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第2课时　功　率
[定位·学习目标]　1.通过经历比值定义法引入功率概念的过程,认识物理量之间的内在联系和相互关系,形成物理观念。2.通过经历极限思想得到瞬时功率的表达式,理解平均功率和瞬时功率的区别,并掌握其计算方法,形成科学思维。3.通过分析和练习,理解机车的两种启动方式,并能用力和运动的观点分析、解释实际生活中的现象。
知识点一　功率
探究新知
1.定义:功W与完成这些功所用时间t之比。即P=。
2.单位:在国际单位制中,功率的单位是瓦特,简称瓦,用符号W表示。
3.物理意义:功率是标量,它是表示物体做功快慢的物理量。
4.额定功率:发动机正常工作时输出的最大功率。
5.实际功率:发动机实际工作时的输出功率,为了保证机械的安全,工作时尽量使P实≤P额。
正误辨析
(1)功率越大表示做的功越多。(　×　)
(2)功率表示做功的快慢。(　√　)
(3)力做功的时间越短,则功率越大。(　×　)
(4)机械发动机铭牌上的功率是指额定功率。(　√　)
知识点二　功率和速度的关系
探究新知
1.推导
2.关系式:P=Fv。
(1)若v是物体在恒力F作用下的平均速度,则 P=Fv对应这段时间内的平均功率。
(2)若v是瞬时速度,则P表示该时刻的瞬时功率。
3.应用:由功率速度关系知,汽车、火车等交通工具和各种起重机械,当发动机的输出功率P一定时,牵引力F与速度v成反比,要增大牵引力,就要减小速度。
正误辨析
(1)由P=Fv可知,物体受到的力F越大,功率P越小。(　×　)
(2)由公式P=Fv知,物体运动越快,功率不一定越大。(　√　)
(3)汽车爬坡时常常需要换高速挡。(　×　)
(4)沿水平方向运动的物体,速度越大,重力做功的功率越大。(　×　)
要点一　对功率的理解和计算
情境探究
如图所示,工作人员正用吊车将工程设备从地面上吊起。
探究:(1)将质量为m的工程设备以速度v匀速吊起,工程设备在t时间内匀速上升h高度。怎样计算吊车的功率 其瞬时功率如何计算
(2)若工程设备在相同的时间t内,从静止开始以加速度a匀加速上升高度h,该过程中吊车的平均功率是多少 其瞬时功率是多少
【答案】 (1)吊车的功率P==;
P瞬=Fv=mgv。
(2)该过程中吊车的平均功率为P===;其瞬时功率为P瞬=Fv=m(g+a)at。
要点归纳
1.平均功率的计算
(1)利用 =。
(2)利用 =Fcos α,其中F为恒力, 为物体运动的平均速度,α为F与 的夹角。
2.瞬时功率的计算
(1)利用公式P=Fvcos α,其中v为瞬时速度,α为F与v的夹角。
(2)利用公式P=FvF,其中vF为物体的速度在力F方向上的分速度。
(3)利用公式P=Fvv,其中Fv为物体所受的外力在速度v方向上的分力。
3.公式P=和P=Fv的比较
项目 P= P=Fv
适用 条件 (1)功率的定义式,适用于任何情况下功率的计算,一般用来求平均功率。 (2)当时间t→0时,可由定义式确定瞬时功率 (1)功率的计算式,仅适用于F与v同向的情况,若不同向,P===Fvcos α。 (2)v为平均速度时,功率为平均功率;v为瞬时速度时,功率为瞬时功率
联系 (1)公式P=Fv是P=的推论。 (2)功率P的大小与W、t无关
4.P=Fv中三个量的制约关系
定值 各量间的关系 应用
P一定 F与v 成反比 汽车上坡时,要增大牵引力,应换低速挡减小速度
v一定 F与P 成正比 汽车上坡时,若速度不变,应加大油门,增大输出功率,获得较大牵引力
F一定 v与P 成正比 汽车在平直高速公路上,加大油门,增大输出功率,可以提高速度
典例研习
[例1] (对P=和P=Fv的理解)关于功率,下列说法正确的是(　　)
[A]由P=Fv可知,物体运动越快,功率越大
[B]由P=Fvcos θ可知,某一时刻,力大、速率也大,而功率不一定大
[C]由P=可知,力做功越多,功率就越大
[D]由W=Pt可知,功率越大,力做功越多
【答案】 B
【解析】 功率由物体运动的速度、力,以及力与速度方向夹角的余弦共同决定,可知物体运动越快,即速度越大,功率不一定越大,某一时刻,力大、速率也大,若力与速度方向夹角的余弦很小,功率也可能很小,即功率不一定大,故A错误,B正确;由P=可知,力做功越多,功率不一定就越大,还与时间有关,故C错误;由W=Pt可知,功率越大,力做功不一定越多,还与时间有关,故D错误。
(1)功率表示的是物体做功的快慢,而不是做功的多少,功率大,做功不一定多,反之亦然。
(2)应用公式P=解题时,必须明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的功率。
[例2] (功率的计算)如图所示,质量为 m=2 kg的木块在倾角θ=37°的足够长的固定斜面上由静止开始下滑,木块与斜面间的动摩擦因数为μ=0.5,取 sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2,求:
(1)前2 s内重力做的功;
(2)前2 s内重力做功的平均功率;
(3)2 s末重力做功的瞬时功率。
【答案】 (1)48 J　(2)24 W　(3)48 W
【解析】 (1)木块下滑过程中,由牛顿第二定律得
mgsin θ-μmgcos θ=ma,
前2 s内木块的位移大小为x=at2,
联立解得x=4 m,a=2 m/s2,
所以重力在前2 s内做的功为
W=mgsin θ·x=2×10×0.6×4 J=48 J。
(2)重力在前2 s内做功的平均功率为
== W=24 W。
(3)木块在2 s末的速度大小为
v=at=2×2 m/s=4 m/s,
2 s末重力做功的瞬时功率为
P=mgsin θ·v=2×10×0.6×4 W=48 W。
求解功率时应该注意的问题
(1)首先要明确是求哪个力的功率,汽车的功率是指汽车牵引力的功率,起重机的功率是指起重机钢丝绳拉力的功率。
(2)若求平均功率,需明确是哪段时间内的平均功率,可由公式P=或P=F来计算。
(3)若求瞬时功率,需明确是哪一时刻或哪一位置,应用公式P=Fv时,如果F、v不同向,则投影到相同方向再计算。
要点二　机车的两种启动方式
情境探究
汽车以两种不同的方式启动,一种方式是保持发动机的功率不变,另一种方式是保持加速度
不变。
探究:(1)发动机的功率不变时,汽车的加速度能否保持不变
(2)汽车的加速度不变时,发动机的功率能否保持不变
【答案】 (1)根据P=Fv,功率不变,速度增大时,牵引力必定减小,由牛顿第二定律可知,汽车的加速度减小。
(2)加速度不变,则牵引力不变,由P=Fv可知,随着速度的增大,发动机的功率不断增大。
要点归纳
1.以额定功率启动
(1)运动过程分析。
(2)这一过程的P-t图像和v-t图像如图所示。
2.以恒定加速度启动
(1)运动过程分析。
(2)这一过程的P-t图像和v-t图像如图所示。
3.机车启动问题中几个物理量的求法
(1)机车的最大速度vm的求法:机车达到匀速运动状态时速度最大,此时牵引力F等于阻力Ff,故vm==。
(2)匀加速启动持续时间的求法:牵引力F=ma+Ff,匀加速阶段的最大速度vm′=,时间t=。
(3)瞬时加速度的求法:根据F=求出牵引力,则加速度a=。
典例研习
[例3] (机车启动问题的定量计算)质量为m=1×103 kg的汽车,启动后沿平直路面行驶,如果发动机的输出功率恒为 P=6×104 W,且行驶过程中受到的阻力大小一定,汽车能够达到的最大速度为vm=40 m/s。
(1)求行驶过程中汽车受到的阻力Ff的大小;
(2)当汽车的车速为10 m/s时,求汽车的瞬时加速度的大小。
【答案】 (1)1 500 N　(2)4.5 m/s2
【解析】 (1)由题可知
F1== N=1 500 N,
汽车以最大速度匀速行驶时
Ff=F1=1 500 N。
(2)当汽车的车速为10 m/s时,汽车的牵引力为
F2== N=6 000 N,
F2-Ff=ma,
a== m/s2=4.5 m/s2。
[例4] (机车启动与图像问题的综合运用)(2025·福建漳州期中)我国新能源汽车发展迅猛,已成为全球最大的新能源汽车产销国。质量为m=1 500 kg 的某新能源汽车在水平路面上以恒定加速度a=2 m/s2 启动,其 v-t 图像如图所示,其中OA段和BC段为直线。已知汽车动力系统的额定功率为P=60 kW,汽车所受阻力大小恒为 F阻=2 000 N。求:
(1)汽车能够达到的最大速度v2;
(2)汽车匀加速的最大速度v1;
(3)汽车匀加速的时间t1;
(4)汽车速度为20 m/s时的加速度大小。
【答案】 (1)30 m/s　(2)12 m/s　(3)6 s (4) m/s2
【解析】 (1)当牵引力与阻力平衡时,汽车达到最大行驶速度,由P=F阻v2,得v2=,
解得v2=30 m/s。
(2)根据P=Fv,结合牛顿第二定律
F-F阻=ma,
可得v1=,
解得v1=12 m/s。
(3)由v1=at1,
得t1=6 s。
(4)汽车速度为20 m/s时,已经达到额定功率
P=F′v,
根据牛顿第二定律有F′-F阻=ma′,
解得a′= m/s2。
1.关于某力做功的功率,下列说法正确的是(　　)
[A]该力越大,其功率就越大
[B]该力在单位时间内做的功越多,其功率就越大
[C]功率越大,说明该力做的功越多
[D]功率越小,说明该力做功的时间越短
【答案】 B
【解析】 根据P=Fv可知,力越大,功率不一定大,故A错误;功率等于单位时间内做功的多少,该力在单位时间内做功越多,功率越大,故B正确;功率是反映做功快慢的物理量,功率大,做功快,功率小,做功慢,功率大小不能说明做功多少或做功时间的长短,故C、D错误。
2.一小球做自由落体运动,第1 s内重力做功为W1,第2 s内重力做功为W2,在第1 s末重力的瞬时功率为P1,在第2 s末重力的瞬时功率为P2,则W1∶W2及 P1∶P2等于(　　)
[A]1∶3,1∶1 [B]1∶2,1∶3
[C]1∶3,1∶2 [D]1∶4,1∶2
【答案】 C
【解析】 小球做自由落体运动,第1 s下落的高度为h1=g=g,前2 s内下落的高度为h2=g=2g=4h1,则有===,小球第1 s末的速度大小为v1=gt1=g,小球第2 s末的速度大小为v2=gt2=2g,则有==,故选C。
3.如图所示,光滑水平面上有一个固定的四分之一光滑圆弧轨道,一小球在水平恒力F作用下,沿着圆弧轨道从A点由静止运动到B点,在此过程中F的瞬时功率变化情况是(　　)
[A]逐渐增大 [B]逐渐减小
[C]先增大再减小 [D]先减小再增大
【答案】 C
【解析】 在A点,小球速度为零,根据P=Fv可知F的功率为零;在B点,小球速度方向沿切线方向,与F垂直,则F的功率为零;中间运动过程中P=Fvcos α,α为速度方向与力F的夹角,可知F的功率不为零,所以F的瞬时功率先增大再减小。故C正确,A、B、D错误。
4.如图所示的塔式起重机在将质量为m=2×103 kg的重物竖直吊起的过程中,重物由静止开始向上做匀加速直线运动,加速度a=0.4 m/s2,当起重机输出功率达到额定功率后保持该功率,直到重物以速度vm=1.04 m/s 做匀速运动。g取10 m/s2,不计额外功。求:
(1)起重机的额定功率P0;
(2)重物做匀加速直线运动所经历的时间。
【答案】 (1)2.08×104 W　(2)2.5 s
【解析】 (1)起重机的额定功率为P0,重物达到最大速度vm时拉力F0等于重物重力,则有
P0=F0vm,
F0=mg,
解得P0=2.08×104 W。
(2)匀加速运动结束时起重机达到额定功率P0,设此时拉力为F,重物速度为v,则有
F-mg=ma,
P0=Fv,
又v=at,
解得t=2.5 s。
课时作业
(分值:60分)
考点一　对功率的理解与计算
1.(4分)关于功率,下列说法正确的是(　　)
[A]功率是描述力对物体做功多少的物理量
[B]力做功时间越长,力的功率一定越小
[C]力对物体做功越快,力的功率一定越大
[D]力对物体做功越多,力的功率一定越大
【答案】 C
【解析】 功率是描述力对物体做功快慢的物理量,做功越快,功率越大,A错误,C正确;由公式P=可得,功率大小是由做功的时间与这段时间做功的多少共同决定的,B、D错误。
2.(4分)汽车发动机的转动通过变速箱中的齿轮传递到车轮上,转速比可以通过变速杆来改变,将变速杆推至不同挡位,可获得不同的运行速度,从“1”～“5”挡速度增大。发动机输出功率不能无限制地增大,所以汽车上坡时必须“换挡”,如图所示。有关汽车上坡“换挡”动作,下列说法正确的是(　　)
[A]换高速5挡,减小牵引力
[B]换高速5挡,增大牵引力
[C]换低速1挡,减小牵引力
[D]换低速1挡,增大牵引力
【答案】 D
【解析】 根据P=Fv,可知在功率一定的情况下,当速度减小时,汽车的牵引力就会增大,此时更容易上坡,故换低速1挡,增大牵引力。故选D。
3.(4分)(2025·江西鹰潭阶段练习)如图所示,质量为m=1 kg的物体静止在光滑水平地面上,t=0时对物体施加一与水平方向夹角为37°、大小为F=10 N的恒力,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则下列说法正确的是(　　)
[A]1 s末物体的速度大小为10 m/s
[B]经过2 s力F做功为160 J
[C]2 s末力F的功率为128 W
[D]前2 s内力F的平均功率为80 W
【答案】 C
【解析】 对物体受力分析,水平方向由牛顿第二定律有Fcos 37°=ma,解得物体的加速度大小为a=8 m/s2,根据运动学公式v=at可得,1 s末物体的速度大小为v1=at1=8×1 m/s=8 m/s,故A错误;前2 s的位移x2=a=×8×22 m=16 m,所以经过2 s力F做功为W2=Fx2cos 37°=10×16×
0.8 J=128 J,故B错误;2 s末物体的速度为v2=at2=8×2 m/s=16 m/s,所以2 s末力F的功率为P2=Fv2cos 37°=128 W,故C正确;前2 s 内力F的平均功率为P== W=64 W,故D错误。
4.(4分)如图所示,质量均为m的三个小球分别从高度都为h的光滑固定斜面顶端由静止滑到底端,三个斜面倾角不同,则(　　)
[A]重力对小球做功均为mgh
[B]弹力对小球做功均为mgh
[C]重力的平均功率均相等
[D]到斜面底端时重力的瞬时功率均相等
【答案】 A
【解析】 重力对小球做功为W=mgh,因为三种情况高度相同,所以重力对小球做的功相同,故A正确;小球在下落过程中,弹力方向与位移方向垂直,所以弹力做功为零,故B错误;对小球受力分析,斜面方向只有重力沿斜面的分力,根据牛顿第二定律mgsin θ=ma,解得a=gsin θ,根据位移-时间公式=gsin θt2,解得t=,由于角度不同,下落时间不同,所以重力的平均功率不同,故C错误;小球滑到斜面底端时的速度为v,由速度-时间公式v=at=gsin θ·=
,小球滑到斜面底端时重力的瞬时功率为P=mgsin θ,由于角度不同,小球到斜面底端时重力的瞬时功率不相等,故D错误。
考点二　机车启动
5.(4分)一台电动机工作时的功率P为10 kW,要用它匀速提升质量m为20 000 kg的货物,提升的速度v为(g取10 m/s2)(　　)
[A]0.5 m/s [B]0.05 m/s
[C]5 m/s [D]以上都不对
【答案】 B
【解析】 要用它匀速提升20 000 kg的货物,则绳子的拉力为F=mg=2×105 N,根据P=Fv代入数据解得v=0.05 m/s,故选B。
6.(6分)(多选)(2025·天津西青期末)“复兴号”动车组用多节车厢提供动力,从而达到提速的目的。总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶,该动车组有四节动力车厢,每节车厢发动机的额定功率均为P,若动车组所受的阻力与其速率成正比(F阻=kv,k为常量),动车组能达到的最大速度为vm。下列说法正确的是(　　)
[A]动车组在匀加速启动过程中,牵引力随速度增大而增大
[B]动车组在匀加速启动过程中,牵引力恒定不变
[C]若四节动力车厢均以额定功率从静止开始启动,则动车组做匀加速直线运动
[D]若四节动力车厢输出的总功率为2.25P,则动车组匀速行驶的速度为vm
【答案】 AD
【解析】 对动车组由牛顿第二定律F-F阻=ma,动车组在匀加速启动过程中,加速度不变,速度均匀增大,由F阻=kv知随速度均匀增大,阻力均匀增大,则牵引力也随着速度的增大而增大,故A正确,B错误;由功率表达式F=,结合牛顿第二定律-kv=ma,在启动过程中,速度增大,牵引力减小,阻力增大,则加速度逐渐减小,故C错误;若四节动力车厢输出的总功率为2.25P,当动车组匀速行驶时,加速度为零,则=kv1,又有动车组能达到的最大速度为vm,满足=kvm,整理得v1=vm,故D正确。
7.(6分)(多选)一辆机车在水平路面上从静止开始启动做直线运动,其加速度随时间变化的图像如图所示。已知机车的质量M=6×103 kg,机车前进过程中所受阻力大小恒定,t=40 s 时机车达到额定功率P=400 kW,之后保持该功率不变,下列说法正确的是(　　)
[A]机车所受到的阻力大小为1.7×104 N
[B]0～40 s内牵引力做功为8×106 J
[C]机车的最大速度为80 m/s
[D]机车从开始运动到达到最大速度所需要的时间可能为54 s
【答案】 AB
【解析】 在t=40 s时机车的速度v=at=0.5×40 m/s=20 m/s,则根据-Ff=Ma,解得Ff=1.7×
104 N,A正确;0～40 s内做匀加速运动,则牵引力F==2×104 N,位移x=at2=400 m,牵引力做功为WF=Fx=8×106 J,B正确;当机车速度最大时P=Ffvm,可得机车的最大速度为vm≈23.5 m/s,C错误;假设机车从t=40 s后做加速度均匀减小的加速运动,则速度从20 m/s到达23.5 m/s时所用时间t′满足t′×0.5m/s2=(23.5-20) m/s,解得t′=14 s,机车从开始运动到达到最大速度所需要的时间为54 s,而机车从t=40 s后的加速度不是均匀减小,则从开始运动到达到最大速度所需要的时间大于54 s,D错误。
8.(6分)(多选)如图所示,质量相同的两个小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地,A、B两球的水平位移大小分别为l和2l,忽略空气阻力,则下列说法正确的是(　　)
[A]A、B两球的飞行时间之比为2∶1
[B]A、B两球的初速度大小之比为∶4
[C]A、B两球落地时重力的瞬时功率之比为2∶1
[D]A、B两球从抛出到落地过程中重力的平均功率之比为 ∶1
【答案】 BD
【解析】 小球在竖直方向做自由落体运动,根据t=可知A、B两球的飞行时间之比为===,故A错误;小球在水平方向做匀速直线运动,根据v0=可知A、B两球的初速度大小之比为=·=·=,故B正确;小球落地时重力的瞬时功率为PG=mgvy=mg2t,由于两小球质量相同,所以A、B两球落地时重力的瞬时功率之比为==,故C错误;小球从抛出到落地过程中重力的平均功率为==,由于两小球质量相同,所以A、B两球从抛出到落地过程中重力的平均功率之比为=·=·=∶1,故D正确。
9.(4分)一汽车在平直公路上行驶。从某时刻开始计时,发动机的功率P随时间t的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小Ff恒定不变。下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中,可能正确的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 在0～t1时间内,如果汽车做匀速运动,则 vt图线是与时间轴平行的直线;如果汽车做加速运动,根据P=Fv,可知牵引力减小,根据F-Ff=ma可知汽车做加速度逐渐减小的加速运动,当加速度为0时,即F1=Ff,汽车开始做匀速直线运动,此时速度为v1==,则0～t1时间内,
vt图线先是切线斜率逐渐减小的平滑曲线,后是平行于横轴的直线;在t1～t2时间内,功率突然增加,故牵引力突然增加,汽车做加速运动,根据P=Fv,可知牵引力减小,再根据F-Ff=ma可知汽车做加速度逐渐减小的加速运动,当加速度为0时,即 F2=Ff,汽车开始做匀速直线运动,此时速度为 v2==,所以在t1～t2时间内,vt图线先是切线斜率逐渐减小的平滑曲线,后是平行于横轴的直线;故描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中可能正确的是A,故选A。
10.(4分)太阳辐射的总功率为P,日地距离为r,阳光到达地面的过程中的能量损耗为50%;太阳光垂直照射时,太阳能电池的能量转化效率为η;一辆质量为750 kg的汽车的太阳能电池板的面积为S,电机能够将输入功率的90%用于牵引汽车前进。此时太阳能电池车正以72 km/h匀速行驶,所受阻力为汽车重力的,已知该太阳能电池能直接满足汽车的上述行驶需求。若半径为R的球表面积为4πR2,g取10 m/s2,则(　　)
[A]太阳能汽车可达到的最大机械功率为
[B]汽车阻力的功率为3.0×105 W
[C]若汽车机械功率恒定,车速减半时牵引力也减半
[D]太阳能电池板的面积必须满足关系:≥3.0×103 W
【答案】 D
【解析】 汽车所受阻力为Ff=mg=150 N,汽车阻力的功率为P阻=Ffv=3 000 W,故B错误;太阳能汽车可达到的最大机械功率为P机max==,故A错误;由公式 P=Fv,功率不变,速度减为一半,则牵引力增加一倍,故C错误;由于匀速,所以牵引力等于阻力,汽车的机械功率为P机=Fv=Ffv=3 000 W,太阳能汽车的最大功率为P机max=,由题意有P机max≥P机,即≥3.0×103 W,故D正确。
11.(14分)如图所示是汽车牵引力F和车速倒数的关系图像,若汽车质量为2×103 kg,由静止开始沿平直公路行驶,阻力恒定,最大车速为 30 m/s。求:
(1)汽车启动过程的最大功率;
(2)汽车速度为20 m/s时的加速度大小;
(3)汽车维持匀加速直线运动的时间。
【答案】 (1)6×104 W　(2)0.5 m/s2　(3)5 s
【解析】 (1)当汽车匀速运动时,牵引力和阻力相等,此时功率最大,且由题图知Ff=2×103 N,
因此P额=Ff·vmax=2×103×30 W=6×104 W。
(2)汽车速度为20 m/s时,此时牵引力为
F1==3×103 N,
根据牛顿第二定律
F1-Ff=ma,
解得a=0.5 m/s2。
(3)汽车做匀加速运动的加速度为
a′==2 m/s2,
汽车刚达到额定功率时的速度
v′==10 m/s,
所以汽车做匀加速运动的时间
t==5 s。1　功与功率
第1课时　功
[定位·学习目标]　1.通过阅读教材,掌握功的概念,理解功是力对空间的积累,形成物理观念。2.通过对功的标量性的理解,掌握功的正负的物理意义,并能在具体情境中判断力做功的正负,形成科学思维和方法。3.通过对恒力做功和总功的理解与计算,理解并掌握“化变为恒”的思想求变力做功,形成科学思维。
知识点一　功
探究新知
1.内容:力对物体所做的功,等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。
2.功的公式:W=Flcos α。
3.功的单位:在国际单位制中,功的单位是焦耳,符号是 J。1 J等于1 N的力使物体在力的方向上发生1 m位移的过程中所做的功,所以1 J=1 N×1 m=1 N·m。
4.功是标量。
正误辨析
(1)有力作用在物体上,并且物体也发生了位移时,力对物体一定做了功。(　×　)
(2)力是矢量,位移是矢量,所以功也是矢量。(　×　)
(3)公式W=Flcos α中的l是物体运动的路程。(　×　)
(4)物体受力越大,位移越大,力对物体做功越多。(　×　)
知识点二　正功和负功
探究新知
1.力对物体做正功或负功的条件
夹角α cos α 功W 说明
α= cos α=0 W=0 力F对物体不做功
0≤α< cos α>0 W>0 力F对物体做正功
<α≤π cos α<0 W<0 力F对物体做负功
2.总功的计算
当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时,这几个力对物体所做的总功等于:
(1)各个力分别对物体所做功的代数和。
(2)几个力的合力对物体所做的功。
正误辨析
(1)一个力对物体做了负功,说明这个力一定阻碍物体的运动。(　√　)
(2)作用力做正功时,反作用力一定做负功。(　×　)
(3)力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角决定的。(　√　)
(4)合力的功等于各分力功的矢量和。(　×　)
要点一　对功的理解和正、负功判断
情境探究
探究:(1)大力推箱很累为什么还没有对箱子做功 力对物体做功需要什么条件
(2)轻松推车为什么还对车做了功 人对车的力做正功还是负功
(3)若人向右拉车,但车仍向左运动,人对车的拉力对车做正功还是负功 人对车的运动是起促进作用还是阻碍作用
【答案】 (1)在推力的方向上没有位移,推力没有做功。力对物体做功的条件是物体受力且在力的方向上有位移。
(2)人对车有力且在力的方向上有位移。人对车的力做正功。
(3)人对车的拉力对车做负功。人对车的运动起阻碍作用。
要点归纳
1.对功的理解
(1)做功的两个必要条件。
①物体受到力的作用。
②物体在力的方向上有位移。
(2)功是标量,没有方向,但有正负。
(3)功是过程量,功是力在空间上的积累效果,求功时要明确是哪个力在哪段位移上做的功。
2.判断功的正、负的方法
(1)根据力F与物体位移l方向的夹角α判断——常用于恒力做功的情形。
(2)根据力与物体瞬时速度方向的夹角θ判断——常用于曲线运动的情形。
如图所示:
①若夹角θ是锐角,力做正功;
②若夹角θ是钝角,力做负功;
③若夹角θ是直角,力不做功。
注意:某力对物体做负功,往往说成物体克服这个力做功(绝对值)。例如,滑动摩擦力对物体做功为-10 J,也可以说成物体克服滑动摩擦力做功 10 J。
3.对功的正、负的理解
项目 动力学角度 能量角度
正功 若某力对物体做正功,则这个力对物体来说是动力 若某力对物体做正功,则外界向物体提供能量,即受力物体获得了能量
负功 若某力对物体做负功,则这个力对物体来说是阻力 若物体克服外力做功,则物体要消耗自身的能量,即物体失去了能量
典例研习
[例1] (对功的理解)关于功的概念,以下说法正确的是(　　)
[A]力F1、F2做功分别是W1=10 J、W2=-15 J,则W1、W2的方向相反
[B]功有正、负之分,若某个力对物体做负功,表明这个力对该物体的运动起阻碍作用
[C]若某一个力对物体不做功,说明该物体一定没有位移
[D]某物体通过一段位移,作用在该物体上的力一定都不做功
【答案】 B
【解析】 功是标量,功有正、负之分,但功的正、负不是表示方向,而是表示力对物体的做功效果,A错误,B正确;当力的方向和物体位移的方向垂直时,该力对物体不做功,此时物体的位移可能不为零,C错误;当力与位移的夹角不是90°时,力对物体做功,D错误。
[例2] (对正功和负功的理解及判断)手拿球拍托着乒乓球跑是校运动会的一项常见的趣味项目,如图所示,某段时间内乒乓球相对球拍静止一起水平向右做匀速直线运动,若不计空气阻力,则此过程中(　　)
[A]乒乓球受到的重力对乒乓球做负功
[B]乒乓球所受合力对乒乓球做正功
[C]球拍对乒乓球的摩擦力不做功
[D]球拍对乒乓球的支持力对乒乓球做正功
【答案】 D
【解析】 乒乓球受到的重力方向与运动方向垂直,可知重力对乒乓球不做功,选项A错误;乒乓球做匀速运动,合力为零,可知所受合力对乒乓球不做功,选项B错误;球拍对乒乓球的摩擦力沿斜面向上,与速度方向夹角为钝角,可知摩擦力对乒乓球做负功,选项C错误;球拍对乒乓球的支持力与球拍垂直,与速度方向夹角为锐角,则支持力对乒乓球做正功,选项D正确。
要点二　恒力做功的计算
情境探究
马拉着小车(包括人)沿水平面匀速前进了一段距离。
探究:(1)小车(包括人)受到几个力的作用 每个力对小车做功吗 做正功还是负功
(2)马对小车做的功是否等于马的拉力F和小车的位移l的乘积
(3)若小车做匀加速运动,合力做什么功 若小车做匀减速运动,合力做什么功 怎样求合力做的功
【答案】 (1)小车(包括人)受4个力作用:重力、支持力、拉力、摩擦力,其中拉力做正功,摩擦力做负功,重力和支持力不做功。
(2)不等于。因为W=Flcos α(设F与水平方向夹角为α)。
(3)若小车做匀加速运动,则合力做正功。若小车做匀减速运动,则合力做负功。合力做的功等于拉力F做的功与摩擦力做的功的代数和,或者等于拉力和摩擦力的合力做的功。
要点归纳
1.对功的公式W=Flcos α的理解
相关性 由公式W=Flcos α可以看出力对物体做功,只与F、l、α有关,与物体的运动状态及物体是否还受其他作用力等因素均无关
同时性 计算时应注意F与l必须具有同时性,即l必须是力F作用过程中物体发生的位移
同一性 同一个客观运动,相对于不同的参考系,位移l是不同的,在中学物理中约定,计算功都以地面为参考系,即l应理解为“受力质点的对地位移”
适用性 明确公式W=Flcos α适用于计算恒力做功,若是变力做功,此公式不再适用
2.恒力做功的计算
(1)W等于力F乘物体在力F方向上的分位移lcos α,即物体的位移分解为沿F方向上和垂直于F方向上的两个分位移l1和l2,则力F做功W=Fl1=Flcos α。
(2)W等于力F在位移l方向上的分力Fcos α乘物体的位移l,即将力F分解为沿l方向上和垂直于l方向上的两个分力F1和F2,则力F做功W=F1l=Fcos α·l。
3.计算总功的思路
由合力与分力的等效替代关系知,合力与分力做功也是可以等效替代的,因此计算总功时有两种基本思路:
(1)
(2)
典例研习
[例3] (恒力做功的计算)重5 N的滑块从长为1 m、倾角为37°的斜面顶端滑至底端,这一过程中重力做功(取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)(　　)
[A]5 J [B]4 J [C]3 J [D]0
【答案】 C
【解析】 方法一　当力与位移成一定夹角时,将力沿位移和垂直于位移方向分解,只有沿位移方向分力做功。将重力沿斜面和垂直于斜面分解,只有沿斜面方向分力做功,则W=Gsin 37°·l=5×0.6×1 J=3 J。
方法二　当力与位移成一定夹角时,将位移沿力和垂直于力方向分解,力做功只与沿力方向位移有关。由题知,位移为l=1 m,方向与水平方向成37°角。沿水平方向和竖直方向分解位移,得到竖直方向的位移h=lsin 37°=1×0.6 m=0.6 m,由功的定义式得W=Gh=5×0.6 J=3 J。
方法三　直接利用恒力做功公式W=Flcos α,则这一过程重力做功W=G·lcos(90°-37°)=3 J。
[例4] (总功的计算)甲、乙两人在河的两岸同时用绳拉船,使船在河的中间沿直线路径行驶,甲、乙的拉力分别为F1和F2,其大小和方向如图所示,在船行驶80 m的过程中,用两种方法求合力对船做的功。
(1)先求出合力,再求合力做的功。
(2)先求出两个分力F1和F2做的功,再求两个功的代数和。比较两种方法计算的结果,你能得出什么结论
【答案】 (1)200 N　1.6×104 J　
(2)4 000 J　12 000 J　16 000 J　两种方法计算的结果相同,说明用两种方法求外力的总功效果是一样的
【解析】 (1)根据平行四边形定则可知,小船受到的合力大小为F==200 N,
合力方向与船的运动方向一致。根据功的定义式可知合力做的功为
W=Fl=200×80 J=1.6×104 J。
(2)拉力F1与船的位移成60°角,则拉力F1对船所做的功
W1=F1lcos 60°=100×80×cos 60° J=4 000 J,
拉力F2与船的位移成30°角,则拉力F2对船所做的功
W2=F2lcos 30°=100×80×cos 30° J=12 000 J,
外力对船做的总功为
W=W1+W2=4 000 J+12 000 J=1.6×104 J,
两种方法求外力总功的效果是相同的。
(1)求合力做功的两种方法的选择。
①几个恒力同时作用时,两种方法均可用,选择计算简便的方法。
②若几个力作用有先后,则只能先求各个力做的功,再利用求代数和的方法求合力的功。
(2)正、负号参与运算:由于功是标量,所以总功等于各个力分别对物体所做的功的代数和,“+”“-”号要参与计算。因此,正确判断各个力做功的正、负是计算总功的前提。
要点三　求变力做功的常用方法
情境探究
力F对物体所做的功可由公式W=Flcos α求得。但用这个公式求功是有条件的,即力F必须是恒力。而实际问题中,有很多情况是变力在对物体做功。那么,用这个公式不能直接求变力做的功,我们就需要通过其他的一些方法来求解力F所做的功。如图,在甲、乙、丙三种
情况下:
探究:(1)图甲中若F大小和方向均不变,物块从A运动到C过程中力F做的功为多少
(2)图乙中,全过程中F做的总功为多少
(3)图丙中,绳长为l,若空气阻力Ff大小不变,小球从A运动到B过程中空气阻力做的功为多少
【答案】 (1)题图甲中,因沿着同一根绳,则力对绳做的功等于绳对物块做的功,故物块从A运动到C过程中力F做的功为W=F(O′A-O′C)。
(2)题图乙中,F-x图像的面积代表功,则全过程中F做的总功为W=15×6 J+(-3)×6 J=72 J。
(3)题图丙中,绳长为l,若空气阻力Ff大小不变,可用微元法得小球从A运动到B过程中空气阻力做的功为W=-Ff·=-πlFf。
要点归纳
求变力做功的常用方法
方法 以例说法
转 换 法 恒力F把物块从A拉到B,绳子对物块做的功W=F·(-)
微 元 法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动,运动一周克服摩擦力做功Wf=Ff·Δx1+Ff·Δx2+Ff·Δx3+…+FfΔxn= Ff(Δx1+Δx2+Δx3+…+Δxn)=Ff·2πR
平 均 力 法 弹簧由伸长量x1被继续拉至伸长量x2的过程中,克服弹力做功W=·(x2-x1)=·(x2-x1)=(-)
图 像 法 变力做的功W可用F-l图线与l轴所包围的面积表示。l轴上方的面积表示力对物体做正功的多少,l轴下方的面积表示力对物体做负功的多少
典例研习
[例5] (平均力法、图像法)一辆汽车质量为105 kg,从静止开始运动,其阻力为汽车重力的。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+Ff0(N),Ff0是车所受的阻力。当车前进100 m时,牵引力做的功是多少 (g取10 m/s2)
【答案】 1×107 J
【解析】 方法一　平均力法
由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+Ff0(N),是线性关系,故前进 100 m 过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力 所做的功。
由题意可知Ff0=×105×10 N=5×104 N,
所以前进100 m过程中的平均牵引力
= N=1×105 N,W=x=1×105×100 J=1×107 J。
方法二　图像法
牵引力表达式为F=103x+0.5×105(N),其函数图像如图所示。
根据F-x图像所围的面积表示牵引力所做的功,故牵引力所做的功等于梯形OABD的“面积”。
所以W= J=1×107 J。
[例6] (微元法)在水平面上有一弯曲的槽道AB,由半径分别为和R的两个半圆构成。如图所示,现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点拉至B点,若拉力F的方向时刻与小球运动方向相同,则此过程中拉力所做的功为(　　)
[A]0 [B]FR
[C]πFR [D]2πFR
【答案】 C
【解析】 小球受到的拉力F在整个过程中大小不变,方向时刻变化,是变力。但是,如果把圆周分成无数微小的弧段,每一小段可近似看成直线,拉力F在每一小段上方向不变,每一小段上可用恒力做功的公式计算,然后将各段做功累加起来。设每一小段的长度分别为l1,l2,l3,…,ln,拉力在每一段上做的功W1=Fl1,W2=Fl2,…,Wn=Fln,拉力在整个过程中所做的功W=W1+W2+…+
Wn=F(l1+l2+…+ln)=F(π·+πR) =πFR。
要点四　一对平衡力、一对相互作用力和一对摩擦力做功
情境探究
如图所示,在光滑的水平面上,物体A放在长为l的木板B的右端,现用水平力F向右拉木板。
探究:(1)若物体A相对木板B滑动,当B前进x时,物体A从木板B左端滑下。已知A、B间的滑动摩擦力为Ff,摩擦力分别对A、B做了多少功 这一对滑动摩擦力做功的总和为多少
(2)若物体A相对木板B没有滑动,已知当B前进x时,物体A受到的静摩擦力为Ff′,静摩擦力分别对A、B做了多少功 这一对静摩擦力做功的总和为多少
【答案】 (1)滑动摩擦力对A做的功为Ff(x-l),对B做的功为-Ffx,这一对滑动摩擦力做功的总和为-Ffl。
(2)静摩擦力对A做的功为Ff′x,对B做的功为-Ff′x,这一对静摩擦力做功的总和为0。
要点归纳
1.一对平衡力做功的特点
一对平衡力作用在同一物体上,若物体静止,则两个力都不做功;若物体运动,则这一对力所做的功在数值上一定相等,一正一负或均为零。
2.一对相互作用力做功
(1)作用力与反作用力做功的分析。
作用力与反作用力总是大小相等、方向相反,作用在两个物体上,相互作用的两个物体,可能向相反方向运动;也可能向同一方向运动;可能一个运动,另一个静止;还可能两个都静止。因此分析一对作用力与反作用力做功情况时,一定要根据功的定义,结合具体运动情况分析。
(2)相互作用力做功的常见情况。
类型 图示 条件 说明
两个力可以均不做功 水平面上静止物体受到的支持力和物体对水平面的压力 因为两个物体都静止,所以两个力做功都为0
其中一个力做功,另一个力可以不做功 用力把木板A从B下抽出 摩擦力对B做功为0,摩擦力对A做负功
其中一个力做正功,另一个力可以做负功 在推力F的作用下,A、B加速运动 A、B间的弹力对A做负功,对B做正功
两个力均做正功 放在水平面上的两个相向运动的磁体 吸引力对两个磁体都做正功
两个力均做负功 放在水平面上的两个反向运动的磁体 吸引力对两个磁体都做负功
(3)一对作用力和反作用力做的总功可正可负,也可为零。
3.静摩擦力做功的特点
(1)静摩擦力可以做正功,可以做负功,也可以不做功。例如:
①如图甲所示,A、B一起匀加速运动,A受B的静摩擦力对A做负功;B受A的静摩擦力对B做正功。
②手握瓶子竖直向下运动,瓶子所受静摩擦力竖直向上,静摩擦力做负功。
③如图乙所示,物块在水平转盘上随转盘匀速转动,静摩擦力提供向心力,时刻指向圆心,与运动方向始终垂直,不做功。
(2)一对静摩擦力若一个做正功,则另一个做负功,正功、负功数值相等,做功的代数和总为零。
一对静摩擦力位移一定相同,大小一定相同,但方向相反,所以二者做功一定大小相同,但正负不同,所以做功的总和为零。例如,如图丙所示,光滑水平地面上叠放滑块A、B,在力F作用下保持相对静止且一起向右匀加速运动,B对A的静摩擦力向右做正功,A对B的静摩擦力向左做负功,总功为零。
4.滑动摩擦力做功
(1)滑动摩擦力可以做正功,可以做负功,还可以不做功。例如:
①如图甲所示,将物体由静止放到匀速运动的水平传送带上,物体加速过程所受的滑动摩擦力与物体运动方向相同,滑动摩擦力做正功。
②如图乙所示,物体沿固定斜面下滑,物体所受滑动摩擦力做负功,斜面受物体的滑动摩擦力不做功。
(2)一对滑动摩擦力可以一个做正功,一个做负功;可以一个做负功,一个不做功;可以同时做负功。做功的代数和总为负。例如:
①如图甲所示,vA>vB,A所受滑动摩擦力与A的速度方向相反,做负功;B所受滑动摩擦力与B的速度方向相同,做正功,总功为负。
②如图乙所示,光滑水平面上,水平向右拉出A的过程中,B静止,A所受B的滑动摩擦力做负功,B所受A的滑动摩擦力不做功,总功为负。
③如图丙所示,用水平力F1、F2将叠放的滑块A、B分开的过程中,两滑块所受滑动摩擦力均做负功,总功为负。
(3)滑动摩擦力做功的分析和计算。
①在滑动摩擦力大小、方向都不变的情况下,应该用Wf=Fflcos α求Ff做的功。
②当滑动摩擦力大小不变,方向改变时,由微元法,可将变力功等效成恒力功求和,从而求得Ff做的功。
③当滑动摩擦力大小、方向都在时刻改变时,由功的公式定性讨论摩擦力做功的大小变化
情况。
典例研习
[例7] (平衡力与相互作用力做功的区别)(多选)关于一对作用在质点上的平衡力和一对作用力和反作用力做功,下列说法正确的是(　　)
[A]一对平衡力做功要么为零,要么做功数值相同,符号相反
[B]一对作用力和反作用力做功一定是做功数值相同,符号相反
[C]一对作用力和反作用力做功可以是做功数值不相同,符号相同
[D]一对平衡力做功可以是数值相同,符号相同
【答案】 AC
【解析】 一对平衡力作用在一个物体上,合力为零,其作用效果相互抵消,则其合力做的功为零,则做功要么为零,要么做功数值相同,符号相反,A正确,D错误;一对作用力和反作用力作用在两个物体上,由于两个物体的位移没有必然的关系,则其做功的大小没有必然的联系,故一对作用力和反作用力做功可以是做功数值不相同,符号相同,B错误,C正确。
[例8] (摩擦力做功)关于摩擦力做功,下列说法正确的是(　　)
[A]滑动摩擦力总是阻碍物体的相对运动,所以一定做负功
[B]静摩擦力起着阻碍物体相对运动趋势的作用,静摩擦力一定不做功
[C]静摩擦力和滑动摩擦力一定都做负功
[D]滑动摩擦力可以对物体做正功
【答案】 D
【解析】 摩擦力总是阻碍物体间的相对运动或相对运动趋势,但是摩擦力对物体既可以做正功,也可以做负功,还可以不做功。综上所述,只有D正确。
1.下列关于功的说法正确的是(　　)
[A]一个力作用在物体上,如果这个力做功为零,则该物体一定处于静止状态
[B]由于功是标量,所以+6 J的功大于-30 J的功
[C]物体所受多个力做功的代数和等于这几个力的合力做的功
[D]相互接触的两物体间一对滑动摩擦力做功之和一定等于零
【答案】 C
【解析】 一个力作用在物体上,如果这个力做功为零,该物体不一定处于静止状态,可能是运动方向与力的方向垂直,故A错误;功是标量,但功的正负不是表示大小,+6 J的功小于-30 J的功,故B错误;物体所受多个力做功的代数和等于这几个力的合力做的功,故C正确;由于相互接触的两物体间的一对滑动摩擦力大小相等,但两物体发生的位移大小不相等,伴随机械能的损耗,所以一对滑动摩擦力做功的总和恒为负值,故D错误。
2.如图所示,用同样大小的力F拉同一物体,在甲(光滑水平面)、乙(粗糙水平面)、丙(光滑斜面)、丁(粗糙斜面)上通过同样的距离,则拉力F的做功情况是(　　)
[A]甲中做功最少 [B]丁中做功最多
[C]做功一样多 [D]无法比较
【答案】 C
【解析】 功是力和在力的方向上的位移的乘积,四种情况下力和在力的方向上的位移都相同,所以四种情况下力F做功一样多,或由W=Flcos α计算,也可判断出四种情况力F做功一样多。故选C。
3.如图甲所示,静置于光滑水平面上坐标原点O处的小物块,在水平拉力F的作用下沿x轴方向运动,拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示。已知纵、横坐标轴单位长度代表的数值相同,纵、横坐标单位均为国际单位,曲线部分为半圆,则小物块运动到x0处时拉力所做的功为(　　)
[A]Fmx0
[B](Fm+F0)x0
[C](Fm-F0)x0+F0x0
[D]+F0x0
【答案】 C
【解析】 F-x图像的“面积”等于拉力做的功,则得到拉力做的功W=F0x0+π() 2=F0x0+,由题图乙可知,Fm-F0=,故W=(Fm-F0)x0+F0x0,C正确。
4.(2025·广东佛山阶段练习)如图所示,小明用与水平方向夹角为θ=37°的轻绳拉木箱,绳的拉力F=100 N,木箱由静止开始沿水平地面向右移动了一段距离L=10 m,木箱的质量为 m=
10 kg,木箱受到地面的摩擦力Ff=40 N,取 cos 37°=0.8。
(1)画出木箱的受力分析图;
(2)求绳的拉力及地面的摩擦力分别对木箱做的功;
(3)求合力对木箱做的总功。
【答案】 (1)图见解析　(2)800 J　-400 J (3)400 J
【解析】 (1)木箱受拉力F、重力G、地面的支持力FN和摩擦力Ff作用,如图所示。
(2)绳的拉力对木箱做的功
WF=FLcos θ=800 J,
地面的摩擦力对木箱做的功
Wf=-FfL=-400 J。
(3)重力和地面对木箱的支持力不做功,合力对木箱做的总功W=WF+Wf=400 J。
课时作业
(分值:70分)
考点一　功的理解和正负判断
1.(4分)用起重机将物体匀速吊起一段距离,作用在物体上的各力做功的情况是(　　)
[A]重力做正功,拉力做负功,合力做功为零
[B]重力做负功,拉力做正功,合力做正功
[C]重力做负功,拉力做正功,合力做功为零
[D]重力不做功,拉力做正功,合力做正功
【答案】 C
【解析】 用起重机将物体匀速吊起一段距离,重力方向与位移方向相反,重力做负功,拉力竖直向上,拉力与位移方向相同,拉力做正功,物体做匀速直线运动,处于平衡状态,所受合力为零,则合力做功为零,故C正确,A、B、D错误。
2.(4分)如图所示,有两箱相同的货物,现要用电梯将它们从一楼运送到二楼。其中图甲为用扶梯台式电梯匀速运送货物,图乙为用履带式自动电梯匀速运送货物,货物均相对扶梯静止。下列关于做功的判断中正确的是(　　)
[A]图甲中支持力对货物做正功
[B]图甲中摩擦力对货物做负功
[C]图乙中支持力对货物做正功
[D]图乙中摩擦力对货物做负功
【答案】 A
【解析】 对题图甲中货物受力分析,根据平衡条件可知货物受重力、扶梯对货物的支持力,不受摩擦力,支持力与货物的运动方向夹角为锐角,可知题图甲中支持力对货物做正功,故A正确,B错误;对题图乙中货物受力分析,货物受重力、履带对货物的支持力和履带对货物沿着履带向上的静摩擦力,履带对货物的支持力与货物的运动方向垂直,题图乙中支持力对货物不做功,履带对货物的摩擦力与货物运动方向相同,题图乙中摩擦力对货物做正功,故C、D错误。
3.(6分)(多选)如图所示,滑块a和b叠放在固定的斜面体上,从静止开始以相同的加速度一起沿斜面加速下滑。已知滑块b与斜面体间光滑接触,则在滑块a、b下滑的过程中,下列说法正确的是(　　)
[A]滑块b对a的支持力不做功
[B]滑块b对a的作用力不做功
[C]滑块b对a的摩擦力做正功
[D]滑块b对a的摩擦力做负功
【答案】 BC
【解析】 滑块b对a的支持力竖直向上,滑块a和b是一起沿着斜面下滑的,所以滑块b对a的支持力与运动方向之间的夹角大于90°,所以滑块b对a的支持力做负功,故A错误;滑块b对a的作用力包括滑块b对a的支持力和摩擦力的作用,它们的合力方向垂直于斜面向上,与运动的方向垂直,所以滑块b对a的作用力不做功,故B正确;滑块b对a的摩擦力沿着水平面向左,与运动方向之间的夹角小于90°,所以滑块b对a的摩擦力做正功,故C正确,D错误。
考点二　恒力做功的计算
4.(4分)如图所示,两个互相垂直的力F1和F2作用在同一物体上,使物体运动,发生一段位移后,力F1对物体做功为3 J,力F2对物体做功为4 J,则力F1与F2的合力对物体做功为(　　)
[A]7 J [B]5 J
[C]1 J [D]上述都不对
【答案】 A
【解析】 当有多个力对物体做功时,总功的大小就等于用各个力对物体做功的代数和。力F1与F2的合力对物体做功为W=3 J+4 J=7 J,故选A。
5.(4分)如图所示,一个质量为 0.26 kg的物体静止在水平面上,二者间动摩擦因数μ=0.4。现用F=1 N、与水平面夹角为37°的力斜向上拉动物体向右匀速运动了1 m。取 sin 37°=0.6,
cos 37°=0.8,g取10 m/s2。在此过程中,下列说法正确的是(　　)
[A]物体所受摩擦力不做功
[B]物体所受摩擦力做功大小为0.6 J
[C]拉力做功大小为0.6 J
[D]拉力做功大小为0.8 J
【答案】 D
【解析】 物体向右匀速运动,根据平衡条件可得物体所受摩擦力大小为Ff=Fcos 37°=0.8 N,物体向右匀速运动了L=1 m,可得摩擦力做功为Wf=-FfL=-0.8 J,A、B错误;拉力做功为WF=FLcos 37°=0.8 J,C错误,D正确。
6.(4分)在水平推力F作用下,光滑斜面与物块相对静止且沿水平面向左做匀加速直线运动,斜面倾角为α,物块质量为m,当斜面的位移为s时,斜面对物块做的功为(　　)
[A]0 [B]mgstan α
[C]mgscos 2α [D]Fs
【答案】 B
【解析】 由题意可知,斜面对物块只存在支持力FN,且物块在竖直方向上合力为零,即
FNcos α=mg,解得FN=,当斜面的位移为s时,斜面对物块的做功为W=FNssin α=mgstan α,
故选B。
考点三　变力做功的计算
7.(6分)(多选)如图所示,人以大小恒为10 N的拉力通过一根轻绳拉船,人收绳的速度恒为
1 m/s,将船从A位置拉到B位置,在A、B两位置,轻绳与水平方向的夹角分别为30°和60°,
A、B间的水平距离为4 m,则(　　)
[A]A位置船速大小为 m/s
[B]B位置船速大小为2 m/s
[C]船从A位置运动到B位置的过程中,人的拉力做的功为20 J
[D]船从A位置运动到B位置的过程中,人的拉力做的功为40(-1) J
【答案】 BD
【解析】 根据速度的合成与分解,可得A位置船速大小为vA== m/s,故A错误;同理可得B位置船速大小为vB==2 m/s,故B正确;船由A位置运动到B位置的过程中,人的拉力做的功W=F(2cos 30°-)=10×(2×4×-4) J=40(-1) J,故C错误,D正确。
8.(6分)(多选)如图甲所示,轻质弹簧放置在光滑的水平面上,左端系在墙上,与弹簧右端连接的质量为m的物块,在水平向右的拉力F的作用下,由静止开始向右运动,物块刚开始运动时,弹簧处于原长,弹簧对物块拉力的大小FT与物块向右运动的位移大小x的关系图像如图乙所示,在弹簧的弹性限度内,下列说法正确的是(　　)
[A]弹簧的总长等于物块向右运动的位移x的大小
[B]FTx关系图像的斜率表示弹簧的劲度系数
[C]若水平向右的拉力F为恒力,则物块的加速度越来越大
[D]物块向右运动的位移大小由x1变为x2的过程中,物块克服弹簧的拉力做的功为
【答案】 BD
【解析】 由于弹簧处于原长时,物块开始向右运动,所以物块向右运动的位移大小x等于弹簧的伸长量,小于弹簧的总长,A错误;由胡克定律FT=kx,可知k=,即FTx关系图像的斜率表示弹簧的劲度系数,B正确;由牛顿第二定律F-kx=ma,可得a=,当F为恒力时,随着物块向右运动的位移x的增大,物块的加速度a越来越小,C错误;物块向右运动的位移大小由x1变为x2的过程中,物块克服弹簧的拉力做的功在数值上等于题图乙阴影部分的面积,则有W=,D正确。
9.(6分)(多选)如图所示,一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块,并留在木块当中,在此过程中子弹钻入木块的深度为d,木块的位移为l,木块与子弹间的摩擦力大小为F,则(　　)
[A]F对木块做功为Fl
[B]F对木块做功为F(l+d)
[C]F对子弹做功为-Fd
[D]F对木块和子弹的摩擦力所做的总功为-Fd
【答案】 AD
【解析】 木块的位移为l,由W=Flcos α可得F对木块做功为Fl,故A正确,B错误;子弹的位移为 l+d,木块对子弹的摩擦力的方向与位移方向相反,故木块对子弹的摩擦力做负功,即W2=-F(l+d),故C错误;F对木块和子弹的摩擦力所做的总功为Fl+[-F(l+d)]=-Fd,故D正确。
10.(4分)(2025·江苏扬州期中)如图所示,甲、乙两名工人将相同的货物从斜面底端匀速推上平台。斜面粗糙程度相同,推力平行于斜面向上,则(　　)
[A]甲推力一定比乙小 [B]甲推力一定比乙大
[C]两人推力做功相等 [D]甲推力做功比乙多
【答案】 D
【解析】 设斜面倾角为θ,货物匀速运动,沿斜面方向受力平衡,有F=mgsin θ+μmgcos θ=
mgsin (θ+φ),其中μ=tan φ,由此可知,斜面倾角越大,(θ+φ)越大,但sin (θ+φ)不一定越大,所以甲和乙的推力大小关系无法确定,故A、B错误;设斜面高度为h,则推力做功为W=F·=(mgsin θ+μmgcos θ)=mgh(1+),由于左侧斜面倾角较小,tan θ较小,W较大,即甲推力做功比乙多,故C错误,D正确。
11.(10分)如图所示,水平的传送带以速度v=6 m/s顺时针运转,两传动轮M、N之间的距离为L=10 m,若在M轮的正上方,将一质量为m=3 kg的物体轻放在传送带上,已知物体与传送带之间的动摩擦因数μ=0.3,在物体由M处传送到N处的过程中,传送带对物体的摩擦力做了多少功 (g取 10 m/s2)
【答案】 54 J
【解析】 物体放在传送带上后的加速度a===μg=3 m/s2,
设一段时间后物体的速度增大到v=6 m/s,此后物体与传送带速度相同,二者之间不再相对滑动,滑动摩擦力随之消失,可见滑动摩擦力的作用时间为t== s=2 s,
在这2 s内物体水平向右运动的位移为
x=at2=×3×22 m=6 m故滑动摩擦力对物体所做的功为
W=Fx=μmgx=0.3×3×10×6 J=54 J。
12.(12分)一物体放在水平地面上,如图甲所示,已知物体所受水平拉力F随时间t的变化情况如图乙所示,物体相应的速度v随时间t的变化关系如图丙所示。求:
(1)0～6 s内物体的位移大小;
(2)0～10 s内摩擦力对物体所做的功;
(3)0～10 s内各力对物体做的总功。
【答案】 (1)6 m　(2)-30 J　(3)0
【解析】 (1)由题图丙可知0～6 s内物体的位移大小为x=×3 m=6 m。
(2)由题图丙可知,在6～8 s内,物体做匀速运动,此时摩擦力等于拉力,
故摩擦力大小Ff=2 N,
0～10 s 内物体的总位移大小为
x′=×3 m=15 m,
摩擦力对物体所做的功
Wf=-Ff·x′=-30 J。
(3)0～2 s内,物体静止,位移为0,拉力做功为0;2～6 s内,拉力F1=3 N,
位移大小x1=x=6 m,
拉力对物体所做的功
W1=F1·x1=18 J,
6～8 s内,拉力F2=2 N,
位移大小x2=3×(8-6)m=6 m,
拉力对物体所做的功
W2=F2·x2=12 J,
8～10 s内,拉力为0,做功为0,
所以0～10 s内各力对物体做的总功
W=W1+W2+Wf=0。(共49张PPT)
第2课时　功　率
1.通过经历比值定义法引入功率概念的过程,认识物理量之间的内在联系和相互关系,形成物理观念。2.通过经历极限思想得到瞬时功率的表达式,理解平均功率和瞬时功率的区别,并掌握其计算方法,形成科学思维。3.通过分析和练习,理解机车的两种启动方式,并能用力和运动的观点分析、解释实际生活中的现象。
[定位·学习目标]　
探究·必备知识
知识点一　功率
「探究新知」
功W
时间t
2.单位:在国际单位制中,功率的单位是 ,简称瓦,用符号W表示。
3.物理意义:功率是标量,它是表示物体做功 的物理量。
4.额定功率:发动机正常工作时输出的 功率。
5.实际功率:发动机实际工作时的输出功率,为了保证机械的安全,工作时尽量使P实 P额。
瓦特
快慢
最大
≤
(1)功率越大表示做的功越多。(　 　)
(2)功率表示做功的快慢。(　 　)
(3)力做功的时间越短,则功率越大。(　 　)
(4)机械发动机铭牌上的功率是指额定功率。(　 　)
正误辨析
×
√
×
√
知识点二　功率和速度的关系
「探究新知」
1.推导
Fv
2.关系式:P= 。
(1)若v是物体在恒力F作用下的平均速度,则 P=Fv对应这段时间内的
功率。
(2)若v是瞬时速度,则P表示该时刻的 功率。
3.应用:由功率速度关系知,汽车、火车等交通工具和各种起重机械,当发动机的输出功率P一定时,牵引力F与速度v成 比,要增大牵引力,就要 速度。
Fv
平均
瞬时
反
减小
正误辨析
(1)由P=Fv可知,物体受到的力F越大,功率P越小。(　 　)
(2)由公式P=Fv知,物体运动越快,功率不一定越大。(　 　)
(3)汽车爬坡时常常需要换高速挡。(　 　)
(4)沿水平方向运动的物体,速度越大,重力做功的功率越大。(　 　)
√
×
×
×
突破·关键能力
要点一　对功率的理解和计算
「情境探究」
如图所示,工作人员正用吊车将工程设备从地面上吊起。
探究:(1)将质量为m的工程设备以速度v匀速吊起,工程设备在t时间内匀速上升h高度。怎样计算吊车的功率 其瞬时功率如何计算
(2)若工程设备在相同的时间t内,从静止开始以加速度a匀加速上升高度h,该过程中吊车的平均功率是多少 其瞬时功率是多少
「要点归纳」
1.平均功率的计算
2.瞬时功率的计算
(1)利用公式P=Fvcos α,其中v为瞬时速度,α为F与v的夹角。
(2)利用公式P=FvF,其中vF为物体的速度在力F方向上的分速度。
(3)利用公式P=Fvv,其中Fv为物体所受的外力在速度v方向上的分力。
4.P=Fv中三个量的制约关系
定值 各量间的关系 应用
P一定 F与v 成反比 汽车上坡时,要增大牵引力,应换低速挡减小速度
v一定 F与P 成正比 汽车上坡时,若速度不变,应加大油门,增大输出功率,获得较大牵引力
F一定 v与P 成正比 汽车在平直高速公路上,加大油门,增大输出功率,可以提高速度
B
「典例研习」
(1)功率表示的是物体做功的快慢,而不是做功的多少,功率大,做功不一定多,反之亦然。
·特别提醒·
[例2] (功率的计算)如图所示,质量为 m=2 kg的木块在倾角θ=37°的足够长的固定斜面上由静止开始下滑,木块与斜面间的动摩擦因数为μ=0.5,取 sin 37°=
0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2,求:
(1)前2 s内重力做的功;
【答案】 (1)48 J
(2)前2 s内重力做功的平均功率;
【答案】 (2)24 W
(3)2 s末重力做功的瞬时功率。
【答案】 (3)48 W
【解析】 (3)木块在2 s末的速度大小为
v=at=2×2 m/s=4 m/s,
2 s末重力做功的瞬时功率为
P=mgsin θ·v=2×10×0.6×4 W=48 W。
(1)首先要明确是求哪个力的功率,汽车的功率是指汽车牵引力的功率,起重机的功率是指起重机钢丝绳拉力的功率。
·规律方法·
(3)若求瞬时功率,需明确是哪一时刻或哪一位置,应用公式P=Fv时,如果F、v不同向,则投影到相同方向再计算。
要点二　机车的两种启动方式
「情境探究」
汽车以两种不同的方式启动,一种方式是保持发动机的功率不变,另一种方式是保持加速度不变。
探究:(1)发动机的功率不变时,汽车的加速度能否保持不变
【答案】 (1)根据P=Fv,功率不变,速度增大时,牵引力必定减小,由牛顿第二定律可知,汽车的加速度减小。
(2)汽车的加速度不变时,发动机的功率能否保持不变
【答案】 (2)加速度不变,则牵引力不变,由P=Fv可知,随着速度的增大,发动机的功率不断增大。
1.以额定功率启动
(1)运动过程分析。
「要点归纳」
(2)这一过程的P-t图像和v-t图像如图所示。
2.以恒定加速度启动
(1)运动过程分析。
(2)这一过程的P-t图像和v-t图像如图所示。
3.机车启动问题中几个物理量的求法
[例3] (机车启动问题的定量计算)质量为m=1×103 kg的汽车,启动后沿平直路面行驶,如果发动机的输出功率恒为 P=6×104 W,且行驶过程中受到的阻力大小一定,汽车能够达到的最大速度为vm=40 m/s。
(1)求行驶过程中汽车受到的阻力Ff的大小;
「典例研习」
【答案】 (1)1 500 N
(2)当汽车的车速为10 m/s时,求汽车的瞬时加速度的大小。
【答案】 (2)4.5 m/s2
[例4] (机车启动与图像问题的综合运用)(2025·福建漳州期中)我国新能源汽车发展迅猛,已成为全球最大的新能源汽车产销国。质量为m=1 500 kg 的某新能源汽车在水平路面上以恒定加速度a=2 m/s2 启动,其 v-t 图像如图所示,其中OA段和BC段为直线。已知汽车动力系统的额定功率为P=60 kW,汽车所受阻力大小恒为 F阻=2 000 N。求:
(1)汽车能够达到的最大速度v2;
【答案】 (1)30 m/s
(2)汽车匀加速的最大速度v1;
【答案】 (2)12 m/s
(3)汽车匀加速的时间t1;
【答案】 (3)6 s
【解析】 (3)由v1=at1,
得t1=6 s。
(4)汽车速度为20 m/s时的加速度大小。
检测·学习效果
1.关于某力做功的功率,下列说法正确的是(　　)
[A]该力越大,其功率就越大
[B]该力在单位时间内做的功越多,其功率就越大
[C]功率越大,说明该力做的功越多
[D]功率越小,说明该力做功的时间越短
B
【解析】 根据P=Fv可知,力越大,功率不一定大,故A错误;功率等于单位时间内做功的多少,该力在单位时间内做功越多,功率越大,故B正确;功率是反映做功快慢的物理量,功率大,做功快,功率小,做功慢,功率大小不能说明做功多少或做功时间的长短,故C、D错误。
2.一小球做自由落体运动,第1 s内重力做功为W1,第2 s内重力做功为W2,在第1 s末重力的瞬时功率为P1,在第2 s末重力的瞬时功率为P2,则W1∶W2及 P1∶P2等于(　　)
[A]1∶3,1∶1 [B]1∶2,1∶3
[C]1∶3,1∶2 [D]1∶4,1∶2
C
3.如图所示,光滑水平面上有一个固定的四分之一光滑圆弧轨道,一小球在水平恒力F作用下,沿着圆弧轨道从A点由静止运动到B点,在此过程中F的瞬时功率变化情况是(　　)
[A]逐渐增大 [B]逐渐减小
[C]先增大再减小 [D]先减小再增大
C
【解析】 在A点,小球速度为零,根据P=Fv可知F的功率为零;在B点,小球速度方向沿切线方向,与F垂直,则F的功率为零;中间运动过程中P=Fvcos α,α为速度方向与力F的夹角,可知F的功率不为零,所以F的瞬时功率先增大再减小。故C正确,A、B、D错误。
4.如图所示的塔式起重机在将质量为m=2×103 kg的重物竖直吊起的过程中,重物由静止开始向上做匀加速直线运动,加速度a=0.4 m/s2,当起重机输出功率达到额定功率后保持该功率,直到重物以速度vm=1.04 m/s 做匀速运动。g取10 m/s2,不计额外功。求:
(1)起重机的额定功率P0;
【答案】 (1)2.08×104 W
【解析】 (1)起重机的额定功率为P0,重物达到最大速度vm时拉力F0等于重物重力,则有
P0=F0vm,
F0=mg,
解得P0=2.08×104 W。
(2)重物做匀加速直线运动所经历的时间。
【答案】 (2)2.5 s
【解析】 (2)匀加速运动结束时起重机达到额定功率P0,设此时拉力为F,重物速度为v,则有
F-mg=ma,
P0=Fv,
又v=at,
解得t=2.5 s。
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1　功与功率
第1课时　功
第八章　机械能守恒定律
1.通过阅读教材,掌握功的概念,理解功是力对空间的积累,形成物理观念。
2.通过对功的标量性的理解,掌握功的正负的物理意义,并能在具体情境中判断力做功的正负,形成科学思维和方法。3.通过对恒力做功和总功的理解与计算,理解并掌握“化变为恒”的思想求变力做功,形成科学思维。
[定位·学习目标]　
探究·必备知识
知识点一　功
「探究新知」
1.内容:力对物体所做的功,等于 、 的大小、力与位移夹角的 这三者的乘积。
2.功的公式:W= 。
3.功的单位:在国际单位制中,功的单位是 ,符号是 。1 J等于
使物体在 发生1 m位移的过程中所做的功,所以1 J=1 N×1 m= 。
4.功是 量。
力的大小
位移
余弦
Flcos α
焦耳
J
1 N的力
力的方向上
1 N·m
标
正误辨析
(1)有力作用在物体上,并且物体也发生了位移时,力对物体一定做了功。
(　 　)
(2)力是矢量,位移是矢量,所以功也是矢量。(　 　)
(3)公式W=Flcos α中的l是物体运动的路程。(　 　)
(4)物体受力越大,位移越大,力对物体做功越多。(　 　)
×
×
×
×
知识点二　正功和负功
「探究新知」
1.力对物体做正功或负功的条件
不
正
负
2.总功的计算
当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时,这几个力对物体所做的总功等于:
(1)各个力分别对物体所做功的 。
(2)几个力的 对物体所做的功。
代数和
合力
正误辨析
(1)一个力对物体做了负功,说明这个力一定阻碍物体的运动。(　 　)
(2)作用力做正功时,反作用力一定做负功。(　 　)
(3)力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角决定的。(　 　)
(4)合力的功等于各分力功的矢量和。(　 　)
√
×
√
×
突破·关键能力
要点一　对功的理解和正、负功判断
「情境探究」
探究:(1)大力推箱很累为什么还没有对箱子做功 力对物体做功需要什么条件
【答案】 (1)在推力的方向上没有位移,推力没有做功。力对物体做功的条件是物体受力且在力的方向上有位移。
(2)轻松推车为什么还对车做了功 人对车的力做正功还是负功
【答案】 (2)人对车有力且在力的方向上有位移。人对车的力做正功。
(3)若人向右拉车,但车仍向左运动,人对车的拉力对车做正功还是负功 人对车的运动是起促进作用还是阻碍作用
【答案】 (3)人对车的拉力对车做负功。人对车的运动起阻碍作用。
「要点归纳」
1.对功的理解
(1)做功的两个必要条件。
①物体受到力的作用。
②物体在力的方向上有位移。
(2)功是标量,没有方向,但有正负。
(3)功是过程量,功是力在空间上的积累效果,求功时要明确是哪个力在哪段位移上做的功。
2.判断功的正、负的方法
(1)根据力F与物体位移l方向的夹角α判断——常用于恒力做功的情形。
(2)根据力与物体瞬时速度方向的夹角θ判断——常用于曲线运动的情形。
如图所示:
①若夹角θ是锐角,力做正功;
②若夹角θ是钝角,力做负功;
③若夹角θ是直角,力不做功。
注意:某力对物体做负功,往往说成物体克服这个力做功(绝对值)。例如,滑动摩擦力对物体做功为-10 J,也可以说成物体克服滑动摩擦力做功 10 J。
3.对功的正、负的理解
项目 动力学角度 能量角度
正功 若某力对物体做正功,则这个力对物体来说是动力 若某力对物体做正功,则外界向物体提供能量,即受力物体获得了能量
负功 若某力对物体做负功,则这个力对物体来说是阻力 若物体克服外力做功,则物体要消耗自身的能量,即物体失去了能量
[例1] (对功的理解)关于功的概念,以下说法正确的是(　　)
[A]力F1、F2做功分别是W1=10 J、W2=-15 J,则W1、W2的方向相反
[B]功有正、负之分,若某个力对物体做负功,表明这个力对该物体的运动起阻碍作用
[C]若某一个力对物体不做功,说明该物体一定没有位移
[D]某物体通过一段位移,作用在该物体上的力一定都不做功
B
「典例研习」
【解析】 功是标量,功有正、负之分,但功的正、负不是表示方向,而是表示力对物体的做功效果,A错误,B正确;当力的方向和物体位移的方向垂直时,该力对物体不做功,此时物体的位移可能不为零,C错误;当力与位移的夹角不是90°时,力对物体做功,D错误。
[例2] (对正功和负功的理解及判断)手拿球拍托着乒乓球跑是校运动会的一项常见的趣味项目,如图所示,某段时间内乒乓球相对球拍静止一起水平向右做匀速直线运动,若不计空气阻力,则此过程中(　　)
[A]乒乓球受到的重力对乒乓球做负功
[B]乒乓球所受合力对乒乓球做正功
[C]球拍对乒乓球的摩擦力不做功
[D]球拍对乒乓球的支持力对乒乓球做正功
D
【解析】 乒乓球受到的重力方向与运动方向垂直,可知重力对乒乓球不做功,选项A错误;乒乓球做匀速运动,合力为零,可知所受合力对乒乓球不做功,选项B错误;球拍对乒乓球的摩擦力沿斜面向上,与速度方向夹角为钝角,可知摩擦力对乒乓球做负功,选项C错误;球拍对乒乓球的支持力与球拍垂直,与速度方向夹角为锐角,则支持力对乒乓球做正功,选项D正确。
要点二　恒力做功的计算
「情境探究」
马拉着小车(包括人)沿水平面匀速前进了一段距离。
探究:(1)小车(包括人)受到几个力的作用 每个力对小车做功吗 做正功还是负功
【答案】 (1)小车(包括人)受4个力作用:重力、支持力、拉力、摩擦力,其中拉力做正功,摩擦力做负功,重力和支持力不做功。
(2)马对小车做的功是否等于马的拉力F和小车的位移l的乘积
【答案】 (2)不等于。因为W=Flcos α(设F与水平方向夹角为α)。
(3)若小车做匀加速运动,合力做什么功 若小车做匀减速运动,合力做什么功 怎样求合力做的功
【答案】 (3)若小车做匀加速运动,则合力做正功。若小车做匀减速运动,则合力做负功。合力做的功等于拉力F做的功与摩擦力做的功的代数和,或者等于拉力和摩擦力的合力做的功。
1.对功的公式W=Flcos α的理解
「要点归纳」
相关性 由公式W=Flcos α可以看出力对物体做功,只与F、l、α有关,与物体的运动状态及物体是否还受其他作用力等因素均无关
同时性 计算时应注意F与l必须具有同时性,即l必须是力F作用过程中物体发生的位移
同一性 同一个客观运动,相对于不同的参考系,位移l是不同的,在中学物理中约定,计算功都以地面为参考系,即l应理解为“受力质点的对地位移”
适用性 明确公式W=Flcos α适用于计算恒力做功,若是变力做功,此公式不再适用
2.恒力做功的计算
(1)W等于力F乘物体在力F方向上的分位移lcos α,即物体的位移分解为沿F方向上和垂直于F方向上的两个分位移l1和l2,则力F做功W=Fl1=Flcos α。
(2)W等于力F在位移l方向上的分力Fcos α乘物体的位移l,即将力F分解为沿l方向上和垂直于l方向上的两个分力F1和F2,则力F做功W=F1l=Fcos α·l。
3.计算总功的思路
由合力与分力的等效替代关系知,合力与分力做功也是可以等效替代的,因此计算总功时有两种基本思路:
(1)
(2)
[例3] (恒力做功的计算)重5 N的滑块从长为1 m、倾角为37°的斜面顶端滑至底端,这一过程中重力做功(取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)(　　)
[A]5 J [B]4 J [C]3 J [D]0
C
「典例研习」
【解析】 方法一　当力与位移成一定夹角时,将力沿位移和垂直于位移方向分解,只有沿位移方向分力做功。将重力沿斜面和垂直于斜面分解,只有沿斜面方向分力做功,则W=Gsin 37°·l=5×0.6×1 J=3 J。
方法二　当力与位移成一定夹角时,将位移沿力和垂直于力方向分解,力做功只与沿力方向位移有关。由题知,位移为l=1 m,方向与水平方向成37°角。沿水平方向和竖直方向分解位移,得到竖直方向的位移h=lsin 37°=1×0.6 m=
0.6 m,由功的定义式得W=Gh=5×0.6 J=3 J。
方法三　直接利用恒力做功公式W=Flcos α,则这一过程重力做功W=G·lcos(90°-37°)=3 J。
[例4] (总功的计算)甲、乙两人在河的两岸同时用绳拉船,使船在河的中间沿直线路径行驶,甲、乙的拉力分别为F1和F2,其大小和方向如图所示,在船行驶80 m的过程中,用两种方法求合力对船做的功。
【答案】 (1)200 N　1.6×104 J　
(1)先求出合力,再求合力做的功。
(2)先求出两个分力F1和F2做的功,再求两个功的代数和。比较两种方法计算的结果,你能得出什么结论
【答案】 (2)4 000 J　12 000 J　16 000 J　两种方法计算的结果相同,说明用两种方法求外力的总功效果是一样的
(1)求合力做功的两种方法的选择。
①几个恒力同时作用时,两种方法均可用,选择计算简便的方法。
②若几个力作用有先后,则只能先求各个力做的功,再利用求代数和的方法求合力的功。
(2)正、负号参与运算:由于功是标量,所以总功等于各个力分别对物体所做的功的代数和,“+”“-”号要参与计算。因此,正确判断各个力做功的正、负是计算总功的前提。
·规律方法·
要点三　求变力做功的常用方法
「情境探究」
力F对物体所做的功可由公式W=Flcos α求得。但用这个公式求功是有条件的,即力F必须是恒力。而实际问题中,有很多情况是变力在对物体做功。那么,用这个公式不能直接求变力做的功,我们就需要通过其他的一些方法来求解力F所做的功。如图,在甲、乙、丙三种情况下:
探究:(1)图甲中若F大小和方向均不变,物块从A运动到C过程中力F做的功为多少
【答案】 (1)题图甲中,因沿着同一根绳,则力对绳做的功等于绳对物块做的功,故物块从A运动到C过程中力F做的功为W=F(O′A-O′C)。
(2)图乙中,全过程中F做的总功为多少
【答案】 (2)题图乙中,F-x图像的面积代表功,则全过程中F做的总功为W=15×6 J+(-3)×6 J=72 J。
(3)图丙中,绳长为l,若空气阻力Ff大小不变,小球从A运动到B过程中空气阻力做的功为多少
求变力做功的常用方法
「要点归纳」
图 像 法 变力做的功W可用F-l图线与l轴所包围的面积表示。l轴上方的面积表示力对物体做正功的多少,l轴下方的面积表示力对物体做负功的多少
「典例研习」
【答案】 1×107 J
方法二　图像法
牵引力表达式为F=103x+0.5×105(N),其函数图像如图所示。
根据F-x图像所围的面积表示牵引力所做的功,故牵引力所做的功等于梯形OABD的“面积”。
C
要点四　一对平衡力、一对相互作用力和一对摩擦力做功
「情境探究」
如图所示,在光滑的水平面上,物体A放在长为l的木板B的右端,现用水平力F向右拉木板。
探究:(1)若物体A相对木板B滑动,当B前进x时,物体A从木板B左端滑下。已知A、B间的滑动摩擦力为Ff,摩擦力分别对A、B做了多少功 这一对滑动摩擦力做功的总和为多少
【答案】 (1)滑动摩擦力对A做的功为Ff(x-l),对B做的功为-Ffx,这一对滑动摩擦力做功的总和为-Ffl。
(2)若物体A相对木板B没有滑动,已知当B前进x时,物体A受到的静摩擦力为Ff′,静摩擦力分别对A、B做了多少功 这一对静摩擦力做功的总和为多少
【答案】 (2)静摩擦力对A做的功为Ff′x,对B做的功为-Ff′x,这一对静摩擦力做功的总和为0。
1.一对平衡力做功的特点
一对平衡力作用在同一物体上,若物体静止,则两个力都不做功;若物体运动,则这一对力所做的功在数值上一定相等,一正一负或均为零。
「要点归纳」
2.一对相互作用力做功
(1)作用力与反作用力做功的分析。
作用力与反作用力总是大小相等、方向相反,作用在两个物体上,相互作用的两个物体,可能向相反方向运动;也可能向同一方向运动;可能一个运动,另一个静止;还可能两个都静止。因此分析一对作用力与反作用力做功情况时,一定要根据功的定义,结合具体运动情况分析。
(2)相互作用力做功的常见情况。
类型 图示 条件 说明
两个力可以均不做功 水平面上静止物体受到的支持力和物体对水平面的压力 因为两个物体都静止,所以两个力做功都为0
其中一个力做功,另一个力可以不做功 用力把木板A从B下抽出 摩擦力对B做功为0,摩擦力对A做负功
其中一个力做正功,另一个力可以做负功 在推力F的作用下,A、B加速运动 A、B间的弹力对A做负功,对B做正功
两个力均做正功 放在水平面上的两个相向运动的磁体 吸引力对两个磁体都做正功
两个力均做负功 放在水平面上的两个反向运动的磁体 吸引力对两个磁体都做负功
(3)一对作用力和反作用力做的总功可正可负,也可为零。
3.静摩擦力做功的特点
(1)静摩擦力可以做正功,可以做负功,也可以不做功。例如:
①如图甲所示,A、B一起匀加速运动,A受B的静摩擦力对A做负功;B受A的静摩擦力对B做正功。
②手握瓶子竖直向下运动,瓶子所受静摩擦力竖直向上,静摩擦力做负功。
③如图乙所示,物块在水平转盘上随转盘匀速转动,静摩擦力提供向心力,时刻指向圆心,与运动方向始终垂直,不做功。
(2)一对静摩擦力若一个做正功,则另一个做负功,正功、负功数值相等,做功的代数和总为零。
一对静摩擦力位移一定相同,大小一定相同,但方向相反,所以二者做功一定大小相同,但正负不同,所以做功的总和为零。例如,如图丙所示,光滑水平地面上叠放滑块A、B,在力F作用下保持相对静止且一起向右匀加速运动,B对A的静摩擦力向右做正功,A对B的静摩擦力向左做负功,总功为零。
4.滑动摩擦力做功
(1)滑动摩擦力可以做正功,可以做负功,还可以不做功。例如:
①如图甲所示,将物体由静止放到匀速运动的水平传送带上,物体加速过程所受的滑动摩擦力与物体运动方向相同,滑动摩擦力做正功。
②如图乙所示,物体沿固定斜面下滑,物体所受滑动摩擦力做负功,斜面受物体的滑动摩擦力不做功。
(2)一对滑动摩擦力可以一个做正功,一个做负功;可以一个做负功,一个不做功;可以同时做负功。做功的代数和总为负。例如:
①如图甲所示,vA>vB,A所受滑动摩擦力与A的速度方向相反,做负功;B所受滑动摩擦力与B的速度方向相同,做正功,总功为负。
②如图乙所示,光滑水平面上,水平向右拉出A的过程中,B静止,A所受B的滑动摩擦力做负功,B所受A的滑动摩擦力不做功,总功为负。
③如图丙所示,用水平力F1、F2将叠放的滑块A、B分开的过程中,两滑块所受滑动摩擦力均做负功,总功为负。
(3)滑动摩擦力做功的分析和计算。
①在滑动摩擦力大小、方向都不变的情况下,应该用Wf=Fflcos α求Ff做的功。
②当滑动摩擦力大小不变,方向改变时,由微元法,可将变力功等效成恒力功求和,从而求得Ff做的功。
③当滑动摩擦力大小、方向都在时刻改变时,由功的公式定性讨论摩擦力做功的大小变化情况。
「典例研习」
[例7] (平衡力与相互作用力做功的区别)(多选)关于一对作用在质点上的平衡力和一对作用力和反作用力做功,下列说法正确的是(　　 )
[A]一对平衡力做功要么为零,要么做功数值相同,符号相反
[B]一对作用力和反作用力做功一定是做功数值相同,符号相反
[C]一对作用力和反作用力做功可以是做功数值不相同,符号相同
[D]一对平衡力做功可以是数值相同,符号相同
AC
【解析】 一对平衡力作用在一个物体上,合力为零,其作用效果相互抵消,则其合力做的功为零,则做功要么为零,要么做功数值相同,符号相反,A正确,D错误;一对作用力和反作用力作用在两个物体上,由于两个物体的位移没有必然的关系,则其做功的大小没有必然的联系,故一对作用力和反作用力做功可以是做功数值不相同,符号相同,B错误,C正确。
[例8] (摩擦力做功)关于摩擦力做功,下列说法正确的是(　　)
[A]滑动摩擦力总是阻碍物体的相对运动,所以一定做负功
[B]静摩擦力起着阻碍物体相对运动趋势的作用,静摩擦力一定不做功
[C]静摩擦力和滑动摩擦力一定都做负功
[D]滑动摩擦力可以对物体做正功
D
【解析】 摩擦力总是阻碍物体间的相对运动或相对运动趋势,但是摩擦力对物体既可以做正功,也可以做负功,还可以不做功。综上所述,只有D正确。
检测·学习效果
1.下列关于功的说法正确的是(　　)
[A]一个力作用在物体上,如果这个力做功为零,则该物体一定处于静止状态
[B]由于功是标量,所以+6 J的功大于-30 J的功
[C]物体所受多个力做功的代数和等于这几个力的合力做的功
[D]相互接触的两物体间一对滑动摩擦力做功之和一定等于零
C
【解析】 一个力作用在物体上,如果这个力做功为零,该物体不一定处于静止状态,可能是运动方向与力的方向垂直,故A错误;功是标量,但功的正负不是表示大小,+6 J的功小于-30 J的功,故B错误;物体所受多个力做功的代数和等于这几个力的合力做的功,故C正确;由于相互接触的两物体间的一对滑动摩擦力大小相等,但两物体发生的位移大小不相等,伴随机械能的损耗,所以一对滑动摩擦力做功的总和恒为负值,故D错误。
2.如图所示,用同样大小的力F拉同一物体,在甲(光滑水平面)、乙(粗糙水平面)、丙(光滑斜面)、丁(粗糙斜面)上通过同样的距离,则拉力F的做功情况是(　　)
[A]甲中做功最少 [B]丁中做功最多
[C]做功一样多 [D]无法比较
C
【解析】 功是力和在力的方向上的位移的乘积,四种情况下力和在力的方向上的位移都相同,所以四种情况下力F做功一样多,或由W=Flcos α计算,也可判断出四种情况力F做功一样多。故选C。
3.如图甲所示,静置于光滑水平面上坐标原点O处的小物块,在水平拉力F的作用下沿x轴方向运动,拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示。已知纵、横坐标轴单位长度代表的数值相同,纵、横坐标单位均为国际单位,曲线部分为半圆,则小物块运动到x0处时拉力所做的功为(　　)
C
4.(2025·广东佛山阶段练习)如图所示,小明用与水平方向夹角为θ=37°的轻绳拉木箱,绳的拉力F=100 N,木箱由静止开始沿水平地面向右移动了一段距离L=10 m,木箱的质量为 m=10 kg,木箱受到地面的摩擦力Ff=40 N,取 cos 37°=0.8。
(1)画出木箱的受力分析图;
【答案及解析】 (1)木箱受拉力F、重力G、地面的支持力FN和摩擦力Ff作用,如图所示。
(2)求绳的拉力及地面的摩擦力分别对木箱做的功;
【答案】 (2)800 J　-400 J
【解析】 (2)绳的拉力对木箱做的功
WF=FLcos θ=800 J,
地面的摩擦力对木箱做的功
Wf=-FfL=-400 J。
(3)求合力对木箱做的总功。
【答案】 (3)400 J
【解析】 (3)重力和地面对木箱的支持力不做功,合力对木箱做的总功W=WF+Wf=400 J。
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