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4　机械能守恒定律
1.通过了解人们追寻守恒量历程,掌握能量、机械能的概念,理解物体的动能和势能之间可以相互转化,形成物理观念。2.通过利用动能定理、重力做功与重力势能变化间的关系推导机械能守恒定律的表达式,培养科学探究精神。3.通过实例分析,理解机械能守恒定律的内容和守恒条件,掌握应用机械能守恒定律分析解决问题的方法,体会用守恒思想解决问题的优越性。
[定位·学习目标]　
探究·必备知识
知识点一　追寻守恒量、动能与势能的相互转化
「探究新知」
1.追寻守恒量
伽利略的斜面实验探究如图所示。
(1)过程:将小球由斜面A上某位置由静止释放,小球运动到斜面B上。
(2)实验现象:如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略,小球必将准确地终止于它开始运动时的 ,不会更高一点,也不会更低一点。
高度
(3)实验结论:这说明某种“东西”在小球运动的过程中是 。在物理学上我们把这个不变量叫作能量或者能。
2.动能与势能的相互转化
(1)重力势能与动能的转化。
只有重力做功时,若重力对物体做正功,则物体的重力势能 ,动能 ,物体的 转化为 ;若重力对物体做负功,则物体的重力势能 ,动能 ,物体的 转化为 。
不变的
减少
增加
重力势能
动能
增加
减少
动能
重力势能
(2)弹性势能与动能的转化。
只有弹簧弹力做功时,若弹力对物体做正功,则弹簧的弹性势能 ,物体的动能 ,弹簧的 转化为物体的 ;若弹力对物体做负功,则弹簧的弹性势能 ,物体的动能 ,物体的 转化为弹簧的 。
3.机械能: 、 与 统称为机械能。
减少
增加
弹性势能
动能
增加
减少
动能
弹性势能
重力势能
弹性势能
动能
正误辨析
(1)伽利略通过斜面实验得出了机械能守恒的结论。(　 　)
(2)通过重力做功,动能和重力势能可以相互转化。(　 　)
(3)弹性势能可以通过弹力做功转化为物体的动能。(　 　)
(4)物体自由下落时,重力做正功,物体的动能和重力势能都增加。(　 　)
(5)物体的机械能一定是正值。(　 　)
√
×
×
√
×
知识点二　机械能守恒定律
「探究新知」
1.内容:在只有 的物体系统内,动能与势能可以 ,而总的机械能 。
2.表达式
(1)Ek1+Ep1= 。
重力或弹力做功
3.守恒条件:物体系统中只有 或 做功。
互相转化
保持不变
Ek2+Ep2
重力
弹力
正误辨析
(1)物体所受合力为零,物体的机械能一定守恒。(　 　)
(2)机械能守恒时,物体一定只受重力和弹力作用。(　 　)
(3)合力做功为零,物体的机械能一定保持不变。(　 　)
(4)物体的机械能守恒时,则物体一定做匀速直线运动。(　 　)
(5)物体除受重力外,还受其他力,但其他力不做功,则物体机械能守恒。
(　 　)
√
×
×
×
×
突破·关键能力
要点一　对机械能守恒定律的理解
「情境探究」
如图所示,过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下。
探究:(1)过山车受哪些力作用 各做什么功
【答案】 (1)过山车受重力、轨道支持力、摩擦力和空气阻力;重力做正功,轨道支持力不做功,摩擦力和空气阻力做负功。
(2)过山车下滑时,动能和势能怎么变化 机械能守恒吗
【答案】 (2)过山车下滑时,重力势能减少,动能增加,机械能不守恒。
(3)若忽略过山车的摩擦力和空气阻力,过山车下滑时机械能守恒吗
【答案】 (3)若忽略过山车的摩擦力和空气阻力,过山车下滑时只有重力做功,机械能守恒。
「要点归纳」
1.对机械能的理解
(1)机械能是一个状态量,机械运动的物体在某一位置时,具有确定的速度,也就有确定的动能和势能,即具有确定的机械能。
(2)机械能是一个相对量,其大小与参考系、零势能面有关。
(3)机械能是标量,是系统所具有的。
2.对守恒条件的理解
(1)物体只受重力,如自由落体运动、抛体运动等。
(2)只有弹力做功,如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧,和弹簧相互作用的过程中,对物体和弹簧组成的系统来说,机械能守恒。
(3)重力和弹力都做功,如自由下落的物体落到竖直的弹簧上和弹簧相互作用的过程中,对物体和弹簧组成的系统来说,机械能守恒。
(4)除受重力或弹力外,还受其他力,但其他力不做功,或其他力做功的代数和为零。如物体沿斜面运动,受到沿斜面方向的拉力与摩擦力的大小相等,方向相反,在此运动过程中,其机械能守恒。
3.判断机械能是否守恒的方法
(1)利用机械能的定义判断(直接判断):若物体动能、势能均不变,机械能不变;若一个物体动能和势能中一种变化,另一种不变,则其机械能一定变化。
(2)用做功判断:若物体或系统只有重力(或弹力)做功,虽受其他力,但其他力不做功(或其他力做功的代数和为零),机械能守恒。
(3)用能量转化来判断:若物体系统中只有动能和势能相互转化,而无机械能与其他形式的能转化,则物体系统机械能守恒。
「典例研习」
[例1] (机械能的概念和计算)如图,将质量为m的篮球从离地高度为h的A处,以初始速度v抛出,篮球恰能进入高度为H的篮圈。不计空气阻力和篮球转动的影响,篮球入圈位置B所在的水平面为参考平面,重力加速度为g。则篮球经过位置B时的机械能为(　　)
B
[例2] (机械能守恒条件的理解与判断)(多选)(2025·福建福州期中)有以下物理过程:图甲为跳伞运动员匀速下落;图乙为地面上放置一固定斜面B,物块A从B上匀速下滑;图丙为物体A压缩弹簧的过程;图丁为不计任何阻力和定滑轮与绳子质量,物体A加速下落,物体B加速上升过程。关于这几个物理过程,下列判断正确的是(　 　)
[A]图甲所示过程中跳伞运动员的机械能不守恒
[B]图乙所示过程中物块A的机械能守恒
[C]图丙所示过程中物体A的机械能守恒
[D]图丁所示过程中物体A、B组成的系统机械能守恒
AD
【解析】 题图甲中跳伞运动员的动能不变,重力势能减小,则机械能不守恒,故A正确;题图乙中A匀速下滑,B表面粗糙,故物块A的机械能不守恒,故B错误;题图丙物体A将弹簧压缩的过程中,弹簧对A的弹力做负功,A的机械能减小,即题图丙中物体A的机械能不守恒,故C错误;题图丁中A、B两物体都只受重力和轻绳的拉力,由于系统内轻绳对A与对B做功的代数和为0,可知,题图丁中A、B组成的系统机械能守恒,故D正确。
判断机械能是否守恒应注意的问题
(1)合力为零是物体处于平衡状态的条件。物体受到的合力为零时,它一定处于匀速运动状态或静止状态,但它的机械能不一定守恒。
(2)合力做功为零是物体动能守恒的条件。合力对物体不做功,它的动能一定不变,但它的机械能不一定守恒。
(3)只有重力或系统内弹力做功是机械能守恒的条件。只有重力对物体做功时,物体的机械能一定守恒;只有重力或系统内弹力做功时,系统的机械能一定守恒。
·规律方法·
要点二　机械能守恒定律的应用
「情境探究」
运动员投掷铅球时,如果忽略铅球所受的空气阻力。
探究:(1)铅球在空中运动过程中,机械能是否守恒
【答案】 (1)由于阻力可以忽略,铅球在空中运动过程中,只有重力做功,机械能守恒。
(2)若铅球被抛出时速度大小一定,铅球落地时的速度大小与运动员将铅球抛出的方向有关吗
【答案】 (2)根据机械能守恒定律,铅球落地时速度的大小与运动员将铅球抛出的方向无关。
(3)在求解铅球落地的速度大小时,可以考虑应用什么规律
【答案】 (3)可以应用机械能守恒定律,也可以应用动能定理。
1.机械能守恒定律常用的三种表达式
「要点归纳」
项目 表达式 物理意义
从不同 状态看 Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E1=E2 初状态的机械能等于末状态的机械能
从转化 角度看 Ek2-Ek1=Ep1-Ep2或ΔEk=-ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量
从转移 角度看 EA2-EA1=EB1-EB2或ΔEA=-ΔEB 系统只有A、B两物体时,A增加的机械能等于B减少的机械能
2.机械能守恒定律应用的基本思路
「典例研习」
[例3] (2025·湖北阶段练习)若某枚烟花弹从地面以v0=20 m/s的速度竖直向上射出,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,以地面为重力势能的参考平面。
(1)求该烟花弹上升的最大高度h;
【答案】 (1)20 m
要点三　非质点类物体的机械能守恒问题
「要点归纳」
1.绳索、链条或液体类只有重力做功,机械能守恒。
2.合理选取参考平面,以初、末状态的重力势能便于表示为宜。
3.绳索、链条上各处的速度大小是一样的。
4.绳索、链条或液体在运动过程中,由于其长度或位置发生变化,重心位置相对物体来说并不是固定不变的。一般情况下常常分段考虑各部分重力势能,并用各部分重力势能之和作为系统的总重力势能。
「典例研习」
[例4] 如图所示,总长为L,质量分布均匀的铁链放在高度为H的光滑桌面上,有长度为a的一段下垂,H>L,重力加速度为g,则铁链刚接触地面时的速度大小为(　　)
C
检测·学习效果
1.下列说法正确的是(　　)
[A]图甲中蛟龙号被吊车匀速吊下水的过程中它的机械能守恒
[B]图乙中物块在恒力F作用下沿固定光滑斜面匀速上滑过程中,物块的机械能守恒
[C]图丙中不计一切阻力,由静止释放B球到B球落地前的过程中,B球减少的机械能等于A球增加的机械能
[D]图丁中撑竿跳高运动员在上升过程中机械能守恒
C
【解析】 题图甲中蛟龙号被吊车匀速吊下水的过程中,动能不变,重力势能变小,所以机械能不守恒,故A错误;题图乙中物块在恒力F作用下沿固定光滑斜面匀速上滑过程中,动能不变,重力势能增加,则物块的机械能增加,故B错误;题图丙中不计一切阻力,则A球与B球组成的系统机械能守恒,则由静止释放B球到B球落地前的过程中,B球减少的机械能等于A球增加的机械能,故C正确;题图丁中撑竿跳高运动员在上升过程中,撑竿的弹性势能转化为运动员的机械能,所以运动员的机械能不守恒,故D错误。
2.如图所示,斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止在水平面上。现将一小球从图示位置静止释放,不计一切摩擦,则在小球从释放到落至地面的过程中,下列说法正确的是(　　)
[A]斜劈对小球的弹力不做功
[B]斜劈与小球组成的系统机械能守恒
[C]斜劈的机械能守恒
[D]小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量
B
【解析】 不计一切摩擦,小球下滑时,小球和斜劈组成的系统只有小球的重力做功,系统机械能守恒,B正确;斜劈动能增加,重力势能不变,故斜劈的机械能增加,C错误;由系统机械能守恒可知,小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量和小球动能的增加量之和,D错误;斜劈对小球的弹力与小球位移的夹角大于90°,故弹力做负功,A错误。
3.如图所示,质量为m的小球从距桌面h1高处的A点由静止释放,自由下落到地面上的B点,桌面离地高为h2。选择桌面为参考平面,则小球(　　)
[A]在A点时的重力势能为-mgh1
[B]在A点时的机械能为mg(h1+h2)
[C]在B点时的重力势能为mgh2
[D]在B点时的机械能为mgh1
D
【解析】 若选择桌面为参考平面,A点在参考平面的上方h1处,所以小球在A点时的重力势能Ep1=mgh1,由于小球在A点时动能为零,故机械能为EA=mgh1,故A、B错误;由于B点在参考平面的下方h2处,所以小球在B点的重力势能为Ep2=-mgh2,在B点的机械能为EB=Ek2+Ep2=mg(h1+h2)-mgh2=mgh1,故C错误,
D正确。
4.如图所示,质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B,用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧,使B保持静止,轻绳正好拉直,且A物体底面与地面接触,B物体距地面0.8 m。求:(g取 10 m/s2)
(1)放开B物体,当B物体着地时A物体的速度大小;
【答案】 (1)2 m/s
(2)B物体着地后A物体还能上升的高度。
【答案】 (2)0.2 m
感谢观看4　机械能守恒定律
[定位·学习目标]　1.通过了解人们追寻守恒量历程,掌握能量、机械能的概念,理解物体的动能和势能之间可以相互转化,形成物理观念。2.通过利用动能定理、重力做功与重力势能变化间的关系推导机械能守恒定律的表达式,培养科学探究精神。3.通过实例分析,理解机械能守恒定律的内容和守恒条件,掌握应用机械能守恒定律分析解决问题的方法,体会用守恒思想解决问题的优越性。
知识点一　追寻守恒量、动能与势能的相互转化
探究新知
1.追寻守恒量
伽利略的斜面实验探究如图所示。
(1)过程:将小球由斜面A上某位置由静止释放,小球运动到斜面B上。
(2)实验现象:如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略,小球必将准确地终止于它开始运动时的高度,不会更高一点,也不会更低一点。
(3)实验结论:这说明某种“东西”在小球运动的过程中是不变的。在物理学上我们把这个不变量叫作能量或者能。
2.动能与势能的相互转化
(1)重力势能与动能的转化。
只有重力做功时,若重力对物体做正功,则物体的重力势能减少,动能增加,物体的重力势能转化为动能;若重力对物体做负功,则物体的重力势能增加,动能减少,物体的动能转化为重力
势能。
(2)弹性势能与动能的转化。
只有弹簧弹力做功时,若弹力对物体做正功,则弹簧的弹性势能减少,物体的动能增加,弹簧的弹性势能转化为物体的动能;若弹力对物体做负功,则弹簧的弹性势能增加,物体的动能减少,物体的动能转化为弹簧的弹性势能。
3.机械能:重力势能、弹性势能与动能统称为机械能。
正误辨析
(1)伽利略通过斜面实验得出了机械能守恒的结论。(　×　)
(2)通过重力做功,动能和重力势能可以相互转化。(　√　)
(3)弹性势能可以通过弹力做功转化为物体的动能。(　√　)
(4)物体自由下落时,重力做正功,物体的动能和重力势能都增加。(　×　)
(5)物体的机械能一定是正值。(　×　)
知识点二　机械能守恒定律
探究新知
1.内容:在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能与势能可以互相转化,而总的机械能保持
不变。
2.表达式
(1)Ek1+Ep1=Ek2+Ep2。
(2)m+mgh1=m+mgh2。
3.守恒条件:物体系统中只有重力或弹力做功。
正误辨析
(1)物体所受合力为零,物体的机械能一定守恒。(　×　)
(2)机械能守恒时,物体一定只受重力和弹力作用。(　×　)
(3)合力做功为零,物体的机械能一定保持不变。(　×　)
(4)物体的机械能守恒时,则物体一定做匀速直线运动。(　×　)
(5)物体除受重力外,还受其他力,但其他力不做功,则物体机械能守恒。(　√　)
要点一　对机械能守恒定律的理解
情境探究
如图所示,过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下。
探究:(1)过山车受哪些力作用 各做什么功
(2)过山车下滑时,动能和势能怎么变化 机械能守恒吗
(3)若忽略过山车的摩擦力和空气阻力,过山车下滑时机械能守恒吗
【答案】 (1)过山车受重力、轨道支持力、摩擦力和空气阻力;重力做正功,轨道支持力不做功,摩擦力和空气阻力做负功。
(2)过山车下滑时,重力势能减少,动能增加,机械能不守恒。
(3)若忽略过山车的摩擦力和空气阻力,过山车下滑时只有重力做功,机械能守恒。
要点归纳
1.对机械能的理解
(1)机械能是一个状态量,机械运动的物体在某一位置时,具有确定的速度,也就有确定的动能和势能,即具有确定的机械能。
(2)机械能是一个相对量,其大小与参考系、零势能面有关。
(3)机械能是标量,是系统所具有的。
2.对守恒条件的理解
(1)物体只受重力,如自由落体运动、抛体运动等。
(2)只有弹力做功,如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧,和弹簧相互作用的过程中,对物体和弹簧组成的系统来说,机械能守恒。
(3)重力和弹力都做功,如自由下落的物体落到竖直的弹簧上和弹簧相互作用的过程中,对物体和弹簧组成的系统来说,机械能守恒。
(4)除受重力或弹力外,还受其他力,但其他力不做功,或其他力做功的代数和为零。如物体沿斜面运动,受到沿斜面方向的拉力与摩擦力的大小相等,方向相反,在此运动过程中,其机械能
守恒。
3.判断机械能是否守恒的方法
(1)利用机械能的定义判断(直接判断):若物体动能、势能均不变,机械能不变;若一个物体动能和势能中一种变化,另一种不变,则其机械能一定变化。
(2)用做功判断:若物体或系统只有重力(或弹力)做功,虽受其他力,但其他力不做功(或其他力做功的代数和为零),机械能守恒。
(3)用能量转化来判断:若物体系统中只有动能和势能相互转化,而无机械能与其他形式的能转化,则物体系统机械能守恒。
典例研习
[例1] (机械能的概念和计算)如图,将质量为m的篮球从离地高度为h的A处,以初始速度v抛出,篮球恰能进入高度为H的篮圈。不计空气阻力和篮球转动的影响,篮球入圈位置B所在的水平面为参考平面,重力加速度为g。则篮球经过位置B时的机械能为(　　)
[A]mv2
[B]mv2+mg(h-H)
[C]mv2+mg(H-h)
[D]mv2+mgh
【答案】 B
【解析】 由题意可知,篮球在位置B时的重力势能是零,由动能定理有-mg(H-h)=Ek-mv2,得Ek=mv2-mg(H-h),则机械能为E=Ep+Ek=mv2+mg(h-H),故选B。
[例2] (机械能守恒条件的理解与判断)(多选)(2025·福建福州期中)有以下物理过程:图甲为跳伞运动员匀速下落;图乙为地面上放置一固定斜面B,物块A从B上匀速下滑;图丙为物体A压缩弹簧的过程;图丁为不计任何阻力和定滑轮与绳子质量,物体A加速下落,物体B加速上升过程。关于这几个物理过程,下列判断正确的是(　　)
[A]图甲所示过程中跳伞运动员的机械能不守恒
[B]图乙所示过程中物块A的机械能守恒
[C]图丙所示过程中物体A的机械能守恒
[D]图丁所示过程中物体A、B组成的系统机械能守恒
【答案】 AD
【解析】 题图甲中跳伞运动员的动能不变,重力势能减小,则机械能不守恒,故A正确;题图乙中A匀速下滑,B表面粗糙,故物块A的机械能不守恒,故B错误;题图丙物体A将弹簧压缩的过程中,弹簧对A的弹力做负功,A的机械能减小,即题图丙中物体A的机械能不守恒,故C错误;题图丁中A、B两物体都只受重力和轻绳的拉力,由于系统内轻绳对A与对B做功的代数和为0,可知,题图丁中A、B组成的系统机械能守恒,故D正确。
判断机械能是否守恒应注意的问题
(1)合力为零是物体处于平衡状态的条件。物体受到的合力为零时,它一定处于匀速运动状态或静止状态,但它的机械能不一定守恒。
(2)合力做功为零是物体动能守恒的条件。合力对物体不做功,它的动能一定不变,但它的机械能不一定守恒。
(3)只有重力或系统内弹力做功是机械能守恒的条件。只有重力对物体做功时,物体的机械能一定守恒;只有重力或系统内弹力做功时,系统的机械能一定守恒。
要点二　机械能守恒定律的应用
情境探究
运动员投掷铅球时,如果忽略铅球所受的空气阻力。
探究:(1)铅球在空中运动过程中,机械能是否守恒
(2)若铅球被抛出时速度大小一定,铅球落地时的速度大小与运动员将铅球抛出的方向有
关吗
(3)在求解铅球落地的速度大小时,可以考虑应用什么规律
【答案】 (1)由于阻力可以忽略,铅球在空中运动过程中,只有重力做功,机械能守恒。
(2)根据机械能守恒定律,铅球落地时速度的大小与运动员将铅球抛出的方向无关。
(3)可以应用机械能守恒定律,也可以应用动能定理。
要点归纳
1.机械能守恒定律常用的三种表达式
项目 表达式 物理意义
从不同 状态看 Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E1=E2 初状态的机械能等于末状态的机械能
从转化 角度看 Ek2-Ek1=Ep1-Ep2或ΔEk=-ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量
从转移 角度看 EA2-EA1=EB1-EB2或ΔEA=-ΔEB 系统只有A、B两物体时,A增加的机械能等于B减少的机械能
2.机械能守恒定律应用的基本思路
典例研习
[例3] (2025·湖北阶段练习)若某枚烟花弹从地面以v0=20 m/s的速度竖直向上射出,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,以地面为重力势能的参考平面。
(1)求该烟花弹上升的最大高度h;
(2)求当该烟花弹的重力势能为动能的时,该烟花弹的速度大小v1。
【答案】 (1)20 m　(2)10 m/s
【解析】 (1)由机械能守恒定律得
m=mgh,
解得烟花弹上升的最大高度
h==20 m。
(2)烟花弹的重力势能为动能的时,由机械能守恒定律得m=mgh1+m,
又mgh1=×m,
联立解得v1=10 m/s。
要点三　非质点类物体的机械能守恒问题
要点归纳
1.绳索、链条或液体类只有重力做功,机械能守恒。
2.合理选取参考平面,以初、末状态的重力势能便于表示为宜。
3.绳索、链条上各处的速度大小是一样的。
4.绳索、链条或液体在运动过程中,由于其长度或位置发生变化,重心位置相对物体来说并不是固定不变的。一般情况下常常分段考虑各部分重力势能,并用各部分重力势能之和作为系统的总重力势能。
典例研习
[例4] 如图所示,总长为L,质量分布均匀的铁链放在高度为H的光滑桌面上,有长度为a的一段下垂,H>L,重力加速度为g,则铁链刚接触地面时的速度大小为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 设铁链单位长度的质量为m,以地面为参考平面,由机械能守恒定律可得(L-a)mgH+amg(H-)=Lmv2+Lmg·,解得v=,故A、B、D错误,C正确。
1.下列说法正确的是(　　)
[A]图甲中蛟龙号被吊车匀速吊下水的过程中它的机械能守恒
[B]图乙中物块在恒力F作用下沿固定光滑斜面匀速上滑过程中,物块的机械能守恒
[C]图丙中不计一切阻力,由静止释放B球到B球落地前的过程中,B球减少的机械能等于A球增加的机械能
[D]图丁中撑竿跳高运动员在上升过程中机械能守恒
【答案】 C
【解析】 题图甲中蛟龙号被吊车匀速吊下水的过程中,动能不变,重力势能变小,所以机械能不守恒,故A错误;题图乙中物块在恒力F作用下沿固定光滑斜面匀速上滑过程中,动能不变,重力势能增加,则物块的机械能增加,故B错误;题图丙中不计一切阻力,则A球与B球组成的系统机械能守恒,则由静止释放B球到B球落地前的过程中,B球减少的机械能等于A球增加的机械能,故C正确;题图丁中撑竿跳高运动员在上升过程中,撑竿的弹性势能转化为运动员的机械能,所以运动员的机械能不守恒,故D错误。
2.如图所示,斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止在水平面上。现将一小球从图示位置静止释放,不计一切摩擦,则在小球从释放到落至地面的过程中,下列说法正确的是(　　)
[A]斜劈对小球的弹力不做功
[B]斜劈与小球组成的系统机械能守恒
[C]斜劈的机械能守恒
[D]小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量
【答案】 B
【解析】 不计一切摩擦,小球下滑时,小球和斜劈组成的系统只有小球的重力做功,系统机械能守恒,B正确;斜劈动能增加,重力势能不变,故斜劈的机械能增加,C错误;由系统机械能守恒可知,小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量和小球动能的增加量之和,D错误;斜劈对小球的弹力与小球位移的夹角大于90°,故弹力做负功,A错误。
3.如图所示,质量为m的小球从距桌面h1高处的A点由静止释放,自由下落到地面上的B点,桌面离地高为h2。选择桌面为参考平面,则小球(　　)
[A]在A点时的重力势能为-mgh1
[B]在A点时的机械能为mg(h1+h2)
[C]在B点时的重力势能为mgh2
[D]在B点时的机械能为mgh1
【答案】 D
【解析】 若选择桌面为参考平面,A点在参考平面的上方h1处,所以小球在A点时的重力势能Ep1=mgh1,由于小球在A点时动能为零,故机械能为EA=mgh1,故A、B错误;由于B点在参考平面的下方h2处,所以小球在B点的重力势能为Ep2=-mgh2,在B点的机械能为EB=Ek2+Ep2=
mg(h1+h2)-mgh2=mgh1,故C错误,D正确。
4.如图所示,质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B,用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧,使B保持静止,轻绳正好拉直,且A物体底面与地面接触,B物体距地面0.8 m。求:(g取 10 m/s2)
(1)放开B物体,当B物体着地时A物体的速度大小;
(2)B物体着地后A物体还能上升的高度。
【答案】 (1)2 m/s　(2)0.2 m
【解析】 (1)方法一　E1=E2
对A、B组成的系统,当B下落时系统机械能守恒,以地面为零势能参考平面,
则mBgh=mAgh+(mA+mB)v2,
v=
= m/s=2 m/s。
方法二　ΔEk增=ΔEp减
由ΔEk增=ΔEp减得
(mA+mB)v2=mBgh-mAgh,
得v=2 m/s。
方法三　ΔEA增=ΔEB减
由ΔEA增=ΔEB减得
mAgh+mAv2=mBgh-mBv2,
得v=2 m/s。
(2)当B落地后,A以2 m/s的速度竖直上抛,由机械能守恒定律可得mAgh′=mAv2,
则A上升的高度h′== m=0.2 m。
课时作业
(分值:60分)
考点一　机械能守恒的判断
1.(6分)(多选)下列关于机械能守恒的说法,正确的是(　　)
[A]做匀速直线运动的物体,其机械能不一定守恒
[B]运动的物体,若受到的合力不为零,则其机械能一定不守恒
[C]合力对物体不做功,物体的机械能一定守恒
[D]运动的物体,若受到的合力不为零,其机械能有可能守恒
【答案】 AD
【解析】 若物体在水平方向做匀速直线运动,其机械能守恒,若物体在竖直方向做匀速直线运动,其机械能不守恒,A正确;若物体做自由落体运动,物体受到的合力不为零,但机械能守恒,B错误,D正确;若物体在竖直方向的拉力作用下匀速上升,合力对物体不做功,但机械能增加,C错误。
2.(4分)如图所示,光滑水平面上有a、b两木块,a、b之间用一轻弹簧拴接,a靠在墙壁上,用力F向左推b使两木块之间的弹簧压缩并处于静止状态。若突然撤去力F,则下列说法正确的是(　　)
[A]木块a离开墙壁前,a、b组成的系统机械能守恒
[B]木块a离开墙壁后,a、b组成的系统机械能守恒
[C]木块a离开墙壁前,a、b及弹簧组成的系统机械能守恒
[D]木块a离开墙壁后,a、b及弹簧组成的系统机械能不守恒
【答案】 C
【解析】 木块a离开墙壁前,弹簧的弹力对b做功,则a、b组成的系统机械能不守恒,但是a、b和弹簧组成的系统机械能守恒,选项A错误,C正确;木块a离开墙壁后,弹簧的弹力对a、b都做功,则a、b组成的系统机械能不守恒,但是a、b及弹簧组成的系统机械能守恒,选项B、D错误。
3.(4分)如图所示,将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上,槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落,从A点与半圆形槽相切进入槽内,则下列说法正确的是(　　)
[A]小球在半圆形槽内运动的全过程中,只有重力对它做功
[B]小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中,小球的机械能不守恒
[C]小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中,小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒
[D]小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中,机械能守恒
【答案】 C
【解析】 当小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中,小球对半圆形槽的力使半圆形槽向右运动,半圆形槽对小球的支持力对小球做负功,小球的机械能不守恒,A、D错误;小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中,半圆形槽静止,则只有重力做功,小球的机械能守恒,B错误;小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中,小球与半圆形槽组成的系统只有重力做功,机械能守恒,C正确。
考点二　机械能守恒定律的应用
4.(4分)如图所示,质量、初速度大小都相同的A、B、C三个小球,在同一水平面上,A球竖直上抛,B球以倾斜角θ斜向上抛,空气阻力不计,C球沿倾角为θ的光滑斜面上滑,它们上升的最大高度分别为hA、hB、hC,则(　　)
[A]hA=hB=hC [B]hA=hB[C]hA=hC>hB [D]hA>hB,hA>hC
【答案】 C
【解析】 A球和C球上升到最高点时速度均为零,而B球上升到最高点时仍有水平方向的速度,即仍有动能。对A球或C球由机械能守恒定律,均有mgh=m,得h=,对B球有mghB+mv2=m,得hB=5.(4分)如图所示,在地面上以初速度v0抛出质量为m的物体,抛出后物体落在比地面低h的海平面上,重力加速度为g,若以地面为参考平面,且不计空气阻力,则(　　)
[A]物体在海平面上的重力势能为mgh
[B]重力对物体做的功为-mgh
[C]物体在海平面上的动能为m+mgh
[D]物体在海平面上的机械能为m+mgh
【答案】 C
【解析】 以地面为参考平面,海平面低于地面的高度为h,所以物体在海平面上时的重力势能为 -mgh,故A错误;重力做功与路径无关,与初、末位置的高度差有关,抛出点与海平面的高度差为h,并且重力做正功,所以整个过程重力对物体做功为mgh,故B错误;由动能定理得mgh=Ek2-m,则物体在海平面上的动能为Ek2=m+mgh,故C正确;根据机械能守恒定律知,物体在海平面上的机械能等于抛出时的机械能,为E=m,故D错误。
6.(4分)将质量为0.2 kg的小球放在竖立的轻弹簧上(未拴接),并将小球竖直下按至图甲所示的位置A。迅速松手后,弹簧把小球弹起,小球升至图乙所示的最高位置C,途中经过位置B时弹簧恢复原长。已知A、B的高度差为0.1 m,B、C的高度差为 0.3 m,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。若取位置B所在水平面为参考平面,则(　　)
[A]小球在位置A的重力势能为0.2 J
[B]小球在位置B的机械能为零
[C]小球在位置A的机械能小于在位置C的机械能
[D]小球在位置B的机械能小于在位置C的机械能
【答案】 C
【解析】 根据题意,由重力势能的定义和公式可知,小球在位置A的重力势能为EpA=-mghAB=
-0.2×10×0.1 J=-0.2 J;不计空气阻力,小球从B到C,只受重力作用,因此小球的机械能守恒,由机械能守恒定律可知,小球在位置B的机械能等于在位置C的机械能,小球在位置C只有重力势能,则EB=EC=EpC=mghBC=0.2×10×0.3 J=0.6 J,可知小球在位置A的机械能小于在位置C的机械能,A、B、D错误,C正确。
考点三　非质点类机械能守恒
7.(4分)如图所示,粗细均匀,两端开口的U形管内装有同种液体,管中液柱总长度为4h,开始时使两边液面高度差为h,后来让液体自由流动,当两液面高度相等时,右侧液面下降的速度为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 设液体总质量为m,根据机械能守恒定律有g·=mv2+g·,得右侧液面下降的速度为v=,故选A。
8.(4分)有一条均匀金属链条,一半在光滑的足够高斜面上,另一半竖直下垂,斜面顶端是一个很小的圆弧,斜面倾角为30°,由静止释放后链条滑动,链条刚好全部滑出斜面时的速度大小为1.25 m/s。已知重力加速度g取 10 m/s2,则金属链条的长度为(　　)
[A]0.25 m [B]0.50 m
[C]1.00 m [D]1.50 m
【答案】 A
【解析】 设链条的质量为2m,总长为L,以开始时链条的最高点为零势能点,链条的机械能为E=Ep+Ek=-×2mg×sin 30°-×2mg×+0=-mgL,链条全部滑出后,动能为Ek′=×2mv2,重力势能为Ep′=-2mg·,由机械能守恒定律可得E=Ek′+Ep′,即-mgL=mv2-mgL,解得L=0.25 m,故A正确。
9.(6分)(多选)一个物体以一定的初速度竖直上抛,不计空气阻力,如图所示为表示物体的动能Ek随高度h变化的图像、物体的重力势能Ep随速度v变化的图像(图线形状为四分之一圆弧)、物体的机械能E随高度h变化的图像、物体的动能Ek随速度v变化的图像(图线为开口向上的抛物线的一部分),其中可能正确的是(　　)
[A]　　 [B]
[C]　 　 [D]
【答案】 ACD
【解析】 设物体的初速度为v0,物体的质量为m,由机械能守恒定律得m=mgh+mv2,所以物体的动能与高度h的关系为Ek=m-mgh,A正确;物体的重力势能与速度v的关系为Ep=m-mv2,则Epv图像为开口向下的抛物线(第一象限中的部分),B错误;由于竖直上抛运动过程中机械能守恒,所以Eh图像为一平行于h轴的直线,C正确;由Ek=mv2知,Ekv图像为一开口向上的抛物线(第一象限中的部分),D正确。
10.(4分)如图所示,光滑圆弧形轨道BCD固定在竖直平面内,O点为圆心,半径为R,BO水平,C为最低点,∠COD=60°。一小球(可视为质点)从A点静止释放,恰好从B点沿切线进入圆弧形轨道,A、B之间的距离也为R,则小球飞离D点后离D点的最大高度为(　　)
[A] [B]R [C] [D]
【答案】 D
【解析】 依题意,设小球到达D点时的速度大小为v,以D点所在平面为参考平面,根据机械能守恒定律有mg(R+Rcos 60°)=mv2,解得v=,从D点飞出后,小球做斜抛运动,设到达离D点的最大高度为h,根据机械能守恒定律有mv2=m(vcos 60°)2+mgh,得h=,故选D。
11.(6分)(多选)(2025·福建泉州期中)如图所示,质量分布均匀的铁链,静止放在半径R= m的光滑半球体上方。给铁链一个微小的扰动使之向右沿球面下滑,当铁链的端点B滑至C处时其速度大小为3 m/s。已知∠AOB=60°,以OC所在平面为参考平面,g取10 m/s2。则下列说法正确的是(　　)
[A]铁链下滑过程中任意一小段铁链的机械能均守恒
[B]铁链在初始位置时其重心高度为m
[C]铁链的端点A滑至C点时其重心下降2.8 m
[D]铁链的端点A滑至C处时速度大小为 2 m/s
【答案】 CD
【解析】 铁链下滑过程中整体的机械能守恒,但任意一小段铁链运动过程中机械能不守恒,故A错误;设铁链在初始位置时其重心到O点的距离为h,如图中的E点,
铁链的端点B滑至C处过程中,链条重心的位置到O点的距离不变,在此过程中,根据机械能守恒定律可得mgh=mghsin 30°+mv2,其中v=3 m/s,解得h=1.8 m,故B错误;设链条长度为L,根据几何关系可得L==× m=2 m,铁链的端点A滑至C点时其重心下降的高度为H=h+=1.8 m+ m=2.8 m,故C正确;设铁链的端点A滑至C处时速度大小为v′,根据机械能守恒定律可得mgH=mv′2,解得v′=2 m/s,故D正确。
12.(10分)如图所示,轨道ABCD在竖直平面内,由四分之一圆形光滑轨道AB、水平轨道BC和足够长的倾斜光滑轨道CD连接而成,AB与BC相切,BC与CD的连接处是半径很小的光滑圆弧,圆形轨道AB的半径为R,水平轨道BC的长度也为R。质量为m的小物块从圆形轨道上A点以初速度v0=开始下滑,物块与水平轨道的动摩擦因数为0.25,求:
(1)物块第一次运动到C点时速度大小;
(2)物块在倾斜光滑轨道CD上能上升的最大高度;
(3)物块最终停止的位置。
【答案】 (1)2　(2)2R　(3)最终停止在C点
【解析】 (1)物块从A点运动到C点的过程,由动能定理得
mgR-μmgR=m-m,
解得vC=2。
(2)物块从C点到最大高度处的过程由机械能守恒定律得m=mgh,解得h=2R。
(3)整个过程,由动能定理可得
mgR-μmgs=0-m,
解得s=9R,故物块最终停止在C点。

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