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(共26张PPT)
第1课时 菱形的性质
01
预习导航
1.菱形的定义
定 义：有______________的平行四边形叫做菱形.
注 意：菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形.它有两条对称轴，
分别是它的对角线所在的直线.
一组邻边相等
2.菱形的性质
性质定理1：菱形的四条边都______.
性质定理2：菱形的对角线__________.
3.菱形的面积
面 积：若菱形的对角线的长分别为和 ，则菱形的面积为_____.
相等
互相垂直
02
归类探究
一
菱形的性质
例1 如图,在菱形中,对角线、相交于点 .
（1）若，则菱形的周长为____ ；
（2）若 ，则____， ____.
例2 如图，在菱形中，点、分别在边、 上，
，求证： .
证明： 四边形 是菱形，
， .
在和 中，
，
.
二
菱形的面积
例3 已知在菱形中,对角线与相交于点, ,
,求菱形 的面积.
解： 菱形的对角线与相交于点 ,
,, ,
.
, ,
,
,
,
.
03
当堂测评
1.菱形不具备的性质是( )
A
A.对角线相等 B.对角线互相垂直
C.是轴对称图形 D.是中心对称图形
2.如图，四边形是菱形，对角线、相交于点 .若
，，则菱形 的面积是____.
3.如图,已知菱形，连结、 .
（1）若 ,则 是______三角形；
（2）若,,则___,菱形 的周长为____.
等边
04
分层训练
A组·基础达标
1.如图，在菱形中，， ，则对角线
的长是( )
D
A.20 B.15 C.10 D.8
2.如图，在菱形中，对角线与 相交于点
，则下列说法正确的是( )
C
A. B.
C. D.
3.如图，四边形是菱形，点、、、
在坐标轴上，，，则菱形
的面积为_____.
4.如图，在菱形中，、分别是边 、
上的点，且.求证： .
证明： 四边形是菱形， .
，
，即 .
在和 中，
， .
B组·能力提升
5.如图，在菱形中，、分别是边 、
上的点，.求证： .
证明： 四边形 是菱形，
， .
， .
在和中，
，
， .
C组·核心素养拓展
6.（推理能力）如图，菱形的周长为8，对角线， 、
分别是边、上的两个动点，且满足 .
（1）求证： ；
证明： 菱形的周长为8，对角线 ，
， ，
与 都是等边三角形，
.
，
.
又 ，
.
在和中，
.
（2）判断 的形状，并说明理由.
解： 是等边三角形.理由如下：
由（1）可知 ，
， ，
，
是等边三角形.(共43张PPT)
18.3 正方形
01
预习导航
1.正方形的性质
性 质：（1）________都相等；
（2）________都是直角；
（3）对角线____________________.
注 意：正方形是中心对称图形，对称中心是__________________，
也是轴对称图形，它有___条对称轴.
四条边
四个角
相等且互相垂直平分
两条对角线的交点
2.正方形的判定方法
定理1：有一个角是______的菱形是正方形.
定理2：有一组邻边______的矩形是正方形.
直角
相等
02
归类探究
一
正方形的性质
例1 如图，是正方形的对角线上一点，连结、 ，
并延长交于点 .
（1）求证： ；
证明： 四边形 是正方形，
， ，
.
在和中，
.
（2）若 ，求 的度数.
解：由（1）知 ，
.
又 ， .
，
.
，
.
二
正方形的判定
例2 如图，在中， ，平分，交 于
点；、分别是边、上的点，连结、、.若 垂直
平分，求证：四边形 是正方形.
证明： ,平分 ，
.
垂直平分 ，
, ，
， ，
, ，
，
四边形 是矩形.
，
四边形 是正方形.
三
正方形的性质与判定的综合运用
例3 如图，、、、分别是正方形 四条边上的点，
，四边形 是什么图形？证明你的结论.
解：四边形 是正方形.
证明： 四边形 是正方形，
， .
，
，
，
， ，
四边形 是菱形.
又 ，
，
，
四边形 是正方形.
03
当堂测评
1.如图的知识结构图中①、②、③、④表示需要添加的条件，则下
列描述正确的是( )
D
A.①可表示一个角是直角
B.②可表示对角线互相平分、垂直
C.③可表示一组邻边相等
D.④可表示对角线互相平分
2.如图，在正方形中，是的延长线上一点， ，
则 的度数为______.
3.如图,在正方形中,是对角线上的一点,且 ,连结
、,则 的度数为______.
04
分层训练
A组·基础达标
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是( )
C
A.对角线相等 B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分 D.对角线平分内角
2.若正方形对角线的长为2，则该正方形的面积为( )
B
A. B.2 C. D.4
3.如图，小蓁将一副三角尺（含 角和含 角的直角三角形）按
如图所示的方式放置于正方形木框中，则 的度数为____.
4.如图，正方形的面积为4，点、、、分别为边 、
、、的中点，则四边形 的面积为___.
5.如图，在中， ，平分， 于
点，于点，求证：四边形 是正方形.
证明：, ,
.
又 ,即 ,
四边形 是矩形.
平分，， ，
.
四边形 是正方形.
6.如图，在正方形的外侧作等边三角形，连结、 .
（1）求证： ；
证明： 是等边三角形，
， .
四边形 是正方形，
， ，
.
在和中，
.
（2）求 的度数.
解：， ，
， .
又 ，
.
B组·能力提升
7.如图①，在正方形中，、分别是边、 上的点，且
，垂足为 .
①
②
（1）求证： .
证明： 四边形 是正方形，
， ，
.
， ，
，
，即 ,
，
.
（2）如图②，在正方形中，、、、分别是边 、
、、上的点，且与 是否相等？请说明理由.
第7题答图
解： .理由如下：
如答图，过点作，交于点，过点 作
，交于点，得到和 ，
， .
，， ，
， 由（1）得 ，
.
8.如图，在中，，是的角平分线，为
的中点，过点作直线交的延长线于点，使 ，连
结 .
（1）求证： .
证明： ，
.
又 ，
，
.
（2）求证：四边形 是矩形.
证明：为的中点， .
在和中，
， .
又，即 ，
四边形 是平行四边形.
，是 的角平分线，
， ，
四边形 是矩形.
（3）当满足什么条件时，四边形 是正方形 请说明理由.
解：当满足 时，四边形 是正方形.理由如下：
是的角平分线， ，
， .
又 ， ,
，
.
又 四边形 是矩形，
四边形 是正方形.
C组·核心素养拓展
9.（推理能力）如图，在正方形中，平分正方形 的
外角，点在边 上.
（1）若，求证： ；
第9题答图①
证明：如答图①,过点作于点 .
设正方形的边长为,, .
四边形为正方形，且 为外角平分
线，
, ，
,
, .
，
.
由勾股定理,得， ，
.
，
，
，
.
，
，即 ,
.
在和中，
，
.
，
，
，
.
（2）若，求证： .
第9题答图②
解：如答图②,在上截取 ，连结
.
四边形 是正方形，
， .
, ，
，
，
.
是正方形外角的平分线，
，
，
.
，
.
，
.
在和中，
，
.(共75张PPT)
第1课时 矩形的判定
01
预习导航
矩形的判定方法
定 义：有一个角是______的____________是矩形.
判定定理1：有三个角是直角的________是矩形.
判定定理2：对角线相等的____________是矩形.
直角
平行四边形
四边形
平行四边形
02
归类探究
一
有三个角是直角的四边形是矩形
例1 如图，在中，、、、 分
别是、、、 的平分线.求
证：四边形 是矩形.
证明： 四边形 是平行四边形，
.
、分别平分、 ，
， ，
，
，
同理可得 ，
四边形 是矩形.
二
对角线相等的平行四边形是矩形
例2 求证：对角线相等的平行四边形是矩形.（请写出已知、求证
并完成证明）
解：已知：在中, .
求证： 是矩形.
证明： 四边形 是平行四边形,
, .
又, ,
，
.
, ，
,
是矩形.
例3 如图，四边形是平行四边形，延长至点 ，使
，连结、和，且.求证：四边形 是
矩形.
证明： 四边形 是平行四边形，
，， .
延长至点，使 ，
， ，
四边形 是平行四边形.
，
，
四边形 是矩形.
03
当堂测评
1.下列说法中，能判定四边形是矩形的是( )
D
A.有两个角为直角的四边形 B.对角线互相平分的四边形
C.对角线相等的四边形 D.四个角都相等的四边形
2.已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定
是矩形的是( )
D
A. B. C. D.
3.如图，在中，、分别是、的中点，点、 在边
上，且.只需添加一个条件即可证明四边形 是矩形，
这个条件可以是___________________（写出一个即可）.
或
04
分层训练
A组·基础达标
1.如图，要使 是矩形，需要增加的一个条件可
以是( )
D
A. B. C. D.
2.如图，用一根绳子检查一平行四边形书架 的侧边是否和上、
下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线 、
就可以判断，其推理依据是( )
D
A.矩形的对角线相等
B.矩形的四个角是直角
C.对角线相等的四边形是矩形
D.对角线相等的平行四边形是矩形
3.如图，在中，点、分别在边、上，且 ，
连结、，分别过点、作于点，于点 .求
证：四边形 是矩形.
证明：在 中，
， .
，
.
又 ，
四边形 是平行四边形，
，
.
， ，
，
四边形 是矩形.
B组·能力提升
4.如图，在中， ，是的中点.延长至点 ，
使.连结，.记，， 的周长为
，的周长为，四边形的周长为 .
（1）求证：四边形 是矩形；
证明：是 的中点，
.
，
四边形 是平行四边形.
，
四边形 是矩形.
（2）若，，求 的长.
解： 记，，的周长为，的周长为 ，
四边形的周长为 ，
，
， .
联立解得
， ，
.
C组·核心素养拓展
5.（推理能力）如图，在等边三角形中，是边 的中点，以
为边作等边三角形 .
（1） 的度数为____；
（2）取边的中点，连结、，求证：四边形 是矩形.
证明：是等边三角形,是边的中点，是边 的中点，
， , .
是等边三角形，
， .
由（1）知 ，
，
，
， 四边形 是平行四边形.
又 ， 四边形 是矩形.
第2课时 矩形的判定的运用
01
预习导航
矩形的判定方法
定 义：有一个角是______的平行四边形是矩形.
定理1：有三个角是______的四边形是矩形.
定理2：对角线______的平行四边形是矩形.
直角
直角
相等
02
归类探究
类型 矩形的判定的运用
例1 如图，在中，、分别是边、的中点，过点 作
交的延长线于点，连结、 .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
证明：是 的中点,
.
,
， .
在和 中,
，
.
又 ,
四边形 是平行四边形.
（2）若，试判断四边形 的形状，并证明.
解：当时，四边形 是矩形.理由如下：
，是边 上的中点，
,即 .
由（1）得四边形 是平行四边形，
四边形 是矩形.
例2 如图,将的边延长至点,使,连结、 、
,交于点 .
（1）求证： ；
证明： 四边形 是平行四边形，
,,, .
又 ,
,
四边形 是平行四边形,
.
（2）若,求证：四边形 是矩形.
解：由（1）知,四边形 是平行四边形,
, .
四边形 是平行四边形,
,即 .
又, ,
,
,
,即 ,
四边形 是矩形.
03
当堂测评
1.如图，四边形的对角线与相交于点 ，已知下列6个
条件：；；； ；
； .从中选出3个作为已知条件，不能使四边
形 成为矩形的一组是( )
C
A.①②③ B.②③④ C.②⑤⑥ D.④⑤⑥
2.如图，，、、、分别为、 、
、的平分线，则四边形 是______.
矩形
04
分层训练
A组·基础达标
1.如图，在中，点、分别在、上， ，
.求证：四边形 是矩形.
证明： 四边形 是平行四边形，
， .
，
，
即 ，
四边形 是平行四边形.
，
四边形 是矩形.
B组·能力提升
2.如图，在中，，，，是边 上一
动点，于点，于点，连结 .
（1）求证：四边形 是矩形.
证明：，， ，
， .
， ，
，
四边形 是矩形.
（2）在点的运动过程中， 的长度是否存在最小值？若存在，
请求出最小值；若不存在，请说明理由.
第2题答图
解：存在.如答图，连结 .
四边形是矩形， .
当时，最短，即 最短，
此时有,即 ，解
得,则的最小长度为 .
C组·核心素养拓展
3.（推理能力）在中，对角线、相交于点，、 分
别是、的中点，连结、、、 .
（1）如图①，求证：四边形 是平行四边形；
证明： 四边形 是平行四边形，
， .
、分别是、 的中点，
， ，
，
四边形 是平行四边形.
（2）如图②，当线段与线段 满足什么数量关系时，四边形
是矩形？请说明理由.
解：当时，四边形 是矩形.理由如下：
四边形 是平行四边形，
.
、分别是、 的中点，
， ，
.
，即 ，
.
由（1）知四边形 是平行四边形，
四边形 是矩形.
（3）若四边形是矩形， ，，求 的长.
解： 四边形 是矩形，
由（2）可知 .
，
.
在中，由勾股定理，得 ，
，
解得或 （舍去），
，
.
四边形 是平行四边形，
.
第3课时 直角三角形斜边上中线
的性质定理
01
预习导航
1.直角三角形的性质
定 理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的______.
2.直角三角形的判定
判 定：一个三角形一边上的中线等于该边的______，那么这个三
角形是一个直角三角形.
一半
一半
02
归类探究
一
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例1 如图，、是的高， ，
，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
二
利用斜边中线的性质定理判定直角三角形
例2 如图， ，是 的中点，
.求证： .
证明： ，是 的中点，
.
又 ，
.
又是 的中点，
是直角三角形,且 .
03
当堂测评
1.如图，公路、互相垂直，的中点 与
点被湖隔开.测得的长为，则 的长
为( )
C
A. B. C. D.
2.如图，在中， ，为边上的高， 为
边上的中线，，，则 的长度是___.
04
分层训练
A组·基础达标
1.下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是( )
C
A.三个内角之比为 B.一边上的中线等于该边的一半
C.三边为、、 D.三边长为5、12、13
2.如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子 的
中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点
水平远离墙角点，点和点 的距离( )
A
A.始终不变 B.不断变小
C.不断变大 D.先变小后变大
3.如图，在中，点、分别是边、的中点，点 是线
段上的一点，连结、， ，且 ，
，则 的长是( )
D
A.2 B.3 C.4 D.5
4.如图，中， ， ，是 的中点，则
的度数为____.
B组·能力提升
5.如图，在中，点在边上，，点、 分别是
、的中点，，，则 的长为_ ___.
6.如图，是直角三角形，且 ，四边形 是平
行四边形，为的中点，平分，点在 上，且
.求证： .
证明： ，平分， ，
, .
，为 的中点，
.
四边形 是平行四边形，
， ，
.
又 ，
，
，
.
C组·核心素养拓展
7.（推理能力）如图，在四边形 中，
，、分别是对角线、 的中点.
（1）求证： ；
第7题答图
证明：如答图，连结、 .
，是对角线 的中点，
， ，
.
是对角线 的中点，
.
（2）若 ，，求 的长.
解： ，是对角线的中点， ，
，
， .
， ，
， ，
.
又， ，
.
由（1）知， ,
为等边三角形，
.(共56张PPT)
第1课时 矩形的性质
01
预习导航
1.矩形的定义
定 义：有一个内角为______的____________叫做矩形.
2.矩形的性质
性质定理1：矩形的四个角都是______.
性质定理2：矩形的对角线______.
注 意：矩形是一种特殊的平行四边形，具有平行四边形的一般性质.
直角
平行四边形
直角
相等
02
归类探究
一
矩形的定义
例1 如图，在中，为的中点， ，求证：四边
形 是矩形.
证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
.
是的中点， .
在和 中，
，
，
四边形 是矩形.
二
矩形的四个角都是直角
例2 如图，在矩形中，点、在边 上，
连结,， .
（1）求证： .
证明： 四边形 是矩形，
, .
又 ，
.
（2）当，时，求 的长.
解：由（1）知 ，
.
， ，
.
三
矩形的对角线相等
例3 如图，在矩形中，过点作，交 的延长线于点
.求证： .
证明： 四边形 是矩形，
， .
又 ，
四边形 是平行四边形,
,
.
03
当堂测评
1.下列性质中，矩形不一定具有的是( )
C
A.对角线相等 B.四个角都是直角
C.对角线互相垂直 D.是轴对称图形
2.如图，在矩形中，对角线与相交于点 ，
， .
（1）根据“矩形的对角线______”，可以得到___ ；
相等
4
（2）根据“矩形的对角线__________”，可以得到
___，且，所以 是______三
角形.
互相平分
2
等边
04
分层训练
A组·基础达标
1.下列性质中，矩形 不一定具有的是( )
A
A. B. C. D.
2.如图是一张矩形纸片， ，
.若用剪刀沿的平分线 剪下，则
的长为( )
C
A. B. C. D.
3.如图，是矩形的对角线，平分交于点 .若
，则 ____.
B组·能力提升
4.如图,矩形被对角线、 分成四个小三角形,这四个小三
角形的周长之和是68,，则矩形 的周长是____.
28
5.如图，在矩形中，、分别是、 上的点，在下列三
个条件：；； 中，选择其中一个
作为已知条件，求证： .
解：若选择 ，
证明： 四边形 是矩形，
， .
又 ，
，
；
若选择 ，
证明： 四边形 是矩形，
，即 .
；
四边形 是平行四边形，
；
若选择 ，
证明： 四边形 是矩形，
， .
又 ，
，
.
C组·核心素养拓展
6.（逻辑推理）如图，在矩形中，对角线与 相交于点
，平分,交于点，连结，且 .
（1）求证： ；
证明： 四边形是矩形，平分 ，
， ，
.
，
.
又， 是等边三角形，
， .
（2）求 的度数.
解： 是等边三角形，
， .
又 ，
，
，
.
第2课时 矩形的性质的运用
01
预习导航
矩形的性质
性质定理1：矩形的四个角都是______.
性质定理2：矩形的对角线______.
直角
相等
02
归类探究
一
与矩形的性质有关的计算
例1 如图，在矩形中，对角线与 相交
于点， ，，求矩形
的面积.
解： 四边形 是矩形，
，，， ，
.
，
,
.
在 中，由勾股定理，得
,
.
二
与矩形的性质有关的证明
例2 如图，在矩形中，是边上一点， ，
，垂足是，连结 .求证：
（1） ；
证明： 四边形 是矩形，
，， ，
.
，
.
，
.
在和 中，
.
（2）是 的平分线.
解：由（1）知 ，
.
四边形 是矩形，
，， .
在和中，
，
，
是 的平分线.
三
与矩形的性质有关的创新应用
例3 如图，点是矩形的边 上的一个动点，矩形的两条边
、的长分别为6和8，过点分别作和 的垂线，垂足分别
为、，则 的值为___.
03
当堂测评
1.将两个矩形按如图放置，若 ，则
( )
C
A. B. C. D.
2.如图，在矩形中，与相交于点，于点 .若
，则 的度数为____.
04
分层训练
A组·基础达标
1.如图，将矩形绕其顶点 逆时针方向转到如图所
示位置，则旋转角可以为( )
B
A. B. C. D.
2.如图，在矩形中，对角线, 相交于点
, ,，则 的长为___.
8
3.如图，矩形的边的长为4，点是边 的
中点， ，则矩形 的周长是____.
24
4.如图，延长矩形的边至点，使，连结 .
（1）若 ，求 的度数；
第4题答图
解：如答图，连结交于点 .
四边形是矩形， ，
，
， ，
， .
，
.
（2）若，，求 的长.
解：， ，
,
，
.
B组·能力提升
5.如图，已知矩形，，,平分交于 点
，点、分别为、的中点，则 的长为_____.
6.如图，将矩形沿折叠后，点落在点 处，且
交于点，若， .
（1）求 的长；
解： 四边形 是矩形，
， ， ,
.
由折叠的性质，得 .
，
.
设 ，
则 .
在中，由勾股定理，得 ，即
，
解得 ，
的长为5.
（2）求的面积以及点到直线 的距离.
解：由题意，得 .
四边形是矩形，， .
， ,
.
设点到直线的距离为 .
,
.
点到直线的距离为 .
C组·核心素养拓展
7.（推理能力）某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一
块直角三角板的直角顶点绕着矩形的对角线交点
旋转（图①→图②→图③），图中、 分别为直角三角板的直角
边与矩形的边、 的交点.
（1）该学习小组中一名成员意外地发现：在图①（三角板的一直
角边与重合）中， ；在图③（三角板的一直
角边与重合）中， .请你对这名成员在图①和
图③中发现的结论选择其一说明理由.
第7题答图①
解：（答案不唯一）选择图①中发现的结论.理由如
下：
如答图①，连结 .
四边形 是矩形，
， .
， .
在中， ，
.
（2）试探究图②中、、、 这四条线段之间的数量关
系，写出你的结论，并说明理由.
第7题答图②
解： .理由如下：
如答图②，延长，交于点，连结、 .
四边形 是矩形，
，， ,
， .
在和中，
，
， .
又 ，
垂直平分， .
在和中, ，
，
，
.(共26张PPT)
第2课时 菱形的性质的运用
01
预习导航
菱形的性质
定理1：菱形的四条边都______.
定理2：菱形的对角线__________.
相等
互相垂直
02
归类探究
类型 菱形的性质的运用
例1 如图,菱形花坛的一边长为 ，沿着该菱形的对角
线修建两条小路和，与相交于点, ，
.
（1）____，______ ；
（2）求菱形花坛 的面积.
解：菱形花坛 的面积为
.
例2 如图，菱形中的两条对角线、相交于点 ，其中
， ，延长至点，使，连结 .
（1）求 的长度；
解： 四边形 是菱形，
， ,
.
又 ，
，
四边形 是平行四边形，
.
（2）求 的度数.
解： 四边形 是菱形，
，即 .
，
.
由（1）知四边形 是平行四边形，
，
.
例3 如图，四边形为菱形，为对角线 上的一个动点
（不与点、重合），连结并延长，交射线于点，连结 .
求证：
（1） ；
证明： 四边形 是菱形，
，， .
在和中，
.
（2） .
解：由（1）知 ，
.
，
，
.
03
当堂测评
1.如图，在菱形 中，下列结论一定正确的是
( )
C
A. B.
C. D.
2.如图，在菱形中，交于点，于点 ，连结
.若 ，则 的度数为____.
04
分层训练
A组·基础达标
1.如图，四边形是菱形， ，
，于点，则 的长是
( )
A
A. B.6 C. D.12
2.如图，菱形的一个内角 ，对角线与 相交
于点，点在边上，且，则 的度数为____.
3.如图，在菱形中，对角线、相交于点，已知 ，
菱形的面积为24，求菱形 的周长.
解： 四边形为菱形， ，
， .
菱形 的面积为24，
，
, .
在中，由勾股定理，得 ，
，
菱形的周长为 .
B组·能力提升
4.如图，菱形的对角线、相交于点， ，
，与交于点，， .
（1）求 的长；
解： 四边形 是菱形，
， ,
.
， ，
四边形 是平行四边形.
，
四边形 是矩形，
，
.
（2）求菱形 的高.
第4题答图
解：如答图，过点作于点 .
四边形是菱形， ，
，， .
，
.
，
，
.
，
，
，
即菱形的高是 .
C组·核心素养拓展
5.（推理能力）如图，点是边长为1的菱形的对角线 上的
一个动点，、分别是边、的中点，则 的最小值
是( )
B
A. B.1 C. D.2(共52张PPT)
第1课时 菱形的判定定理1
01
预习导航
菱形的判定方法
定 义：有一组邻边相等的____________是菱形.
定理1：四条边都相等的________是菱形.
平行四边形
四边形
02
归类探究
一
有一组邻边相等的平形四边形是菱形
例1 如图，在中，点、分别在、上，且 平分
，.求证：四边形 是菱形.#1
证明： 四边形 是平行四边形，
.
又 ，
四边形 是平行四边形.
平分 ，
.
， ，
，
，
四边形 是菱形.
例2 如图，在四边形中，，，垂足为点 ，
，垂足为点.若， .求证：四边形
是菱形.
证明： ，
.
，
,
,
四边形 是平行四边形,
.
， ，
.
又 ，
，
，
四边形 是菱形.
二
四条边都相等的四边形是菱形
例3 如图，在中，点、、分别是、、 的中点，
于点.求证：四边形 是菱形.
证明：，点、、分别是、、 的中点，
，,，, ，
，
四边形 是菱形.
03
当堂测评
1.下列选项能使 成为菱形的是( )
B
A. B. C. D.
2.如图，在矩形中，点、分别在、上， ，不
添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件：________________
_______________，使四边形 是菱形.
（答案不唯一）
04
分层训练
A组·基础达标
1.下列命题中，正确的是( )
D
A.有一个角是 的平行四边形是菱形
B.有一组邻边相等的四边形是菱形
C.有两边相等的平行四边形是菱形
D.四条边都相等的四边形是菱形
2.如图，是的对角线，当它满足以下： ；
；；中某一条件时， 是
菱形，这个条件可以是( )
D
A.①或② B.②或③ C.③或④ D.①或④
3.如图，分别以点、为圆心，以大于 的
长为半径作弧，两条弧分别相交于点、 ，依
次连结、、、和.若， ，
则四边形 的面积为____.
4.如图，在中，对角线、 相交于点
，，求证： .
证明： ，
.
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形，
.
B组·能力提升
5.在学习了特殊的平行四边形后，小安将一张矩形纸片按如图所示
的方式对折两次后，沿虚线 剪开，他剪下来的这个直角三角形
纸片完全展开后的形状一定是( )
B
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.三角形
6.如图，在中，，是边的中点， ，
，，，垂足分别为点、、、 ，
、相交于点.试判断四边形 的形状，并说明理由.
第6题答图
解：四边形 是菱形.理由如下：
如答图，连结 .
，， .
，， ，
四边形 是平行四边形.
，是 的中点，
是 的平分线，
，
四边形 是菱形.
C组·核心素养拓展
7.如图，将两张完全相同的矩形纸片 ，
按如图方式放置， 为重合的对角线，重
叠部分为四边形.若, ，则四
边形 的面积为____.
第2课时 菱形的判定定理2
01
预习导航
菱形的判定方法
定 义：有一组邻边相等的____________是菱形.
定理1：四条边都相等的________是菱形.
定理2：________________的平行四边形是菱形.
平行四边形
四边形
对角线互相垂直
02
归类探究
一
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
例1 如图，在中，对角线与交于点，点、 在对
角线上，且 .
（1）求证： ；
证明： 四边形 是平行四边形，
，， .
在和中，
， .
（2）连结、，若，求证：四边形 是菱形.
解：由（1）可知 ,
，， ，
， 四边形 是平行四边形.
， 四边形 是菱形.
二
菱形的判定与性质的综合运用
例2 如图，在四边形中，，对角线 的垂直平分线
与边、分别相交于点、 .
（1）求证：四边形 是菱形；
证明： ，
.
是对角线 的垂直平分线，
， .
在和中，
， .
又， 四边形 是平行四边形.
又， 四边形 是菱形.
（2）若 ，，，求四边形 的周长.
解： 四边形 是菱形，
.
设，则.在 中，由勾
股定理，得，即 ，解得
，即 ，
.
03
当堂测评
1.下列条件中，能判断四边形是菱形的是( )
D
A.对角线互相垂直且相等的四边形
B.对角线互相垂直的四边形
C.对角线相等的平行四边形
D.对角线互相平分且垂直的四边形
2.如图，在中，对角线与相交于点 ，下列条件中，
不能判断这个平行四边形是菱形的是( )
C
A. B.
C. D.
04
分层训练
A组·基础达标
1.如图，在四边形中，对角线与 互
相垂直平分，，则四边形 的周长
为( )
C
A.6 B.9 C.12 D.18
2.如图，在中，对角线,相交于点 ，添加一个条件判
定 是菱形，你添加的条件为________________________
（写出一个即可）
（答案不唯一）
3.按如下步骤作四边形（1）作；（2）以点 为圆心，
1个单位长度为半径画弧，分别交、于点、 ；（3）分别以
点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点 ；（4）
连结、、.若 ，则 的度数是____.
B组·能力提升
4.如图.在四边形中，，对角线与相交于点 .点
、关于 所在直线对称.
（1）求证：四边形 是菱形；
证明： 点、关于 所在直线对称，
， .
，
, ，
，
，
四边形 是平行四边形.
又 ，
四边形 是菱形.
（2）过点作的垂线交延长线于点，若， ，
求线段 的长.
解： 四边形 是菱形，
.
由题意,得 ，
，
.
在中， .
，
，
.
C组·核心素养拓展
5.（推理能力）在学习了矩形与菱形的相关知识
后，小明同学进行了更深入地研究，他发现，过
矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，
与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点
构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他
的想法与思路，完成以下作图与填空：
（1）如图，在矩形中，点是对角线的中点.用尺规过点
作的垂线，分别交、于点、，连结、 .（不写作法，
保留作图痕迹）
解：作图如答图所示.
第5题答图
（2）已知：在矩形中，点、分别在，上， 经过
对角线的中点，且.求证：四边形 是菱形.
证明： 四边形 是矩形，
.
______________， .
点是 的中点，
②_________，
，#1.3.6
③_________.
又 ，
四边形 是平行四边形.
，
平行四边形 是菱形.#1.3.11
进一步思考，如果四边形 是平行四边形呢？请你模仿题中表
述，写出你猜想的结论：④___________________.#1.4
四边形是菱形

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