程中，不正确的是( )
D
A.最简公分母是
B.
C.
D.
4.约分：
（1） ；
解：根据分式的基本性质化简可得： ；
（2） .
解：根据分式的基本性质化简可得： .
04
分层训练
A组·基础达标
1.下列从左到右的变形正确的是( )
D
A. B. C. D.
2.分式，， 的最简公分母是( )
A
A. B.
C. D.
3.若、 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是
( )
D
A. B. C. D.
4.分式 的分子与分母都有的因式是_______，约分后的结果
是_ ______.
5.约分：
（1） ；
解： .
（2） .
解：原式
.
6.通分：
（1）， ；
解：， .
（2）， ；
解：， .
（3），， .
解：它们的最简公分母是， ,
, .
B组·能力提升
7.不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为
整数.
（1） ;
解：分式的分子和分母都乘以6，
得原式 .
（2） .
解：分式的分子和分母都乘以10，得原式 .
8.化简下列分式：
（1） ;
解： ；
（2） ;
解： ；
（3） ;
解： ；
（4） .
解： .
C组·核心素养拓展
9.（运算能力）已知，则代数式 的值为( )
D
A. B. C. D.
10.（运算能力）已知，则代数式 的值为___.(共27张PPT)
1.零指数幂与负整数指数幂
01
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1.零指数幂
规 定：任何_________的数的0次幂都等于___，即 _________.#1.1
不等于0
1
2.负整数指数幂
规 定：任何不等于0的数的是正整数次幂，等于这个数的
次幂的______，即,是正整数 .
理 由：因为，又 ，
所以，同样 .
拓 展：我们以前学过的幂的运算性质： ______；
_____；______； ______
.这四条性质对于零指数幂和负整数指数幂均成立.#2.3
倒数
02
归类探究
一
零指数幂与负整数指数幂
例1 计算：
（1） ；
解： ；
（2） ;
解： ；
（3） ；
解： ；
（4） .
解：4.
例2 把下列各数写成负整数指数幂的形式：
（1）0.001；
解： ；
（2） ；
解： ；
（3） ；
解： ；
（4） .
解： .
二
整数指数幂的运算
例3 计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式：
（1） ;
解： ；
（2） ;
解： ；
（3） ;
解： ；
（4） .
解： .
03
当堂测评
1.计算：
（1）___，___， _ _；
（2）___，_ __ ；
（3） ___；
（4） _ _；
（5） ____.
2.计算： ____.
04
分层训练
A组·基础达标
1.下列计算正确的是( )
A
A. B.
C. D.
2.下列计算错误的是( )
D
A. B.
C. D.
3.在；； ；
中，运算不正确的式子有( )
C
A.①② B.②③ C.①②③ D.①②③④
4.若，，，则、、 的大小关系为
( )
D
A. B. C. D.
5.若代数式有意义，则 的取值范围是( )
C
A. B. C.且 D.或
6.计算：
（1） ___；
（2） ___；
（3） ___.
7.计算：
（1） ；
解： ；
（2） ；
解： ；
（3） ；
解： ；
（4） .
解： .
B组·能力提升
8.计算：
（1） ；
解：原式 ；
（2） ；
解：原式
；
（3） .
解：原式 .
9.雷达发出的电磁波以 的速度射向飞机，飞机再将电
磁波反射回来，若经过 后雷达收到了反射波，试问飞机与雷
达之间的距离是多少千米？
解：由题意可知，飞机与雷达之间的距离是
.
答：飞机与雷达之间的距离是 .
C组·核心素养拓展
10.（创新意识）如果、、是整数，且 ，那么我们规定一
种记号，例如，，那么记作 .根据以上规
定，则 ____.(共32张PPT)
15.3 可化为一元一次方程的分
式方程
01
预习导航
1.分式方程
分式方程：分母中含有________的方程叫做分式方程.
2.解分式方程
基本思想：把分式方程化为整式方程.
步 骤：（1）将分式方程的两边都乘以最简公分母，从而约去各个
分式中的分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根，并做出结论.
未知数
3.验根
增 根：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边都乘以同一个
____________的整式，并____________，有时可能产生________原
分式方程的解（或根），这种根通常称为______.
验 根：把解得的根代入最简公分母，若最简公分母为0，则是增根；
若最简公分母不为0，则是原分式方程的根.
注 意：解分式方程一定要验根.
含有未知数
约去了分母
不适合
增根
02
归类探究
一
解分式方程
例1 解分式方程：
（1） ；
解：方程两边都乘以，约去分母，得 .
解这个整式方程，得 .
检验：把代入 ，得
.
所以， 是原方程的解.
（2） ；
解：方程两边都乘以，约去分母，得 .
解这个整式方程，得 .
检验：把代入，得 ，
所以， 不是原方程的解，
所以，原方程无解.
（3） ；
解：方程两边都乘以 ，
约去分母，得 .
解这个整式方程，得 .
检验：把代入，得 .
所以， 是原方程的解.
（4） .
解：方程两边都乘以 ，
约去分母，得 .
解这个整式方程，得 .
检验：把代入，得 .
所以， 是原方程的解.
二
分式方程的增根
例2 若关于的分式方程有增根，则 的值为___.
三
根据分式方程的特殊解确定未知数的取值范围
例3 若关于的分式方程的解为非负数，则 的取值范围是
_________________.
且
四
分式方程的应用
例4 小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程
的普通道路，路线B为全程 的快速通道，走路线B比走路线A
平均速度提高，时间节省 ，求走路线B的平均速度.
解：设走路线A的平均速度为 ，则走路线B的平均速度为
.
由题意，得 ，
解得 .
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
.
答：走路线B的平均速度为 .
03
当堂测评
1.下列关于 的方程是分式方程的为( )
B
A. B.
C. D.
2.将分式方程 去分母后得到的整式方程为( )
A
A. B. C. D.
3.分式方程 的解为______.
4.分式方程 的解为______.
5.我国自主研发的 型快速换轨车，采用先进的自动化
技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速换
轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，
它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少
.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里.
解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨 公里，则一个工作
队人工更换钢轨 公里.
由题意，得 ，
解得 .
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里.
04
分层训练
A组·基础达标
1.小明解分式方程 的过程如下：
解：去分母，得 .①
去括号，得 .②
移项、合并同类项，得 .③
系数化为1，得 .④
以上步骤中，开始出错的一步是( )
B
A.① B.② C.③ D.④
2.分式方程 的解为________.
3.分式方程 的解为______.
4.解分式方程：
（1） ；
解：方程两边都乘以，约去分母，得 .解这个整
式方程，得 .
检验：把代入，得 ，
所以， 是原方程的解.
（2） ；
解：方程两边都乘以，约去分母，得 .
解这个整式方程，得 .
检验：把代入，得 .
所以， 是原方程的解.
（3） .
解：方程两边都乘以 ，约去分母，得
，
解这个整式方程，得 .
检验：把代入，得 .
所以， 是原方程的解.
5.小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6 000元
油费行驶的路程与纯电汽车耗费1 000元电费行驶的路程相同，且
每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电
费.设纯电汽车每百公里的耗电费为 元，可列分式方程为________
_____.
6.某化工厂采用机器人A，机器人B搬运化工原料，机器人A比机器
人B每小时少搬运，机器人A搬运 所用时间与机器人B
搬运 所用时间相等.求机器人A，机器人B每小时分别搬运
多少千克化工原料.
解：设机器人A每小时搬运 化工原料，则机器人B每小时搬运
化工原料.
由题意，得 ，
解得 .
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
.
答：机器人A每小时搬运 化工原料，机器人B每小时搬运
化工原料.
B组·能力提升
7.若关于的分式方程有增根，则 的值是( )
C
A.1 B. C.2 D.
8.分式方程的解为正数，则 的取值范围是( )
B
A. B.且
C. D.且
9.若关于的分式方程无解，则 ____.
C组·核心素养拓展
10.（创新意识）对于非零实数、，规定： .若
，则 的值为__.

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