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上篇　
主题通关
主题1　力与运动
微主题4　曲线运动
内容索引
活动一　问题导忆
活动二　知识内化
活动三　真题引领
活动四　典题悟理
新　情　境
活动一　问题导忆
结合教材与《考前回归》，回答下列问题：
1. 描述曲线运动的轨迹、速度方向、合力方向之间的关系．
2. 如何判断两个相互垂直的直线运动的合运动的性质？
3. 解决关联速度问题时，应将实际速度分解为哪两个分量？
4. 平抛运动的两个重要推论是什么？
5. 圆周运动的向心力公式有哪几种表达形式？
6. 竖直平面内的“绳—球模型”与“杆—球模型”中，小球恰好到达最高点的临界条件分别是什么？
活动二　知识内化
1 曲线运动的条件
当物体所受合外力的方向跟它的速度方向_________时，物体做曲线运动．合运动与分运动具有等时性和___________，分运动和分运动具有_________.
2 平抛运动
(1) 研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的___________运动和竖直方向的____________运动．
不共线
等效性
独立性
匀速直线
自由落体
(2) 主要公式
图示 物理量 x向分运动 y向分运动 合运动
速度 _______ _____________ ____________，
_____________
位移 _______ ______________ ____________，
_____________
vx＝v0
x＝v0t
(3) 推论：做平抛(或类平抛)运动的物体
①任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的______；
②设在任意时刻瞬时速度与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则有tan θ＝________.
中点
2tan α
3 圆周运动
(1) 匀速圆周运动常用公式为F＝____＝______＝______＝______＝______＝________.
(2) 变速圆周运动
ma
mω2r
mωv
4π2mf2r
4 万有引力定律和天体的运动
活动三　真题引领
考向1　运动的合成与分解
1 [2025江苏卷]游乐场中的旋转茶杯项目可以看作两个转盘，O′固定在O上，两盘均顺时针转动，某时刻A与O、O′共线，则(　 　)
A. A做匀速圆周运动
B. O′做匀速圆周运动
C. 此时O的速度等于A的速度
D. 此时A的速度小于O′的速度
点拨·拓展·感悟
考查运动合成与分解的基础知识，涉及参考系的选取、曲线运动的速度方向的判断及速度的矢量性，要注意日常所说的运动，通常是以地面为参考系．
感悟：______________
B
【解析】A点运动为A点绕O′的圆周运动和O′相对于O的圆周运动的合运动，故轨迹不是圆周，不做匀速圆周运动，A错误；根据题意O′固定在O上，故可知O′围绕O点做匀速圆周运动，B正确；O点是大圆盘的固定中心，速度为0，A点处于小圆盘上，速度不为0，C错误；两盘均顺时针转动，A与O、O′共线，O′的速度v1向左，A点相对于O′点的速度v2也向左，A的速度为v1＋v2，大于O′的速度v1，D错误．
考向2　抛体运动
2 [2024江苏卷]喷泉a、b出射点高度相同，形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的(　 　)
A. 加速度相同
B. 初速度相同
C. 最高点的速度相同
D. 在空中的时间相同
考查斜抛运动的相关应用，理解斜抛运动的特点，结合运动学公式和运动的对称性即可完成分析．
感悟：____________
____________________________________
A
考向3　圆周运动
3 [2024江苏卷]制作陶瓷时，在水平面内匀速转动的台面上有一些陶屑．假设陶屑与台面间的动摩擦因数均相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．将陶屑视为质点，则(　 　)
A. 离转轴越近的陶屑质量越大
B. 离转轴越远的陶屑质量越小
C. 陶屑只能分布在台面的边缘处
D. 陶屑只能分布在一定半径的圆内
考查在圆周运动中牛顿第二定律的应用、相对静止与相对滑动的临界问题，此临界条件是静摩擦力达到最大值．
感悟：__________
________________
D
考向4　天体运动
4 [2023江苏卷]设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道．该卫星与月球相比，一定相等的是(　 　)
A. 质量
B. 向心力大小
C. 向心加速度大小
D. 受到地球的万有引力大小
考查万有引力定律的相关应用，理解卫星做圆周运动的向心力来源，结合牛顿第二定律即可完成．
感悟：___________
_________________
C
活动四　典题悟理
考向1　运动的合成与分解
[2025南通海安高级中学模拟]如图所示，河的宽度为d，水速恒定为v0，两船在静水中的速度同为v.现让两船同时渡河，甲船头与河岸的夹角为45°，乙船头与河岸的夹角为α，两船恰好在甲船的正对岸相遇．则(　 　)
A. v0>v
B. α<45°
C. 两船出发点相距2d
D. 两船的合速度大小相等
点拨·拓展·感悟
求解小船渡河问题，首先要明确水流速度、船在静水中的速度、合速度，根据题意可以用合成法作平行四边形，再根据运动的等时性求解问题．
1
C
考向2　抛体运动
[2025南通二模]如图所示，小华取山泉水时发现水平细水管流出的水恰好能沿倾角为θ的岩石流淌．已知细水管到岩石水平面的高度为h，假设水在空中做平抛运动，重力加速度为g，求：
(1) 水从管口到岩石水平面的运动时间t；
(2) 水从管口流出时的速度大小v0.
平抛运动的分解技巧：①如果知道速度的大小或方向，应首先考虑分解速度；②如果知道位移的大小或方向，应首先考虑分解位移．
笔记：_____________
___________________
2
考向3　圆周运动
圆锥摆的二级结论
(1)摆长不变的圆锥摆：
①角速度越大，摆角越大；②高摆、低速、长周期．
(2)涉及摆高的圆锥摆：
①g＝ω2h；
②摆高只和角速度有关．
笔记：______________
____________________
3
【解】(1) 装置转动时，对小球B，由竖直方向的平衡可得T1cos 37°＝mBg，
解得T1＝12.5 N，方向沿绳向上．
(2) 装置转动的角速度为ω时，对小球B，由牛顿第二定律可得T1sin 37°＝mBω2l0sin 37°，
(1) 求细线OB的拉力T1；
(2) 求细线OB的长度l0；
(3) 若装置转动的角速度变为原来的2倍，环A与转轴间距离再次不变，细线与竖直方向的夹角为53°，此时弹簧弹力与原来大小相等，求此时弹簧的弹力大小F.
(3) 装置转动的角速度为2ω时，设OB的长度变为l，对小球B，竖直方向和水平方向分别满足
T2cos 53°＝mBg，T2sin 53°＝mB·(2ω)2·lsin 53°，
设细线的总长度为L，
对圆环A，角速度为ω时有T1－F＝mA·ω2(L－l0)，
角速度为2ω时有T2＋F＝mA·(2ω)2(L－l)，
联立解得F＝10 N.
考向4　天体运动
[2025泰州一模]如图所示，质量为m的人造卫星在椭圆轨道上运动，远地点M和近地点N到地球球心的距离分别为r1、r2，卫星在M、N处的速度和所受地球引力大小分别为v1、F1和v2、F2，则(　 　)
变轨原理：(1)突变模型：卫星速率突然增大会做离心运动，轨道半径增大，卫星速率突然减小会做向心运动，轨道半径减小；(2)缓变模型：卫星在稀薄大气中运行时，会逐渐地做向心运动．
4
C
新　情　境
1 “打水漂”是一种常见的娱乐活动，以一定的高度水平扔出的瓦片，会反复在水面上弹跳前进，假设瓦片和水面相撞后，在水平和竖直方向速度大小均减小，以下四幅图有可能是瓦片轨迹的是(　 　)
2
1
C
2
1
2 如图所示，为跑车尾翼功能示意图，当跑车高速行驶时，气流会对跑车形成一个向下的压力，压力大小与车速的关系满足FN＝kv2(k＝1.2 kg/m)．现某跑车在水平转弯中测试其尾翼功能．当测试车速为90 km/h，未安装尾翼时，其转弯时的最小半径为90 m；当安装尾翼后，转弯时的最小半径可减为85 m．若跑车受到的最大静摩擦力为其对地面压力的μ倍，尾翼质量可以忽略，重力加速度取g＝10 m/s2.则下列选项中正确的是(　 　)
A. 以上数据无法计算μ
B. 以上数据无法计算汽车质量
C. 未安装尾翼时，若提高汽车转弯速度，则其转弯时的最小半径需增大
D. 安装尾翼与未安装尾翼相比，车均以相应最小半径转弯时，其向心加速度大小相等
2
1
C
2
1
谢谢观看
Thank you for watching微主题4　曲线运动
结合教材与《考前回归》，回答下列问题：
1. 描述曲线运动的轨迹、速度方向、合力方向之间的关系．
2. 如何判断两个相互垂直的直线运动的合运动的性质？
3. 解决关联速度问题时，应将实际速度分解为哪两个分量？
4. 平抛运动的两个重要推论是什么？
5. 圆周运动的向心力公式有哪几种表达形式？
6. 竖直平面内的“绳—球模型”与“杆—球模型”中，小球恰好到达最高点的临界条件分别是什么？
1 曲线运动的条件
当物体所受合外力的方向跟它的速度方向________时，物体做曲线运动．合运动与分运动具有等时性和________，分运动和分运动具有________．
2 平抛运动
(1) 研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的________运动和竖直方向的________运动．
(2) 主要公式
图示 物理量 x向分运动 y向分运动 合运动
速度 ________ ________ _______________，_______________
位移 ________ ________ _______________，_______________
(3) 推论：做平抛(或类平抛)运动的物体
①任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的________；
②设在任意时刻瞬时速度与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则有tan θ＝________．
3 圆周运动
(1) 匀速圆周运动常用公式为F＝________＝________＝________＝________＝________＝________．
(2) 变速圆周运动

4 万有引力定律和天体的运动
(1) 中心天体质量：G＝mr→M＝________(公转法)，G＝mg→M＝________(黄金代换法)，中心天体密度ρ＝，若r＝R，则ρ＝________．
(2) 由G＝ma＝m＝mω2r＝mr，求得a＝________，v＝________，ω＝________，T＝________．
点拨·拓展·感悟
考向1　运动的合成与分解
1 [2025江苏卷]游乐场中的旋转茶杯项目可以看作两个转盘，O′固定在O上，两盘均顺时针转动，某时刻A与O、O′共线，则(　　)
A. A做匀速圆周运动 B. O′做匀速圆周运动
C. 此时O的速度等于A的速度 D. 此时A的速度小于O′的速度
考查运动合成与分解的基础知识，涉及参考系的选取、曲线运动的速度方向的判断及速度的矢量性，要注意日常所说的运动，通常是以地面为参考系．
考向2　抛体运动
2 [2024江苏卷]喷泉a、b出射点高度相同，形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的(　　)
A. 加速度相同 B. 初速度相同
C. 最高点的速度相同 D. 在空中的时间相同
考查斜抛运动的相关应用，理解斜抛运动的特点，结合运动学公式和运动的对称性即可完成分析．
考向3　圆周运动
3 [2024江苏卷]制作陶瓷时，在水平面内匀速转动的台面上有一些陶屑．假设陶屑与台面间的动摩擦因数均相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．将陶屑视为质点，则(　　)
A. 离转轴越近的陶屑质量越大
B. 离转轴越远的陶屑质量越小
C. 陶屑只能分布在台面的边缘处
D. 陶屑只能分布在一定半径的圆内
考查在圆周运动中牛顿第二定律的应用、相对静止与相对滑动的临界问题，此临界条件是静摩擦力达到最大值．
考向4　天体运动
4 [2023江苏卷]设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道．该卫星与月球相比，一定相等的是(　　)
A. 质量
B. 向心力大小
C. 向心加速度大小
D. 受到地球的万有引力大小
考查万有引力定律的相关应用，理解卫星做圆周运动的向心力来源，结合牛顿第二定律即可完成．
点拨·拓展·感悟
考向1　运动的合成与分解
[2025南通海安高级中学模拟]如图所示，河的宽度为d，水速恒定为v0，两船在静水中的速度同为v.现让两船同时渡河，甲船头与河岸的夹角为45°，乙船头与河岸的夹角为α，两船恰好在甲船的正对岸相遇．则(　　)
A. v0>v
B. α<45°
C. 两船出发点相距2d
D. 两船的合速度大小相等
求解小船渡河问题，首先要明确水流速度、船在静水中的速度、合速度，根据题意可以用合成法作平行四边形，再根据运动的等时性求解问题．
考向2　抛体运动
[2025南通二模]如图所示，小华取山泉水时发现水平细水管流出的水恰好能沿倾角为θ的岩石流淌．已知细水管到岩石水平面的高度为h，假设水在空中做平抛运动，重力加速度为g，求：
(1) 水从管口到岩石水平面的运动时间t；
(2) 水从管口流出时的速度大小v0.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
平抛运动的分解技巧：①如果知道速度的大小或方向，应首先考虑分解速度；②如果知道位移的大小或方向，应首先考虑分解位移．
考向3　圆周运动
[2025南京、镇江联盟校月考]如图所示的装置中，光滑水平杆固定在竖直转轴上，小圆环A和轻弹簧套在杆上，弹簧两端分别固定于竖直转轴和环A，细线穿过小孔O，两端分别与环A和小球B连接，线与水平杆平行，环A的质量为0.5 kg，小球B的质量为1 kg.现使整个装置绕竖直轴以角速度ω＝ rad/s匀速转动，环A与转轴间距离不变时，细线与竖直方向的夹角为37°.已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2.
(1) 求细线OB的拉力T1；
(2) 求细线OB的长度l0；
(3) 若装置转动的角速度变为原来的2倍，环A与转轴间距离再次不变，细线与竖直方向的夹角为53°，此时弹簧弹力与原来大小相等，求此时弹簧的弹力大小F.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
圆锥摆的二级结论
(1)摆长不变的圆锥摆：
①角速度越大，摆角越大；②高摆、低速、长周期．
(2)涉及摆高的圆锥摆：
①g＝ω2h；
②摆高只和角速度有关．
考向4　天体运动
[2025泰州一模]如图所示，质量为m的人造卫星在椭圆轨道上运动，远地点M和近地点N到地球球心的距离分别为r1、r2，卫星在M、N处的速度和所受地球引力大小分别为v1、F1和v2、F2，则(　　)
A. ＝ B. ＝ C. F1>m D. F2>m
变轨原理：(1)突变模型：卫星速率突然增大会做离心运动，轨道半径增大，卫星速率突然减小会做向心运动，轨道半径减小；(2)缓变模型：卫星在稀薄大气中运行时，会逐渐地做向心运动．
1 “打水漂”是一种常见的娱乐活动，以一定的高度水平扔出的瓦片，会反复在水面上弹跳前进，假设瓦片和水面相撞后，在水平和竖直方向速度大小均减小，以下四幅图有可能是瓦片轨迹的是(　　)
A B
C D
2 如图所示，为跑车尾翼功能示意图，当跑车高速行驶时，气流会对跑车形成一个向下的压力，压力大小与车速的关系满足FN＝kv2(k＝1.2 kg/m).现某跑车在水平转弯中测试其尾翼功能．当测试车速为90 km/h，未安装尾翼时，其转弯时的最小半径为90 m；当安装尾翼后，转弯时的最小半径可减为 85 m.若跑车受到的最大静摩擦力为其对地面压力的μ倍，尾翼质量可以忽略，重力加速度取g＝10 m/s2.则下列选项中正确的是(　　)
A. 以上数据无法计算μ
B. 以上数据无法计算汽车质量
C. 未安装尾翼时，若提高汽车转弯速度，则其转弯时的最小半径需增大
D. 安装尾翼与未安装尾翼相比，车均以相应最小半径转弯时，其向心加速度大小相等
微主题4　曲线运动
活动二
1 不共线　等效性　独立性
2 (1) 匀速直线　自由落体
(2)
vx＝v0 vy＝gt＝ v＝，tan θ＝
x＝v0t y＝gt2 s＝，tan α＝
(3) ①中点　②2tan α
3 (1) ma　m　mω2r　m　mωv　4π2mf2r
4 (1) 　　
(2) 　　　
活动三
1 B　A点运动为A点绕O′的圆周运动和O′相对于O的圆周运动的合运动，故轨迹不是圆周，不做匀速圆周运动，A错误；根据题意O′固定在O上，故可知O′围绕O点做匀速圆周运动，B正确；O点是大圆盘的固定中心，速度为0，A点处于小圆盘上，速度不为0，C错误；两盘均顺时针转动，A与O、O′共线，O′的速度v1向左，A点相对于O′点的速度v2也向左，A 的速度为v1＋v2，大于O′的速度v1，D错误．
2 A　不计空气阻力，喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，A正确；设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为vy，水平方向速度为vx，竖直方向，根据对称性可知在空中运动的时间t＝2，可知tb>ta，D错误；最高点的速度等于水平方向的分速度vx＝，由于水平方向的位移大小关系未知，无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判断初速度的大小，B、C错误．
3 D　与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律可得Ff＝mω2r，解得r＝，又Ff≤μmg，则r≤，由此可知，能与台面相对静止的陶屑到转轴的距离与陶屑质量无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑．μ与ω均一定，故r有最大值，陶屑到转轴最远的距离不超过，即陶屑只能分布在半径为的圆内，A、B、C错误，D正确．
4 C　根据G＝ma，可得a＝，因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度相同；因该卫星的质量与月球质量不一定相同，则向心力大小以及受地球的万有引力大小均不一定相同．C正确．
活动四
【例1】　C　两船恰好在甲船的正对岸相遇．则v cos 45°＝v0，所以v>v0，A错误；渡河时间t＝＝，对乙船，垂直于河岸方向有t＝，解得α＝45°，B错误；乙船沿河岸方向位移x＝(v0＋v cos α)×t＝v·＝2d，C正确；两船垂直于河岸方向分速度相同，沿河岸方向乙船分速度大于甲船，所以两船的合速度大小不相等，D错误．
【例2】　(1) 竖直方向有h＝gt2，解得t＝.
(2) 竖直方向的速度vy＝gt，
水恰好能沿岩石流淌，则tan θ＝，联立解得v0＝.
【例3】　(1) 装置转动时，对小球B，由竖直方向的平衡可得T1cos 37°＝mBg，
解得T1＝12.5 N，方向沿绳向上．
(2) 装置转动的角速度为ω时，对小球B，由牛顿第二定律可得T1sin 37°＝mBω2l0sin 37°，
解得l0＝ m.
(3) 装置转动的角速度为2ω时，设OB的长度变为l，对小球B，竖直方向和水平方向分别满足
T2cos 53°＝mBg，T2sin 53°＝mB·(2ω)2·l sin 53°，
联立解得T2＝ N，l＝ m，
设细线的总长度为L，
对圆环A，角速度为ω时有T1－F＝mA·ω2(L－l0)，
角速度为2ω时有T2＋F＝mA·(2ω)2(L－l)，
联立解得F＝10 N.
【例4】　C　根据万有引力定律可得F1＝G、F2＝G，由开普勒第二定律可知v1r1＝v2r2，联立可得 ＝，A、B错误；以地球为圆心，分别以r1、r2为半径作圆轨道，设卫星在两圆形轨道上做匀速圆周运动的速率分别为v′1、v′2，根据万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可得F1＝m、F2＝m，由变轨条件可知v1v′2，所以F1>m、F2新情境
1 C　瓦片和水面相撞后，在水平方向，速度大小减小，而在竖直方向，碰撞后并不能原速弹回，而是变小，可知竖直方向瓦片上升的高度逐渐减小，根据t＝2，可知瓦片在空中的时间逐渐减少，水平方向有x＝vxt，可知瓦片在空中通过水平位移逐渐减小，C正确．
2 C　未安装尾翼时μmg＝m，安装尾翼后μ(mg＋FN)＝m，联立解得m＝1 275 kg，μ＝，A、B错误；未安装尾翼时μmg＝m，若提高汽车转弯速度，则其转弯时的最小半径需增大，C正确；车均以相应最小半径转弯时其向心加速度大小为a＝，安装尾翼与未安装尾翼相比，转弯的最小半径不同，所以向心加速度不同，D错误．

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