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(共27张PPT)
第3课时 平行四边形的性质定理3
01
预习导航
平行四边形的性质定理3
平行四边形的对角线__________.
说 明：（1）互相平分指两线段有公共的中点;
（2）如果一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则这条直线
被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线平分平
行四边形的面积.
互相平分
方法技巧：（1）利用对角线互相平分可以解决有关中点或线段相
等的问题；
（2）平行四边形的性质常与平行线、三角形、面积等有关知识综
合在一起进行论证和计算.
02
归类探究
一
平行四边形的对角线互相平分
例1 如图，的对角线相交于点 ，两条
对角线的和为36，的长为7，求 的周
长.
解： 四边形 是平行四边形，
， .
，
,
.
二
平行四边形的性质与勾股定理的综合
例2 如图，在中，，， ，求
、、及 的长.
解： 四边形 是平行四边形，
，，， .
， .
在中， ，
.
在中， ，
，
即，， .
03
当堂测评
1.如图，的对角线与相交于点 ，
则下列结论一定正确的是( )
B
A. B.
C. D.
2.如图，的对角线与相交于点 ，
，，，则 的周长为
( )
B
A.13 B.17 C.20 D.26
3.如图，在中，对角线、相交于点, ，
，，求 的长.
解： 四边形是平行四边形，、相交于点 ，
， ，
，， .
，
，
，
，
.
04
分层训练
A组·基础达标
1.如图，在 中，下列结论不一定正确的
是( )
D
A. B.
C. D.
2.在中，对角线与相交于点，若， ，
则边 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
3.如图，的对角线相交于点，、 在直线
上，且.求证： .
证明： 四边形 是平行四边形，
, ，
, .
B组·能力提升
4.如图，在中，和相交于点，过点 的直线分别与
、交于点、.若的面积为3，则四边形 的面积
为___.
5.如图，的对角线与相交于点，于点 ,
,,，求 的长.
解：,，四边形 是平行四边形，
, .
,
,
.
在 中,
.
C组·核心素养拓展
6.（创新意识）
【教材呈现】 如图是华师版八年级下册数学教材第82页的部分内容.#1.1
平行四边形的性质定理3 平行四边形的对角线互相平分.
我们可以用演绎推理证明这个结论.
①
请根据教材提示,结合图①,写出完整的证明过程.#1.1.2
证明：
四边形 是平行四边形,
, ,
, .
在和中,
,
, （证明方法不唯一）.
【性质应用】 如图②,在中,对角线与相交于点,
过点且与边、分别交于点、.求证： .
②
解： 四边形 是平行四边形,
, ,
, .
在和中,
,
.
【拓展提升】 在【性质应用】的条件下,连结,若 ,
的周长是13,则 的周长是____.(共27张PPT)
第3课时 平行四边形的判定的综合
01
预习导航
平行四边形的判定定理
定义：两组对边分别______的四边形是平行四边形.
定理1：两组对边分别______的四边形是平行四边形.
定理2：一组对边____________的四边形是平行四边形.
定理3：对角线互相______的四边形是平行四边形.
拓展：两组对角__________的四边形是平行四边形.
平行
相等
平行且相等
平分
分别相等
02
归类探究
一
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
例1 在四边形中，，，求证： .
证明：， ，
四边形 是平行四边形，
.
二
平行四边形的判定的综合
例2 如图，在四边形中，， ，
利用三种方法证明四边形 是平行四边形.
证明：（方法1）
， ，
， ，
四边形 是平行四边形.
（方法2）
在和中，
，
， ，
四边形 是平行四边形.
（方法3）
，
.
由方法2，得 ，
，
四边形 是平行四边形.
（方法不唯一）
03
当堂测评
1.在四边形中，、、、 的度数之比如下，其中能
判定四边形 是平行四边形的是( )
C
A. B. C. D.
2.如图,点在四边形的边上,连结 并延
长，交的延长线于点,, .
（1）求证： ；
证明：在和 中,
.
（2）若,求证：四边形 是平行四边形.
解： ,
，
.
又 ,
四边形 是平行四边形.
04
分层训练
A组·基础达标
1.如图，已知，添加下列条件可以使四边形 成为平行
四边形的是( )
A
A. B. C. D.
2.如图，是四边形的边延长线上的一点，且 ，则
下列条件中不能判定四边形 是平行四边形的是( )
C
A. B. C. D.
3.如图，在中，，.求证：四边形 是
平行四边形.
证明： 四边形 是平行四边形，
，，， .
又， ，
， .
在和 中，
，
.
同理可证， ，
四边形 是平行四边形.
B组·能力提升
4.如图，的对角线与相交于点，点、在 上，
且 .
（1）求证： ；
证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
.
在和 中，
，
，
，
.
（2）过点作，垂足为，交于点，连结 .若
的周长为12，求四边形 的周长.
解：由（1）知，， ，
，
四边形 是平行四边形，
.
，
.
的周长为12，
，
四边形 的周长为24.
C组·核心素养拓展
5.（推理能力）如图，已知是等边三角形，点、 分别在边
、上， ， .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
证明： 是等边三角形，
.
,
，
.
又 ，
四边形 是平行四边形.
（2）连结，若，求证： .
解：， ，
是等边三角形，
， .
， .
是等边三角形，
， ，
，
，
.(共27张PPT)
第2课时 平行四边形的判定定理3
01
预习导航
平行四边形的判定定理3
定理3：对角线__________的四边形是平行四边形.
注 意：平行四边形识别方法要灵活选择.
（1）若知一组对边相等，可选择定理1或定理2；
（2）若知一组对边平行，可选择定理2或定义；
（3）若知对角线，可选择定理3.
互相平分
02
归类探究
一
对角线互相平分的四边形是平行四边形
例1 如图，在四边形中，， ，
， .
（1）求线段 的长；
解： ，， ，
.
，
，
的长是13.
（2）求证：四边形 是平行四边形.
证明：由（1）得， ，
.
又 ，
四边形 是平行四边形.
二
平行四边形的判定定理3的应用
例2 如图，四边形是平行四边形，、是对角线 上的两点，
且 .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
例2答图
证明：如答图，连结交于点 .
四边形 是平行四边形，
， .
， ，
，即 .
四边形 是平行四边形.
（2）若， ， ，求 的度数.
解： 四边形是平行四边形， ，
， ，
， ，
.
四边形是平行四边形， ，
，
，
，
.
03
当堂测评
1.如图，在四边形中，对角线和相交于点 .下列条件不
能判定四边形 是平行四边形的是( )
C
A.， B.，
C.， D.，
2.如图，在中，点为的中点，连结，过点 作
交的延长线于点 ，下列说法错误的是( )
D
A.
B.连结，四边形 为平行四边形
C.
D.
04
分层训练
A组·基础达标
1.如图①，战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支
架（“轸”）为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始
也，合短以为方，中规乃行”。如图②，实际操作为：构成轮轴支
架四边形的顶点分别为、、、，若，且 ，
则轮轴支架形成的四边形是平行四边形的最简明理由是( )
A.对角线互相平分
B.两组对边分别相等
C.一组对边平行且相等
D.两组对边分别平行
√
2.要使如图所示的四边形 是平行四边形，
根据图中数据，可以添加的条件是( )
B
A. B. C. D.
3.如图，在四边形中，，， ，
，求证：四边形 是平行四边形.
证明：，， ，
.
，
，
.
又 ，
四边形 是平行四边形.
B组·能力提升
4.在平面直角坐标系中，已知点、、 ，若以点
，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点 的坐标不可能
为( )
D
A. B. C. D.
5.如图，在中，与相交于点， ，
，，.求证： .
第5题答图
证明：如答图，连结、 .
， ，
.
四边形 是平行四边形，
， .
又 ，
，
.
同理可得， ，
四边形 是平行四边形，
.
C组·核心素养拓展
6.（推理能力）如图，在四边形中，与相交于点 ，延
长至点，连结并延长，交的延长线于点 ，
， .
（1）求证：是线段 的中点；
证明： ，
.
，
四边形 是平行四边形，
， 互相平分，
是线段 的中点.
（2）连结、，求证：四边形 是平行四边形.
解： ，
.
在和 中，
.
.
又 ，
四边形 是平行四边形.(共28张PPT)
第4课时 平行四边形的性质定理
的综合
01
预习导航
平行四边形的性质定理
定 义：平行四边形的对边______.
定 理1：平行四边形的对边______.
定 理2：平行四边形的对角______.
定 理3：平行四边形的对角线__________.
推 论：平行线之间的距离处处______.
平行
相等
相等
互相平分
相等
02
归类探究
类型 平行四边形的性质定理的综合
例1 如图，在中，、分别是、 上的点，且
，连结交于点，延长交的延长线于点 .
（1）求证： ；
证明： 四边形 是平行四边形，
， .
在和中，
.
（2）若， ， ，，求 的长.
解： ，
， ，
是等腰直角三角形，
，， .
，
是等腰直角三角形，
， ，
.
， ，
， .
例2 如图，在中，是对角线上的一点，过点 作
，且，连结、.求证： .
证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
.
又 ，
，
.
在和中，
，
.
03
当堂测评
1.如图，在中，， ，
于点，则 的度数为____.
2.如图，在中，， ，
，对角线与相交于点，
为上一点，连结.若 的周长比四边
形的周长大3，则 的长为___.
3.如图，在中，对角线与相交于点，过点 作
交于点.若，，，则 的长为
_____.
04
分层训练
A组·基础达标
1.如图，已知在中，对角线、相交于点 ，若
，，，则 的周长是( )
C
A.18 B.24 C.30 D.36
2.如图，在中，为的中点， 过
点且分别交、于点、.若 ，
则 的长为____.
3.如图，在中，， ，
，，则两平行线与 间的距离
是____.
4.如图,在中,对角线与相交于点,于点 ,
于点 .
（1）求证： ；
证明： 四边形 是平行四边形,
, ,
.
, ,
.
在和中,
.
（2）若 ,,,求 的长.
解： 四边形 是平行四边形,
, .
,
是直角三角形.
在 中,由勾股定理,得
,
.
B组·能力提升
5.如图，在中，对角线与 相交于点
，，点为 的中点，若
，则 的长为( )
C
A. B.9 C. D.10
6.如图,在中,的平分线交于点,连结 并延长，交
的延长线于点,且 .
（1）求证：是 的中点；
证明： 四边形 是平行四边形,
, ,
.
,平分 ,
, .
在和中,
,
.
,
,
即点是 的中点.
（2）若,,求 的长.
解：,平分 ,
.
, ,
,
,
,
.
C组·核心素养拓展
7.（推理能力）如图，在中，分别以边、 为边作
、，使，， ，连结
、 .
（1）求证： ；
证明： 四边形 是平行四边形，
，， .
， ，
， .
，
， ，
，
.
（2）若，求证： .
第7题答图
解：如答图，延长，交于点 .
，
,
.
，
，
，
，即 .
四边形 是平行四边形，
，
.(共24张PPT)
第1课时 平行四边形的判定定理
1、2
01
预习导航
1.依据定义判断四边形是平行四边形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.平行四边形的判定定理1、2
定理1：两组对边分别______的四边形是平行四边形.
定理2：一组对边____________的四边形是平行四边形.
注 意：若四边形一组对边平行，另一组对边相等，不能判定该四
边形是平行四边形.
相等
平行且相等
02
归类探究
一
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
例1 如图，在四边形中， ，
.求证：四边形 是平行四边形.
证明：， .
， .
四边形 是平行四边形.
二
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
例2 如图，在四边形中，， ，垂足为点
，，垂足为点.求证：四边形 是平行四边形.
证明：， ，
.
在和中，
，
.
又 ，
四边形 是平行四边形.
三
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
例3 已知四边形是平行四边形， ，
求证：四边形 是平行四边形.
证明： 四边形 是平行四边形，
，， .
，
，即 ，
四边形 是平行四边形.
03
当堂测评
1.对于四边形 ，下列条件不能判定该四边形为平行四边形的
是( )
C
A.且 B.且
C.且 D.且
2.依据所标数据，下列一定是平行四边形的是( )
D
A. B. C. D.
3.在四边形中，，，当___， ___时，
四边形 是平行四边形.
4
5
04
分层训练
A组·基础达标
1.现有长是5，5，7的三根木棍，嘉嘉要想钉一个平行四边形的木
框，则选用的第四根木棍的长度应该是( )
D
A.4 B.5 C.6 D.7
2.在四边形中，，， ，则 的度
数是( )
D
A. B. C. D.
3.嘉淇不慎将一块平行四边形的教学模具打碎成如图的四块，为配
到一块与原来相同的平行四边形模具，则她需要带的两块碎片的编
号是( )
D
A.①② B.①④ C.②③ D.②④
4.如图，已知在四边形中，， ，求证：
四边形 是平行四边形.
证明： ，
.
又 ，
四边形 是平行四边形.
B组·能力提升
5.如图，在中，， ，
则图中共有平行四边形的个数是( )
A
A.9 B.8 C.7 D.6
6.如图，点、、、在同一条直线上，， ，
，交于点.求证：与 互相平分.
第6题答图
证明：如答图，连结、 .
， .
， .
， .
在和中，
， .
又 ，
四边形 是平行四边形，
与BE互相平分.
C组·核心素养拓展
7.（推理能力）如图，在四边形中， ，
，.点自点向点以 的速度运动，
到点即停止；点自点向点以的速度运动，到 点即停
止，点、同时出发，设运动时间为 .
（1）用含 的代数式表示：
__；_________；__________； ___
.
（2）当为何值时，四边形 是平行四边形？
解： ，
当时，四边形 是平行四边形.
，解得 ，
时，四边形 是平行四边形.
（3）当为何值时，四边形 是平行四边形？
解：，即 ，
当时，四边形 是平行四边形，
即，解得 ，
当时，四边形 是平行四边形.(共27张PPT)
第1课时 平行四边形的性质定理
1、2
01
预习导航
1.平行四边形的概念
定 义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
表示方法：如图，平行四边形记作“ ”，读作“平行四
边形 ”.
易错点：不能误认为一组对边平行的四边形是平行四边形.
2.平行四边形的性质定理1、2
性质定理1：平行四边形的对边______.
性质定理2：平行四边形的对角______.
注 意：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心.
相等
相等
3.两条平行线之间的距离
定 义：两条直线平行，其中一条直线上的________到另一条_____
_______，叫做这两条平行线之间的距离.
性 质：平行线之间的距离__________.
注 意：距离是指垂线段的长度.
任一点
直线
的距离
处处相等
02
归类探究
一
平行四边形性质的证明
例1 如图，已知四边形是平行四边形.求证： 的对边
相等,对角相等.
例1答图
证明：如答图，连结 .
四边形 为平行四边形,
, ，
， ，
,
.
在和中, ，
， ，
,
,, .
二
平行四边形的对边相等
例2 如图，四边形为平行四边形，点、、、 在同一直
线上，.求证： .
证明： 四边形 为平行四边形，
，， .
， ，
.
在和中，，， ，
.
三
平行四边形的对角相等
例3 如图，四边形是平行四边形，平分交于点 .
若 ，求 的度数.
解： 四边形 是平行四边形，
， ，
.
平分 ，
，
，
.
四
平行线之间的距离处处相等
例4 如图，已知，，于点，于点 ，
则下列说法错误的是( )
D
A.
B.
C.，两点间的距离就是线段 的长度
D.与两平行线间的距离就是线段 的长度
03
当堂测评
1.在中，，则 的度数是____.
2.已知直线，与的距离是，与的距离是 ，则
与 的距离是____________.
3.在中，若，， ，则
的周长是____.
或
32
04
分层训练
A组·基础达标
1.如图，在中，，，则 的
长为( )
B
A.4 B.5 C.6 D.7
2.如图，在中，已知 ，则
的度数为( )
A
A. B. C. D.
3.在中，，则 的度数是______.
4.如图，、分别是的边、 上的点，
.求证： .
证明： 四边形 是平行四边形，
， .
在和中，，， ，
， .
B组·能力提升
5.如图，中阴影部分的面积是，则 的面积是
( )
B
A. B. C. D.无法确定
6.如图，在中，平分交于点，且 平分
，若长是10，求 的周长.
解：平分，平分 ，
， .
四边形 是平行四边形，
，， ，
, ，
， ，
, ，
，
的周长为 .
C组·核心素养拓展
7.（推理能力）如图，在中，、分别平分 和
，交对角线于点、 .
（1）若 ，求 的度数；
解： 四边形 是平行四边形，
， .
平分 ，
，
.
（2）求证： .
证明： 四边形是平行四边形，， ，
， .
、分别平分和 ，
， ，
.
在和中，,, ,
，
.(共28张PPT)
第2课时 平行四边形的性质定理
1、2的综合
01
预习导航
平行四边形的性质定理
定 义：平行四边形的对边______.
定 理1:平行四边形的对边______.
定 理2：平行四边形的对角______.
推 论：平行线之间的距离处处______.
平行
相等
相等
相等
02
归类探究
一
利用平行四边形的性质进行计算
例1 如图，把平行四边形纸片 沿对角线
折叠，点落在点处，与相交于点 ，
此时恰为等边三角形.若 ，求
的长.
解： 由折叠的性质可知 .
四边形 是平行四边形，
, ，
，
.
为等边三角形，
.
， ，
，
，
.
二
利用平行四边形的性质进行证明
例2 如图，四边形是平行四边形，平分，交 的延
长线于点.求证： .
证明： 四边形 是平行四边形，
，
.
平分 ，
，
，
.
03
当堂测评
1.如图，在中，， ，
则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
2.如图，在中，连结 ，
，，则 的长
是( )
C
A. B.2 C. D.4
3.如图，在中，，边上的高 ，
，为边上的高，则的长为___ .
4.如图，在中，平分，交于点， ，
则 的度数是______.
5.如图，点是的边的中点，连结并延长交 的延长
线于点， .
（1）求证： ;
证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
， .
是的边 的中点，
，
.
（2） 的长为____.
04
分层训练
A组·基础达标
1.如图,在中,已知,,的平分线 交边
于点,则 的长为___.
2.如图，在中，的平分线交于点， 的平
分线交于点，若，，则 的长是____.
3.如图，四边形是平行四边形，是上一点，且和 分
别平分和 .
（1） ____；
（2）如果，，求 的周长.
解：平分， .
四边形 是平行四边形，
， ，
，
同理 ，
.
在中，， ，
，
的周长是 .
B组·能力提升
4.如图,在中,是边上一点,连结、、,与 相
交于点, .求证：
（1） ；
证明： 四边形 为平行四边形，
,, .
,, .
, .
又 ,
, .
（2） .
解：由（1）得 ,
, .
C组·核心素养拓展
5.（推理能力）如图，在中，的平分线交 于点
，的平分线交于点，连结 .
（1）求证： ；
证明： 四边形 为平行四边形，
，， .
平分，平分 ，
， ，
，
，
.
（2）若 ，，，求线段 的长.
第5题答图
解：如答图，过点作于点 .
四边形 为平行四边形，
， .
平分， ，
， .
又 ，
是等边三角形.
又 ，
，
，
.
， ，
，
.(共34张PPT)
第4课时 平行四边形的性质与判
定的综合
01
预习导航
1.平行四边形的性质
定义：平行四边形的对边______.
定理1：平行四边形的对边______.
定理2：平行四边形的对角______.
定理3：平行四边形的对角线__________.
推论：平行线之间的距离处处______.
平行
相等
相等
互相平分
相等
2.平行四边形的判定定理
定义：两组对边分别______的四边形是平行四边形.
定理1：两组对边分别______的四边形是平行四边形.
定理2：一组对边____________的四边形是平行四边形.
定理3：对角线互相______的四边形是平行四边形.
平行
相等
平行且相等
平分
02
归类探究
类型 平行四边形的性质与判定的综合
例1 如图,在中,、是对角线上的两点,,点 、
分别在和的延长线上,且,连结、、、 .
求证：四边形 是平行四边形.
证明： 四边形 是平行四边形,
, ,
.
, ,
, .
在和中,
,
, ,
, ,
四边形 是平行四边形.
例2 如图,在中,是对角线的中点,过点,与、 分
别相交于点、,过点,与、分别相交于点、 ,连结
、、、.求证：四边形 是平行四边形.
证明： 四边形 是平行四边形,
，
.
为 的中点,
.
在和中,
，
.
同理可证得 .
四边形 是平行四边形.
03
当堂测评
1.如图，在中，、分别是、
的中点，连结、、 ，则图中平行四
边形共有( )
B
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
2.如图，在中，、是对角线上的两点，且 .下
列结论：；；；④四边形
是平行四边形；； .其中正确的是 ( )
D
A.①⑥ B.①②④⑥ C.①②③④ D.①②④⑤⑥
04
分层训练
A组·基础达标
1.如图，在四边形中，，，、 相交于
点.若，则线段 的长是( )
C
A.1 B.2 C.3 D.6
2.如图给出了四边形的部分数据，则 的
值是( )
D
A. B. C. D.
3.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在
一起，重合的部分构成了一个四边形.转动其中一
张纸条，下列结论一定成立的是( )
C
A. B.
C. D.
4.如图，是线段的中点，, .
（1）求证： ；
证明：是线段 的中点，
.
，
.
在和 中，
.
（2）连结，若，求 的长.
解：，是线段 的中点，
.
，
.
又 ，
四边形 是平行四边形，
.
B组·能力提升
5.在如图所示的中，， 分别为边
，的中点，点，分别在边， 上
移动（不与端点重合），且满足 ，则
下列为定值的是( )
C
A.四边形的周长 B. 的大小
C.四边形的面积 D.线段 的长
6.如图，在四边形中， ，点在 上，
，过点作交于点 .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
证明： ，
，
.
，
，
，
四边形 是平行四边形.
（2）若平分，，，求 的长.
第6题答图
解：如答图，过点作于点 ,
则 .
平分 ，
.
四边形 是平行四边形，
，即 .
, .
在 中，由勾股定理，可得
，
， ，
，
，
,
.
C组·核心素养拓展
7.（模型观念，推理能力）在中， ，
，点在射线上，连结，将线段绕点 逆时针
旋转 得到线段（点不在直线上），过点 作
，交直线于点 .
（1）如图①， ，点与点重合，求证： ；
证明： ， ,
.
线段绕点逆时针旋转 得到线段 ，点
与点 重合，
， ，
，
.
，
四边形 是平行四边形，
，
.
（2）如图②，点，都在的延长线上，用等式表示与 的
数量关系，并证明.
第7题答图
解：与的数量关系是： .
证明：如答图，在上取一点 ，使得
，连结 .
,
,
，
.
将线段绕点逆时针旋转
得到线段 ，
,
,
,
,
， .
又 ,
.
，
,
,
,
.
， ,
.
.

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