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(共24张PPT)
1.反比例函数
01
预习导航
反比例函数的概念
概 念：一般地，形如_______________________的函数叫做反比例
函数.
注 意：（1）反比例函数也可写成 或
的形式；
（2）反比例函数中，自变量 的取值范围是不等于0的一切实数.
是常数，
02
归类探究
一
反比例函数的概念
例1 下列函数中，是 的反比例函数的是( )
B
A. B. C. D.
二
建立反比例函数模型
例2 写出下列各问题中的函数关系式，并指出它们是什么函数.
（1）某三角形的面积为,它的底边 是该底边上的高
的函数；
解：由题意,得 ,
,它是反比例函数.
（2）一艘轮船从相距 的甲地驶往乙地，轮船的航行时间
是速度 的函数；
解：由题意，得 ，
，它是反比例函数.
（3）在检修长的管道时，每天能完成 ，剩下的未检修
的管道长是检修天数 的函数.
解：由题意，得 ，
，它是一次函数.
03
当堂测评
1.下列函数关系属于反比例函数的是( )
A
A.长方形的面积一定时，长与宽的函数关系
B.长方形的长一定时，面积与宽的函数关系
C.正方形的面积与边长的函数关系
D.正方形的周长与边长的函数关系
2.如果关于的函数为反比例函数，那么 的值是 ( )
B
A.1 B.0 C. D.
3.有下列函数：；； ；
；；.其中是 的反比例函数的是
________（填序号）.
①③④
4.小明要把一篇27 000字的调查报告录入电脑，则其录入的时间
与录入文字的平均速度字/ 之间的函数表达式应为
_ __________.
04
分层训练
A组·基础达标
1.为丰富学生课余活动，某校用5 000元购买了某品牌篮球 个，该
品牌篮球的单价是元/个，则与 的函数关系式为( )
B
A. B.
C. D.
2.已知反比例函数的表达式为，则 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
3.已知反比例函数 .
（1）说出这个函数的比例系数 的值；
解： ，
比例系数的值为 .
（2）当时，求函数 的值；
解：当 时，
.
（3）当时，求自变量 的值.
解：当时， ，
解得 .
4.列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数.
（1）某农场的粮食总产量为，则该农场人数 （人）与平均
每人占有粮食量 的函数关系式；
解：由题意，得 ,它是反比例函数.
（2）在加油站，加油机显示器上显示的某种油的单价为每升4.75
元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价 （元）与加
油量 的函数关系式；
解：由题意，得 ，它不是反比例函数.
（3）小明完成赛跑时，所用时间 与他跑步的平均速度
之间的函数关系式.
解：由题意，得 ，它是反比例函数.
B组·能力提升
5.已知，若与成正比例关系，与 成反比例关系，
且当时，；时， .
（1）写出关于 的函数表达式；
解：设, ，
则 .
由题意,得
解得
关于的函数表达式是 .
（2）当时，求 的值.
解：当 时，
C组·核心素养拓展
6.（模型观念）已知关于的函数
（1）当、 为何值时，为一次函数？
解：当函数 是一次函数时,
解得, .
（2）当、 为何值时,为正比例函数？
解：当函数 是正比例函数时,
解得, .
（3）当、 为何值时,为反比例函数？
解：当函数 是反比例函数时,
解得, .(共30张PPT)
3.一次函数的性质
01
预习导航
1.一次函数 的性质
（1）若，随 的增大而______，这时函数图象从左到右
______；
（2）若，随 的增大而______，这时函数图象从左到右______.
增大
上升
减小
下降
2.直线的位置与、 的符号之间的关系
类 型：（1）， ，直线经过第一、二、三象限；
（2）， ，直线经过第____________象限；
（3）， ，直线经过第____________象限；
（4）， ，直线经过第____________象限；
（5）， ，直线经过第________象限；
（6）， ，直线经过第________象限.
一、三、四
一、二、四
二、三、四
一、三
二、四
02
归类探究
一
一次函数的性质
例1 已知直线过点，，则和 的大小
关系是( )
A
A. B. C. D.不能确定
二
一次函数的图象与性质的综合运用
例2 已知一次函数,当 满足何值时，
（1）它的图象经过原点？
解： 一次函数 的图象经过原点，
，解得 .
（2）随 的增大而减小？
解： 一次函数中，随 的增大而减小，
，解得 .
（3）它的图象经过第一、二、四象限？
解： 该函数的图象经过第一、二、四象限，
，且，解得 .
（4）它的图象与轴的交点在 轴的上方？
解： ，
当时， .
由题意，得,且 ，
且 .
03
当堂测评
1.关于函数 ，下列结论错误的是( )
D
A.图象经过点 B.随 的增大而减小
C.图象与直线 平行 D.图象经过第一、三、四象限
2.下列函数的图象不经过第一象限,且随 的增大而减小的是( )
D
A. B.
C. D.
3.若一次函数 的图象如
图所示，则下列说法正确的是
( )
B
A.
B.
C.随 的增大而增大
D.当时，
4.若关于的一次函数，随 的增大而增大，
则 的取值范围是________.
5.在函数中，若自变量的取值范围是 ，则函
数值 的取值范围是_____________.
04
分层训练
A组·基础达标
1.关于正比例函数 ，下列结论不正确的是( )
A
A.点在函数 的图象上
B.随 的增大而减小
C.图象经过原点
D.图象经过第二、四象限
2.一次函数的值随 的增大而增大，则点
所在象限为( )
B
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知点、都在直线上，则___
（填“ ”“ ”或“ ”）.
4.已知一次函数 .
（1）当、 为何值时，函数的图象过原点
解：由题意，得， ，
解得， .
当， 时，函数的图象过原点.
（2）当、为何值时，随 的增大而增大
解：由题意，得 ，
解得 .
当，为任意实数时，随 的增大而增大.
（3）若图象不经过第三象限，求、 的取值范围.
解：由题意，得， ，
解得， ，
当， 时，函数的图象不经过第三象限.
B组·能力提升
5.一次函数的函数值随 的增大而减小，当
时， 的值可以是( )
A
A.3 B.2 C.1 D.
6.已知一次函数，当时，函数 的最小值是5，
则 _______.
5或
7.已知一次函数 .
（1）若它的图象过点，则 的值是多少
解： 一次函数的图象过点 ，
，
解得 .
（2）若它的图象经过第一、二、四象限，则 的取值范围是多少
解： 一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
解得 .
的取值范围是 .
（3）若它的图象不经过第四象限，则 的取值范围是多少
解： 一次函数 的图象不经过第四象限，
解得 ，
即的取值范围是 .
C组·核心素养拓展
8.（模型观念）如图,在平面直角坐标系中,直线 的表达式为
,直线与轴交于点,与轴交于点,与直线 交于
点,直线的表达式为 .
（1）求点、、 的坐标.
解： 直线的表达式为,与轴交于点,与 轴交于
点 ,
当时,；当时, ,
, .
联立
解得
.
（2）为轴上一点,当线段最短时,求点的坐标及
的面积.
解：, ,
，为定值，
当的长最短时,线段 最短.
当时, 的长最短,
,
.
（3）为线段上一点,过点向轴作垂线交于点,在 轴上是
否存在一点,使为等腰直角三角形？若存在,请求出点 的
坐标；若不存在,请说明理由.
第8题答图①
解：存在.设点,则点 ,
.
如答图①,当 , 时,
,
解得 ,
,
.
如答图②,当 , 时,
第8题答图②
,
解得 ,
,
.
如答图③,当 ，时,过点作于点 ,
为等腰直角三角形,
，
,
解得 ,
.
综上所述，点的坐标为,或 .
第8题答图③(共23张PPT)
1.一次函数
01
预习导航
一次函数的概念
一次函数：函数关系式用自变量的__________表示的函数，称它们
为__________，通常可以表示为___________（、 是常数，
） .
正比例函数：一次函数中，当______时，
（常数 ）叫做正比例函数.
辨 析：正比例函数是特殊的一次函数，如果一个函数是正比例函
数，那么它一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
一次整式
一次函数
02
归类探究
一
一次函数的概念
例1 已知函数 .
（1）当 为何值时，这个函数是一次函数？
解：根据一次函数的概念，可得，解得 ，
当 时，这个函数是一次函数.
（2）当 为何值时，这个函数是正比例函数？
解：根据正比例函数的概念，
可得且，解得 ，
当 时，这个函数是正比例函数.
例2 已知函数 .
（1）当_____时，是 的一次函数；
（2）当______时，是 的正比例函数.
二
建立一次函数模型
例3 我们知道，海拔高度每上升，温度下降 .某时刻地面温
度为.设高出地面处的温度为 .
（1）写出与 之间的函数关系式.
解：由题意，得 .
（2）已知一座山高出地面约 ，这时山顶的温度大约是多少？
解：，当 时，
.
答：这时山顶的温度大约是 .
（3）此刻，有一架飞机经过，若机舱内仪表显示飞机外面的温度
为 ，飞机离地面的高度为多少千米？
解：当飞机外面的温度为，即 时，
.
答：飞机离地面的高度为 .
03
当堂测评
1.下列函数中，是一次函数的有__________，是正比例函数的有
______.（填写序号）
；；； ；
； .
①②④⑥
②⑥
2.一个长方形的周长为，长为，宽为，则与 之间
的函数关系式是__________.
3.用函数关系式表示下列问题中与的关系，并判断：是否为 的
一次函数？是否为正比例函数？
（1）正方形的面积与它的边长 之间的关系；
解：，不是的一次函数，也不是 的正比例函数.
（2）已知某地居民用电收费标准是0.53元/，应缴电费
（元）与用电量 之间的关系；
解：，是的一次函数，也是 的正比例函数.
（3）汽车从离站的地出发，以的速度沿射线 方
向匀速行驶，汽车到站的距离与匀速行驶的时间 之间
的关系.
解：，是的一次函数，但不是 的正比例函数.
04
分层训练
A组·基础达标
1.下列函数中，是 的一次函数的是( )
B
A. B. C. D.
2.下列关系：①汽车以的速度行驶，行驶路程 与行
驶时间之间的关系；②等腰三角形的周长为60，腰长 与它的
底边长之间的关系；③一棵树现在高，每个月长高，
个月后这棵树的高度为；④某种大米的单价是2.2元/ ，花
费（元）与购买大米之间的关系.其中是 的一次函数的是
__________（填写序号）.
①②③④
3.如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增
加 .
（1）写出小球速度关于时间 的函数关系式.它是一次函
数吗？是正比例函数吗？
解：函数关系式是 ，它是一次函数，也是正比例函数.
（2）求第 时小球的速度.
解：当时，代入，得 .
第时小球的速度为 .
B组·能力提升
4.若函数是正比例函数，则 ____，
___.
2
5.某超市糯米的价格为5元/ ，端午节推出促销活动：一次购买的
数量不超过时，按原价售出；超过 时，超过的部分打八折.
若某人购买了糯米，付款金额为元，则关于 的函数
关系式是___________；若他购买 糯米，应付款____元.
42
C组·核心素养拓展
6.（模型观念）为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收
费标准：每户每月的用水不超过时，水价为4元/；超过 时，
超过的部分按5元/收费.该市某户居民5月份用水，应交水费 元.
（1）请写出与 的函数关系式；
解：由题意，得
当时， ；
当时， .
由上可得，与 的函数关系式是
（2）如果该户居民这个月交水费34元，那么这个月该户用了多少
吨水？
解： ，
该用户这个月用水超过 .
令，解得 .
答：这个月该户用了 水.(共59张PPT)
第1课时 一次函数的图象
01
预习导航
一次函数 的图象
特 征：（1）一次函数 的图象是一条直线，通常
也称为直线 ；
（2）两个一次函数，当系数相同， 不相同时，它们的图象
_______；
（3）两个一次函数，当系数相同， 不相同时，它们的图象与
_____相交于同一点.
平行
轴
注 意：（1）因为两点确定一条直线，因此画一次函数图象时只需
描出两点即可;
（2）正比例函数 的图象是经过____________的一条
直线，因而画图时，只需找出原点之外的任一满足条件的点即可.
原点
02
归类探究
一
一次函数（正比例函数）的图象
例1 分别在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象：
（1）， ；
例1答图①
解：如答图①，分别取、 ，画出
的图象；分别取、 ，画出
的图象.
（2）， .
例1答图②
解：如答图②，分别取， 画出
的图象；分别取， 画出
的图象.
【点悟】画正比例函数的图象时，可取 及
两点，经过这两点的直线即为函数的图象.而画一次函数
的图象时，可选取 及另一点作直线.在同一
平面直角坐标系中画出的直线有多条时，应在直线旁注明直线的表
达式.
二
一次函数图象的平移
例2 将直线，向上平移3个单位长度，得到直线 ，
则平移后得到直线 的表达式为( )
C
A. B. C. D.
【点悟】直线是由正比例函数的图象沿 轴
平移个单位长度得到的.当时，向上平移，当 时，向
下平移.
03
当堂测评
1.下列函数图象中，表示直线 的是( )
B
A. B. C. D.
2.一次函数 的图象一定不经过( )
B
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.将直线 向下平移2个单位长度，得到直线____________.
04
分层训练
A组·基础达标
1.下列各点在正比例函数 的图象上的是( )
A
A. B. C. D.
2.把画函数 图象的过程补充完整.
（1）列表：
… 0 ___ …
… ___ 0 …
（2）画出函数图象：
解：画出图象如答图.
第2题答图
3.将直线向上平移5个单位长度后得到直线 .
（1）写出直线 的函数表达式；
解：将直线 向上平移5个单位长度,得到的直线的函
数表达式为 ，
即直线的函数表达式为 .
（2）判断点是否在直线 上.
解：当时， ，
点在直线 上.
B组·能力提升
4.在同一平面直角坐标系中,一次函数与 的
图象可能是( )
D
A. B. C. D.
5.已知一次函数 .若该函数图象经过第一、三、四
象限，则 的取值范围是_________.
C组·核心素养拓展
6.（模型观念）如图，直线与轴交于点，与 轴交于
点 .
（1）求、 两点的坐标；
解： ，
令，得 ，
点的坐标为 ；
令，得 ，
点的坐标为 .
（2）若是轴上的点，且，求 的面积.
解：设点的坐标为 .
， .
, ,
，
或 ，
， ，
的面积为3或1.
第2课时 一次函数图象的应用
01
预习导航
1.一次函数 的图象与坐标轴的交点坐标的求法
方 法：由于轴上的点的纵坐标为0， 轴上的点的横坐标为0，因
此求直线与轴、 轴的交点坐标时，只需分别令
，，即可求出直线与轴、 轴交点的
横坐标、纵坐标.
结 论：一次函数的图象与轴的交点为， ，
与轴的交点为 .
2.一次函数图象的应用
注 意：一次函数的图象可能是一条直线，也可能是一条线段，还
可能是一条射线、一条折线或离散的点，这取决于自变量的取值范
围，因此解题时应具体问题具体分析.
02
归类探究
一
求一次函数的图象与两坐标轴交点的坐标及其应用
例1 画出直线 的图象，并解答下列问题：
例1答图
解：的图象是过点 和
的一条直线，如答图所示.
（1）设它的图象与轴、轴分别交于点、，求线段 的长；
解： .
（2）求的周长为坐标原点 ；
解： .
（3）求点到直线 的距离；
例1答图
解：如答图，过点作于点 ，则
， ，
即点到直线的距离为 .
（4）求 的面积.
解： .
二
实际问题中的一次函数图象
例2 某货车油箱中原有汽油，货车每行驶耗油 ，试
写出货车行驶的路程与油箱中剩余油量 之间的函数关系
式，并画出这个函数的图象，函数的图象是什么形状？
例2答图
解：函数关系式是 .
，
.
又 路程 不能为负数，故
.
图象如答图所示，此时的图象为一条
线段.
【点悟】本题考查实际问题中一次函数的图象，解本题时，要
注意函数自变量的取值范围.
03
当堂测评
1.在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量 满足一
次函数关系，其图象如图所示，则弹簧不挂物体时的长度是( )
D
A. B. C. D.
2.函数的图象与轴的交点坐标为______，与 轴的交
点坐标为______，与坐标轴围成的三角形为______三角形，面积为
___.
直角
04
分层训练
A组·基础达标
1.一次函数的图象与 轴的交点坐标为( )
B
A. B. C. D.
2.已知长方形的周长是10，长是宽 的函数，则下列图象中，能正
确反映与 的函数关系图象的是( )
D
A. B. C. D.
3.已知直线是由直线 平移得到的，则直线
与 轴的交点坐标为_ _______.
4.已知一次函数 .
（1）求其图象与轴、轴的交点、 的坐标；
解：把，分别代入表达式，可得点的坐标为 ，点
的坐标为 .
（2）在图中建立适当的平面直角坐标系，并画出一次函数的图象；
解：画图象如答图.
第4题答图
（3）求 的面积.
解： .
B组·能力提升
5.在如图所示的平面直角坐标系中，点是直线 上的动点，
、是轴上的两点，则 的最小值为____.
6.作出函数 的图象，并回答下列问题：
解：画出函数 的图象如答图所示.
第6题答图
（1）函数图象与轴、轴分别交于点、，则点 的坐标为
_______，点 的坐标为________.
（2）求原点到此函数图象的距离.
解：， ，
， .
在中，由勾股定理，得 .
设原点到函数图象的距离为 .
，
，
解得 ，
原点到此函数图象的距离为 .
（3）在直线 上是否存在
动点，使 的面积为12？若
存在，求出点 的坐标；若不存在，
请说明理由.
解：由（2）可知原点到函数图象的距离为，即以 为
顶点，为底的的高为 ，
设点的坐标为 ，
则 ，
解得 ，
即 ，
解得 ，
则点的坐标为或 .
C组·核心素养拓展
7.（模型观念）一次函数为正整数的图象与
轴、轴的交点是、，是坐标原点，设的面积为 .
（1）求 的值；
解： 当时，一次函数的表达式为 ,
、, ,
.
（2）求 的值.
解：令, ,
, .
令, ,
, ，
,
.(共53张PPT)
第1课时 函数的图象
01
预习导航
1.函数的图象
函数的图象：由平面直角坐标系中的一系列点组成，图象上每一点
的坐标表示函数的____________，它的横坐标 表示________
的某一个值，纵坐标 表示与该自变量对应的________.
注 意：函数的图象可以是直线、射线、线段，也可以是曲线等.
一对对应值
自变量
函数值
2.画函数的图象
方 法：描点法.
步 骤：（1）列表：首先弄清自变量的取值范围，在自变量取值范
围内取值.一般地，把自变量 的值放在表的第一行，其值从左到右，
从小到大；
（2）描点：把关键点准确地描出，点取得越多，图象就越准确；
（3）连线：按自变量由小到大的顺序，用光滑曲线把所描的点连
起来.
02
归类探究
类型 用描点法画函数图象
例1 画出下列函数的图象：
（1） ；
解：列表如下：
… 0 1 2 3 …
… 0 1 2 3 4 …
再描点，最后连线，画图略.
（2） .
解：列表如下：
… 1 2 3 4 6 …
… 1 1.5 2 3 6 …
再描点，最后连线.函数图象分布在第二、四象限，画图略.
例2 如图1，数轴上点表示的数是0，点表示的数是.点 是数
轴上一动点，表示的数是，它与点之间的距离用 表示.
图1
（1）填写下表，在平面直角坐标系内画出关于 的图象（图2）；
… 0 …
… 2 1 ___ 1 2 ___ …
0
3
图2
解： 点 是数轴上一动点，表
示的数是，点表示的数是 ，
当时， ，即
；当时， ，即
.
画图如下：
例2答图
（2）若，则 的值是_______；
2或
（3）下列说法正确的是____.（填序号）
①变量是变量 的函数；
②随 的增大而减小；
③图象经过第一、二、三象限；
④当时， 有最小值.
④
03
当堂测评
1.下列图象中，不是 的函数图象的是( )
C
A. B. C. D.
2.下列各坐标表示的点中，在函数 的图象上的是( )
C
A. B. C. D.
3.画出函数 的图象.
解：列表：
… 0 1 2 3 4 …
… …
描点、连线，如答图.
第3题答图
04
分层训练
A组·基础达标
1.（1）画出函数 的图象；
解：列表：
… 1 2 4 8 …
… 8 4 2 1 …
描点、连线，如答图.
第1题答图
（2）从函数图象观察，当时，是随 的增大而增大，还是随
的增大而减小？当 时呢？
解：当时，随 的增大而减小；
当时，随 的增大而减小.
B组·能力提升
2.有这样一个问题：探究函数 的图象与性质.
下面是小艺的探究过程，请补充完整.
（1）下表是与 的几组对应值，补全表格，画出该函数的图象.
… _ ___ 1 2 …
… _ ___ _ _ 2 _ _ …
解：该函数图象如答图所示（先画出第一象限内的图象，再根据对
称性画出第三象限内的图象）.
第2题答图
（2）已知点、 在函数图象上，仔细观察函数图象填
空：若，则___；若，则___ .
（填" "" "或" "）
（3）请写出该函数的一条性质.
解：当时，随 的增大而增大.（答案不唯一）
3.小慧根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行
了研究，下面是小慧的研究过程，请补充完成.
（1）函数的自变量 的取值范围是__________________
_______________；
（2）列表，找出与 的几组对应值.
任意实数
（或全体实数）
… 0 1 2 3 …
… 1 0 1 2 …
其中， ___；
2
（3）在平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，
并画出该函数的图象；
解：该函数的图象如答图.
第3题答图
（4）写出该函数的一条性质.
解：①函数的最小值为0；②函数图象的对称轴为直线 ；③当
时，随的增大而增大；④当时，随 的增大而减小.
（写出一条即可）
C组·核心素养拓展
4.摩天轮是一种常见的游乐设施，在综合实践活动中，数学小组的
同学们借助仪器准确测量并记录了某个摩天轮的旋转时间 和
一个座舱距离地面的高度 ，部分数据如下：
0 1 2 3 4 5
30.00 15.36 10.00 15.36 30.00 50.00
6 7 8 9 10
70.00 84.64 90.00 84.64 70.00
请解决以下问题：
（1）通过分析数据，发现可以用函数刻
画与 之间的关系，在给出的平面直角
坐标系中，画出这个函数的图象；
解：由题意，结合表格数据作图如下.
第4题答图
（2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①此摩天轮座舱距离地面的高度最高为____ ，转盘的半径约为
____ ；
90
40
[解析] 根据以上数据与函数图象可知，此摩天轮座舱距离地面的高
度最高为，高度最低为 ，
转盘的直径约为，转盘的半径约为 .
②此摩天轮转一圈所用时间为____ ；
12
[解析] 根据以上数据与函数图象可知，上升和下降的过程具有对称
性，从最低点到最高点用时为 ，从最高点到最低点
用时也为 ，
此摩天轮转一圈所用时间为 .
③若当座舱距离地面的高度为时，座舱 距离地面的高度是
，则至少经过_________（精确到 ），这两个座舱的高
度相同.
1.5或4.5
[解析] 由函数图象可得，当时，距离地面的高度为 ，当
时，距离地面的高度是 ，
则两个座舱距离3分钟的路程，这两个座舱的高度相同，从最低点
到最高点用时为 .
若逆时针旋转摩天轮，最近的是在最高点两边，
至少经过 ，这两个座舱的高度相同.
若顺时针旋转摩天轮，最近的是在最低点两边，
至少经过 ，这两个座舱的高度相同.
至少经过1.5或 ，这两个座舱的高度相同.
第2课时 函数图象的应用
01
预习导航
由图象读取信息
注 意：从函数图象获取信息，首先要正确画出函数图象，分清楚
横轴和纵轴所表示的意义，在此基础上理解图象上各点的具体意义.
方 法：当函数图象从左到右呈“上升”状态时，函数随 的增大而
增大；当图象从左到右呈“下降”状态时，函数随 的增大而减小，
反之也成立；当在某个范围内取值时，函数 的值始终是一个常数，
那么在这个范围内的函数图象是一条平行于 轴的线段（或直线）.
02
归类探究
一
对函数图象定性的认识
例1 往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻
画容器中水的高度与时间的关系( )
B
A. B. C. D.
二
对函数图象定量的研究
例2 某次大型活动，组委会启用无人
机航拍活动过程，在操控无人机时应
根据现场状况调节高度，已知无人机
在上升和下降过程中速度相同，设无
人机的飞行高度 与操控无人机的
时间 之间的关系如图中的实线所示.根据图象回答下列问题：#1
（1）图中的自变量是_____________，因变量是_____________；
（2）无人机在高的上空停留的时间是___ ；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度为____ ；
（4）图中表示的数是___， 表示的数是____；
（5）图中点 表示_____________________________________.
时间（或）
高度（或）
5
25
2
15
在第时，无人机的飞行高度为
03
当堂测评
1.龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场.图中的函数
图象表示了龟兔再次赛跑的过程（ 表示兔子和乌龟从起点出发所
用的时间，、 分别表示兔子与乌龟所走的路程）.下列说法错
误的是( )
C
A.兔子和乌龟的比赛路程是
B.中途，兔子比乌龟多休息了
C.兔子比乌龟多走了
D.比赛结果，兔子比乌龟早 到达终点
2.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面 高的楼顶起飞，
两架无人机同时匀速上升 .甲、乙两架无人机所在的位置距离地
面的高度与无人机上升的时间 之间的关系如图所示.下列
说法正确的是( )
B
A.时，两架无人机都上升了
B.时，两架无人机的高度差为
C.乙无人机上升的速度为
D.时，甲无人机距离地面的高度是
3.小李开车上班，最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了
几分钟，为了按时到单位，在不超速的前提下加快了速度，仍匀速
行驶，则汽车行驶的路程与行驶时间 之间函数关系可
能是( )
B
A. B. C. D.
04
分层训练
A组·基础达标
1.小玲从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店
买书，然后步行回家（小玲家、体育馆、书店在同一直线上）.如
图表示的是小玲离家的距离与时间的关系，下列说法正确的是 ( )
C
A.小玲家到体育馆的距离为
B.小玲在体育馆锻炼的时间为
C.小玲家到书店的距离为
D.小玲从书店到家步行的时间为
2.甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的
距离与时间 的对应关系如图所示，下列说法中，不正确
的是( )
D
A.甲车行驶到距A城 处，被乙车追上
B.A城与B城的距离是
C.乙车的平均速度是
D.甲车比乙车早到B城
B组·能力提升
3.小明和朱老师一起从相同地点向同一方向跑
步锻炼身体，朱老师先跑.当小明出发时，朱老
师已经距起点了.他们距起点的距离
与小明出发的时间 之间的关系如图所示
（不完整）.据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）在上述变化过程中，自变量是__，因变量是__；
（2）朱老师和小明跑步的平均速度分别是______________；
，
（3）当小明追上朱老师时，小明距起点的距离是_______.
C组·核心素养拓展
4.（模型观念）根据数学家凯勒
的“百米赛跑数学模型”，前
称为“加速期”， 为“中
途期”， 为“冲刺期”.
某市田径队把运动员小斌某次百
米跑训练时的速度 与路程
之间的观测数据，绘制成如图所示的曲线.
（1）是关于 的函数吗？为什么？
解：是关于的函数，在这个变化过程中，对于 的每一个确定的
值， 都有唯一确定的值与之对应.
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？
解：“加速期”结束时，小斌的速度为 .
（3）根据图中提供的信息，给小斌提一条训练建议.
解：答案不唯一.例如：根据图象信息，小斌在 左右时速度下
降明显，建议增加耐力训练，提高成绩.(共35张PPT)
1.平面直角坐标系
01
预习导航
1.平面直角坐标系
构 成：在平面上画两条__________且具有______
_____的数轴，这就建立了平面直角坐标系
（如图）.
互相垂直
公共
原点
2.点的坐标的表示
规 定：在坐标平面中自点向轴作垂线，垂足在轴上的坐标
叫做点的________，自点向轴作垂线，垂足在轴上的坐标
叫做点 的________，横坐标写在纵坐标前面，中间用逗号隔开，
用括号括起来，就构成一对__________，称为点 的坐标，记作
.
横坐标
纵坐标
有序实数
3.平面直角坐标系中点的坐标特征
象限内：若点在第一象限，则___ 0， ___0；
若点在第二象限，则___0， ___0；
若点在第三象限，则___0， ___0；
若点在第四象限，则___0， ___0.
坐标轴上：若点在轴上，则___0，为任意实数；在 轴
上，则___0， 为__________.
任意实数
02
归类探究
一
象限内点的坐标特征
例1（1）在平面直角坐标系中，点 在( )
B
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
（2）若点在第四象限，则点 在第____象限.
二
二
求已知点关于轴、 轴及原点的对称点的坐标
例2 已知点 在第四象限，求：
（1）点分别关于轴、轴、原点的对称点、、 的坐标；
解： 点 在第四象限，
点分别关于轴、轴、原点的对称点、、 的坐标为
、、 .
（2）点分别到轴、 轴、原点的距离.
解：点分别到轴、 轴、原点的距离为3、4、5.
03
当堂测评
1.如图，小手盖住的点的坐标可能为( )
D
A. B.
C. D.
2.在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是 ( )
B
A. B. C. D.
3.下列说法正确的是( )
D
A.横坐标为0的点在 轴上
B.点到轴的距离为
C.在平面直角坐标系中，点和点 表示同一个点
D.若，则点在 轴上
4.在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐
标系，使“少”“年”的坐标分别为、 ，则
“强”的坐标为( )
B
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为 ，
若点与点关于原点对称，则 ____.
12
04
分层训练
A组·基础达标
1.在平面直角坐标系中，点 所在的象限是( )
D
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知点，轴于点，则点 的坐标为( )
B
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点 的坐
标为( )
A
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点 的坐标
为( )
A
A. B. C. D.
5.如图，在平面直角坐标系中有，，， 四点，
根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限
( )
D
A.点 B.点 C.点 D.点
6.在平面直角坐标系中，将点 向右平移2个单位长度，再向上
平移3个单位长度得到点，则点 的坐标为______.
7.已知点到轴的距离为4，到 轴的距离为5.
（1）若点 位于第一象限，则其坐标为______；
（2）若点位于 轴的上方，则其坐标为______________；
（3）若点位于 轴的右侧，则其坐标为______________.
或
或
8.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点
（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点、 的坐标分别
为、 .
（1）请在网格平面内作出平面直角坐标系；
解：如答图所示.
第8题答图
（2）请作出关于轴对称的 ；
解：如答图所示.
第8题答图
（3）点 的坐标为______.
B组·能力提升
9.若点在第二象限，则 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
10.如图，在矩形中，点、、，则点
的坐标为( )
D
A. B. C. D.
11.如图，在平面直角坐标系中，四边形 各
顶点的坐标分别为、、 、
，则四边形 的面积为( )
D
A.14 B.11 C.10 D.9
[解析] 过点作轴于点，过点作轴于点 ，如答
图.，，，，， ，
第11题答图
，，， .
12.在平面直角坐标系中，点在坐标轴上，则 的
值是_________.
0.5或
13.在平面直角坐标系中，已知点 ，试分别根据下
列条件，求出点 的坐标.
（1）点在 轴上；
解： 点在 轴上，
，解得， ，
点的坐标为 .
（2）点 的纵坐标比横坐标大3；
解： 点 的纵坐标比横坐标大3，
，解得 ，
， ，
点的坐标为 .
（3）点 到两坐标轴的距离相等；
解：由题意，得或 ，解得
或 ，
，或， ，
点的坐标为或 .
（4）点在过点且与 轴平行的直线上.
解： 点在过点且与轴平行的直线上， ，
解得 ，
，
点的坐标为 .
C组·核心素养拓展
14.（模型观念）如图，在平面直角
坐标系中，已知点 、
、 .
（1）求 的面积；
解： .
（2）若点在坐标轴上，且与的面积相等，求点 的
坐标.
第14题答图
解：如答图，以、 为底，
符合题意的有、 ；
以、 为底，符合题意的有
、 .(共97张PPT)
第1课时 二元一次方程组与一次
函数的关系
01
预习导航
用图象法解二元一次方程组
交点坐标：二元一次方程组的一组解是对应的两个一次函数的图象
交点的坐标，从而可画出对应的两个函数的图象（两条直线），找
出它们的交点的坐标，即为方程组的解.
步 骤：（1）先把方程组中的两个二元一次方程化为一次函数的形
式：和 ；
（2）建立平面直角坐标系，画出这两个函数的图象；
（3）写出这两条直线的交点坐标，这两个数值就是二元一次方程
组的解，其中横坐标为，纵坐标为 .
02
归类探究
一
用图象法解二元一次方程组
例1 用图象法解二元一次方程组：
例1答图
解：由①，得 .
由②，得 .
在同一平面直角坐标系中作出一次函数
的图象和的图象 ,如
答图.观察图象，得、的交点为 ，
原方程组的解为
【点悟】当两函数图象无交点时，意味着相应的方程组无解；
当两函数图象重合时，意味着相应的方程组有无数组解.
二
图象法解二元一次方程组在实际问题中的应用
例2 某健身房暑假期间推出健身优惠月活动，活动方案如下：
方案一：不购买会员卡健身，每次收费10元；
方案二：购买会员卡健身，需交会员费120元，每次另收费4元.
设健身次数为 （次），按照方案
一所需费用为 （元），且
；按照方案二所需费
用为 （元），且
，其函数图象如
图所示.
（1）填空：____，___， _____.
（2）求两种方案的函数图象的交点，并解释点 的实际意义.
解：由题意，得
解得
,
故点 的实际意义为：当健身20次时，两种方案所需费用相同，均
为200元.
（3）若某同学暑假期间准备健身30次，选择哪种方案所需费用较
少？请说明理由.
解：选择方案二所需费用较少.理由如下：
若健身30次，方案一所需费用为300元；
方案二所需费用为 （元）.
，
选择方案二所需费用较少.
03
当堂测评
1.若方程组没有解，则一次函数与
的图象必定( )
B
A.重合 B.平行 C.相交 D.无法确定
2.如图，一次函数的图象 与
的图象相交于点 ，则方程组
的解是( )
A
A. B.
C. D.
3.某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量
与产量相等.如图所示的线段 表示一天生产成
本（元）与产量 之间的函数关系，线段
表示一天收入（元）与产量 之间的函
数关系.若该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，
则这天的产量是( )
B
A. B. C. D.
04
分层训练
A组·基础达标
1.如图，直线和直线 相交于
点,根据图象可知，方程 的解是
( )
A
A. B. C. D.
2.用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出
相应的两个一次函数的图象如图所示，则所解的二元一次方程组是
( )
A
A. B.
C. D.
3.已知一次函数与的图象的交点为， ，则方
程组 的解为_ _______.
4.如图，直线交轴、 轴于
、两点，直线交 轴、
轴于、两点，直线、相交于点 .
（1）方程组 的解是
_ ________；
（2）求 的面积；
解：把分别代入和，解得 和
，
， .
由（1）得 ，
.
（3）过点的直线把 的面积二等分，直接写出这条直线的函
数表达式.
解：把分别代入和，得和 ，
， ，
线段的中点为 .
设过点且把面积两等分的直线的函数表达式为 .
把点，代入，得
解得
这条直线的函数表达式为 .
B组·能力提升
5.某通信公司推出了两种上网的收费方式供用户选择：
方案一：套餐费 流量费；
方案二：仅收流量费，无套餐费.
如图，射线、射线 分别表示通信公司每月按
方案一、方案二收费（元）和 （元）与当
月用户使用流量 的函数关系.
（1）分别求出、与 的函数表达式；
解：设.将，代入，得
解得
.
设，将代入，得 ，
解得， .
（2）若某用户今年2月份已使用流量少于 ，但其2月份的上网
费超过40元，那么该用户采用了哪种收费方式上网？
解：当 时，
，
，
使用流量少于 ，方案一流量费少于40元，
该用户采用了方案二上网.
C组·核心素养拓展
6.（应用意识）自主研发和创新让我国的科技快
速发展，“中国智造”正引领世界潮流.某科技公司
计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片.
已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，
购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共需要1 300元.
（1）购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要_____元和_____元；
（2）若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共8 000颗，其中购
买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍.当购买A型芯片多少颗
时，所需资金最少，最少资金是多少元？
解：设购买B型芯片颗，则购买A型芯片 颗，所需资
金为 元.
由题意，得
，
随 的增大而减小.
购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍，
，解得 .
取正整数，
当时， 取最小值，
（元）.
此时 .
答：当该公司购买A型芯片6 000颗时，所需资金最少，最少资金
是2 500 000元.
（3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从 地出发，沿着同
一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达 地后均停止行驶.如
图，、分别是甲、乙两车离 地的距离与甲车行驶
的时间 之间的函数关系.
请根据图象信息，解答下列问题：
①求甲车的速度；
解：设的函数表达式为 .
将点，代入 ，
得解得
的函数表达式为 .
当时， ,
甲车的速度为 .
②当甲、乙两车相距时，直接写出 的值为_____________.
1.5或4.5或
第2课时 一元一次不等式（组）
与一次函数的关系
01
预习导航
一次函数 与一元一次方程、一元一次不等式的关系
规 律：函数中，当函数值等于0时，自变量 的
值就是方程的解；当函数值时，自变量 的
取值范围就是一元一次不等式的解集；当函数值 时，
自变量的取值范围就是一元一次不等式 的解集.
应 用：利用函数 的图象可求方程
的解及不等式或 的解集.
02
归类探究
一
一次函数与方程（不等式）的关系
例1 作出一次函数 的图象，观察图象，回答下列问题：
（1）当取何值时，
（2）当取何值时，
（3）当取何值时，
例1答图
解：当时，；当时， ，知图
象为过、， 两点的直线，画出图象如答图
所示.观察图象可知：（1）.（2） .（3）
.
二
一次函数、反比例函数与方程（不等式）的关系的应用
例2 如图，直线经过点、 .
（1）直线 的函数表达式为___________；
（2）若直线与直线相交于点，求点 的坐标；
解： 直线与直线相交于点 ，
联立解得
点的坐标为 .
（3）根据图象，写出关于的不等式 的解集.
解：根据图象可得，关于的不等式的解为 .
例3 如图，一次函数与反比例函数 的图象交于点
，，则不等式 的解集是( )
C
A.或 B.或
C.或 D.或
03
当堂测评
1.如图，直线交坐标轴于 、
两点，则不等式 的解集是( )
D
A. B.
C. D.
2.函数和函数 的图象如图所示，求下列不等
式（组）的解集.
（1） 的解集是______；
（2） 的解集是________；
（3） 的解集是______；
（4） 的解集是____________.
04
分层训练
A组·基础达标
1.已知甲、乙两弹簧的长度 与所挂物体质量
之间的函数表达式分别是 ，
，它们的图象如图所示.当所挂物体质
量均为时，甲、乙两弹簧的长度与 的大小
关系为( )
A
A. B. C. D.不能确定
2.在平面直角坐标平面内，一次函数 的
图象如图所示，那么下列说法错误的是( )
C
A.当时，
B.方程的解是
C.当时，
D.不等式的解集是
3.如图，直线与直线
相交于点，则关于 的不等式
的解集为( )
A
A. B. C. D.
B组·能力提升
4.如图，在平面直角坐标系中，若直线
与直线相交于点 ，则下
列结论错误的是( )
D
A.方程的解是
B.不等式和不等式 的解集相同
C.不等式组的解集是
D.方程组的解是
5.已知整数使得不等式组的解集为 ，且
一次函数 的图象经过第四象限，则满足条件的整
数 最多有( )
B
A.7个 B.6个 C.5个 D.4个
6.如图，反比例函数的图象与一次函数 的图象交
于，两点，若，则 的取值范围是_________________.
或
C组·核心素养拓展
7.（模型观念）如图,在平面直角坐标系中,一
次函数的图象经过点 ,且与
轴相交于点,与正比例函数 的图象相
交于点,点 的横坐标为1.
（1）____， ___；
（2）直接写出方程组 的解是_ _______；
（3）直接写出不等式组 的解集是__________；
（4）在轴找一点,使得的周长最小,则点 的坐标为_ ______.
第3课时 建立函数模型解决实际
问题
01
预习导航
建立函数模型解决实际问题
步 骤：（1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值；
（2）建立合适的平面直角坐标系，在坐标系中，以各对应值为坐
标描点，并用描点法画出函数的图象；
（3）观察图象特征，判定函数的类型.
02
归类探究
一
建立函数模型解决实际问题
例1 水龙头关闭不严会造成滴水,为了调查漏水量与漏水时间的关
系,小敏进行了以下实验研究：在滴水的水龙头下放置一个能显示
水量的容器,每记录一次容器中的水量,下表是小敏 内收
集到的一组数据.
时间 0 5 10 15 20 25 30
水量 0 4 8 12 16 20 24
为了描述漏水量与漏水时间的关系,现有
以下两种函数模型可供选择：
, .
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点,画出这个函数的
图象，选出最符合实际的函数模型,求出相应的函数表达式；
例1答图
解：描点并画图象如答图所示.
设 .
将、代入，得
解得
函数表达式为 .
（2）当容器内水量显示的读数为 时,求漏水时间；
解：当时, ,
解得 .
故当容器内水量显示的读数为时,漏水时间为 .
（3）在这种漏水状态下,请你估算一天的漏水量.
解： ,
当 时,
.
故在这种漏水状态下,可估算一天的漏水量为 .
二
利用一次函数进行方案设计
例2 2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万
千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相.第一中学为鼓励学生积
极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀
的学生.已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个
“蜀宝”和3个“锦仔”共需花费380元.
（1）购买1个“蜀宝”和1个“锦仔”分别需要多少元？
解：设购买1个“蜀宝”和1个“锦仔”分别需要元和 元.
由题意，得解得
答：购买1个“蜀宝”和1个“锦仔”分别需要88元和68元.
（2）若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2 160
元又不多于2 200元，有哪几种购买方案？
解：设购买“蜀宝”个，则购买“锦仔” 个.
由题意，得 ，
解得 .
是整数,
,7,8，
,23,22,
共有三种方案：
方案一：购买“蜀宝”6个，“锦仔”24个；
方案二：购买“蜀宝”7个，“锦仔”23个；
方案三：购买“蜀宝”8个，“锦仔”22个；
（3）设学校投入资金 元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要
的资金最少？最少资金是多少元？
解：由题意，得 .
,
随着 的增大而增大，
当时，取最小值，最小值为 .
答：方案一需要的资金最少，最少资金是2 160元.
【点悟】在生产生活中，经常会涉及求最大利润、最省费用等
问题，这类问题经常利用函数来解答，其步骤一般是先求出函数的
表达式，再求出自变量的取值范围，最后根据函数的性质求出最大
值或最小值.
03
当堂测评
1.某公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）
和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种.当A、B两种套
餐收费一样时，当月通话时间为( )
C
A. B. C. D.
2.某施工队承接了一项修路任务,每天下班前登记施工进度,下表记
录了开工5天以来的修路情况,其中表示开工的天数, 表示剩余未修
道路的长度.
天 1 2 3 4 5
2.1 1.8 1.5 1.2 0.9
为描述剩余未修道路长度与开工天数的关系,现有以下两种函数关
系式可供选择：, .
（1）请在如图所示的平面直角坐标系中描
出表中数据对应的点,再选出最符合实际的
函数模型,求出相应的函数表达式,并判断其
他点是否在所求函数图象上；
第2题答图
解：如答图所示.
根据图象可知,与 满足一次函数
,
把、 代入表达式，
得
解得
,
当时, ；
当时, ；
当时, .
其他点都在 的图象上.
（2）若想要比原计划提前一天完成施工任务,求之后几天平均每天
比原计划多修的长度.
解：令,则 ,
解得 ,
按原计划8天完成任务.
要比原计划提前一天完成施工任务,则需要后面2天完成剩余
,
平均每天完成 ,
,
之后2天平均每天比原计划多修 .
04
分层训练
A组·基础达标
1.某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游
泳次数为时两种消费卡所需费用分别为 、
元，、与 的函数图象如图所示，当
游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算
( )
B
A.甲种 B.乙种 C.两种都一样 D.无法确定
2.研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积
与气体温度 成一次函数关系.某实验室在压强不变的条件
下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表：
气体温度 … 25 30 35 …
气体体积 … 596 606 616 …
（1）求与 的函数表达式；
解：设与的函数表达式为 .
代入， ，
得解得
故与的函数表达式为 .
（2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到
时停止加热.求停止加热时的气体温度.
解：令 ，
则，解得 .
答：停止加热时的气体温度为 .
B组·能力提升
3.某学习平台为提高学生的积极性，推出学习积分，所得积分可兑
换礼品.某品牌的笔记本每本需要60积分，书签每枚需要10积分.现
积分超市推出以下两种活动：
活动一：按兑换物品所需的积分打八折扣除积分：
活动二：兑换一本笔记本送两枚书签.
李同学想用积分兑换这种笔记本5本，书签枚 .
（1）请你分别求出活动一、活动二兑换所需的积分、与书签
（枚）之间的函数表达式；
解：活动一：与 之间的函数表达式为
.
活动二：与 之间的函数表达式为
.
（2）若只能选择一种兑换活动，请你通过计算帮助李同学判断选
择哪种活动更优惠.
解：当时，解得 ；
当时，解得 ；
当时，解得 ，
当时，选择活动一更优惠；当 时，两种活动所需积
分相等；当 时，选择活动二更优惠.
C组·核心素养拓展
4.（模型观念、应用意识）《九章算术》中记载，浮箭漏
（示意图如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭
壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上
升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校
小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
①
②
【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得
到下表：
供水时间 0 2 4 6 8
箭尺读数 6 18 30 42 54
【探索发现】
（1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间 ，纵轴表
示箭尺读数 .
①描出以表格中数据为坐标的各点.
解：描点如答图.
第4题答图
②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果
在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式；如果不在同
一条直线上，请说明理由.
解：观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上.
设这条直线所对应的函数表达式为
把、 代入，
得
解得
这条直线所对应的函数表达式为
【结论应用】
（2）应用上述发现的规律估算：
①供水时间达到 时，箭尺的读数为多少厘米？
解：当时， .
供水时间达到时，箭尺的读数为 .
②如果本次实验记录的开始时间是上午 ，那当箭尺读数为
时是几点钟？箭尺最大读数为
解：当时， ，
解得 ，
供水时间为 .
本次实验记录的开始时间是上午，后为 ，
当箭尺读数为 时是22:00.(共35张PPT)
4.求一次函数的表达式
01
预习导航
用待定系数法求一次函数的表达式
待定系数法：先设待求函数的表达式（其中含待定系数），再根据
条件列出方程或方程组，求出待定系数，从而得到所求结果的方法，
叫做待定系数法.
步 骤：（1）设出待求的一次函数表达式；
（2）把已知条件________________得到__________________;
（3）解__________________，求出待定系数的值，从而写出函数
表达式.
代入函数表达式
方程（或方程组）
方程（或方程组）
02
归类探究
一
用待定系数法求一次函数的表达式
例1 在平面直角坐标系中,直线经过、 两点.
（1）求直线 的函数表达式；
解：设直线的函数表达式为
把、 两点代入,
得解得
直线的函数表达式为 .
（2）若点在直线上,求 的值.
解： 点在直线 上,
.
.
二
一次函数在生活中的应用
例2 小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到
甲地，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进，
在出发时，两人相距；在出发 时，两
人相遇.设骑行的时间为 ，两人之间的距离为
，下图中的线段 表示两人从出发到相遇
这个过程中与 之间的函数关系.
（1）求线段所表示的与 之间的函数表达式；
解：设函数表达式为 .
代入,，得
解得
线段所表示的与之间的函数表达式为 .
（2）甲、乙两地之间的距离为_____ .
三
分段函数的应用
例3 按某市电力部门用电收费标准，用电客户应付电费 （元）与
每月用电量 （度）的关系如图所示.
（1）分别求和时,与 的函数表达式；
解：当时，设 .
把代入，得 ,
解得 .
当时，与的函数表达式是 ;
设当时，设 .
把，分别代入 ，
得解得
当时，与的函数表达式是
（2）用电量为180度时应付电费是_____元.
03
当堂测评
1.如图，直线 的函数表达式是( )
A
A. B.
C. D.
2.已知一次函数的图象与直线平行，且过点 ，则此
一次函数的表达式为( )
C
A. B. C. D.
3.空中气温与距离地面高度 之间
的函数关系如图所示.下列说法正确的是
( )
D
A.随着 的增大而增大
B.地面的气温为
C.与的函数表达式为
D.当大于时，气温低于
4.一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开
始内只进水不出水，在随后的 内
既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个
常数，容器内的水量与时间 之间的
关系如图所示，当时， 的值为____.
04
分层训练
A组·基础达标
1.若点在一次函数的图象上，则 的值是 ( )
D
A.5 B.4 C.3 D.1
2.生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长 是尾长
的一次函数，部分数据如下表所示，则与 之间的表达式为
( )
尾长 6 8 10
体长 45.5 60.5 75.5
A
A. B.
C. D.
3.从大连发快递到北京，某快递公司收费标准如下：快递物品不超
过收费12元，超过 的部分每千克收费5元，设快递物品的质
量为，那么从大连发快递到北京的快递费 （元）与物
品质量 的函数表达式为___________.
4.已知一次函数的图象经过点、 .
（1）求该一次函数的表达式；
解：设一次函数表达式为 ,
把、 分别代入，
得解得
一次函数的表达式为 .
（2）若、是该函数图象上的两点,则与 的大小
关系是___（填“ ”“”或“ ”）.
B组·能力提升
5.五一期间，王老师一家自驾游去了离家 的某地，下面是他
们离家的距离与汽车行驶时间 之间的函数图象.当他们离
目的地还有 时，汽车一共行驶的时间是( )
C
A. B. C. D.
6.已知一次函数，当 时，对应的函数值
的取值范围是，则 的值为( )
C
A.12 B. C.或 D.6或12
7.已知一次函数的图象经过点 ,且与两条坐标轴截得的直角
三角形的面积为3,则此一次函数的表达式为____________________
_________.
或
8.某小型企业获得授权生产甲、乙两种奥运吉祥物，生产每种吉祥
物所需材料及所获利润如下表：
#1.1 A种材料/ B种材料/ 所获利润/元
每个甲种吉祥物 0.3 0.5 10
每个乙种吉祥物 0.6 0.2 20
该企业现有A种材料，B种材料 ，用这两种材料生产
甲、乙两种吉祥物共2 000个.设生产甲种吉祥物 个，生产这两种
吉祥物所获总利润为 元.
（1）与 之间的函数表达式为__________________；
（2）生产甲种吉祥物个数不小于1 000且不大于 ，该企业如
何安排甲、乙两种吉祥物的生产数量，才能获得最大利润？最大利
润是多少？
解：由（1）得 .
，
随 的增大而减小.
又，且 是整数，
当时， 有最大值，最大值是
（元）.
（个）.
生产甲种吉祥物1 000个，乙种吉祥物1 000个，所获利润最大，
最大利润为30 000元.
C组·核心素养拓展
9.（模型观念）综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习活动.第一小
组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含
的数学知识；第三小组负责汇报和交流.下面是第三小组汇报的部
分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题.#1.1
【背景调查】图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具之
一，其榫卯结构既体现了古人含蓄内敛的审美观,又展现了古代工
匠的智慧.榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称
轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如
图②所示.#1.2
①
②
【收集数据】小组收集了一些板凳并进行了测量.设以对称轴为基准
向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为 ，记录如下：
16.5 19.8 23.1 26.4 29.7
115.5 132 148.5 165 181.5
③
【分析数据】如图③，小组根据表中、 的数
值，在平面直角坐标系中描出了各点.
【建立模型】请你帮助小组解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果
在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式；如果不在同
一条直线上，请说明理由.
解：它们在同一条直线上，设 ，
则解得
这条直线所对应的函数表达式为 .
（2）当凳面宽度为 时，以对称轴为基准向两边各取相同的
长度是多少？
解：当时， ，
解得 ，
当凳面宽度为 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长
度是 .(共47张PPT)
第1课时 变量与函数
01
预习导航
1.变量与常量
变 量：在某一个变化过程中，________________的量，叫做变量.
常 量：在某一个变化过程中，__________________的量，叫做常量.
可以取不同数值
取值始终保持不变
2.函数的概念
函 数：一般地，如果在一个__________中，有两个变量，例如 和
，对于的__________，都有__________与之对应，我们就说
是自变量，是因变量，此时也称是 的函数.
3.函数关系的表示方法
方 法：________、________、________.
变化过程
每一个值
唯一的值
解析法
列表法
图象法
02
归类探究
一
常量与变量
例1 对于圆的周长公式 ，下列说法正确的是( )
D
A. ，是变量，，2是常量 B.是变量，， 是常量
C.是变量， ，是常量 D.，是变量，2， 是常量
二
函数的概念
例2 下列式子中，是 的函数的有( )
；；；；； .
C
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
三
函数的三种表示方法
例3 在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物
体.下面是测得的弹簧长度与所挂物体质量 的一组对应值.
所挂物体质量 0 1 2 3 4 5
弹簧长度 18 20 22 24 26 28
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是
因变量？
解：上表反映了弹簧长度与所挂物体质量 之间的关系；其中所挂
物体质量是自变量，弹簧长度 是因变量.
（2）当所挂物体质量为 时，弹簧多长？不挂重物时呢？
解：当所挂物体质量为时，弹簧长 ；当不挂重物时，弹
簧长 .
（3）若所挂物体质量为 （在允许范围内），则此时的弹簧长
度是多少？
解：根据上表可知，所挂物体质量为 （在允许范围内）的弹簧
长度为 .
03
当堂测评
1.甲以每小时的速度行驶时，他所走过的路程 与时间
之间可用公式 来表示，则下列说法正确的是( )
C
A.数10和，都是变量 B.是常量，数10和 是变量
C.数10是常量，和是变量 D.是常量，数10和 是变量
2.小明给在北京的姑姑打电话，电话费随时间的变化而变化.在这个
问题中，因变量是( )
B
A.时间 B.电话费 C.电话 D.距离
3.小强在学校秋季田径运动会比赛中，平均速度为 ，其
中_____是变量，___随着__的变化而变化，__是自变量，___是__
的函数.
、
04
分层训练
A组·基础达标
1.超市某种商品的单价为70元/件，若买件该商品的总价为 元，则
其中的常量是( )
A
A.70 B. C. D.不确定
2.烧开水时，水温与时间 的关系如下表所示：
时间/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
水温/ 5 11 19 30 42 55 70 85 95 100 …
这个表格反映了变量______与______之间的关系，其中______是自
变量，______是因变量.
水温
时间
时间
水温
3.同一温度的华氏度数与摄氏度数 之间的函数关系是
.若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则
此温度的摄氏度数是_____ .
B组·能力提升
4.如图是一位患者的体温记录图，
看图回答下列问题：
（1）自变量是______，因变量是
______；
时间
体温
（2）护士每隔___小时给患者量一次体温；
（3）这位患者的最高体温是_____，最低体温是_____ ；
（4）这位患者在4月8日12时的体温是_____ ；
（5）图中的横虚线表示______________.
人的正常体温
5.指出下列函数关系式中的常量、自变量、因变量和函数.
（1）为已知数 ；
解： 、为常量，是自变量，是因变量，是 的函数.
（2）为已知数 .
解：、是常量，是自变量，是因变量，是 的函数.
C组·核心素养拓展
6.（模型观念）某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符
合要求的易拉罐的底面半径与用铝量 有如下关系：
底面半径 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0
用铝量 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是
因变量？
解：上表反映了易拉罐底面半径和用铝量的关系，易拉罐底面半径
为自变量，用铝量为因变量.
（2）当易拉罐底面半径为 时，易拉罐需要的用铝量是多少？
解：当底面半径为时，易拉罐的用铝量为 .
（3）根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较
适宜？说说你的理由.
解：易拉罐底面半径为 时比较适宜，因为此时用铝量较少，
成本低.
（4）说一说易拉罐底面半径对所需用铝量的影响.
解：当易拉罐底面半径在 之间变化时，用铝量随半径的
增大而减小，当易拉罐底面半径在 之间变化时，用铝量
随半径的增大而增大.
第2课时 函数自变量的取值范围
01
预习导航
自变量的取值范围
注 意：（1）自变量的取值必须使含自变量的表达式有意义；
（2）实际问题中，自变量的取值必须使实际问题有意义.
方 法：（1）当表达式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
（2）当表达式是分式且分母中含自变量时，解不等式（分母不等
于0），得出自变量的取值范围.
02
归类探究
一
求函数自变量的取值范围
例1 分别求出自变量 的取值范围：
（1） ；
解： 为全体实数；
（2） .
解：， .
二
求函数值
例2 当和 时，分别求出下列函数的函数值：
（1） ；
解：当时， ；
当时， .
（2） .
解：当时， ；
当时， .
三
求函数关系式
例3 如图，点是长方形的边 上的一动
点（不与点、重合），连结 .已知
，， ，梯形
的面积为 .
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
解： ，
其中 .
（2）当时，梯形 的面积是多少？
解：当时， ，
即当时，梯形的面积为 .
03
当堂测评
1.函数中，自变量 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
2.当时， 的函数值是( )
A
A.10 B.11 C.12 D.13
3.汽车由A地驶往相距的B地，它的平均速度是 ，则
汽车距B地的路程与行驶时间的函数关系式及自变量 的
取值范围是( )
A
A. B.
C. D.
4.函数的自变量 的取值范围是______.
04
分层训练
A组·基础达标
1.若等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为 ，
则与的函数关系式及自变量 的取值范围是( )
D
A. B.
C. D.
2.寄一封质量在以内的平信，邮寄费为0.8元，则寄 封这样的
平信所需邮寄费（元）与 （封）之间的函数关系式是_________；
当 时，函数值为____，它的实际意义是__________________
_______________________.
寄15封质量在
以内的平信需邮寄费12元
3.火车从上海驶往相距的北京，它的平均速度是 ，
则火车距北京的路程与行驶时间 的函数关系式是_______
____________，其中自变量 的取值范围是____________.
4.如图是若干个粗细均匀的铁环组成的链条，已知每个铁环长 ，
铁环粗，铁环间处于最大限度的拉伸状态.设 个铁环长为
，则与 之间的关系式是___________.
5.分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围.
（1）学校食堂现库存粮食，平均每天消耗粮食 ，
求库存粮食与食用的天数 （天）之间的函数关系式.
解： .
（2）一根弹簧原长，每挂的物体，就伸长 .已知弹
簧所挂物体的质量不能超过，求弹簧长度 与所挂物体质
量 之间的函数关系式.
解： .
（3）为庆祝建校80周年，学校组织合唱会演，八年级共站成10排，
第一排10人，后面每排比前排多1人，求每排人数与这排的排数
之间的函数关系式.
解：且为整数 .
B组·能力提升
6.已知两个变量、 之间的关系
如图所示.
（1）当分别取0、 、3时，求函
数 的值；
解：当时， ；
当时， ；
当时， .
（2）当分别取0、、3时，求自变量 的值.
解：当时，，解得 .
当 时，分三种情况讨论：
①，解得 ；
②，解得 ；
③，解得 .
当时，，解得 .
C组·核心素养拓展
7.（模型观念）如图，在边长为2的正方形 的
边上有一点从点运动到点.设 ，四边形
的面积为 .
（1）写出与之间的函数关系式，并求出 的取值范围；
解： .
（2）当为何值时，四边形 的面积为3？
解：由题意，得 ，
解得 ，
当时，四边形 的面积为3.(共36张PPT)
2.反比例函数的图象和性质
01
预习导航
1.反比例函数图象的画法
步 骤：______、______、______.
注 意：（1）列表时，自变量的值应对称地选取绝对值相等而符号
相反的数值，这样既便于计算，又易于描点.列表时尽可能多取一
些数值，描的点越多，连线就越方便.
（2）连线时，必须用光滑的曲线顺次连结各点.
（3）反比例函数图象由断开的两支曲线组成，与轴、 轴没有交点.
列表
描点
连线
2.反比例函数 的图象和性质
图 象：双曲线，且关于原点成中心对称.
性 质：（1）若 ，函数的图象在第________象限，在每个象
限内，曲线从左向右______，也就是说，当（或 ）时，
随 的增大而______;
（2）若 时，函数的图象在第________象限，在每个象限内，
曲线从左向右______，也就是说，当（或）时，随 的
增大而______.
注 意：反比例函数的增减性是指在同一象限内的增减性.
一、三
下降
减小
二、四
上升
增大
3.求反比例函数的表达式
方 法：待定系数法.
步 骤：首先根据题意设出反比例函数的表达式，再从实际出发，
找出一对对应值或图象上的一个点，用待定系数法求出 的值，确
定表达式.
02
归类探究
一
画反比例函数的图象
例1 画出函数 的图象.
（1）补全过程.
①列表：
… …
… ___ _ _ _ _ ___ ___ ___ …
1
2
3
6
②描点并连线.
解：函数图象如答图.
例1答图
（2）从图象可以看出，曲线从左向右______，当由小变大时，
随之______.
上升
变大
二
反比例函数的性质
例2 若点,,都在反比例函数 的图象
上，则,， 的大小关系是( )
D
A. B.
C. D.
三
待定系数法求反比例函数的表达式
例3 如图，是反比例函数图象上的一点，且点
到轴的距离为3，到 轴的距离为2.
（1）求这个反比例函数的表达式；
解：由题意，得点 .
设反比例函数的表达式为 .
把代入，得 .
反比例函数的表达式为 .
（2）判断点，， 是否在反比例函数的图象上.
解： ，
不在该反比例函数的图象上；
，
在该反比例函数的图象上；
，
在该反比例函数图象上.
03
当堂测评
1.已知点在反比例函数的图象上，则 的值为 ( )
C
A. B.4 C. D.8
2.对于反比例函数 ，下列结论正确的是( )
D
A.点 在该函数的图象上
B.该函数的图象分别位于第二、四象限
C.当时，随 的增大而增大
D.当时，随 的增大而减小
3.（1）函数的图象在第________象限,在每一象限内，随
的增大而______；
（2）函数的图象在第________象限,在每一象限内，随
的增大而______；
（3）函数,当时,图象在第____象限,随 的增大而______.
一、三
减小
二、四
增大
一
减小
4.已知点，在反比例函数 的图象上，
若，则 的值可以是_________________（请写出一个符合
条件的 值）.
1（答案不唯一）
04
分层训练
A组·基础达标
1.已知反比例函数 ，下列结论正确的是( )
C
A.函数图象在第一、三象限 B.随 的增大而减小
C.点 在函数图象上 D.函数图象与坐标轴有交点
2.若反比例函数的图象经过点，，则 的值是( )
B
A.1 B. C.6 D.
3.已知反比例函数与一次函数 的图象的一个
交点的横坐标为3，则 的值为( )
A
A. B. C.1 D.3
4.已知一个反比例函数在各个象限内，随 的增大而减小，那么这个
反比例函数的表达式可以是_ ___________________（只需写出一个）.
（答案不唯一）
5.已知关于的反比例函数 .
（1）若函数的图象位于第一、三象限,则 的取值范围是______;
（2）若在每个象限内,随的增大而增大,则 的取值范围是______.
6.已知反比例函数的图象经过点 .
（1）求该反比例函数的表达式；
解： 反比例函数的图象经过点 ，
，
解得 ，
反比例函数的表达式为 .
（2）如果点， 是该函数图象上的两点，试比较
和 的大小.
解： ，
在每一个象限内，随 的增大而增大，
，
.
B组·能力提升
7.一次函数与反比例函数 在同一坐标系中的大致
图象是( )
B
A. B. C. D.
8.如图，直线与双曲线 交于点
， .
（1）分别求该一次函数与反比例函数的表达式；
解： 双曲线经过点， ，
，
， ,
，反比例函数的表达式为 .
直线经过点， ，
解得
一次函数的表达式为 .
（2）若点在轴上，，求点 的坐标.
解： 点在轴上， ，
，
，
，
点的坐标为或 .
C组·核心素养拓展
9.（模型观念）如图，一次函数 的图象与反比例函数
的图象的一个交点为 .
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
解： 一次函数的图象经过 ，
，
，
一次函数的表达式为 .
反比例函数的图象经过 ，
，
，
反比例函数的表达式为 .
（2）将一次函数的图象沿 轴向下平移12个单位长度，
与反比例函数的图象相交于点、，求 的值.
第9题答图
解： 将一次函数的图象沿 轴向下
平移12个单位长度，与反比例函数 的图象
相交于点、 ，
直线 的表达式为
联立解得或
， .
如答图，过点作轴交直线于点 ，
，
点 的横坐标为2.
在中，当 时，
，
，
第9题答图
，

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