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2　重力势能
1.通过利用微元法求解物体沿曲面下滑过程中重力所做的功,认识重力做功与物体运动路径无关的特点,形成科学思维方法。2.通过实例分析,掌握重力势能的概念及表达式,知道重力势能的相对性,且是物体和地球组成的系统所共有的,理解重力做功与重力势能变化的关系,形成物理观念。3.通过归纳和比较,了解和认识弹性势能,知道各种势能的共同特征——与相互作用的物体的相对位置有关,为以后学习其他势能打下基础。
[定位·学习目标]　
探究·必备知识
知识点一　重力做功与重力势能
「探究新知」
1.重力做的功
(1)功的大小:WG= =mgh1-mgh2。
(2)做功的特点:物体运动时,重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置
,而跟物体运动的路径 。
mgΔh
有关
无关
2.重力势能
(1)大小:Ep= 。
(2)单位:在国际单位制中,重力势能的单位是 ,符号为 。
(3)重力做的功与重力势能的关系。
①WG=Ep1-Ep2,其中Ep1表示物体在初位置的重力势能,Ep2表示物体在末位置的重力势能。
②重力做正功,重力势能 ;重力做负功,重力势能 。
mgh
焦耳
J
减少
增加
正误辨析
(1)物体的高度只要发生变化,其重力一定做功。(　 　)
(2)重力做功多少取决于物体的重力和它通过的路程。(　 　)
(3)当重力做功WG=-20 J时,物体的重力势能减少 20 J。(　 　)
(4)物体由高处到低处,重力一定做正功,重力势能一定减少。(　 　)
√
×
×
√
知识点二　重力势能的相对性
「探究新知」
1.参考平面:物体的重力势能总是相对于 来说的,这个 叫作参考平面。在这个水平面上,物体的重力势能取为 。
2.重力势能的相对性:Ep=mgh中的h是物体重心相对参考平面的高度。选择不同的参考平面,物体重力势能的数值是 的,但重力势能的差值
。
某一水平面
水平面
0
不同
相同
3.标矢性
重力势能是标量,但有正、负值,其正、负表示物体具有的重力势能相对于参考平面上所具有的重力势能的大小。
(1)正值表示物体位于参考平面以上,其重力势能Ep 0。
(2)负值表示物体位于参考平面以下,其重力势能Ep 0。
例如,Ep1=100 J,Ep2=-100 J,则Ep1>Ep2。
>
<
正误辨析
(1)某物体处于三楼,它的重力势能一定大于0。(　 　)
(2)在同一高度的质量不同的两个物体,它们的重力势能一定不同。(　 　)
(3)物体甲的重力势能Ep甲=-5 J,物体乙的重力势能Ep乙=-8 J,则Ep甲>Ep乙。
(　 　)
×
×
√
知识点三　弹性势能
「探究新知」
1.定义:发生 形变的物体的各部分之间,由于有 的相互作用而具有的势能,叫弹性势能。
2.影响弹性势能的因素
(1)弹性势能跟形变大小有关:同一弹簧,在弹性限度内,形变 ,弹簧的弹性势能就越大。
(2)弹簧的弹性势能跟劲度系数有关:在弹性限度内,不同的弹簧发生同样大小的形变,劲度系数 ,弹性势能越大。
弹性
弹力
越大
越大
正误辨析
(1)撑竿跳高的运动员上升过程中,竿的弹性势能增加。(　 　)
(2)人拉长弹簧过程中,弹簧的弹性势能增加。(　 　)
(3)不同弹簧发生相同形变量时弹性势能相同。(　 　)
(4)小球被弹簧向上弹起的过程中,弹簧的弹性势能增加。(　 　)
√
×
×
×
突破·关键能力
要点一　对重力做功的理解与计算
「情境探究」
如图所示,一个质量为m的物体,从高度为h1的位置A分别按下列三种方式运动到高度为h2的位置B。
探究:(1)求出图甲情形中重力做的功;
【答案】 (1)题图甲中WG=mgΔh=mgh1-mgh2。
(2)求出图乙情形中重力做的功;
【答案】 (2)题图乙中WAB′=mglcos θ=mgΔh=mgh1-mgh2,WB′B=0,故WAB=
mgΔh=mgh1-mgh2。
(3)求出图丙情形中重力做的功;
【答案】 (3)题图丙中把整个路径AB″分成许多很短的间隔AA1,A1A2,…,由于每一段都很小,每一小段都可以近似地看成一段倾斜的直线,设每段小斜线的高度差分别为Δh1,Δh2,…,由(2)可知物体通过每段小斜线时重力做的功分别为mgΔh1,mgΔh2,…。则WAB″=mgΔh1+mgΔh2+…=mg(Δh1+Δh2+…)=
mgΔh,WB″B=0,故WAB=mgΔh=mgh1-mgh2。
(4)说明重力做功有什么特点。
【答案】 (4)物体运动时,重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关,而跟物体运动的路径无关。
「要点归纳」
1.重力做功只与重力和物体高度变化有关,与受到的其他力及物体的运动状态、运动路径均无关。
2.物体下降时重力做正功,WG=mgh;物体上升时重力做负功,WG=-mgh。
3.重力做功的特点可推广到任一恒力做功,即恒力做功的特点是:与具体路径无关,即恒力做的功等于力与在力的方向上的位移大小的乘积,跟初、末位置有关。
「典例研习」
B
在一些往复运动或多个运动的复杂问题中求解重力做功时,可以利用重力做功的特点,找出初、末位置的高度差Δh,直接利用公式WG=mgΔh求解即可,无须考虑中间的复杂运动过程。
·规律总结·
要点二　对重力势能的理解与计算
「情境探究」
如图所示为一座二层小楼,甲同学在二层地板上,乙同学在一层地板上,层高为h,若已知甲同学的质量为m,重心离二层地板高度为L。
探究:(1)甲同学的重力势能可以为负吗 乙同学的重力势能一定为零吗
【答案】 (1)甲同学的重力势能可以为负;乙同学的重力势能不一定为零,与零势能参考平面的选择有关。
(2)以A所在的水平面为零势能参考平面,甲同学的重力势能为多少 甲同学从二楼地板下到一楼地板(仍处于站立状态)重力势能变化了多少
【答案】 (2)-mg(h-L);-mgh。
(3)以B所在的水平面为零势能参考平面,甲同学的重力势能为多少 甲同学从二楼地板下到一楼地板(仍处于站立状态)重力势能变化了多少
【答案】 (3)mg(h+L);-mgh。
1.重力势能的“五性”
(1)重力势能的标量性:重力势能是标量,只有大小没有方向,但有正负,重力势能的正负表示比零势能大或比零势能小。对于选定的参考平面,物体在参考平面上方时,重力势能为正;在参考平面下方时,重力势能为负;在参考平面上时,重力势能为零。正的重力势能大于负的重力势能。
「要点归纳」
(2)重力势能的相对性:由于重力势能表达式为Ep=mgh,高度h的相对性决定了重力势能具有相对性。对于同一物体,选取不同的水平面作为参考平面,其重力势能具有不同的数值,即重力势能的大小与参考平面的选取有关。
(3)重力势能变化量的绝对性:物体在两个高度不同的位置时,由于高度差一定,重力势能之差也是一定的,即物体的重力势能的变化量与参考平面的选取无关。
(4)重力势能的任意性:重力势能的零势能参考平面的选取是任意的,一般以处理问题方便为原则。常选取地面或物体运动时所达到的最低点为参考平面。
(5)重力势能的系统性:重力是由于地球对物体的吸引而产生的,如果没有地球对物体的吸引,就不会有重力,也不存在重力势能,所以重力势能是物体和地球这个系统共同具有的,平时所说的“物体的重力势能”只是一种简化的说法。
2.重力做功与重力势能变化的关系
(1)因果关系。
重力做功是物体重力势能变化的原因,与其他因素无关。
(2)数量关系。
WG=mgh1-mgh2=Ep1-Ep2=-(Ep2-Ep1)=-ΔEp。
即重力所做的功等于物体重力势能的减少量。
(3)相互关系。
①当物体由高处运动到低处时,WG>0,则ΔEp<0,表明重力做正功时,重力势能减少,减少的重力势能等于重力做的功。
②当物体由低处运动到高处时,WG<0,则ΔEp>0,表明重力做负功时,重力势能增加,增加的重力势能等于克服重力做的功。
[例2] (2025·广东湛江阶段练习)如图所示,可视为质点的小球位于桌子的上方,从A点运动到B点,小球质量m=1 kg,h1=1 m,h2=0.6 m,g取10 m/s2,以桌面为参考平面,下列说法错误的是(　　)
[A]从A点运动到B点小球的重力势能变化量为16 J
[B]小球在A点的重力势能是10 J
[C]从A点运动到B点小球重力做的功是16 J
[D]若取地面为参考平面,从A点运动到B点小球重力做的功是16 J
A
「典例研习」
【解析】 小球在A点的重力势能是EpA=mgh1=1×10×1 J=10 J,选项B正确,不符合题意;从A点运动到B点小球的重力做功WG=mg(h1+h2)=1×10×
(1+0.6)J=16 J,则重力势能变化量为 -16 J,选项A错误,符合题意,C正确,不符合题意;若取地面为参考平面,从A点运动到B点小球重力做的功仍是16 J,选项D正确,不符合题意。
要点三　对弹性势能的理解
「情境探究」
将圆珠笔里的弹簧取出,再用硬卡纸做个小纸帽,套在弹簧上(如图)。用力把小纸帽往下压,使弹簧产生一定的弹性形变,然后迅速放开手,看看小纸帽能弹多高。
探究:(1)用大小不同的力使弹簧产生大小不同的弹性形变,重复做几次,小纸帽弹起的高度与弹簧形变量的大小有什么关系
【答案】 (1)弹簧产生的弹性形变越大,小纸帽弹起的高度越高。
(2)换用不同劲度系数的弹簧使弹簧发生相同的弹性形变,小纸帽弹起的高度与劲度系数有什么关系
【答案】 (2)在相同弹性形变下,劲度系数越大的弹簧,小纸帽弹起的高度越高。
(3)由上面两个实验,判断弹簧的弹性势能与哪些因素有关。
【答案】 (3)弹簧弹性势能与弹簧的形变量大小及劲度系数有关。
1.对弹性势能的理解
(1)(弹簧)弹性势能的影响因素。
①弹簧的形变量x。
②弹簧的劲度系数k。
(2)相对性:弹性势能的大小与选定的弹性势能为零的位置有关,对于弹簧,一般规定弹簧处于原长时的弹性势能为零。
(3)系统性:弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量,因此弹性势能具有系统性。
「要点归纳」
2.弹力做功与弹性势能变化的关系
W弹=Ep1-Ep2=-ΔEp。
(1)弹力做正功,弹性势能减少,弹力做功的数值等于弹性势能的减少量。
(2)弹力做负功,弹性势能增加,弹力做功的数值等于弹性势能的增加量。
[例3] (多选)(2025·河北石家庄阶段练习)如图所示,光滑的水平面上,物体与水平轻质弹簧相连,物体在O点时弹簧处于原长状态,把物体向右拉到A处由静止释放,物体会由A向A′运动,A、A′关于O点对称,弹簧始终在弹性限度内,则(　 　)
[A]物体由A向O运动的过程中,物体对弹簧做正功,弹性势能逐渐减少
[B]物体由O向A′运动的过程中,物体对弹簧做正功,弹性势能逐渐增加
[C]在A、A′两处弹性势能相等
[D]物体在A处时弹性势能为正值,在A′处时弹性势能为负值
BC
「典例研习」
【解析】 物体由A向O运动的过程中,弹簧对物体弹力向左,物体对弹簧的力向右,物体对弹簧做负功,弹性势能逐渐减少,故A错误;物体由O向A′运动的过程中,弹簧对物体弹力向右,物体对弹簧的力向左,物体对弹簧做正功,弹性势能逐渐增加,故B正确;A、A′两处关于O点对称,弹簧的形变量大小相等,弹性势能相等,故C正确,D错误。
提升·核心素养
非质点类物体重力势能变化的计算
「核心归纳」
计算绳子、链条和液体类物体的重力势能时,重心位置的确定是关键:粗细均匀、质量分布均匀的长直绳子或链条,其重心在几何中心;规则容器内的液体,重心在几何中心。
(1)当绳子、链条呈直线状(或水平或竖直或倾斜)形式放置时,Ep=mgh中的“h”表示几何中心位置相对于参考平面的高度。
(2)当绳子、链条不呈直线状(如折线)形式放置时,应当分段表示重力势能再求代数和。
(3)对于容器内的液体,应当根据液体在容器内的分布情况,确定各部分的重心位置,再根据参考平面,确定各部分的重力势能及其变化情况。
「典例研习」
(1)取桌面为参考平面,链条的重力势能为多少 从放手到链条A端刚滑离桌面过程中链条的重力势能变化了多少
(2)取B端所在的水平面为参考平面,链条的重力势能为多少 从放手到链条A端刚滑离桌面过程中链条的重力势能变化了多少
检测·学习效果
1.如今高层居民小区越来越多,而电梯停运将给高层住户的生活带来很多不便。家住10楼的某同学某次停电时步行从一楼走楼梯回家,已知该同学质量为50 kg,每层楼的高度为3 m,g取10 m/s2。则在这个过程中(　　)
[A]重力做负功,楼梯的支持力做正功
[B]重力做负功,楼梯的支持力不做功
[C]该同学重力势能增加1.5×105 J
[D]该同学重力势能增加1.35×105 J
B
【解析】 上楼梯时,重力方向竖直向下,所以重力做负功,楼梯的支持力方向竖直向上,受支持力时没有位移,楼梯的支持力不做功,故A错误,B正确;整个上楼过程中,重力做的功为WG=-mgh=-50×10×27 J=-1.35×104 J,根据功能关系,重力做负功,所以重力势能增加1.35×104 J,故C、D错误。
2.如图所示,质量为m的物块A置于水平地面上,原长为L、劲度系数为k的轻质弹簧下端与物块A相连接。现将弹簧上端点P缓慢地竖直提起一段高度h,使物块A离开地面,以地面为参考平面,重力加速度为g,这时物块A具有的重力势能为(　　)
A
3.如图所示,撑竿跳高运动员自起跳到跨越横杆的过程中,撑竿先发生弯曲再恢复到原状。在此过程中,下列说法正确的是(　　)
[A]重力对运动员做正功
[B]撑竿的弹性势能一直减小
[C]撑竿的弹性势能一直增大
[D]撑竿的弹性势能先增大后减小
D
【解析】 运动员向上运动,重力做负功,撑竿先发生弯曲再恢复到原状,弹性势能先增大后减小。故选D。
4.在水平地面上平铺n块砖,每块砖的质量均为m,厚度均为h,如图所示,若将砖一块一块地竖直叠放起来,在此过程中,重力做多少功 重力势能如何变化,变化了多少 (重力加速度为g)
感谢观看2　重力势能
[定位·学习目标]　1.通过利用微元法求解物体沿曲面下滑过程中重力所做的功,认识重力做功与物体运动路径无关的特点,形成科学思维方法。2.通过实例分析,掌握重力势能的概念及表达式,知道重力势能的相对性,且是物体和地球组成的系统所共有的,理解重力做功与重力势能变化的关系,形成物理观念。3.通过归纳和比较,了解和认识弹性势能,知道各种势能的共同特征——与相互作用的物体的相对位置有关,为以后学习其他势能打下基础。
知识点一　重力做功与重力势能
探究新知
1.重力做的功
(1)功的大小:WG=mgΔh=mgh1-mgh2。
(2)做功的特点:物体运动时,重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关,而跟物体运动的路径无关。
2.重力势能
(1)大小:Ep=mgh。
(2)单位:在国际单位制中,重力势能的单位是焦耳,符号为 J。
(3)重力做的功与重力势能的关系。
①WG=Ep1-Ep2,其中Ep1表示物体在初位置的重力势能,Ep2表示物体在末位置的重力势能。
②重力做正功,重力势能减少;重力做负功,重力势能增加。
正误辨析
(1)物体的高度只要发生变化,其重力一定做功。(　√　)
(2)重力做功多少取决于物体的重力和它通过的路程。(　×　)
(3)当重力做功WG=-20 J时,物体的重力势能减少 20 J。(　×　)
(4)物体由高处到低处,重力一定做正功,重力势能一定减少。(　√　)
知识点二　重力势能的相对性
探究新知
1.参考平面:物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的,这个水平面叫作参考平面。在这个水平面上,物体的重力势能取为 0。
2.重力势能的相对性:Ep=mgh中的h是物体重心相对参考平面的高度。选择不同的参考平面,物体重力势能的数值是不同的,但重力势能的差值相同。
3.标矢性
重力势能是标量,但有正、负值,其正、负表示物体具有的重力势能相对于参考平面上所具有的重力势能的大小。
(1)正值表示物体位于参考平面以上,其重力势能Ep>0。
(2)负值表示物体位于参考平面以下,其重力势能Ep<0。
例如,Ep1=100 J,Ep2=-100 J,则Ep1>Ep2。
正误辨析
(1)某物体处于三楼,它的重力势能一定大于0。(　×　)
(2)在同一高度的质量不同的两个物体,它们的重力势能一定不同。(　×　)
(3)物体甲的重力势能Ep甲=-5 J,物体乙的重力势能Ep乙=-8 J,则Ep甲>Ep乙。(　√　)
知识点三　弹性势能
探究新知
1.定义:发生弹性形变的物体的各部分之间,由于有弹力的相互作用而具有的势能,叫弹性势能。
2.影响弹性势能的因素
(1)弹性势能跟形变大小有关:同一弹簧,在弹性限度内,形变越大,弹簧的弹性势能就越大。
(2)弹簧的弹性势能跟劲度系数有关:在弹性限度内,不同的弹簧发生同样大小的形变,劲度系数越大,弹性势能越大。
正误辨析
(1)撑竿跳高的运动员上升过程中,竿的弹性势能增加。(　×　)
(2)人拉长弹簧过程中,弹簧的弹性势能增加。(　√　)
(3)不同弹簧发生相同形变量时弹性势能相同。(　×　)
(4)小球被弹簧向上弹起的过程中,弹簧的弹性势能增加。(　×　)
要点一　对重力做功的理解与计算
情境探究
如图所示,一个质量为m的物体,从高度为h1的位置A分别按下列三种方式运动到高度为h2的位置B。
探究:(1)求出图甲情形中重力做的功;
(2)求出图乙情形中重力做的功;
(3)求出图丙情形中重力做的功;
(4)说明重力做功有什么特点。
【答案】 (1)题图甲中WG=mgΔh=mgh1-mgh2。
(2)题图乙中WAB′=mglcos θ=mgΔh=mgh1-mgh2,WB′B=0,故WAB=mgΔh=mgh1-mgh2。
(3)题图丙中把整个路径AB″分成许多很短的间隔AA1,A1A2,…,由于每一段都很小,每一小段都可以近似地看成一段倾斜的直线,设每段小斜线的高度差分别为Δh1,Δh2,…,由(2)可知物体通过每段小斜线时重力做的功分别为mgΔh1,mgΔh2,…。则WAB″=mgΔh1+mgΔh2+…=mg(Δh1+Δh2+…)=mgΔh,WB″B=0,故WAB=mgΔh=mgh1-mgh2。
(4)物体运动时,重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关,而跟物体运动的路径无关。
要点归纳
1.重力做功只与重力和物体高度变化有关,与受到的其他力及物体的运动状态、运动路径均
无关。
2.物体下降时重力做正功,WG=mgh;物体上升时重力做负功,WG=-mgh。
3.重力做功的特点可推广到任一恒力做功,即恒力做功的特点是:与具体路径无关,即恒力做的功等于力与在力的方向上的位移大小的乘积,跟初、末位置有关。
典例研习
[例1] 如图所示,质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚下,经过水平面BC后,再滚上另一斜面,当它到达高为的D点时,速度为零,在这个过程中,重力做功为(重力加速度为g)
(　　)
[A] [B] [C]mgh [D]0
【答案】 B
【解析】 方法一　分段法
小球由A→B,重力做正功W1=mgh,
小球由B→C,重力做功为0,
小球由C→D,重力做负功W2=-mg·,
故小球由A→D全过程中重力做功
WG=W1+W2=mg(h-)=mgh,B正确。
方法二　全过程法
全过程,小球的高度差为h-=h,故WG=mgh,B正确。
在一些往复运动或多个运动的复杂问题中求解重力做功时,可以利用重力做功的特点,找出初、末位置的高度差Δh,直接利用公式WG=mgΔh求解即可,无须考虑中间的复杂运动过程。
要点二　对重力势能的理解与计算
情境探究
如图所示为一座二层小楼,甲同学在二层地板上,乙同学在一层地板上,层高为h,若已知甲同学的质量为m,重心离二层地板高度为L。
探究:(1)甲同学的重力势能可以为负吗 乙同学的重力势能一定为零吗
(2)以A所在的水平面为零势能参考平面,甲同学的重力势能为多少 甲同学从二楼地板下到一楼地板(仍处于站立状态)重力势能变化了多少
(3)以B所在的水平面为零势能参考平面,甲同学的重力势能为多少 甲同学从二楼地板下到一楼地板(仍处于站立状态)重力势能变化了多少
【答案】 (1)甲同学的重力势能可以为负;乙同学的重力势能不一定为零,与零势能参考平面的选择有关。
(2)-mg(h-L);-mgh。
(3)mg(h+L);-mgh。
要点归纳
1.重力势能的“五性”
(1)重力势能的标量性:重力势能是标量,只有大小没有方向,但有正负,重力势能的正负表示比零势能大或比零势能小。对于选定的参考平面,物体在参考平面上方时,重力势能为正;在参考平面下方时,重力势能为负;在参考平面上时,重力势能为零。正的重力势能大于负的重力势能。
(2)重力势能的相对性:由于重力势能表达式为Ep=mgh,高度h的相对性决定了重力势能具有相对性。对于同一物体,选取不同的水平面作为参考平面,其重力势能具有不同的数值,即重力势能的大小与参考平面的选取有关。
(3)重力势能变化量的绝对性:物体在两个高度不同的位置时,由于高度差一定,重力势能之差也是一定的,即物体的重力势能的变化量与参考平面的选取无关。
(4)重力势能的任意性:重力势能的零势能参考平面的选取是任意的,一般以处理问题方便为原则。常选取地面或物体运动时所达到的最低点为参考平面。
(5)重力势能的系统性:重力是由于地球对物体的吸引而产生的,如果没有地球对物体的吸引,就不会有重力,也不存在重力势能,所以重力势能是物体和地球这个系统共同具有的,平时所说的“物体的重力势能”只是一种简化的说法。
2.重力做功与重力势能变化的关系
(1)因果关系。
重力做功是物体重力势能变化的原因,与其他因素无关。
(2)数量关系。
WG=mgh1-mgh2=Ep1-Ep2=-(Ep2-Ep1)=-ΔEp。
即重力所做的功等于物体重力势能的减少量。
(3)相互关系。
①当物体由高处运动到低处时,WG>0,则ΔEp<0,表明重力做正功时,重力势能减少,减少的重力势能等于重力做的功。
②当物体由低处运动到高处时,WG<0,则ΔEp>0,表明重力做负功时,重力势能增加,增加的重力势能等于克服重力做的功。
典例研习
[例2] (2025·广东湛江阶段练习)如图所示,可视为质点的小球位于桌子的上方,从A点运动到B点,小球质量m=1 kg,h1=1 m,h2=0.6 m,g取10 m/s2,以桌面为参考平面,下列说法错误的是(　　)
[A]从A点运动到B点小球的重力势能变化量为16 J
[B]小球在A点的重力势能是10 J
[C]从A点运动到B点小球重力做的功是16 J
[D]若取地面为参考平面,从A点运动到B点小球重力做的功是16 J
【答案】 A
【解析】 小球在A点的重力势能是EpA=mgh1=1×10×1 J=10 J,选项B正确,不符合题意;从A点运动到B点小球的重力做功WG=mg(h1+h2)=1×10×(1+0.6)J=16 J,则重力势能变化量为-16 J,选项A错误,符合题意,C正确,不符合题意;若取地面为参考平面,从A点运动到B点小球重力做的功仍是16 J,选项D正确,不符合题意。
要点三　对弹性势能的理解
情境探究
将圆珠笔里的弹簧取出,再用硬卡纸做个小纸帽,套在弹簧上(如图)。用力把小纸帽往下压,使弹簧产生一定的弹性形变,然后迅速放开手,看看小纸帽能弹多高。
探究:(1)用大小不同的力使弹簧产生大小不同的弹性形变,重复做几次,小纸帽弹起的高度与弹簧形变量的大小有什么关系
(2)换用不同劲度系数的弹簧使弹簧发生相同的弹性形变,小纸帽弹起的高度与劲度系数有什么关系
(3)由上面两个实验,判断弹簧的弹性势能与哪些因素有关。
【答案】 (1)弹簧产生的弹性形变越大,小纸帽弹起的高度越高。
(2)在相同弹性形变下,劲度系数越大的弹簧,小纸帽弹起的高度越高。
(3)弹簧弹性势能与弹簧的形变量大小及劲度系数有关。
要点归纳
1.对弹性势能的理解
(1)(弹簧)弹性势能的影响因素。
①弹簧的形变量x。
②弹簧的劲度系数k。
(2)相对性:弹性势能的大小与选定的弹性势能为零的位置有关,对于弹簧,一般规定弹簧处于原长时的弹性势能为零。
(3)系统性:弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量,因此弹性势能具有系统性。
2.弹力做功与弹性势能变化的关系
W弹=Ep1-Ep2=-ΔEp。
(1)弹力做正功,弹性势能减少,弹力做功的数值等于弹性势能的减少量。
(2)弹力做负功,弹性势能增加,弹力做功的数值等于弹性势能的增加量。
典例研习
[例3] (多选)(2025·河北石家庄阶段练习)如图所示,光滑的水平面上,物体与水平轻质弹簧相连,物体在O点时弹簧处于原长状态,把物体向右拉到A处由静止释放,物体会由A向A′运动,
A、A′关于O点对称,弹簧始终在弹性限度内,则(　　)
[A]物体由A向O运动的过程中,物体对弹簧做正功,弹性势能逐渐减少
[B]物体由O向A′运动的过程中,物体对弹簧做正功,弹性势能逐渐增加
[C]在A、A′两处弹性势能相等
[D]物体在A处时弹性势能为正值,在A′处时弹性势能为负值
【答案】 BC
【解析】 物体由A向O运动的过程中,弹簧对物体弹力向左,物体对弹簧的力向右,物体对弹簧做负功,弹性势能逐渐减少,故A错误;物体由O向A′运动的过程中,弹簧对物体弹力向右,物体对弹簧的力向左,物体对弹簧做正功,弹性势能逐渐增加,故B正确;A、A′两处关于O点对称,弹簧的形变量大小相等,弹性势能相等,故C正确,D错误。
非质点类物体重力势能变化的计算
核心归纳
计算绳子、链条和液体类物体的重力势能时,重心位置的确定是关键:粗细均匀、质量分布均匀的长直绳子或链条,其重心在几何中心;规则容器内的液体,重心在几何中心。
(1)当绳子、链条呈直线状(或水平或竖直或倾斜)形式放置时,Ep=mgh中的“h”表示几何中心位置相对于参考平面的高度。
(2)当绳子、链条不呈直线状(如折线)形式放置时,应当分段表示重力势能再求代数和。
(3)对于容器内的液体,应当根据液体在容器内的分布情况,确定各部分的重心位置,再根据参考平面,确定各部分的重力势能及其变化情况。
典例研习
[例题] 如图所示,一条质量为m,均匀的细链条长为L,置于光滑水平桌面上,用手按住一端,使长部分垂在桌面下,桌面高度大于链条长度。
(1)取桌面为参考平面,链条的重力势能为多少 从放手到链条A端刚滑离桌面过程中链条的重力势能变化了多少
(2)取B端所在的水平面为参考平面,链条的重力势能为多少 从放手到链条A端刚滑离桌面过程中链条的重力势能变化了多少
【答案】 (1)-mgL　-mgL
(2)mgL　-mgL
【解析】 (1)滑动前桌面上的一半细链条的重力势能为零,链条的重力势能等于桌面下的一半细链条的重力势能,
Ep1=-mg·=-mgL,
A端刚滑离桌面时,链条重心位于静止时B端所在处,重力势能为Ep2=-mg·=-mgL,
重力势能的变化量ΔEp1=Ep2-Ep1=-mgL。
(2)滑动前链条的重力势能为两部分重力势能之和,Ep3=mg·L+mg·L=mgL,
A端刚滑离桌面时,链条重心位于静止时B端所在处,重力势能为Ep4=0,重力势能的变化量ΔEp2=Ep4-Ep3=-mgL。
1.如今高层居民小区越来越多,而电梯停运将给高层住户的生活带来很多不便。家住10楼的某同学某次停电时步行从一楼走楼梯回家,已知该同学质量为50 kg,每层楼的高度为3 m,g取10 m/s2。则在这个过程中(　　)
[A]重力做负功,楼梯的支持力做正功
[B]重力做负功,楼梯的支持力不做功
[C]该同学重力势能增加1.5×105 J
[D]该同学重力势能增加1.35×105 J
【答案】 B
【解析】 上楼梯时,重力方向竖直向下,所以重力做负功,楼梯的支持力方向竖直向上,受支持力时没有位移,楼梯的支持力不做功,故A错误,B正确;整个上楼过程中,重力做的功为WG=-mgh=-50×10×27 J=-1.35×104 J,根据功能关系,重力做负功,所以重力势能增加1.35×104 J,故C、D错误。
2.如图所示,质量为m的物块A置于水平地面上,原长为L、劲度系数为k的轻质弹簧下端与物块A相连接。现将弹簧上端点P缓慢地竖直提起一段高度h,使物块A离开地面,以地面为参考平面,重力加速度为g,这时物块A具有的重力势能为(　　)
[A]mg(h-) [B]mg(h-L-)
[C]mg(L-h) [D]mg(h-L+)
【答案】 A
【解析】 物块A刚离开地面时,弹簧的弹力大小等于物块A的重力,根据胡克定律得,弹簧伸长的长度为x==,弹簧上端点P缓慢地竖直向上提起的距离为h,则物块A上升的高度为H=h-x,以地面为参考平面,这时物块A具有的重力势能为Ep=mgH=mg(h-)。故选A。
3.如图所示,撑竿跳高运动员自起跳到跨越横杆的过程中,撑竿先发生弯曲再恢复到原状。在此过程中,下列说法正确的是(　　)
[A]重力对运动员做正功
[B]撑竿的弹性势能一直减小
[C]撑竿的弹性势能一直增大
[D]撑竿的弹性势能先增大后减小
【答案】 D
【解析】 运动员向上运动,重力做负功,撑竿先发生弯曲再恢复到原状,弹性势能先增大后减小。故选D。
4.在水平地面上平铺n块砖,每块砖的质量均为m,厚度均为h,如图所示,若将砖一块一块地竖直叠放起来,在此过程中,重力做多少功 重力势能如何变化,变化了多少 (重力加速度为g)
【答案】 -mgh　重力势能增加
增加了mgh
【解析】 砖由平放在地面上到把它们一块块地竖直叠放起来,克服重力所做的功等于砖增加的重力势能。取n块砖整体为研究对象,原来整体重心距地面高度为,叠放起来后整体重心距地面高度为nh,故WG=nmgΔh=nmg(h-nh) =-mgh,重力做负功,重力势能增加,增加了mgh。
课时作业
(分值:60分)
要点一　对重力做功的理解与计算
1.(4分)某游客带着孩子爬山时,孩子不小心将手中的皮球滑落,球从A点滚到了山脚下的B点,高度标记如图所示,则下列说法正确的是(　　)
[A]从A到B的曲线轨迹长度未知,无法求出此过程重力做的功
[B]从A到B过程中阻力大小未知,无法求出此过程重力做的功
[C]从A到B重力做的功为mg(H+h)
[D]从A到B重力做的功为mgH
【答案】 D
【解析】 重力对物体所做的功只与物体初、末位置的高度差有关,大小为WG=mgH,故D正确,A、B、C错误。
2.(4分)(2025·云南昆明阶段练习)质量相等的均匀柔软细绳A、B平放于水平地面上,细绳B较长。分别捏住两绳中点缓慢提起,使它们全部离开地面并上升一段距离,此过程中两绳中点被提升的高度分别为hA、hB,两绳克服重力做的功分别为WA、WB。以下说法正确的是(　　)
[A]若hA=hB,则一定有WA=WB
[B]若hA>hB,则可能有WA[C]若hA[D]若hAWB
【答案】 C
【解析】 因绳B较长,若hA=hB,则B的重心较低,根据WG=mgh可知,WA>WB,故A错误;若hA>hB,则一定是B的重心低,则WA>WB,故B错误;若hAWB,还可能WA=WB,故C正确,D错误。
要点二　对重力势能的理解与计算
3.(4分)关于重力势能,下列说法正确的是(　　)
[A]物体的位置一旦确定,它的重力势能的大小也随之确定
[B]物体与参考平面的距离越大,它的重力势能也越大
[C]一个物体的重力势能从-5 J变化到-3 J,重力势能减少了
[D]重力对物体做正功,物体的重力势能一定减少
【答案】 D
【解析】 物体的位置确定了,若参考平面不确定,则物体相对于参考平面的高度不确定,它的重力势能的大小也不能确定,故A错误;若物体在参考平面以下,则物体与参考平面的距离越大,它的重力势能越小,故B错误;一个物体的重力势能从-5 J变化到-3 J,重力势能增加了,故C错误;重力对物体做正功,物体的高度下降,重力势能一定减少,故D正确。
4.(4分)如图所示,质量为m的苹果从距地面高度为H的树上的A点由静止开始下落,树下有一深度为h的坑,重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
[A]苹果从A点落到坑底,重力势能减少了mgH
[B]若以坑底所在的平面为参考平面,苹果在A点的重力势能为mgH
[C]若以地面为参考平面,苹果在A点的重力势能为mgH
[D]若以A点所在的平面为参考平面,苹果在A点的重力势能为mgH
【答案】 C
【解析】 苹果从A点落到坑底,重力做功为WG=mg(H+h),重力做正功,苹果的重力势能减少,且ΔEp减=WG=mg(H+h),故A错误;若以坑底所在平面为参考平面,苹果在A点的重力势能为Ep=mg(H+h),故B错误;若以地面为参考平面,苹果在A点的重力势能为Ep=mgH,故C正确;若以A点所在平面为参考平面,苹果在A点的重力势能为Ep=0,故D错误。
5.(6分)(多选)如图所示,质量相同的A、B两小球用长度不同的两轻绳悬于等高的O1、O2点,绳长LA、LB的关系为LA>LB,将轻绳水平拉直,并将小球A、B由静止开始同时释放,取释放时的水平位置为参考平面,下列说法正确的是(　　)
[A]在下落过程中,当两小球下落到同一水平线L上时具有相同的重力势能
[B]两小球分别下落到最低点的过程中减少的重力势能相等
[C]A球通过最低点时的重力势能比B球通过最低点时的重力势能大
[D]A、B两小球只要在相同的高度,它们的重力势能就相等
【答案】 AD
【解析】 下落过程中,当两小球下落到同一水平线L上时,因它们的质量相同,则具有相同的重力势能,故A正确;根据重力势能的变化与重力及下落的高度有关可知,两小球分别下落到最低点的过程中减少的重力势能不相等,故B错误;释放时的水平位置为参考平面,则根据重力势能的定义知,A球通过最低点时的重力势能比B球通过最低点时的重力势能小,故C错误;两小球只要在相同的高度,它们的重力势能就相等,故D正确。
6.(4分)如图所示,一质量为m、长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点,M点与绳的上端P相距l。重力加速度大小为g。在此过程中,绳的重力势能增加了(　　)
[A]mgl [B]mgl
[C]mgl [D]mgl
【答案】 A
【解析】 由题意可知,PM段细绳的重力势能不变,MQ段细绳的重心升高了,则重力势能增加了ΔEp=mg·=mgl,故A正确,B、C、D错误。
要点三　对弹性势能的理解
7.(6分)(多选)如图所示,一轻弹簧一端固定在O点,另一端系一小球,将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度地释放,让小球自由摆下,不计空气阻力,在小球由A点摆向最低点B的过程中,下列说法正确的是(　　)
[A]小球的机械能守恒
[B]小球的机械能减少
[C]小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
[D]小球和弹簧组成的系统机械能守恒
【答案】 BD
【解析】 由A到B的过程中,弹簧对小球做负功,则小球的机械能将减少,故A错误,B正确;只有重力和弹簧弹力做功,系统机械能守恒,即弹簧与小球的总机械能守恒,故D正确;根据系统的机械能守恒知,小球的动能、重力势能与弹簧的弹性势能之和不变,而小球的动能增大,则小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和变小,故C错误。
8.(10分)某兴趣小组通过探究得到弹性势能的表达式为ΔEp=kx2,式中k为弹簧的劲度系数,x为弹簧伸长(或缩短)的长度。放在地面上的物体上端系在劲度系数k=200 N/m 的弹簧上,弹簧的另一端拴在跨过定滑轮的绳子上,如图所示,手拉绳子的另一端,当往下拉 0.1 m 时物体开始离开地面,继续拉绳,使物体缓慢升高到离地h=0.5 m高处。如果不计弹簧质量和滑轮跟绳的摩擦,g取10 m/s2。求:
(1)弹簧弹性势能的大小;
(2)物体重力势能的增加量。
【答案】 (1)1 J　(2)10 J
【解析】 (1)物体缓慢升高过程,处于平衡状态,
则有kΔx=mg,Δx=0.1 m,
则弹簧弹性势能的大小为
ΔEp=kx2=k(Δx)2,
联立解得ΔEp=1 J,m=2 kg。
(2)物体重力势能的增加量为
ΔEp′=mgh=10 J。
9.(4分)(2025·江苏常州阶段练习)如图,甲、乙两个斜面高度相同、倾角不同,甲光滑,乙粗糙。让质量相同的两物体从斜面顶端滑到底端,重力做功分别为W甲和W乙。以斜面顶端所在的水平面为参考平面,二者在斜面底端时的重力势能分别为Ep甲和Ep乙,下列说法正确的是(　　)
[A]W甲>W乙;Ep甲>0,Ep乙>0,Ep甲>Ep乙
[B]W甲[C]W甲=W乙;Ep甲<0,Ep乙<0,Ep甲=Ep乙
[D]无法确定
【答案】 C
【解析】 根据W=mgh,可知W甲=W乙,以斜面顶端所在的水平面为参考平面,则二者在斜面底端时的重力势能Ep甲<0,Ep乙<0,因为W=-ΔEp,可知Ep甲=Ep乙,故选C。
10.(4分)小嵩同学做“弹簧弹力与形变量的关系”实验,根据实验数据绘制出的弹簧弹力—形变量(FTx)图像如图甲所示。如图乙所示,放在水平地面上的物块与实验用的轻质弹簧相连,水平拉力F作用在弹簧上,初始时弹簧处于原长,拉力F的作用点缓慢移动了0.04 m,物块相对于地面始终静止,弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是(　　)
[A]弹簧的劲度系数为0.5 N/m
[B]该过程中拉力F做的功为0.08 J
[C]该过程中弹簧弹力对物块做的功为0.04 J
[D]该过程中弹簧增加的弹性势能为0.04 J
【答案】 D
【解析】 根据题图甲可知,弹簧的劲度系数k= N/m=50 N/m,故A错误;该过程中拉力F做的功W=x=0.04 J,故B错误;由于物块相对于地面始终静止,因此弹簧弹力对物块做的功为0,故C错误;该过程中拉力F做的功转化为弹簧的弹性势能,因此弹簧增加的弹性势能为
0.04 J,故D正确。
11.(10分)如图所示,两个底面积都是S的圆桶,用一根带阀门的很细的管子相连接,放在水平地面上,两桶内装有密度为ρ的同种液体,阀门关闭时两桶液面的高度分别为h1和h2,现将连接两桶的阀门打开,在两桶液面变为相同高度时液体的重力势能的变化量为多少
【答案】 -ρgS(h1-h2)2
【解析】 如图所示,打开阀门至两桶液面相平时,相当于将图中左侧1中部分的液体移至图中右侧2中部分。
这部分液体的质量为Δm=,
其重心下降了Δh=,
故ΔEp=-Δmg·Δh=-ρgS(h1-h2)2。

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