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3　动能和
动能定理
1.通过力对物体做功的分析,掌握动能的概念、表达式及影响动能大小的因素,形成物理观念。2.通过利用功的表达式、牛顿第二定律与运动学公式推导出动能定理的表达式,培养科学探究能力。3.通过实例掌握应用动能定理处理相关问题的基本思路,体会应用动能定理解题的优越性。
[定位·学习目标]　
探究·必备知识
知识点一　动能
「探究新知」
1.定义:物体由于运动而具有的能量叫动能。
2.表达式:Ek= 。
3.单位:与功的单位相同,在国际单位制中都是 ,1 kg(m/s)2=
1 N·m=1 J。
4.标矢性
动能是 ,只有大小,没有方向。
焦耳(J)
标量
正误辨析
(1)凡是运动的物体都具有动能。(　 　)
(2)动能像重力势能一样有正负。(　 　)
(3)速度大的物体动能也大。(　 　)
(4)两个质量相同的物体,动能相同,速度一定相同。(　 　)
√
×
×
×
知识点二　动能定理
「探究新知」
1.内容:力在一个过程中对物体做的功,等于物体在这个过程中动能的变化。
Ek2-Ek1
如果物体受到几个力的共同作用,W即为 ,它等于各个力做功的 。
3.适用范围
既适用于 做功,又适用于 做功;既适用于 运动,又适用于 运动。
合力做的功
代数和
恒力
变力
直线
曲线
正误辨析
(1)合力做功不等于零,物体的动能一定变化。(　 　)
(2)物体的速度发生变化,合力做功一定不等于零。(　 　)
(3)物体的动能增加,合力做正功。(　 　)
(4)物体的动能不变,所受的合力必定为零。(　 　)
√
×
√
×
突破·关键能力
要点一　对动能和动能定理的理解
「情境探究」
如图所示,光滑水平面上的物体在水平恒力F的作用下向前运动了一段距离l,速度由v1增加到v2。试推导出力F对物体做功的表达式。
「要点归纳」
1.动能的“三性”
(1)相对性:选取不同的参考系,物体的速度不同,动能也不同,一般以地面为参考系。
(2)标量性:只有大小,没有方向;只有正值,没有负值。
(3)状态量:动能是表征物体运动状态的物理量,与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应。
2.动能的变化量
(2)动能的变化量是过程量,ΔEk>0,表示物体的动能增加;ΔEk<0,表示物体的动能减少。
3.对动能定理的理解
(1)对表达式的理解。
①公式W=Ek2-Ek1中W是合力做的功,不是某个力做的功,W可能是正功,也可能是负功。
②Ek2、Ek1分别是末动能和初动能,Ek2可能大于Ek1,也可能小于Ek1。
(2)对动能定理公式中等号的理解。
①数量关系:即合力所做的功与物体动能的变化量具有等量代换关系。可以通过计算物体动能的变化量,求合力所做的功,进而求得某一力所做的功。
②单位相同:国际单位都是焦耳。
③因果关系:合力对物体做功是引起物体动能变化的原因。合力做正功时,动能增加,合力做负功时,动能减少。
「典例研习」
[例1] (对动能变化量的理解)(多选)一质量为0.1 kg的小球,以5 m/s的速度在光滑水平面上匀速运动,与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹,若以弹回的速度方向为正方向,则小球碰墙过程中速度的变化量和动能的变化量分别是(　 　)
[A]Δv=10 m/s [B]Δv=0
[C]ΔEk=1 J [D]ΔEk=0
AD
【解析】 弄清速度是矢量而动能是标量,是分析问题的关键。由于速度是矢量,故Δv=v2-v1=5 m/s-(-5 m/s)=10 m/s。而动能是标量,初、末状态的速度大小相等,故动能相等,因此ΔEk=0,故A、D正确。
[例2] (对动能和动能定理的理解)下列关于运动物体的合力做功和动能、速度变化的关系,正确的是(　　)
[A]物体做变速运动,合力一定不为零,动能一定变化
[B]若合力对物体做功为零,则合力一定为零
[C]物体所受的合力做功,它的速度大小一定发生变化
[D]在某过程中外力做的总功等于各个力单独做功的绝对值之和
C
【解析】 力是改变物体速度的原因,物体做变速运动时,合力一定不为零,但合力不为零时,做功可能为零,动能可能不变,A、B错误;物体所受的合力做功,它的动能一定变化,速度大小也一定变化,C正确;在某过程中,外力做的总功等于各个力单独做功的代数和,D错误。
要点二　动能定理的应用
「情境探究」
如图所示,质量为m的小球以初速度v0从山坡底部A处恰好冲上高为h的坡顶B。
探究:(1)小球运动过程中哪些力做了功
【答案】 (1)小球受的重力和阻力都对小球做了负功,支持力不做功。
(2)如何求得小球克服阻力做的功
1.应用动能定理解题的步骤
(1)选取研究对象,明确它的运动过程。
(2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况。
「要点归纳」
(3)明确研究对象在过程的初、末状态的动能Ek1和Ek2。
(4)列出动能定理的方程W合=Ek2-Ek1及其他必要的辅助方程,进行求解。
2.应用动能定理的优越性
(1)与用牛顿运动定律解题的比较。
项目 牛顿运动定律 动能定理
适用 条件 只能研究在恒力作用下物体做直线运动 对于物体在恒力或变力作用下,物体做直线或曲线运动均适用
应用 方法 要考虑运动过程的每一个细节,结合运动学公式解题 只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法 矢量运算 代数运算
相同点 确定研究对象,对物体进行受力分析和运动过程分析 (2)优越性:应用动能定理解题不涉及加速度、时间,不涉及矢量运算,运算简单,不易出错。
「典例研习」
(1)下滑过程中阻力对滑沙爱好者做的功W;
【答案】 (1)-2400 J
(2)滑沙爱好者到达滑道底端时的速度大小v。
【答案】 (2)12 m/s
应用动能定理时应注意的问题
(1)动能定理的研究对象可以是单一物体,或者是可以看作一个整体的系统。
(2)若过程包含了几个运动性质不同的分过程,既可分段考虑也可整个过程考虑。
(3)应用动能定理时,必须明确各力做功的正、负。当一个力做负功时,可设物体克服该力做功为W,将该力做功表示为-W,也可以直接用字母W表示该力做功,使其字母本身含负号。
·规律总结·
提升·核心素养
应用动能定理求变力做的功
「核心归纳」
1.动能定理不仅适用于求恒力做功,也适用于求变力做功,同时因为不涉及变力作用的过程分析,应用非常方便。
2.利用动能定理求变力做的功是最常用的方法,当物体受到一个变力和几个恒力作用时,可以用动能定理间接求变力做的功,即W变+W其他=ΔEk。
3.当汽车以恒定功率启动,牵引力为变力时,牵引力做的功可表示为W=Pt。
「典例研习」
[例题] 如图所示,AB为四分之一圆弧轨道,BC为水平直轨道,圆弧的半径为R,BC的长度也是R。一质量为m的物体,与两个轨道间的动摩擦因数都为μ,当它由轨道顶端A点从静止开始下滑时,恰好运动到C处停止,那么物体在AB段克服摩擦力所做的功为(　　)
D
【解析】 设物体在AB段克服摩擦力所做的功为Wf,由动能定理可得mgR-μmgR-Wf=0,解得Wf=(1-μ)mgR,故选D。
检测·学习效果
1.关于动能,下列说法正确的是(　　)
[A]甲物体向东运动,动能的大小为200 J;乙物体向南运动,动能的大小为200 J,这两个物体的动能不相同
[B]做匀速圆周运动的物体具有变化的动能
[C]做匀加速直线运动的物体的动能是变化的
[D]物体下落时具有向下的动能
C
2.如图所示,粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆,一端可绕竖直光滑轴O转动,另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度v0开始运动,恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中,木块所受摩擦力的大小为(　　)
B
3.如图所示,质量为m的物体在水平恒力F的作用下,从坡底A处由静止运动至高为h的坡顶B,获得速度为v,AB的水平距离为x。下列说法正确的是(　　)
D
4.民航客机机舱紧急出口的气囊是一条连接出口与地面的斜面,若斜面高3.2 m,斜面长6.5 m,质量为60 kg的人沿斜面下滑时所受的阻力是240 N,g取 10 m/s2。求人滑至底端时的速度大小。请用两种方法解答。
感谢观看3　动能和动能定理
[定位·学习目标]　1.通过力对物体做功的分析,掌握动能的概念、表达式及影响动能大小的因素,形成物理观念。2.通过利用功的表达式、牛顿第二定律与运动学公式推导出动能定理的表达式,培养科学探究能力。3.通过实例掌握应用动能定理处理相关问题的基本思路,体会应用动能定理解题的优越性。
知识点一　动能
探究新知
1.定义:物体由于运动而具有的能量叫动能。
2.表达式:Ek=mv2。
3.单位:与功的单位相同,在国际单位制中都是焦耳(J),1 kg(m/s)2=1 N·m=1 J。
4.标矢性
动能是标量,只有大小,没有方向。
正误辨析
(1)凡是运动的物体都具有动能。(　√　)
(2)动能像重力势能一样有正负。(　×　)
(3)速度大的物体动能也大。(　×　)
(4)两个质量相同的物体,动能相同,速度一定相同。(　×　)
知识点二　动能定理
探究新知
1.内容:力在一个过程中对物体做的功,等于物体在这个过程中动能的变化。
2.表达式:W=Ek2-Ek1=m-m。
如果物体受到几个力的共同作用,W即为合力做的功,它等于各个力做功的代数和。
3.适用范围
既适用于恒力做功,又适用于变力做功;既适用于直线运动,又适用于曲线运动。
正误辨析
(1)合力做功不等于零,物体的动能一定变化。(　√　)
(2)物体的速度发生变化,合力做功一定不等于零。(　×　)
(3)物体的动能增加,合力做正功。(　√　)
(4)物体的动能不变,所受的合力必定为零。(　×　)
要点一　对动能和动能定理的理解
情境探究
如图所示,光滑水平面上的物体在水平恒力F的作用下向前运动了一段距离l,速度由v1增加到v2。试推导出力F对物体做功的表达式。
【答案】 W=Fl=F·=F·=m-m。
要点归纳
1.动能的“三性”
(1)相对性:选取不同的参考系,物体的速度不同,动能也不同,一般以地面为参考系。
(2)标量性:只有大小,没有方向;只有正值,没有负值。
(3)状态量:动能是表征物体运动状态的物理量,与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应。
2.动能的变化量
(1)末状态的动能与初状态的动能之差,即ΔEk=m-m。
(2)动能的变化量是过程量,ΔEk>0,表示物体的动能增加;ΔEk<0,表示物体的动能减少。
3.对动能定理的理解
(1)对表达式的理解。
①公式W=Ek2-Ek1中W是合力做的功,不是某个力做的功,W可能是正功,也可能是负功。
②Ek2、Ek1分别是末动能和初动能,Ek2可能大于Ek1,也可能小于Ek1。
(2)对动能定理公式中等号的理解。
①数量关系:即合力所做的功与物体动能的变化量具有等量代换关系。可以通过计算物体动能的变化量,求合力所做的功,进而求得某一力所做的功。
②单位相同:国际单位都是焦耳。
③因果关系:合力对物体做功是引起物体动能变化的原因。合力做正功时,动能增加,合力做负功时,动能减少。
典例研习
[例1] (对动能变化量的理解)(多选)一质量为0.1 kg的小球,以5 m/s的速度在光滑水平面上匀速运动,与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹,若以弹回的速度方向为正方向,则小球碰墙过程中速度的变化量和动能的变化量分别是(　　)
[A]Δv=10 m/s [B]Δv=0
[C]ΔEk=1 J [D]ΔEk=0
【答案】 AD
【解析】 弄清速度是矢量而动能是标量,是分析问题的关键。由于速度是矢量,故Δv=v2-v1=
5 m/s-(-5 m/s)=10 m/s。而动能是标量,初、末状态的速度大小相等,故动能相等,因此ΔEk=0,故A、D正确。
[例2] (对动能和动能定理的理解)下列关于运动物体的合力做功和动能、速度变化的关系,正确的是(　　)
[A]物体做变速运动,合力一定不为零,动能一定变化
[B]若合力对物体做功为零,则合力一定为零
[C]物体所受的合力做功,它的速度大小一定发生变化
[D]在某过程中外力做的总功等于各个力单独做功的绝对值之和
【答案】 C
【解析】 力是改变物体速度的原因,物体做变速运动时,合力一定不为零,但合力不为零时,做功可能为零,动能可能不变,A、B错误;物体所受的合力做功,它的动能一定变化,速度大小也一定变化,C正确;在某过程中,外力做的总功等于各个力单独做功的代数和,D错误。
要点二　动能定理的应用
情境探究
如图所示,质量为m的小球以初速度v0从山坡底部A处恰好冲上高为h的坡顶B。
探究:(1)小球运动过程中哪些力做了功
(2)如何求得小球克服阻力做的功
【答案】 (1)小球受的重力和阻力都对小球做了负功,支持力不做功。
(2)根据动能定理-mgh-Wf=0-m,可求得小球克服阻力做的功。
要点归纳
1.应用动能定理解题的步骤
(1)选取研究对象,明确它的运动过程。
(2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况。
(3)明确研究对象在过程的初、末状态的动能Ek1和Ek2。
(4)列出动能定理的方程W合=Ek2-Ek1及其他必要的辅助方程,进行求解。
2.应用动能定理的优越性
(1)与用牛顿运动定律解题的比较。
项目 牛顿运动定律 动能定理
适用 条件 只能研究在恒力作用下物体做直线运动 对于物体在恒力或变力作用下,物体做直线或曲线运动均适用
应用 方法 要考虑运动过程的每一个细节,结合运动学公式解题 只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算 方法 矢量运算 代数运算
相同点 确定研究对象,对物体进行受力分析和运动过程分析
(2)优越性:应用动能定理解题不涉及加速度、时间,不涉及矢量运算,运算简单,不易出错。
典例研习
[例3] 如图所示,某滑沙项目滑道倾角为30°,总质量为50 kg的滑沙爱好者(包括装置)从距滑道底端高12 m的起点由静止开始下滑,下滑过程中所受阻力大小为重力的,g取10 m/s2。求:
(1)下滑过程中阻力对滑沙爱好者做的功W;
(2)滑沙爱好者到达滑道底端时的速度大小v。
【答案】 (1)-2400 J　(2)12 m/s
【解析】 (1)下滑过程中所受阻力大小为
F阻=mg=100 N,
则下滑过程中阻力对滑沙爱好者做的功
W=-F阻l=-F阻=-2 400 J。
(2)滑沙爱好者下滑到滑道底端的过程,根据动能定理mgh+W=mv2,代入数据解得v=12 m/s。
应用动能定理时应注意的问题
(1)动能定理的研究对象可以是单一物体,或者是可以看作一个整体的系统。
(2)若过程包含了几个运动性质不同的分过程,既可分段考虑也可整个过程考虑。
(3)应用动能定理时,必须明确各力做功的正、负。当一个力做负功时,可设物体克服该力做功为W,将该力做功表示为-W,也可以直接用字母W表示该力做功,使其字母本身含负号。
应用动能定理求变力做的功
核心归纳
1.动能定理不仅适用于求恒力做功,也适用于求变力做功,同时因为不涉及变力作用的过程分析,应用非常方便。
2.利用动能定理求变力做的功是最常用的方法,当物体受到一个变力和几个恒力作用时,可以用动能定理间接求变力做的功,即W变+W其他=ΔEk。
3.当汽车以恒定功率启动,牵引力为变力时,牵引力做的功可表示为W=Pt。
典例研习
[例题] 如图所示,AB为四分之一圆弧轨道,BC为水平直轨道,圆弧的半径为R,BC的长度也是R。一质量为m的物体,与两个轨道间的动摩擦因数都为μ,当它由轨道顶端A点从静止开始下滑时,恰好运动到C处停止,那么物体在AB段克服摩擦力所做的功为(　　)
[A] [B]
[C]mgR [D](1-μ)mgR
【答案】 D
【解析】 设物体在AB段克服摩擦力所做的功为Wf,由动能定理可得mgR-μmgR-Wf=0,解得Wf=(1-μ)mgR,故选D。
1.关于动能,下列说法正确的是(　　)
[A]甲物体向东运动,动能的大小为200 J;乙物体向南运动,动能的大小为200 J,这两个物体的动能不相同
[B]做匀速圆周运动的物体具有变化的动能
[C]做匀加速直线运动的物体的动能是变化的
[D]物体下落时具有向下的动能
【答案】 C
【解析】 甲物体向东运动,动能的大小为200 J,乙物体向南运动,动能的大小为200 J,动能是标量,没有方向,故这两个物体的动能相同,故A错误;做匀速圆周运动的物体质量和速率都不变,故动能不变,故B错误;做匀加速直线运动的物体速度不断增加,由Ek=mv2可知动能是增加的,故C正确;动能是标量,没有方向,物体下落时具有动能,但动能没有方向,故D错误。
2.如图所示,粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆,一端可绕竖直光滑轴O转动,另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度v0开始运动,恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中,木块所受摩擦力的大小为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 在运动过程中,只有摩擦力做功,而摩擦力做功与路径有关,根据动能定理-Ff·2πL=0-m,可得摩擦力的大小Ff=,故选B。
3.如图所示,质量为m的物体在水平恒力F的作用下,从坡底A处由静止运动至高为h的坡顶B,获得速度为v,AB的水平距离为x。下列说法正确的是(　　)
[A]重力对物体做的功是mgh
[B]合力对物体做的功是mv2+mgh
[C]推力对物体做的功是Fx-mgh
[D]阻力对物体做的功是mv2+mgh-Fx
【答案】 D
【解析】 在上升过程中,重力做功为-mgh,故A错误;根据动能定理,合力做功等于动能的变化量,则合力做功为mv2,故B错误;水平恒力F对物体做的功是Fx,故C错误;根据动能定理得Fx-mgh+Wf=mv2,阻力做功为Wf=mv2+mgh-Fx,故D正确。
4.民航客机机舱紧急出口的气囊是一条连接出口与地面的斜面,若斜面高3.2 m,斜面长6.5 m,质量为60 kg的人沿斜面下滑时所受的阻力是240 N,g取 10 m/s2。求人滑至底端时的速度大小。请用两种方法解答。
【答案】 2 m/s
【解析】 方法一　人下滑过程中,重力做功为mgh,阻力做功为-FfL,斜面的支持力不做功,由动能定理得
mgh-FfL=mv2-0,
解得v=2 m/s。
方法二　设斜面的倾角为θ,则sin θ==,
人下滑过程中做匀加速直线运动,根据牛顿第二定律有mgsin θ-Ff=ma,
根据运动学公式v2=2aL,
联立解得v=2 m/s。
课时作业
(分值:70分)
考点一　对动能和动能定理的理解
1.(6分)(多选)关于质量一定的物体的速度和动能,下列说法正确的是(　　)
[A]物体的速度发生变化时,其动能一定发生变化
[B]物体的速度保持不变时,其动能一定保持不变
[C]物体的动能发生变化时,其速度一定发生变化
[D]物体的动能保持不变时,其速度可能发生变化
【答案】 BCD
【解析】 速度是矢量,速度发生变化时,可能是只有速度的大小发生变化,也可能是只有速度的方向发生变化,还有可能是速度的大小和方向同时发生变化,而动能Ek是标量,只有速度的大小发生变化时,动能才会发生变化。故B、C、D正确。
2.(4分)下列关于动能定理的说法正确的是(　　)
[A]合力对物体做多少正功,动能就增加多少
[B]合力对物体做多少负功,动能就增加多少
[C]合力对物体做正功,动能也可能保持不变
[D]不管合力对物体做多少正功,动能均保持不变
【答案】 A
【解析】 合力做正功时,物体的动能增加,增加量等于合力所做的功,故A正确;合力做负功时,物体的动能减少,减少量等于合力做功的绝对值,故B错误;只要合力做功,物体的动能就一定会发生改变,故C、D错误。
3.(4分)(2024·新课标卷)福建舰是我国自主设计建造的首艘弹射型航空母舰。借助配重小车可以进行弹射测试,测试时配重小车被弹射器从甲板上水平弹出后,落到海面上。调整弹射装置,使小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4倍。忽略空气阻力,则小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的(　　)
[A]0.25倍 [B]0.5倍 [C]2倍 [D]4倍
【答案】 C
【解析】 小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4倍,根据Ek=mv2可知,小车离开甲板时的速度变为调整前的2倍;小车离开甲板后做平抛运动,由h=gt2可知,从离开甲板到到达海面上的时间不变,根据x=vt可知小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的2倍,C正确。
考点二　动能定理的应用
4.(4分)两个物体A、B的质量之比为mA∶mB=2∶1,二者初动能相同,它们和水平桌面间的动摩擦因数相同,则二者在桌面上开始滑行到停止过程中经过的距离之比为(　　)
[A]xA∶xB=2∶1 [B]xA∶xB=1∶2
[C]xA∶xB=4∶1 [D]xA∶xB=1∶4
【答案】 B
【解析】 物体滑行过程中只有摩擦力做功,根据动能定理,对A有-μmAgxA=0-Ek;对B有-μmBgxB=0-Ek。故==,B正确,A、C、D错误。
5.(4分)如图所示,一质量为m的小球以大小为v0的初速度从地面竖直上抛,刚落回地面时的速度大小为,已知小球在运动过程中受空气阻力大小恒定,重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
[A]小球在运动过程中受空气阻力大小为
[B]小球能到达的最高点距地面高
[C]小球下降过程经过的时间t2与上升过程经过的时间t1的关系为t1=2t2
[D]小球下降过程经过的时间t2与上升过程经过的时间t1的关系为t1=4t2
【答案】 B
【解析】 设小球所受的空气阻力大小为Ff,上升的最大高度为h,根据动能定理,上升过程有-(mg+Ff)h=0-m,下降过程有(mg-Ff)h=m() 2-0,联立解得Ff=mg,h=,故A错误,B正确;上升过程中,由运动学公式有h=t1,下降过程中,由运动学公式有h=t2,联立解得t2=2t1,故C、D错误。
6.(12分)(2025·四川期末)某主题乐园的冰滑梯如图甲所示,滑面可视为平直斜面,与水平冰面平滑连接。质量为m=25 kg的游客从滑梯顶端静止滑下直至停止,如图乙所示,滑梯顶端到底端的高度h=3.0 m,滑梯末端到O点的距离x=4.0 m,重力加速度g取10 m/s2,游客视为质点,冰滑梯斜面光滑,不计空气阻力。求:
(1)游客下滑过程中重力做的功;
(2)游客下滑到滑梯底端时的速度大小(结果可保留根号);
(3)游客滑动的整个过程中克服摩擦力做的功。
【答案】 (1)750 J　(2)2 m/s　(3)750 J
【解析】 (1)游客下滑过程中重力做的功为
WG=mgh=25×10×3 J=750 J。
(2)由于冰滑梯光滑,游客从顶端下滑到滑梯底端过程,根据动能定理可得mgh=mv2-0,
解得游客下滑到滑梯底端时的速度大小为
v== m/s=2 m/s。
(3)游客滑动的整个过程中,根据动能定理可得mgh-Wf=0,
解得游客滑动的整个过程中克服摩擦力做的功为Wf=mgh=750 J。
考点三　应用动能定理求变力做的功
7.(6分)(多选)一质量为m的小球,用长为L的轻绳悬于O点,小球在水平力F作用下从平衡位置P点移动到Q点,如图所示。关于力F所做的功,下列说法正确的是(　　)
[A]若F为恒力,则力F做功为FLsin θ
[B]若F为恒力,则力F做功为mgL(1-cos θ)
[C]若小球被缓慢移动,则力F做功为FLsin θ
[D]若小球被缓慢移动,则力F做功为mgL(1-cos θ)
【答案】 AD
【解析】 若F为恒力,根据功的计算公式可得力F做功为WF=FLsin θ,故A正确,B错误;若小球被缓慢移动,根据动能定理可得WF+WG=0,所以力F做功为WF=-WG=mgL(1-cos θ),故C错误,D正确。
8.(4分)如图所示,光滑斜面的顶端固定一弹簧,一小球沿水平地面向右运动,并冲上固定在地面上的斜面。设小球在斜面最低点A时的速度为v,压缩弹簧至C点时弹簧最短,C点距地面高度为h,则小球从A点运动到C点的过程中弹簧弹力做的功是(　　)
[A]mgh-mv2 [B]mv2+mgh
[C]-mgh [D]-mgh+mv2
【答案】 A
【解析】 小球从A点运动到C点的过程中,重力和弹簧的弹力对小球做负功,由于支持力与小球位移方向始终垂直,故支持力对小球不做功,由动能定理可得WG+WF=0-mv2,重力做的功为WG=-mgh,则弹簧的弹力对小球做的功为WF=mgh-mv2,A正确。
9.(4分)质量为m的小球被系在轻绳一端,在竖直平面内做半径为R的圆周运动,如图所示,运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻小球通过轨迹的最低点,此时绳子的拉力为7mg,此后小球继续做圆周运动,经过半个圆周恰好能通过最高点,已知重力加速度为g,则在此过程中小球克服空气阻力所做的功是(　　)
[A]mgR [B]mgR
[C]mgR [D]mgR
【答案】 C
【解析】 小球通过最低点时,设绳的拉力为FT,则FT-mg=m,即6mg=m,小球恰好通过最高点时,绳子拉力为零,则有mg=m,小球从最低点运动到最高点的过程中,由动能定理得-mg·2R-W克f=m-m,联立解得W克f=mgR,故选C。
10.(6分)(多选)如图所示,拖拉机通过大小不计的光滑轻质定滑轮提升货物,货物的质量为m,定滑轮顶端到轻绳与拖拉机连接点的竖直高度为h,拖拉机向右做匀速运动的速度为v0,在轻绳与竖直方向的夹角θ从37°增加到53°的过程中,重力加速度为g,取sin 37°=0.6。下列说法正确的是(　　)
[A]货物匀速上升
[B]货物加速上升
[C]轻绳对货物做的功为mgh+m
[D]轻绳对货物做的功为mgh+m
【答案】 BD
【解析】 将拖拉机的速度分解为沿轻绳方向和垂直于轻绳方向;绳子不可伸长,货物的速度等于v0沿轻绳方向的分速度,即货物的速度为v=v0sin θ,由题可知,当θ增大时,货物的速度变大,故A错误,B正确。当θ=37°时,货物的速度为v1=v0sin 37°,定滑轮顶点与拖拉机间轻绳的长度为L1=;同理可得,当θ=53°时,v2=v0sin 53°,L2=,由动能定理有W-mg(L2-L1)=
m-m,整理得轻绳对货物做的功为 W=mg(L2-L1)+m-m,解得W=mgh+
m,故C错误,D正确。
11.(16分)如图所示,一自行车骑行者和车的总质量为m=60 kg,从距离水平路面高为h=1.25 m的斜坡路上的A点,由静止开始不蹬踏板让车自由运动,到达水平路面上的B点时速度大小为v=4 m/s,之后骑行者立即以恒定的功率蹬车,骑行者的输出功率P=180 W,从B点运动到C点所用时间t=25 s,到达C点时速度恰好达到最大。车在水平路面上行驶时受到的阻力恒为总重力的0.05倍,运动过程可将骑行者和车视为质点,重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)A点到B点过程中车克服阻力做的功;
(2)车的最大速度vm的大小;
(3)B、C两点之间的距离s。
【答案】 (1)270 J　(2)6 m/s　(3)130 m
【解析】 (1)A点到B点过程由动能定理有
mgh-Wf=mv2,
解得Wf=270 J。
(2)达到最大速度时牵引力等于阻力,即
P=Fvm=Ffvm,
则车的最大速度
vm===6 m/s。
(3)从B点到C点由动能定理有
Pt-Ffs=m-mv2,
解得s=130 m。

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