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挑战压轴1　力学综合
结合教材与《考前回归》，回答下列问题：
1. 传送带问题和板块问题中如何计算摩擦痕迹的长度？
2. 传送带问题和板块问题中如何计算摩擦产生的热量？
3. 传送带问题和板块问题中当二者共速后，摩擦力可能会发生哪些突变？
4. 竖直平面内的圆周运动，绳模型和杆模型中，物体恰能到达最高点的含义分别是什么？
5. 试推导圆锥摆模型中摆角θ与摆线长、角速度ω、摆球质量m的关系式．
6. 同一直线上的两个物体不再相撞有哪些可能情况？
1 动量、动能、动量变化量的比较
动量 动能 动量变化量
定义 物体的质量和速度的乘积 物体由于运动而具有的能量 物体末动量与初动量的矢量差
定义式 p＝________ Ek＝________ Δp＝p′－p
矢标性 ________量 ________量 ________量
特点 状态量、相对性(地面) 状态量、相对性(地面) 过程量
关联方程 Ek＝________，Ek＝________，p＝________，p＝________
2 力学解题的三大观点的比较
分类 规律 数学表达式 选用原则
动力学 观点 力的瞬时 作用 牛顿第二定律 F合＝ma 物体做匀变速直线运动，涉及运动细节
牛顿第三定律 F＝－F′
能量 观点 力的________积累作用 动能定理 W合＝Ek2－Ek1 涉及做功与能量转换
机械能守恒定律 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2
动量 观点 力的________积累作用 动量定理 F合t＝mv′－mv 只涉及初速度、末速度、力、时间而不涉及位移、功
动量守恒定律 m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′ 只涉及初、末速度而不涉及力、时间
点拨·拓展·感悟
挑战1　传送带中的动力学和能量问题
1 [2025海南卷]足够长的传送带固定在竖直平面内，半径R＝0.5 m、圆心角θ＝53°的圆弧轨道与平台平滑连接，平台与顺时针匀速转动的水平传送带平滑连接，工件A从圆弧顶点无初速度下滑，在平台与B碰成一整体，B随后滑上传送带，已知mA＝4 kg，mB＝1 kg，A、B可视为质点，A、B与传送带间的动摩擦因数恒定，在传送带上运动的过程中，因摩擦生热Q＝2.5 J，忽略轨道及平台的摩擦，g＝10 m/s2.求：
(1) A滑到圆弧最低点时受的支持力；
(2) A与B整个碰撞过程中损失的机械能；
(3) 传送带的速度大小．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考查了动量守恒定律和能量守恒定律，利用碰撞前系统的动量和碰撞后系统的动量相等列方程，再根据能量关系列方程求解．
挑战2　力学三大观点在板块模型中的应用
2 [2024河南卷]如图所示，一长度l＝1.0 m的均匀薄板初始时静止在一光滑平台上，薄板的右端与平台的边缘O对齐．薄板上的一小物块从薄板的左端以某一初速度向右滑动，当薄板运动的距离Δl＝时，物块从薄板右端水平飞出；当物块落到地面时，薄板中心恰好运动到O点．已知物块与薄板的质量相等．它们之间的动摩擦因数μ＝0.3，重力加速度大小g＝10 m/s2.求：
(1) 物块初速度大小及其在薄板上运动的时间；
(2) 平台距地面的高度．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
考查匀变速运动规律、牛顿第二定律的应用、平抛运动的规律，力与运动联系的纽带是加速度，处理平抛运动时要将其分解为直线运动进行解答．
挑战3　圆周运动中的受力和能量问题
3 [2025安徽卷]如图所示，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距L＝0.5 m．一根长为3L的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量m＝0.1 kg的小球，小球与水平地面接触但无压力．t＝0时，小球以水平向右的初速度v0＝10 m/s开始在竖直平面内做圆周运动．小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动．小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.
(1) 求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小；
(2) 求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离；
(3) 若在t＝0时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
解题关键是掌握机械能守恒定律、牛顿第二定律，并熟悉平抛规律为竖直方向是自由落体运动，水平方向是匀速直线运动，能分析出小球经过N点正上方绳子恰不松弛，即重力提供向心力，具有较强综合性．
挑战4　数学归纳法和图像法解决多次碰撞问题
4 [2025江苏卷]如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置，每列有n个．在两列钢球之间，一质量为m的玻璃球以初速度v0向右运动，与钢球发生正碰．所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞．
(1) 若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小；
(2) 若钢球质量为3m，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小v1；
(3) 若钢球质量为3m，求玻璃球经历2n次碰撞后的动能Ek.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考查弹性碰撞的基本规律：动量守恒定律和机械能守恒定律，知道质量相等的两球发生弹性碰撞后交换速度．
点拨·拓展·感悟
挑战1　传送带中的动力学和能量问题
[2025南通如皋一模]如图所示，质量m＝1 kg的小物体从斜面上A点由静止开始下滑，经t0＝2 s运动到斜面底端B点，并通过一小段光滑的弧面滑上水平传送带的右端．已知A、B间距离L1＝4 m，传送带B、C两端点间距离L2＝8 m，传送带在电机的带动下以v＝6 m/s的恒定速率逆时针运行，物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2，取重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1) 物块到达B点时的速度大小vB；
(2) 物块在传送带上传输的时间t；
(3) 因传输物块电机多消耗的电能E.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
传送带中的功能关系
①传送带对物体做的功等于物体机械能的变化量，公式：Wf＝ΔEk＋ΔEp，Wf＝fx物．
②系统内滑动摩擦力做的功等于产生的内能：
Wf＝－f·x相对，
Q＝f·x相对．
③电动机做的功等于将电能转化为机械能和内能之和：WF＝ΔEk＋ΔEp＋Q，WF＝Fx传．
挑战2　力学三大观点在板块模型中的应用
[2025盐城期初]光滑水平面上有一小滑块(可视为质点)置于长木板左端，长木板和小滑块分别在水平向右的恒力F1＝8 N和F2＝2 N作用下，保持相对静止一起向右运动；当长木板右端距墙的距离为x0＝ m时，滑块与长木板以速度v0＝1.0 m/s继续向右运动，长木板右端与墙壁发生碰撞，长木板与墙碰撞时间极短，碰后长木板速度大小不变，方向反向．已知长木板质量M＝4.0 kg，滑块质量m＝1.0 kg，滑块与长木板之间的动摩擦因数μ＝0.8，重力加速度g取10 m/s2.
(1) 求长木板与墙碰撞前瞬间的速度大小；
(2) 第一次碰墙反弹后滑块不从木板上滑下，求第一次碰墙反弹后木板到墙的最远距离；
(3) 若最终滑块未从木板上滑下，求木板至少多长．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
板块问题中，要分析当滑块与木板的速度相同时，摩擦力发生突变的情况，还需明确滑块与木板对地的位移和滑块与木板之间的相对位移之间的关系．一般情况下，若同向运动，则x1－x2＝L；若反向运动，则x1＋x2＝L.
挑战3　圆周运动中的受力和能量问题
[2025泰州二模]如图所示，顶角为2θ＝60°的圆锥筒，圆锥的轴线竖直，底面半径为R，在底面圆心O处，系一根轻质细线，长也为R，细线的另一端连一个小球，小球直径远小于R.已知重力加速度为g，不计空气阻力，最终结果可保留π和根号．求：
(1) 将绳偏离竖直方向很小的角度静止释放，第一次运动到最低点需要的时间；
(2) 小球做圆周运动不碰到圆锥筒时，线速度的最大值；
(3) 某时刻小球在圆锥筒内做半径为R的圆周运动，由于圆锥筒内壁微弱的摩擦力作用，小球运动半径变化直至稳定，此过程中摩擦力做的功．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
水平面内圆周运动的临界问题：
(1) 与绳(或面等)的弹力有关的临界问题：分析出恰好无弹力或弹力达到最大这一临界状态下的角速度(或线速度).
(2) 因静摩擦力而产生的临界问题：分析出静摩擦力达到最大时这一临界状态下的角速度(或线速度)，或静摩擦力方向恰好发生改变时的角速度(或线速度).
挑战4　数学归纳法和图像法解决多次碰撞问题
[2025山东日照调研]如图所示，有一光滑长木板B右端接有一竖直的挡板，静止放置在光滑水平地面上．一可视为质点的滑块A静止放置在长木板上，A与B右端挡板的距离为L，A与B左端的距离足够大．A和B(连同挡板)的质量均为m，若某时刻开始，一水平向右的恒力F作用在滑块A上，A开始运动并与B发生弹性碰撞，A、B碰撞过程时间极短且碰撞过程中A、B之间的作用力远大于F.求：
(1) A和B第一次相碰后的瞬间，各自速度的大小；
(2) 从A和B第一次碰撞到第二次碰撞所经历的时间；
(3) A和B第二次碰撞后瞬间，各自的速度大小；
(4) A和B从第n次碰撞后到第n＋1次碰撞前的时间内长木板B所通过的路程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
求解多次碰撞问题，通常用到以下两种方法：
(1) 数学归纳法：先利用所学知识把前几次碰撞过程理顺，分析透彻，根据前几次数据，利用数学归纳法，可写出以后碰撞过程中对应规律或结果，然后可以计算全程的路程、时间等数据．
(2) 图像法：通过分析前几次碰撞情况，画出物体对应的vt图像，使运动过程清晰明了，并且可通过图像所围面积求出物体的位移．
挑战压轴1　力学综合
活动二
1
p＝mv Ek＝mv2 Δp＝p′－p
矢量 标量 矢量
状态量、相对性(地面) 状态量、相对性(地面) 过程量
Ek＝，Ek＝pv，p＝，p＝
2
力的瞬时作用
力的空间积累作用
力的时间积累作用
活动三
1 (1) A从开始到滑到圆弧最低点间，根据机械能守恒
mAg(R－R cos 53°)＝mAv，
解得v0＝2 m/s，
在最低点根据牛顿第二定律FN－mAg＝mA，
解得FN＝72 N，方向竖直向上．
(2) 根据题意A、B碰后成一整体，根据动量守恒
mAv0＝(mA＋mB)v共，
解得v共＝1.6 m/s，
故A与B整个碰撞过程中损失的机械能为
ΔE＝mAv－(mA＋mB)v＝1.6 J.
(3) 第一种情况，当传送带速度v小于v共时，AB滑上传送带后先减速后匀速运动，设AB与传送带间的动摩擦因数为μ，对AB根据牛顿第二定律μ(mA＋mB)g＝(mA＋mB)a，
设经过时间t1后AB与传送带共速，可得v＝v共－at1，
该段时间内AB运动的位移为x1＝t1，
传送带运动的位移为x2＝vt1，
故可得Q＝μ(mA＋mB)g·(x1－x2)，
联立解得v＝0.6 m/s，另一解大于v共舍去；
第二种情况，当传送带速度v大于v共时，AB滑上传送带后先加速后匀速运动，设经过时间t2后AB与传送带共速，同理可得v＝v共＋at2，
该段时间内AB运动的位移为x1′＝t2，
传送带运动的位移为x2′＝vt2，
故可得Q＝μ(mA＋mB)g·(x2′－x1′)，
解得v＝2.6 m/s，另一解小于v共舍去．
2 (1) 物块在薄板上做匀减速运动的加速度大小为
a1＝μg＝3 m/s2，
薄板做加速运动的加速度a2＝＝3 m/s2，
对物块有l＋Δl＝v0t－a1t2，
对薄板有Δl＝a2t2，
解得v0＝4 m/s，t＝ s.
(2) 物块飞离薄板后，薄板的速度v2＝a2t＝1 m/s，
物块飞离薄板后薄板做匀速运动，物块做平抛运动，则当物块落到地面时运动的时间为t′＝＝ s，
则平台距地面的高度h＝gt′2＝ m.
3 (1) 小球从最下端以速度v0抛出到运动到M正下方距离为L的位置时，根据机械能守恒定律mv＝mg·2L＋mv2，在该位置时根据牛顿第二定律T－mg＝m，
解得v＝4 m/s，T＝17 N.
(2) 小球做平抛运动时x＝vt，2L＝gt2，解得x＝4 m.
(3) 若小球经过N点正上方绳子恰不松弛，则满足
mg＝m，
从最低点到该位置由动能定理mv′＝mg·5L＋mv′2，
解得v′0＝2 m/s.
4 (1) 根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，由于钢球质量也为m，根据动量守恒和机械能守恒可知，碰撞过程中，二者速度互换，则最终碰撞后最右侧钢球的速度大小等于开始碰撞前玻璃球的初速度为v0.
(2) 根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，则由动量守恒定律有mv0＝mv1＋3mv2，
由能量守恒定律有mv＝mv＋×3mv，
解得v1＝v0＝－v0，v2＝v0＝v0，
负号表示速度反向，则玻璃球的速度大小为 v0.
(3) 根据题意结合小问(2)分析可知，玻璃球与右侧第一个小球碰撞后反弹，且速度大小变为碰撞前的，右侧第一个小球又与第二个小球发生弹性碰撞，速度互换，静止在光滑水平面上，玻璃球反弹后与左侧第一个小球同样发生弹性碰撞，同理可得，碰撞后玻璃球再次反弹，且速度大小为碰撞前的，综上所述，玻璃球碰撞2n次后速度大小为v＝v0，
则玻璃球碰撞2n次后最终动能大小
Ek＝mv2＝4n+1mv.
活动四
【例1】　(1) 物体在斜面上做初速度为零的匀加速直线运动，有L1＝t0，解得vB＝4 m/s.
(2) 在传送带上，物体做匀加速运动的加速度
a＝＝2 m/s2，
与传送带达到共速的时间t1＝＝1 s，
物块的位移x＝vBt1＋at＝5 m，
距离传送带左端还有3 m，此后做匀速直线运动，匀速运动的时间t2＝＝0.5 s，
则物块在传送带上传输的时间t＝t1＋t2＝1.5 s.
(3) 传送带的位移x2＝vt1＝6 m，
电机多消耗的电能E＝μmgx2＝12 J.
【例2】　(1) 由题意知滑块与长木板保持相对静止共同向右运动，则把两者作为整体可得F1＋F2＝(m＋M)a，
解得a＝2 m/s2，
所以长木板与墙碰撞前瞬间的速度大小满足v－v＝2ax0，
解得v1＝2 m/s.
(2) 长木板与墙碰撞后对滑块和木板分别受力分析，由牛顿第二定律得μmg－F2＝ma1，F1＋μmg＝Ma2，
解得a1＝6 m/s2，a2＝4 m/s2，
设经过时间t两者共速，设向左为正，则有
v1－a2t＝－v1＋a1t＝v共，
解得t＝0.4 s，
此时间内木板的对地位移为xM＝v1t－a2t2＝0.48 m，
共速至左侧最远2ax′M＝v，解得x′M＝0.04 m，
第一次碰墙反弹后木板到墙的最远距离
x＝xM＋x′M＝0.52 m．
(3) 从开始至最终停下，由于水平面光滑，故最终长木板停在墙壁处，此时若滑块刚好未从木板上滑下，处于长木板的最右端，木板长度有最小值L1，由能量守恒得
F2(x0＋L1)＋F1x0－μmgL1＝0－(M＋m)v，
解得L1＝ m.
【例3】　(1) 将绳偏离竖直方向很小的角度静止释放，可视为单摆运动，单摆周期公式得T＝2π，
时间为单摆周期的四分之一，即t＝.
(2) 临界状态为小球恰好与筒壁接触，但与筒壁无作用力，由牛顿定律得T1sin θ＝，T1cos θ＝mg，
解得v＝，即小球线速度最大值为 .
(3) 由牛顿第二定律得＝，
末状态为刚好脱离圆锥面，之后没有摩擦力，不再有能量损失，根据几何关系，小球下降的高度为 R，根据动能定理有
mgR＋Wf＝mv2－mv，
解得Wf＝－.
【例4】　(1) 对A，由动能定理可得FL＝mv，
解得vA＝，
对A、B第一次碰撞，取向右为正方向，由动量守恒定律可得mvA＝mvA1＋mvB1，
由能量守恒定律可得mv＝mv＋mv，
联立解得vA1＝0，vB1＝.
(2) 设从第一次碰撞后到第二次碰撞前，
对A有xA＝at＝·t，
对B有xB＝vB1t1，
第二次相碰撞时xA＝xB，
解得t1＝2.
(3) 第二次碰撞前B为匀速，A的速度为v′A1＝at1＝2，对A、B第二次碰撞，由动量守恒和能量守恒分别得
mv′A1＋mvB1＝mvA2＋mvB2，
mv′＋mv＝mv＋mv，
联立解得vA2＝vB1＝，vB2＝v′A1＝2.
(4) 由(2)(3)可得A、B运动的vt图像，
同理可得第3次碰撞前瞬间A、B的速度为
v′A2＝3，vB2＝2，
第3次碰撞后瞬间A、B的速度分别为
vA3＝vB2＝2，vB3＝v′A2＝3，
以此类推第n次碰撞后A的速度为vAn＝(n－1)，
第n＋1次碰撞前瞬间A的速度v′An＝(n＋1)，
故从第n次到第n＋1次碰撞经历时间为
tn＝＝2，
这段时间内B以v′A(n－1)＝n 速度做匀速运动，故这段时间内B通过的路程为sn＝v′A(n－1)tn＝4nL.(共43张PPT)
上篇　
主题通关
主题2　能量与动量
挑战压轴1　力学综合
内容索引
活动一　问题导忆
活动二　知识内化
活动三　真题引领
活动四　典题悟理
活动一　问题导忆
结合教材与《考前回归》，回答下列问题：
1. 传送带问题和板块问题中如何计算摩擦痕迹的长度？
2. 传送带问题和板块问题中如何计算摩擦产生的热量？
3. 传送带问题和板块问题中当二者共速后，摩擦力可能会发生哪些突变？
4. 竖直平面内的圆周运动，绳模型和杆模型中，物体恰能到达最高点的含义分别是什么？
5. 试推导圆锥摆模型中摆角θ与摆线长、角速度ω、摆球质量m的关系式．
6. 同一直线上的两个物体不再相撞有哪些可能情况？
活动二　知识内化
1 动量、动能、动量变化量的比较
动量 动能 动量变化量
定义 物体的质量和速度的乘积 物体由于运动而具有的能量 物体末动量与初动量的矢量差
定义式 p＝____ Ek＝_______ Δp＝p′－p
矢标性 ____量 ____量 ____量
特点 状态量、相对性(地面) 状态量、相对性(地面) 过程量
关联方程 Ek＝_____，Ek＝_______，p＝_______，p＝_______
mv
矢
标
矢
2 力学解题的三大观点的比较
分类 规律 数学表达式 选用原则
动力学观点 力的瞬时 作用 牛顿第二定律 F合＝ma 物体做匀变速直线运动，涉及运动细节
牛顿第三定律 F＝－F′
能量 观点 力的______ 积累作用 动能定理 W合＝Ek2－Ek1 涉及做功与能量转换
机械能守恒定律 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2
空间
分类 规律 数学表达式 选用原则
动量 观点 力的______ 积累作用 动量定理 F合t＝mv′－mv 只涉及初速度、末速度、力、时间而不涉及位移、功
动量守恒定律 m1v1＋m2v2＝ m1v1′＋m2v2′ 只涉及初、末速度而不涉及力、时间
时间
活动三　真题引领
挑战1　传送带中的动力学和能量问题
1 [2025海南卷]足够长的传送带固定在竖直平面内，半径R＝0.5 m、圆心角θ＝53°的圆弧轨道与平台平滑连接，平台与顺时针匀速转动的水平传送带平滑连接，工件A从圆弧顶点无初速度下滑，在平台与B碰成一整体，B随后滑上传送带，已知mA＝4 kg，mB＝1 kg，A、B可视为质点，A、B与传送带间的动摩擦因数恒定，在传送带上运动的过程中，因摩擦生热Q＝2.5 J，忽略轨道及平台的摩擦，g＝10 m/s2.求：
点拨·拓展·感悟
考查了动量守恒定律和能量守恒定律，利用碰撞前系统的动量和碰撞后系统的动量相等列方程，再根据能量关系列方程求解．
感悟：______________
____________________________________________________________
(1) A滑到圆弧最低点时受的支持力；
(2) A与B整个碰撞过程中损失的机械能；
(3) 传送带的速度大小．
(2) 根据题意A、B碰后成一整体，根据动量守恒mAv0＝(mA＋mB)v共，
解得v共＝1.6 m/s，
(3) 第一种情况，当传送带速度v小于v共时，AB滑上传送带后先减速后匀速运动，设AB与传送带间的动摩擦因数为μ，对AB根据牛顿第二定律μ(mA＋mB)g＝(mA＋mB)a，
设经过时间t1后AB与传送带共速，可得v＝v共－at1，
传送带运动的位移为x2＝vt1，
故可得Q＝μ(mA＋mB)g·(x1－x2)，
联立解得v＝0.6 m/s，另一解大于v共舍去；
第二种情况，当传送带速度v大于v共时，AB滑上传送带后先加速后匀速运动，设经过时间t2后AB与传送带共速，同理可得v＝v共＋at2，
传送带运动的位移为x2′＝vt2，
故可得Q＝μ(mA＋mB)g·(x2′－x1′)，
解得v＝2.6 m/s，另一解小于v共舍去．
考查匀变速运动规律、牛顿第二定律的应用、平抛运动的规律，力与运动联系的纽带是加速度，处理平抛运动时要将其分解为直线运动进行解答．
感悟：____________
____________________________________
【解】(1) 物块在薄板上做匀减速运动的加速度大小为a1＝μg＝3 m/s2，
(1) 物块初速度大小及其在薄板上运动的时间；
(2) 平台距地面的高度．
(2) 物块飞离薄板后，薄板的速度v2＝a2t＝1 m/s，
物块飞离薄板后薄板做匀速运动，物块做平抛运动，则当物块落到地面时运动的时间为
挑战3　圆周运动中的受力和能量问题
3 [2025安徽卷]如图所示，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距L＝0.5 m．一根长为3L的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量m＝0.1 kg的小球，小球与水平地面接触但无压力．t＝0时，小球以水平向右的初速度v0＝10 m/s开始在竖直平面内做圆周运动．小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动．小球可视为质点，
绳子不可伸长，不计空气阻
力，重力加速度g取10 m/s2.
解题关键是掌握机械能守恒定律、牛顿第二定律，并熟悉平抛规律为竖直方向是自由落体运动，水平方向是匀速直线运动，能分析出小球经过N点正上方绳子恰不松弛，即重力提供向心力，具有较强综合性．
感悟：____________
(1) 求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小；
(2) 求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离；
(3) 若在t＝0时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值．
挑战4　数学归纳法和图像法解决多次碰撞问题
4 [2025江苏卷]如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置，每列有n个．在两列钢球之间，一质量为m的玻璃球以初速度v0向右运动，与钢球发生正碰．所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞．
(1) 若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小；
(2) 若钢球质量为3m，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小v1；
(3) 若钢球质量为3m，求玻璃球经历2n次碰撞后的动能Ek.
考查弹性碰撞的基本规律：动量守恒定律和机械能守恒定律，知道质量相等的两球发生弹性碰撞后交换速度．
感悟：________
__________________________________________
【解】(1) 根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，由于钢球质量也为m，根据动量守恒和机械能守恒可知，碰撞过程中，二者速度互换，则最终碰撞后最右侧钢球的速度大小等于开始碰撞前玻璃球的初速度为v0.
(2) 根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，则由动量守恒定律有mv0＝mv1＋3mv2，
活动四　典题悟理
挑战1　传送带中的动力学和能量问题
[2025南通如皋一模]如图所示，质量m＝1 kg的小物体从斜面上A点由静止开始下滑，经t0＝2 s运动到斜面底端B点，并通过一小段光滑的弧面滑上水平传送带的右端．已知A、B间距离L1＝4 m，传送带B、C两端点间距离L2＝8 m，传送带在电机的带动下以v＝6 m/s的恒定速率逆时针运行，物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2，取重力加速度g＝10 m/s2.求：
点拨·拓展·感悟
传送带中的功能关系
①传送带对物体做的功等于物体机械能的变化量，公式：Wf＝ΔEk＋ΔEp，Wf＝fx物．
②系统内滑动摩擦力做的功等于产生的内能：
Wf＝－f·x相对，
Q＝f·x相对．
1
(1) 物块到达B点时的速度大小vB；
(2) 物块在传送带上传输的时间t；
(3) 因传输物块电机多消耗的电能E.
③电动机做的功等于将电能转化为机械能和内能之和：WF＝ΔEk＋ΔEp＋Q，WF＝Fx传．
笔记：________________
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则物块在传送带上传输的时间t＝t1＋t2＝1.5 s.
(3) 传送带的位移x2＝vt1＝6 m，
电机多消耗的电能E＝μmgx2＝12 J.
挑战2　力学三大观点在板块模型中的应用
板块问题中，要分析当滑块与木板的速度相同时，摩擦力发生突变的情况，还需明确滑块与木板对地的位移和滑块与木板之间的相对位移之间的关系．一般情况下，若同向运动，则x1－x2＝L；若反向运动，则x1＋x2＝L.
笔记：______________
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2
【解】(1) 由题意知滑块与长木板保持相对静止共同向右运动，则把两者作为整体可得
F1＋F2＝(m＋M)a，
解得a＝2 m/s2，
(1) 求长木板与墙碰撞前瞬间的速度大小；
(2) 第一次碰墙反弹后滑块不从木板上滑下，求第一次碰墙反弹后木板到墙的最远距离；
(3) 若最终滑块未从木板上滑下，求木板至少多长．
(2) 长木板与墙碰撞后对滑块和木板分别受力分析，由牛顿第二定律得μmg－F2＝ma1，
F1＋μmg＝Ma2，
解得a1＝6 m/s2，a2＝4 m/s2，
设经过时间t两者共速，设向左为正，则有v1－a2t＝－v1＋a1t＝v共，
解得t＝0.4 s，
(3) 从开始至最终停下，由于水平面光滑，故最终长木板停在墙壁处，此时若滑块刚好未从木板上滑下，处于长木板的最右端，木板长度有最小值L1，由能量守恒得
挑战3　圆周运动中的受力和能量问题
[2025泰州二模]如图所示，顶角为2θ＝60°的圆锥筒，圆锥的轴线竖直，底面半径为R，在底面圆心O处，系一根轻质细线，长也为R，细线的另一端连一个小球，小球直径远小于R.已知重力加速度为g，不计空气阻力，最终结果可保留π和根号．求：
水平面内圆周运动的临界问题：
(1) 与绳(或面等)的弹力有关的临界问题：分析出恰好无弹力或弹力达到最大这一临界状态下的角速度(或线速度)．
3
(1) 将绳偏离竖直方向很小的角度静止释放，第一次运动到最低点需要的时间；
(2) 小球做圆周运动不碰到圆锥筒时，线速度的最大值；
(2) 因静摩擦力而产生的临界问题：分析出静摩擦力达到最大时这一临界状态下的角速度(或线速度)，或静摩擦力方向恰好发生改变时的角速度(或线速度)．
笔记：____________
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挑战4　数学归纳法和图像法解决多次碰撞问题
[2025山东日照调研]如图所示，有一光滑长木板B右端接有一竖直的挡板，静止放置在光滑水平地面上．一可视为质点的滑块A静止放置在长木板上，A与B右端挡板的距离为L，A与B左端的距离足够大．A和B(连同挡板)的质量均为m，若某时刻开始，一水平向右的恒力F作用在滑块A上，A开始运动并与B发生弹性碰撞，A、B碰撞过程时间极短且碰撞过程中A、B之间的作用力远大于F.求：
求解多次碰撞问题，通常用到以下两种方法：
(1) 数学归纳法：先利用所学知识把前几次碰撞过程理顺，分析透彻，根据前几次数据，利用数学归纳法，可写出以后碰撞过程中对应规律或结果，然后可以计算全程的路程、时间等数据．
4
(1) A和B第一次相碰后的瞬间，各自速度的大小；
(2) 从A和B第一次碰撞到第二次碰撞所经历的时间；
(3) A和B第二次碰撞后瞬间，各自的速度大小；
(4) A和B从第n次碰撞后到第n＋1次碰撞前的时间内长木板B所通过的路程．
(2) 图像法：通过分析前几次碰撞情况，画出物体对应的v－t图像，使运动过程清晰明了，并且可通过图像所围面积求出物体的位移．
笔记：______________
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