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2026年高中数学（必修第一册）第3章 函数的概念与性质《思维导图》
第3章 函数的概念与性质
一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个
数x,按照某种确定的对应关系「，在集合B中都有唯一确定的数
概念
y和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
对应关系
y=f(x),x∈A
函数的概念
三要素
定义域
自变量(x)的取值范围
与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
值域
因变量的取值范围
三性
任意性、存在性、唯一性
设a,beR,且a定义
名称
符号
数轴表示
2
[a,+n
[xlasxsb)
闭区间
[a,b]
[xxa]
(a,十p)
a
[xla开区间
(a,b)
b
≤o
(-n,d
函数的概念及表示方法
半开半
[xlasx[a,b)
{r(-0,0)
闭区间
a
6
半开半
[xla(a,b]
R
闭区间
)
区间
(1)定义域相同（不能化简解析式)(2)对应关系相同（解析式化简）
同一
函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因
函数
变量是没有限制的
解析式
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
从数的角度
表示
列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系
直观形象
方法
图像法
用图象表示两个变量之间的对应关系
从形的角度
一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变
概念
量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数
分段
分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的
函数
定义域值域
定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集
标准：是否符合“三性”即任意性、存在性、唯一性
两非空实数集A,B
函数的概念
对一或多对一
作出判断
函数的判断
定义法
A中不能有剩余元素
①任取一条垂直于x轴的直线I;
②在定义域内平行移动直线丨
图像法
③若1与图形有且只有一个交点，则是函数；
若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交
点，则不是函数
基本标准
使各函数表达式有意义
①分式的分母不为0
定
一般准则
②偶次根式的被开方数非负
③y=x要求x≠0
域
易
不对解析式化简变形，以免定义域变化
错点
一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式
函数概念及表示方法解题思路
构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合
换元法：设t=g(x),解出x,代入f(g(x)),求f(t)的解析式即可
配凑法：对f(g(x)的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示
出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可
待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，
析
根据特殊值确定相关的系数即可
方程组法（或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数
或互为倒数关系时，可构造方程组求解
已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值
函数
求值
求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则
①区间左端点值小于右端点值
②区间两端点之间用“，”隔开
区间表
示数集
③含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号
④以“一∞”，“十∞”为区间的一端时，这端必须用小括号
学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，
有些可能需要根据定义域进行取舍
不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；
作图
③连线三个基本步骤作出y=f(x)的图象.

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