资源简介

挑战压轴2　带电粒子在复合场中的运动
结合教材与《考前回归》，回答下列问题：
1. 如何判断带电粒子在磁场中受到洛伦兹力的方向？
2. 如何判断带电粒子在电(磁)场中运动时，是否要考虑其重力作用？
3. 重力做功、电场力做功、洛伦兹力做功有何特点？
4. 推导带电粒子(不计重力)在磁场中做匀速圆周运动的半径公式和周期公式．
5. 类平抛运动的两个推论是什么？
6. 推导带电粒子(不计重力)在电场中做类平抛运动的侧位移和偏转角表达式．
1 组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或相邻或在同一区域，电场、磁场交替出现．
(1) 仅在电场中运动
①若初速度v0与电场线平行，粒子做________运动；
②若初速度v0与电场线垂直，粒子做________运动．
(2) 仅在磁场中运动
①若初速度v0与磁感线平行，粒子做________运动；
②若初速度v0与磁感线垂直，粒子做________运动．
2 叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．
(1) 磁场力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做________运动．
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动．
(2) 电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做________运动．
②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动．
(3) 电场力、磁场力、重力并存
①若三力平衡，则带电体做________运动．
②若重力与电场力平衡，则带电体一定做________运动．
③若合力不为零且与速度方向不垂直，则带电体将做复杂的曲线运动．
点拨·拓展·感悟
挑战1　带电粒子在组合场中的运动
1 [2025河南卷]如图所示，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场．质量为m、带电量为q(q>0)的粒子从磁场中的a点以速度v0向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为60°，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右．a、b到水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为s＝3h.不计重力．
(1) 求磁感应强度的大小；
(2) 求电场强度的大小．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考查带电粒子在电场中的加速、偏转以及在磁场中的圆周运动，要明确电场中的运动合成与分解的应用，掌握磁场中的圆周运动的处理方法．
挑战2　带电粒子在叠加场中的运动
2 [2023江苏卷]霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型．xOy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射．入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等．不计重力及电子间相互作用．
(1) 求电场强度的大小E；
(2) 若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1；
(3) 若电子入射速度在0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考查带电粒子在电场和磁场的叠加场中的运动，正确分析带电粒子的运动过程和运动性质，熟练应用对应的规律解题．
挑战3　带电粒子在交变电(磁)场中的运动
3 [2022江苏卷]某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示，矩形ABCD区域内存在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向交替变化，AB边长为12d，BC边长为8d，质量为m、电荷量为＋q的粒子流从装置左端中点射入电场，粒子初动能为Ek，入射角为θ，在纸面内运动，不计重力及粒子间的相互作用力．
(1) 当θ＝θ0时，若粒子能从CD边射出，求该粒子通过电场的时间t；
(2) 当Ek＝4qEd时，若粒子从CD边射出电场时与轴线OO′的距离小于d，求入射角θ的范围；
(3) 当Ek＝qEd，粒子在θ为－～范围内均匀射入电场，求从CD边出射的粒子与入射粒子的数量之比N∶N0.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考查带电粒子在交变电场中的运动，可以从两条线索展开：其一，力和运动的关系；其二，功和能的关系．
挑战4　带电体(计重力)在叠加场中的运动
4 [2022湖南卷]如图所示，两个定值电阻的阻值分别为R1和R2，直流电源的内阻不计，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为 d，极板间存在方向水平向里的匀强磁场．
质量为m、带电量为＋q的小球以初速度v沿水平方向从电容器下板左侧边缘A点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从电容器上板右侧边缘离开电容器．此过程中，小球未与极板发生碰撞，重力加速度大小为g，忽略空气阻力．
(1) 求直流电源的电动势E0；
(2) 求两极板间磁场的磁感应强度B；
(3) 在图中虚线的右侧设计一匀强电场，使小球离开电容器后沿直线运动，求电场强度的最小值E′.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
主要考查了带电粒子在叠加场中的运动，根据受力情况及初始状态判断运动规律是解题的关键，合理选择运动学公式即可求解．
点拨·拓展·感悟
挑战1　带电粒子在组合场中的运动
[2025苏州吴县中学检测]如图所示的xOy平面内，x轴上方存在平行于y轴向下的匀强电场，x轴下方存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场，在y轴上坐标为L处的P点有一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子，以v0的速度平行于x轴进入电场强度为E＝的电场．从x轴上的M点(图中未标出)首次进入磁场中，粒子在磁场中做匀速圆周运动，随后从x轴上的N点(图中未标出)首次离开磁场，且恰能回到P点，不计粒子重力，求：
(1) O点到M点的距离xOM；
(2) 匀强磁场的磁感应强度大小B.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
从一个场射出的末速度是进入另一个场的初速度，因此两场界面处的速度(大小和方向)是联系两运动的桥梁，求解速度是重中之重，画出运动轨迹是解题的关键．
挑战2　带电粒子在叠加场中的运动
如图所示，在xOy平面直角坐标系的y>0区域内，y轴两侧存在两边长为y0的正方形匀强磁场区域，其直线边界与x轴平行，磁场方向垂直于纸面向里．在第一、二象限存在沿＋x方向的匀强电场，电场强度大小为E.一带负电粒子质量为m，电荷量为q，从O点以速度v0沿＋y方向射入电磁场区域，已知粒子正好能沿直线匀速穿过矩形区域，不计粒子重力．
(1) 求磁感应强度B的大小；
(2) 若撤去电场并改变粒子入射速度的大小，粒子能够到达x轴上与O点距离为 y0的P点，求粒子的入射速度大小；
(3) 保持电磁场不变，仅使粒子的入射速度大小改为v2＝2v0，粒子恰以与x轴成45°角方向离开磁场．若y0＝，求粒子在电磁场中运动的整个过程中粒子到y轴的最远距离，以及粒子在磁场中运动的总时间．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
配速法：配速法其实就是给物体配一个速度v，使得这个速度所产生的洛伦兹力与题目中的重力或者电场力(视情况而定)抵消，对应的，还会出现一个与v等大反向的速度v′，此时等效为只受到一个洛伦兹力，而不再是重力或者电场力加上洛伦兹力，从而降低分析难度．
挑战3　带电粒子在交变电(磁)场中的运动
[2025南通期初]如图甲所示，在x轴上方以原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内存在匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面向外，磁感应强度为B.在x轴下方－R≤x≤R的区域内存在沿y轴正向的匀强电场，电场强度为E.坐标原点O处有一粒子源，沿y轴正向持续发射速度可调节的质量为m、电荷量为q的带正电的粒子流，粒子的重力不计．
甲 乙
(1) 若粒子第一次经过磁场的偏转角为60°，求粒子在磁场中运动的速度v1；
(2) 若粒子流的速度为v2＝，求粒子在电场和磁场区域运动的总时间t；
(3) 将半圆形区域的匀强磁场改为如图乙所示的周期性变化的磁场，磁感应强度大小仍为B，周期为T0，且规定垂直于xOy平面指向纸外为磁场的正方向，为使t＝0时刻以速度为v2＝的粒子在运动的过程中均不进入电场区域，求磁场的周期T0应满足的条件．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1) 这类问题一般都具有周期性，注意分析带电粒子的运动周期与电(磁)场周期的关系．
(2) 带电粒子在交变电(磁)场中运动仍遵循力与运动、动量和能量等力学规律．
挑战4　带电体(计重力)在叠加场中的运动
[2024常州高级中学检测]如图所示，竖直平面内的直角坐标系xOy，第一象限内有竖直向上的匀强电场和垂直于坐标平面向里的匀强磁场B1＝；第三、四象限有磁感应强度大小为B2＝，方向垂直于坐标平面向里的匀强磁场．t＝0时刻，质量为m、带电量为＋q的绝缘小球，从x轴的O点，沿x轴正方向以速度v0射入第一象限，在第一象限做匀速圆周运动；小球过一段时间进入第三象限的磁场区域．不计空气阻力，重力加速度为g.求：
(1) 电场强度的大小E；
(2) 小球第一次回到x轴时的速度大小；
(3) 在磁场B2内，小球离x轴最远距离ym及对应的速度v大小．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
微元法：把物体的运动过程按其经历的位移或时间等分为多个小量，将每个微元过程近似为高中物理知识所能处理的过程，在得出每个微元过程的相关结果后，再进行数学求和，这样就能得到物体复杂运动过程的规律．
挑战压轴2　带电粒子在复合场中的运动
活动二
1 (1) ①匀变速直线　②类平抛　(2) ①匀速直线　②匀速圆周
2 (1) ①匀速直线　(2) ①匀速直线　(3) ①匀速直线　②匀速圆周
活动三
1 (1) 根据题意可知，画出粒子的运动轨迹，如图所示，由题意可知θ＝60°，设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系有r＝r cos θ＋h，解得r＝2h，
由牛顿第二定律有qv0B＝m，解得B＝.
(2) 根据题意，由对称性可知，粒子射出电场时，速度大小仍为v0，方向与水平虚线的夹角为60°，由几何关系可得
AB＝s－2r sin θ＝3h－2h＝h，
则粒子在电场中的运动时间为t＝＝，
沿电场方向上，由牛顿第二定律有qE＝ma，
由运动学公式有－v0sin θ＝v0sin θ－at，
联立解得E＝.
2 (1) 入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动，则有Ee＝ev0B，解得E＝v0B.
(2) 电子在竖直向下的匀强电场和垂直于坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且电子入射速度为 ，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有eEy1＝m2－m2，
解得y1＝.
(3) 入射速度为v(v根据动能定理有eEy2＝m(2v0－v)2－mv2，
解得v＝v0，电子入射速度在03 (1) 电场方向竖直向上，粒子所受电场力在竖直方向上，粒子在水平方向上做匀速直线运动，速度分解如图所示．
粒子在水平方向的速度为vx＝v cos θ0，
根据Ek＝mv2可知v＝，
解得t＝＝·.
(2) 粒子进入电场时的初动能Ek＝4qEd＝mv，
粒子进入电场沿电场方向做减速运动，由牛顿第二定律可得qE＝ma，
粒子从CD边射出电场时与轴线OO′的距离小于d，则要求2ad>(v0sin θ)2，解得－所以入射角的范围为－30°<θ<30°或－<θ<.
(3) 设粒子入射角为θ′时，粒子恰好从D点射出，由于粒子进入电场时，在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向反复做加速相同的减速运动、加速运动．
粒子的速度v′＝＝，
运动时间为t总＝＝·，
粒子在沿电场方向，反复做加速度大小相同的减速运动、加速运动，则－2ad＝v－(v′sin θ′)2，2ad＝v－v1d2，
－2ad＝v－v2d2，2ad＝v－v3d2，
－2ad＝v－v4d2，2ad＝v－v5d2，
则v2d＝v4d＝v6d＝v′sin θ′，v1d＝v3d＝v5d，
则粒子在分层电场中运动时间相等，设为t0，则
t0＝t总＝×＝，
且d＝v′sin θ′·t0－·t，
代入数据化简可得6cos 2θ′－8sin θ′cos θ′＋1＝0，
即tan 2θ′－8tan θ′＋7＝0，
解得tan θ′＝7(舍去)或tan θ′＝1，
解得θ′＝，
则从CD边出射的粒子与入射粒子的数量之比
N∶N0＝＝50%.
4 (1) 小球在电磁场中做匀速圆周运动，则电场力与重力平衡，可得Eq＝mg，
R2两端的电压U2＝Ed，
根据欧姆定律得U2＝·R2，
联立解得E0＝.
(2) 如图所示．设粒子在电磁场中做圆周运动的半径为r，根据几何关系(r－d)2＋(d)2＝r2，
解得r＝2d，
根据qvB＝m，解得B＝.
(3) 由几何关系可知，射出磁场时，小球速度方向与水平方向夹角为60°，要使小球做直线运动，当小球所受电场力与小球重力在垂直于小球速度方向的分力相等时，电场力最小，电场强度最小，可得E′q＝mg cos 60°，解得E′＝.
活动四
【例1】　(1) 粒子从P到M做类平抛运动，有
xOM＝v0t，L＝at2，
根据牛顿第二定律有qE＝ma，
联立解得xOM＝.
(2) 粒子在M点速度 v＝＝2v0，与水平夹角为60°，进入磁场后做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有
Bqv＝，又有R sin 60°＝xOM，
联立解得B＝.
【例2】　(1) 根据题意可知，由于带负电粒子能沿直线匀速穿过矩形区域，由平衡条件有Eq＝qv0B，
解得B＝.
(2) 根据题意，撤去电场，粒子在磁场力的作用下做圆周运动，画出粒子的运动轨迹，如图所示，由几何关系可得
cos θ＝＝，
解得r＝，
洛伦兹力提供向心力qv1B＝，
解得v1＝.
(3) 增大粒子的入射速度粒子将做轮摆线运动，将速度分解为v0＋v0(配速法)，那么一个洛伦兹力用来平衡电场力向上做匀速直线运动，另外一个洛伦兹力使粒子做顺时针的匀速圆周运动，粒子的实际运动为这两个运动的合运动．粒子运动过程中到y轴的最远距离为d＝2R＝＝则粒子从磁场上侧以与x轴正方向成45°角离开磁场，在复合场中的运动的时间必为n＋个周期，粒子圆周运动的周期T＝＝，
根据几何关系，有y0＝(n＋)v0T＋R，解得n＝2，
故粒子在电磁场中运动的时间t＝(2＋)T＝.
【例3】　(1) 粒子经过磁场的偏转角为60°，则粒子做圆周运动的圆心角也为60°，如图所示．
由几何关系得粒子做圆周运动的半径为r1＝R，
由牛顿第二定律得qv1B＝，
解得v1＝.
(2) 若粒子流的速度为v2＝，
则由牛顿第二定律得qv2B＝，
粒子在磁场中做圆周运动的半径为r2＝＝，
粒子运动轨迹如图所示．粒子在磁场中运动周期T＝，
粒子在磁场中做三次半圆周运动，时间为tB＝3×＝，
粒子在电场中先减速后反向加速，来回运动三次，运动的时间为tE＝3×＝，
粒子在电磁场区域运动的总时间t＝tB＋tE＝＋.
(3) 为了使粒子流在运动过程中均不进入电场区域，必须使进入磁场的粒子在磁场中运动后离开磁场区域而不进入电场区域，选取t＝0时刻进入磁场的粒子进行分析，粒子轨迹的临界情形需满足粒子在第一个磁场变化的周期T0内的轨迹与x轴相切.由几何关系得内的轨迹对应的圆心角θ＝，则磁场的变化周期T0与粒子在磁场中做圆周运动的周期T的关系为 ≤T＝×，
则磁场变化周期T0满足的条件为T0≤.
【例4】　(1) 在第一象限内做匀速圆周运动，则Eq＝mg，
解得E＝.
(2) 第一象限，根据洛伦兹力等于向心力，有B1qv0＝m，
得r1＝，
小球匀速圆周运动半周，
小球在第二象限做平抛运动，则2r1＝gt2，
得t＝，
则vy＝gt＝2v0，
则v合＝＝v0，与x轴负方向夹角的正切值为tan α＝2.
(3) 在磁场B2内小球离x轴最远距离为ym，此时对应的速度为v，由动能定理mgym＝mv2－m(v0)2，
水平方向由动量定理有∑B2qvy·Δt＝∑m·Δvx，
即B2q∑vy·Δt＝m∑Δvx，
取向右为正方向，则B2qym＝m(v＋v0)，
可得小球离x轴最远距离及对应的速度大小分别为
ym＝，v＝5v0.(共45张PPT)
上篇　
主题通关
主题3　电场与磁场
挑战压轴2　带电粒子在复合场中的运动
内容索引
活动一　问题导忆
活动二　知识内化
活动三　真题引领
活动四　典题悟理
活动一　问题导忆
结合教材与《考前回归》，回答下列问题：
1. 如何判断带电粒子在磁场中受到洛伦兹力的方向？
2. 如何判断带电粒子在电(磁)场中运动时，是否要考虑其重力作用？
3. 重力做功、电场力做功、洛伦兹力做功有何特点？
4. 推导带电粒子(不计重力)在磁场中做匀速圆周运动的半径公式和周期公式．
5. 类平抛运动的两个推论是什么？
6. 推导带电粒子(不计重力)在电场中做类平抛运动的侧位移和偏转角表达式．
活动二　知识内化
1 组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或相邻或在同一区域，电场、磁场交替出现．
(1) 仅在电场中运动
①若初速度v0与电场线平行，粒子做____________运动；
②若初速度v0与电场线垂直，粒子做________运动．
(2) 仅在磁场中运动
①若初速度v0与磁感线平行，粒子做__________运动；
②若初速度v0与磁感线垂直，粒子做__________运动．
匀变速直线
类平抛
匀速直线
匀速圆周
2 叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．
(1) 磁场力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做___________运动．
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动．
(2) 电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做___________运动．
②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动．
匀速直线
匀速直线
(3) 电场力、磁场力、重力并存
①若三力平衡，则带电体做___________运动．
②若重力与电场力平衡，则带电体一定做___________运动．
③若合力不为零且与速度方向不垂直，则带电体将做复杂的曲线运动．
匀速直线
匀速圆周
活动三　真题引领
点拨·拓展·感悟
考查带电粒子在电场中的加速、偏转以及在磁场中的圆周运动，要明确电场中的运动合成与分解的应用，掌握磁场中的圆周运动的处理方法．
感悟：_______________
_______________________________________________________________
【解】(1) 根据题意可知，画出粒子的运动轨迹，如图所示，由题意可知θ＝60°，设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系有r＝rcos θ＋h，解得r＝2h，
(1) 求磁感应强度的大小；
(2) 求电场强度的大小．
(2) 根据题意，由对称性可知，粒子射出电场时，速度大小仍为v0，方向与水平虚线的夹角为60°，由几何关系可得
考查带电粒子在电场和磁场的叠加场中的运动，正确分析带电粒子的运动过程和运动性质，熟练应用对应的规律解题．
感悟：__________
________________
2 [2023江苏卷]霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型．xOy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射．入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等．不计重力及电子间相互作用．
【解】(1) 入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动，则有Ee＝ev0B，解得E＝v0B.
(1) 求电场强度的大小E；
(3) 入射速度为v(v挑战3　带电粒子在交变电(磁)场中的运动
3 [2022江苏卷]某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示，矩形ABCD区域内存在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向交替变化，AB边长为12d，BC边长为8d，质量为m、电荷量为＋q
的粒子流从装置左端中点射
入电场，粒子初动能为Ek，
入射角为θ，在纸面内运动，
不计重力及粒子间的相互作
用力．
考查带电粒子在交变电场中的运动，可以从两条线索展开：其一，力和运动的关系；其二，功和能的关系．
感悟：________
______________
(1) 当θ＝θ0时，若粒子能从CD边射出，求该粒子通过电场的时间t；
(2) 当Ek＝4qEd时，若粒子从CD边射出电场时与轴线OO′的距离小于d，求入射角θ的范围；
【解】(1) 电场方向竖直向上，粒子所受电场力在竖直方向上，粒子在水平方向上做匀速直线运动，速度分解如图所示．
粒子在水平方向的速度为vx＝vcos θ0，
(3) 设粒子入射角为θ′时，粒子恰好从D点射出，由于粒子进入电场时，在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向反复做加速相同的减速运动、加速运动．
主要考查了带电粒子在叠加场中的运动，根据受力情况及初始状态判断运动规律是解题的关键，合理选择运动学公式即可求解．
感悟：__________
________________________________
【解】(1) 小球在电磁场中做匀速圆周运动，则电场力与重力平衡，可得Eq＝mg，
R2两端的电压U2＝Ed，
(1) 求直流电源的电动势E0；
(2) 求两极板间磁场的磁感应强度B；
(3) 在图中虚线的右侧设计一匀强电场，使小球离开电容器后沿直线运动，求电场强度的最小值E′.
活动四　典题悟理
点拨·拓展·感悟
从一个场射出的末速度是进入另一个场的初速度，因此两场界面处的速度(大小和方向)是联系两运动的桥梁，求解速度是重中之重，画出运动轨迹是解题的关键．
笔记：______________
________________________________________________________________________________
1
(1) O点到M点的距离xOM；
(2) 匀强磁场的磁感应强度大小B.
挑战2　带电粒子在叠加场中的运动
如图所示，在xOy平面直角坐标系的y>0区域内，y轴两侧存在两边长为y0的正方形匀强磁场区域，其直线边界与x轴平行，磁场方向垂直于纸面向里．在第一、二象限存在沿＋x方向的匀强电场，电场强度大小为E.一带负电粒子质量为m，电荷量为q，从O点以速度v0沿＋y方向射入电磁场区域，已知粒子正好能沿直线匀速穿过矩形区域，不计粒子重力．
配速法：配速法其实就是给物体配一个速度v，使得这个速度所产生的洛伦兹力与题目中的重力或者电场力(视情况而定)抵消，对应的，还会出现一个与v等大反向的速度v′，此时等效为只受到一个洛伦兹力，而不再是重力或者电场力加上洛伦兹力，从而降低分析难度．
笔记：_________________
2
【解】(1) 根据题意可知，由于带负电粒子能沿直线匀速穿过矩形区域，由平衡条件有Eq＝qv0B，
(2) 根据题意，撤去电场，粒子在磁场力的作用下做圆周运动，画出粒子的运动轨迹，如图所示，由几何关系可得
(3) 增大粒子的入射速度粒子将做轮摆线运动，将速度分解为v0＋v0(配速法)，那么一个洛伦兹力用来平衡电场力向上做匀速直线运动，另外一个洛伦兹力使粒子做顺时针的匀速圆周运动，粒子的实际运动为这两个运动的合运动．粒子运动过程中到y轴的最远距离为
挑战3　带电粒子在交变电(磁)场中的运动
[2025南通期初]如图甲所示，在x轴上方以原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内存在匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面向外，磁感应强度为B.在x轴下方－R≤x≤R的区域内存在沿y轴正向的匀强电场，电场强度为E.坐标原点O处有一粒子源，沿y轴正向持续发射速度可调节的质量为m、电荷量为q的带正电的粒子流，粒子的重力不计．
(1) 这类问题一般都具有周期性，注意分析带电粒子的运动周期与电(磁)场周期的关系．
(2) 带电粒子在交变电(磁)场中运动仍遵循力与运动、动量和能量等力学规律．
笔记：____________
__________________
3
甲
乙
(1) 若粒子第一次经过磁场的偏转角为60°，求粒子在磁场中运动的速度v1；
【解】(1) 粒子经过磁场的偏转角为60°，则粒子做圆周运动的圆心角也为60°，如图所示．
由几何关系得粒子做圆周运动的半径为r1＝R，
微元法：把物体的运动过程按其经历的位移或时间等分为多个小量，将每个微元过程近似为高中物理知识所能处理的过程，在得出每个微元过程的相关结果后，再进行数学求和，这样就能得到物体复杂运动过程的规律．
笔记：__________
4
【解】(1) 在第一象限内做匀速圆周运动，则Eq＝mg，
(1) 电场强度的大小E；
(2) 小球第一次回到x轴时的速度大小；
(3) 在磁场B2内，小球离x轴最远距离ym及对应的速度v大小．
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