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微专题7　机械能守恒定律的综合应用
[定位·学习目标]　1.通过多物体组成的系统、含弹簧系统对机械能守恒定律的应用,掌握这些模型机械能守恒的条件,并能应用相关表达式做出解答。2.通过对机械能守恒定律和动能定理的应用比较,体会应用多种方法解决物理问题的思想。3.通过功能关系的分析,理解功是能量转化的量度,并能应用其解决问题;深化能量守恒的思想,进一步加深对能量观念的理解。
要点一　多物体组成的系统机械能守恒的问题
要点归纳
1.如图所示的两物体组成的系统,各接触面光滑,在释放B而使A、B运动的过程中,A、B的速度均沿绳子方向,在相等时间内A、B运动的路程相等,则A、B的速度大小相等。
判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断,而从能量转化的角度判断,如果系统中只有动能和势能相互转化,系统的机械能守恒。这类题目的典型特点是系统不受摩擦力作用。
2.如图所示的两物体组成的系统,当释放后A、B在竖直平面内绕O点的轴无摩擦转动,在转动的过程中相等时间内A、B转过的角度相等,则A、B转动的角速度相等。
系统机械能守恒的特点:
(1)一个物体的机械能增加,另一个物体的机械能必然减少,机械能通过内力做功实现物体间的转移。
(2)内力对一个物体做正功,必然对另外一个物体做负功,且二者代数和为零。
3.如图所示的两物体组成的系统,各接触面光滑,在释放后A、B运动的过程中,A、B的速度并非均沿绳子方向,在相等时间内A、B运动的路程不相等,则A、B的速度大小不相等,但二者在沿着绳子方向的分速度大小相等。
系统机械能守恒的两种思路:
(1)系统动能的减少(增加)量等于重力势能的增加(减少)量。
(2)一个物体机械能的减少量等于另一个物体机械能的增加量。
典例研习
[例1] (绳连接的系统的机械能守恒问题)(多选)一条轻绳跨过定滑轮,绳的两端各系一个小球A和B,B球的质量是A球的3倍。用手托住B球,轻绳刚好被拉紧时,B球离地面的高度为h,A球静止于地面,如图所示。现由静止释放小球B,B通过轻绳带动A球上升,B球着地后对轻绳无作用力,速度立即变为0。A、B可视为质点,定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计,重力加速度为g。则从静止释放小球B,到球A达到最高点的过程中,下列说法正确的是(　　)
[A]球A、B组成的系统机械能守恒
[B]拉力对球A所做的功为mgh
[C]A球重力势能增加量为mgh
[D]A球动能的最大值为mgh
【答案】 BC
【解析】 在B落地前,对A、B整体,只有重力做功,故球A、B组成的系统机械能守恒,但B落地后,速度立即变为0,机械能减小,而球A继续上升,机械能不变,故整体机械能不守恒,A错误;由题可知球B落地前绳子对球A做功,设B刚落地时两球的速度大小为v,根据机械能守恒定律有3mgh-mgh=×3mv2+mv2,解得v=,对球A,根据动能定理有W-mgh=mv2,解得拉力对球A所做的功W=mgh,B正确;球B落地后,设球A上升的距离为h1,则有mv2=mgh1,解得h1=h,A球重力势能增加量为ΔEpA=mg(h+h1)=mgh,C正确;当B球落地时,球A的速度最大,此时动能最大,为EkA=mv2=mgh,D错误。
[例2] (杆连接的系统的机械能守恒问题)轻杆AB长为2L,A端连在固定轴上,B端固定一个质量为2m的小球,中点C固定一个质量为m的小球。AB杆可以绕A端在竖直平面内自由转动。现将杆置于水平位置,如图所示,然后由静止释放,不计各处摩擦力与空气阻力,重力加速度大小为g,下列说法不正确的是(　　)
[A]AB杆转到竖直位置时,角速度为
[B]AB杆转到竖直位置的过程中,B端小球的机械能的变化量为mgL
[C]AB杆转动过程中CB杆对B端小球做正功,对C端小球做负功
[D]AB杆转动过程中,C端小球机械能守恒
【答案】 D
【解析】 在AB杆由静止释放转到竖直位置的过程中,两小球和杆组成的系统机械能守恒,则以B端小球在最低点的水平面为参考平面,根据机械能守恒定律有mg·2L+2mg·2L=
mgL+×2m(ω·2L)2+m(ωL)2,解得角速度ω=,故A正确;在此过程中,B端小球机械能的变化量为ΔEB=E末-E初=×2m(ω·2L)2-2mg·2L=mgL,故B正确;AB杆转动过程中,由于B端小球机械能增加,故CB杆对B端小球做正功,由于系统机械能守恒,C端小球机械能必然减少,所以CB杆对C端小球做负功,故C正确,D错误。
由两个物体和轻杆(或轻绳)组成的系统,若没有摩擦力和阻力做功时,运动过程中只有重力势能、动能之间的相互转化,系统满足机械能守恒定律。处理这类问题的方法:
(1)找到两物体的速度关系,从而确定系统动能的变化。
(2)找到两物体上升或下降的高度关系,从而确定系统重力势能的变化。
(3)按照系统动能的变化等于重力势能的变化列方程求解。
要点二　含弹簧类机械能守恒问题
要点归纳
解答含弹簧类机械能守恒问题的“四点”注意
(1)含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时,物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化,物体和弹簧组成的系统机械能守恒,而单个物体和弹簧机械能都不守恒。
(2)含弹簧的物体系统机械能守恒问题符合一般的运动学解题规律,同时还要注意弹簧弹力和弹性势能的特点。
(3)弹簧弹力做的功等于弹簧弹性势能的变化量,而弹簧弹力做功与路径无关,只取决于初、末状态弹簧形变量的大小。
(4)由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统,当弹簧形变量最大时,弹簧两端连接的物体具有相同的速度;弹簧处于自然长度时,弹簧弹性势能最小(为零)。
典例研习
[例3] (竖直弹簧模型)(多选)如图所示,一根轻弹簧下端固定,竖立在水平面上。其上方A位置有一小球,小球从静止开始下落到B位置接触弹簧的上端,在C位置小球所受弹力大小等于重力大小,在D位置小球速度减小到零。不计空气阻力,则小球(　　)
[A]下落至C处速度最大
[B]由A至D的过程中机械能守恒
[C]由B至D的过程中,动能先增大后减小
[D]由A运动到D时,重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
【答案】 ACD
【解析】 小球从B至C过程,重力大于弹力,合力向下,小球做加速运动,小球从C至D过程,重力小于弹力,合力向上,小球做减速运动,所以动能先增大后减小,在C点动能最大,速度最大,故A、C正确;由A至B下落过程中小球只受重力,其机械能守恒,从B→D过程,小球和弹簧组成的系统机械能守恒,但小球的机械能不守恒,故B错误;在D位置小球速度减小到零,小球的动能为零,则从A运动到D时,小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量,故D正确。
[例4] (含弹簧类机械能守恒问题)(2025·江苏南通期中)如图所示,光滑斜面固定在水平地面上,质量相等的物块A、B通过一根不可伸长的轻绳跨过光滑定滑轮连接,一轻质弹簧下端固定在斜面底端,另一端连接在A上。开始时B被托住,轻绳伸直但没有弹力。现使B由静止释放,在B运动至最低点的过程中(设B未落地,A未与滑轮相碰,弹簧始终在弹性限度内)(　　)
[A]A和B总的重力势能先减小后增大
[B]轻绳拉力对A做的功等于A机械能的增加量
[C]当A受到的合力为零时,A的速度最大
[D]当A和B的速度最大时,A和B的总机械能最大
【答案】 C
【解析】 在B运动至最低点的过程中,设B下降的高度为h0,斜面倾角为θ,则A和B总的重力做功为WG=mgh0-mgh0sin θ>0,可知,A和B总的重力势能一直减小,故A错误;在B运动至最低点的过程中,弹簧先处于压缩状态后处于拉伸状态,弹簧弹力对A先做正功后做负功,轻绳对A一直做正功,轻绳对A做功与弹簧对A做功的代数和等于A机械能的变化量,故B错误;在B运动至最低点的过程中,对A进行分析,A先向上做加速度减小的加速运动,后向上做加速度增大的减速运动,当A受到的合力为零时,A的速度最大,故C正确;在B运动至最低点的过程中,结合上述可知,当A和B的速度最大时,A、B所受外力合力为0,此时弹簧处于拉伸状态,在弹簧从原长到该拉伸状态过程,弹簧对A做负功,该过程,A、B系统的机械能减小,可知,当A和B的速度最大时,A和B的总机械能并不是最大,故D错误。
要点三　机械能守恒定律和动能定理的应用
要点归纳
机械能守恒定律和动能定理的比较
规律 比较 机械能守恒定律 动能定理
表 达 式 E1=E2 ΔEk=-ΔEp ΔEA=-ΔEB W=ΔEk
适用 范围 只有重力或弹力做功 无条件限制
研究 对象 物体与地球组成的系统 单物体、可看成单一物体的物体系统
选用 原则 (1)无论直线运动还是曲线运动,条件合适时,两规律都可应用,都要考虑初、末状态,都不需要考虑所经历过程的细节。 (2)能用机械能守恒定律求解的,一定能用动能定理求解。 (3)动能定理比机械能守恒定律应用更广泛,更普遍
思想 方法 机械能守恒定律和动能定理都是从功和能转化的角度来研究物体在力的作用下状态的变化,中间过程都有力做功,列式时都要找两个状态,所列方程都要用标量的形式表达
典例研习
[例5] 为了研究过山车的原理,某兴趣小组提出了下列设想:取一个与水平方向夹角为37°、长为L=2.0 m的粗糙倾斜轨道AB,通过水平轨道BC与半径为R=0.2 m的竖直圆轨道相连,出口为水平轨道DE,整个轨道除AB段以外都是光滑的。其中AB与BC轨道以微小圆弧相接,如图所示。一个质量m=1 kg的小物块以初速度v0=5.0 m/s 从A点沿倾斜轨道滑下,小物块到达C点时速度vC=4.0 m/s。g取10 m/s2,取 sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
(1)求小物块到达C点时对圆轨道压力的大小。
(2)求小物块从A到B运动过程中摩擦力所做的功。
(3)为了使小物块不离开轨道,并从轨道DE滑出,竖直圆轨道的半径应满足什么条件
【答案】 (1)90 N　(2)-16.5 J (3)R≤0.32 m
【解析】 (1)设小物块到达C点时受到圆轨道的支持力大小为FN,根据牛顿第二定律有
FN-mg=m,
解得FN=90 N,
根据牛顿第三定律可知,小物块对圆轨道压力的大小为90 N。
(2)由于水平轨道BC光滑,无摩擦力做功,所以可将研究小物块从A到B的运动过程转化为研究从A到C的过程。小物块从A到C的过程中,根据动能定理有
mgLsin 37°+Wf=m-m,
解得Wf=-16.5 J。
(3)设小物块恰好到达圆轨道最高点时速度大小为v,根据牛顿第二定律有
mg=m,
解得v=,
以C点所在水平面为参考平面,则小物块从圆轨道最低点到最高点的过程中,根据机械能守恒定律有m=mv2+2mgR,
联立解得R==0.32 m,
所以竖直圆轨道的半径应满足R≤0.32 m。
要点四　功能关系和能量守恒定律
要点归纳
1.功能关系概述
(1)不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的,做功的过程就是能量之间转化的过程。
(2)功是能量转化的量度。做了多少功,就有多少能量发生转化。
(3)功和能尽管存在对应关系,而且单位也相同,但功和能本质不同,功是过程量,是能量转化的过程,而能是状态量,其变化通过做功来实现。
(4)以系统为研究对象时,内力做功的过程同样是能量转化的过程。
2.功能关系的几种表达形式
功 能量转化 关系式
重力做功 重力做正功,重力势能减少;重力做负功,重力势能增加 WG=Ep1-Ep2
弹力做功 弹力做正功,弹性势能减少;弹力做负功,弹性势能增加 WF=Ep1-Ep2
合力做功 合力做正功,动能增加;合力做负功,动能减少 W合=Ek2-Ek1
系统内除重力、弹力外其他力做功 其他力做正功,机械能增加;其他力做负功,机械能减少 W其他=E2-E1
两物体间滑动摩擦力对物体系统做功 系统内一对滑动摩擦力做的总功的数值等于转化成的内能 Q=Ff·l相对
3.能量守恒定律
(1)内容:能量既不会凭空产生,也不会凭空消失,它只能从一种形式转化为其他形式,或者从一个物体转移到别的物体,在转化或转移的过程中,能量的总量保持不变。
(2)表达式。
①E1=E2。
②ΔE减=ΔE增。
(3)能量转化问题的解题思路。
①当涉及滑动摩擦力做功,机械能不守恒时,一般应用能量守恒定律。
②解题时,首先确定初、末状态,然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少,哪种形式的能量增加,求出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增,最后由ΔE减=ΔE增列式求解。
典例研习
[例6] (功能关系的应用)(多选)(2025·河北模拟)滑雪场一段平直坡道倾角为45°,质量为m的滑雪者收起滑雪杖由静止开始自由下滑,下滑的加速度恒为(g为重力加速度),滑雪者沿坡道下滑过程中,竖直方向下降的高度为h。对于下滑过程,下列说法正确的是(　　)
[A]合力做的功为mgh
[B]动能增加mgh
[C]克服摩擦力做的功为mgh
[D]机械能损失mgh
【答案】 AC
【解析】 下滑的加速度恒为,则合力做的功为W合=m··=mgh,故A正确;根据动能定理有W合=ΔEk,结合上述解得ΔEk=mgh,故B错误;下滑的加速度恒为,根据牛顿第二定律有mgsin 45°-Ff=m·,解得Ff=mg,则克服摩擦力做功W克=Ff·=mgh,故C正确;根据功能关系可知,机械能减少量等于克服摩擦力做的功,即机械能损失mgh,故D错误。
[例7] (能量守恒定律的应用)如图所示,传送带与水平面之间的夹角为θ=30°,其上A、B两点间的距离为l=5 m,传送带在电动机的带动下以v=1 m/s的速度匀速运动。现将一质量为m=
10 kg的小物体(可视为质点)轻放在传送带上的A点,已知小物体与传送带之间的动摩擦因数μ=,在传送带将小物体从A点传送到B点的过程中,求:(g取 10 m/s2)
(1)传送带对小物体做的功;
(2)电动机多输出的能量。
【答案】 (1)255 J　(2)270 J
【解析】 (1)小物体刚开始运动时,根据牛顿第二定律有μmgcos θ-mgsin θ=ma,
解得小物体上升的加速度为a==2.5 m/s2,
当小物体的速度为v=1 m/s时,小物体的位移为
x==0.2 m<5 m,
之后小物体以v=1 m/s的速度做匀速运动到达B点,由功能关系得
W=ΔE=ΔEk+ΔEp=mv2+mglsin θ=255 J。
(2)根据速度与时间关系可得
t==0.4 s,
相对位移为
x′=vt-t=0.2 m,
摩擦产生的热量为Q=μmgx′cos θ=15 J,
电动机多输出的能量等于小物体的机械能增加量ΔE和小物体与传送带间因摩擦产生的热量Q之和,故电动机多输出的能量为E电=ΔE+Q=270 J。
1.如图所示,质量为m的木块放在光滑的水平桌面上,用轻绳绕过桌边的定滑轮与质量为M的砝码相连,已知M=3m,让绳拉直后使砝码从静止开始下降,不计空气阻力,重力加速度大小为g。若砝码底部与地面的距离为h,砝码刚接触地面时木块仍没离开桌面,则下列说法正确的是(　　)
[A]砝码落地时的速度大小为
[B]砝码落地时的速度大小为
[C]绳子的拉力对砝码做的功为mgh
[D]绳子的拉力对木块做的功为mgh
【答案】 B
【解析】 对整体根据机械能守恒定律有Mgh=(M+m)v2,又M=3m,联立得v=,故A错误,B正确;对砝码根据动能定理有Mgh+WF=Mv2,解得绳子的拉力对砝码做的功为 WF=-mgh,故C错误;对木块根据动能定理,绳子的拉力对木块做的功为W=mv2=mgh,故D错误。
2.如图所示,长直轻杆两端分别固定小球A和B,两球质量均为m,两球半径忽略不计,杆的长度为L。先将杆竖直靠放在竖直墙上,轻轻拨动小球B,使小球B在水平面上由静止开始向右滑动,当小球A沿墙下滑距离为时,下列说法正确的是(不计一切摩擦,重力加速度为g)(　　)
[A]杆对小球A做的功为mgL
[B]小球A、B的速度都为
[C]小球A、B的速度分别为和
[D]杆与小球A、B组成的系统机械能减少了mgL
【答案】 C
【解析】 对杆与小球A、B组成的系统,整个过程中只有重力做功,机械能守恒,由机械能守恒定律得mg·=m+m,又有vAcos 60°=vBcos 30°,解得vA=,vB=,故C正确,B、D错误;对小球A,由动能定理得mg·+W=m,解得杆对小球A做的功W=m-mg·=
-mgL,故A错误。
3.(多选)如图所示,一根轻质弹簧与质量为m的滑块P连接后,穿在一根光滑竖直杆上,弹簧下端与竖直杆的下端连接,一根轻绳跨过定滑轮将滑块P和重物Q连接起来。图中O、B两点等高,线段OA长为L,与水平方向的夹角θ=37°,重物Q的质量M=5m。把滑块从图中A点由静止释放后沿竖直杆上下运动,当它经过A、B两点时,弹簧对滑块的弹力大小相等,不计滑轮的摩擦,重力加速度大小为g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。在滑块从A到B的运动过程中(　　)
[A]滑块P的速度一直增大
[B]滑块P在位置B的速度vB=
[C]轻绳对滑块P做功为0.5mgL
[D]滑块P与重物Q的机械能之和先增大后减小
【答案】 BD
【解析】 由经过A、B两点时弹簧对滑块的弹力大小相等可知,滑块P在A点弹簧处于压缩状态,滑块P在B点弹簧处于伸长状态,滑块P在B点所受合力方向竖直向下,则滑块P在越来越靠近B点过程中必有所受合力方向竖直向下的阶段,该阶段滑块P的速度减小,故A错误;经过A、B两点时,弹簧对滑块的弹力大小相等,即弹簧的形变量相同,弹簧的弹性势能相等,到B点时,重物Q的速度为零,由系统机械能守恒可得5mg(L-Lcos 37°)=mgLsin 37°+m,解得vB=,故B正确;由B项分析可知,滑块P在A、B两点弹簧弹性势能相等,即弹簧对滑块P做功为零,所以轻绳对滑块P做的功等于滑块P增加的机械能,则W=mgLsin 37°+
m=mgL,故C错误;由A项分析可知,从A点到B点过程中,弹簧对滑块P、重物Q整体先做正功,后做负功,所以滑块P与重物Q的机械能之和先增大后减小,故D正确。
4.如图所示,间距为lAB=10 m的水平传送带以v0=5 m/s的速度顺时针匀速转动,在传送带的左端A点轻放一质量m=5 kg的有颜色小物块,当小物块与传送带刚达到共速时,传送带因某种原因突然停止运动,最终物块恰好到达传送带的右端B点,重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)物块与传送带间的动摩擦因数;
(2)物块在传送带上留下的划痕长度;
(3)物块与传送带因摩擦产生的热量Q。
【答案】 (1)0.25　(2)5 m　(3)125 J
【解析】 (1)小物块先做匀加速运动,再做匀减速运动,设小物块到达与传送带共速的时间为t,则有
lAB=×2t=10 m,
解得t=2 s,
对小物块由运动学公式可得v0=at,
解得a=2.5 m/s2,
设小物块与传送带间的动摩擦因数为μ,则有
μmg=ma,
解得μ=0.25。
(2)小物块匀加速运动阶段与传送带的相对位移
x1=v0t-v0t=5 m,
小物块匀减速运动阶段与传送带的相对位移
x2=v0t-v0t=5 m,
因为匀加速阶段和匀减速阶段是重复的划痕,故小物块在传送带上留下的划痕长度为
x=x1=x2=5 m。
(3)小物块与传送带的相对路程
Δs=x1+x2=10 m,
由功能关系可得小物块与传送带因摩擦产生的热量为Q=μmgΔs,
解得Q=125 J。
课时作业
(分值:60分)
考点一　多物体组成的系统机械能守恒的问题
1.(4分)如图所示,半径为R的光滑半圆形轨道固定在竖直平面内,圆心O与右端P在同一水平面上。小球a、b通过不可伸长的轻绳连接,小球a质量为2m,小球b质量为m,两小球均可视为质点,重力加速度为g。起初外力使小球a静止于P端,轻绳伸直,小球b静止,然后撤去外力,将小球a、b同时从静止开始无初速度释放,不计空气阻力,当小球a刚到达轨道最低点Q时的速度大小为(　　)
[A] [B]
[C] [D]2
【答案】 D
【解析】 设小球a刚到达轨道最低点Q时速度为v,以最低点Q所在水平面为参考平面,由题意可得,此时小球b的速度为vb=vcos 45°,对整个过程,由机械能守恒定律可得2mgR=
mg·R+×2mv2+m,解得v=2,故选D。
2.(6分)(多选)(2025·广西柳州阶段练习)一质量不计的直角形支架两端分别连接质量均为m的小球A和B,支架的两直角边长度分别为2l和l,支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动,如图所示。开始时OA边处于水平状态,由静止释放OA,不计空气阻力,重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
[A]运动过程中,A、B两球的速度大小总是相等
[B]运动过程中,A、B和支架系统机械能守恒
[C]A运动至最低点时速度大小为
[D]A运动至最低点的过程中,杆对B做功为mgl
【答案】 BC
【解析】 A、B两球同轴转动,角速度相等,根据v=ωr,可得==2,故运动过程中,A、B两球的速度大小不相等,故A错误;运动过程中,系统中只有重力做功,A、B和支架系统机械能守恒,故B正确;A运动至最低点时,根据机械能守恒有mg·2l-mgl=m+m,联立解得vA=,
vB=,故C正确;A运动至最低点的过程中,对B,根据动能定理有W-mgl=m,解得 W=mgl,故D错误。
考点二　含弹簧类机械能守恒问题
3.(6分)(多选)如图所示,轻质弹簧的一端与固定的竖直板P拴接,另一端与物体A相连,物体A静止于光滑水平桌面上,右端接一细线,细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连。开始时用手托住物体B,让细线恰好伸直,然后由静止释放物体B,直至物体B获得最大速度。下列有关该过程的分析正确的是(不计空气阻力)(　　)
[A]物体A与B组成的系统的机械能不守恒
[B]物体B的机械能减少量等于它所受重力与拉力做的功之和
[C]物体B机械能的减少量等于物体A与弹簧所组成的系统机械能的增加量
[D]细线拉力对物体A做的功等于物体A机械能的增加量
【答案】 AC
【解析】 由于弹簧对物体A与B组成的系统的弹力做负功,则物体A与B组成的系统的机械能减少,减少的机械能转化为弹簧的弹性势能,因此物体A与B组成的系统机械能不守恒,A正确;细线的拉力对物体B做负功,物体B的机械能减少,因此物体B的机械能减少量等于它克服细线拉力做的功,B错误;根据上述分析可知,物体A、B与弹簧构成的系统机械能守恒,即物体B机械能的减少量等于物体A与弹簧所组成的系统机械能的增加量,C正确;细线拉力对A做正功,弹簧弹力对A做负功,则细线拉力对物体A做的功与弹簧弹力做功之和等于物体A机械能的增加量,D错误。
4.(10分)(2025·江苏南通阶段练习)如图,轻质弹簧一端固定在地面上,另一端连接物体A,一轻绳跨过定滑轮分别与A、B两物体相连接。用手托着B,轻绳恰好伸直且无张力,由静止释放B后,A、B在竖直方向运动,A、B均不会与滑轮和地面相碰。已知A、B质量分别为m、2m,弹簧劲度系数为k,原长为L0,始终处于弹性限度内,重力加速度为g,不计阻力。弹簧弹性势能表达式Ep=kx2(x为弹簧形变量),求:
(1)刚释放B时弹簧的长度L;
(2)A运动中的最大速度v;
(3)B运动到最低点时的加速度大小a。
【答案】 (1)L0-　(2)2g　(3)g
【解析】 (1)刚释放B时,绳没有拉力,设弹簧压缩量为x,根据平衡条件,对A有
kx=mg,
解得x=,
刚释放B时弹簧的长度
L=L0-x=L0-。
(2)速度最大时,加速度为零,设此时弹簧伸长量为x0,则有kx0+mg=2mg,
解得x0=,
与初始时刻的压缩量相等,故弹簧的弹性势能不变,则从释放到A速度最大,对整个系统根据机械能守恒有
2mg(x+x0)=mg(x+x0)+mv2+×2mv2,
解得v=2g。
(3)设刚释放时弹簧的弹性势能为Ep1,B运动到最低点时,弹簧的伸长量为x1,弹簧的弹性势能为Ep2,对系统从释放到B运动到最低点,根据机械能守恒有2mg(x+x1)+Ep1=mg(x+x1)+Ep2,
又因为Ep1=kx2,Ep2=k,
解得x1=,
根据牛顿第二定律,对A有
kx1+mg-FT=ma,
对B有FT-2mg=2ma,
解得a=g。
考点三　功能关系
5.(6分)(多选)如图所示,质量为m的小滑块从离地面高为h处的A点沿光滑斜面下滑并运动到半径为R的光滑圆轨道上,然后沿粗糙的斜面BD运动到D点时速度刚好为零,并停于此处,BD的竖直高度为H,不计空气阻力,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
[A]小滑块在A、C两点的机械能不相等
[B]小滑块从B点运动到D点过程中,动能减少量为mgh
[C]小滑块从B点运动到D点过程中,机械能减少量为mg(h-H)
[D]若改变小滑块释放点的高度h,要使小滑块不脱离轨道,应满足h≥2.5R或h≤R
【答案】 BCD
【解析】 小滑块由A点运动到C点,只有重力做功,机械能守恒,所以小滑块在A、C两点的机械能相等,故A错误;小滑块从B点运动到D点过程中,根据动能定理可得ΔEk减=mgH-Wf,小滑块从A点运动到D点过程中,根据动能定理有mg(h-H)+Wf=0,由以上两式可得ΔEk减=mgh,故B正确;根据功能关系,小滑块从B点运动到D点过程中,机械能减少量为ΔE减=-Wf=
mg(h-H),故C正确;若改变小滑块释放点的高度h,要使小滑块不脱离轨道,则小滑块恰好到达C点或者恰好到达圆心等高处,根据动能定理有mg(h-2R)=mv2,在C点,有mg=m,解得h=
2.5R,若恰好到达圆心等高处,有mg(h-R)=0,所以h=R,综上可得,若改变小滑块释放点的高度h,要使小滑块不脱离轨道,应满足h≥2.5R或h≤R,故D正确。
6.(10分)(2025·江苏扬州阶段练习)如图所示,足够长的木板静止在粗糙的水平地面上,木板的质量M=2 kg,与地面间的动摩擦因数μ1=0.1;在木板的左端放置一个质量m=2 kg的小铅块(视为质点),小铅块与木板间的动摩擦因数μ2=0.3。现给铅块一向右的初速度v0=4 m/s,使其在木板上滑行,木板获得的最大速度v=1 m/s,g取10 m/s2,求:
(1)木板达到最大速度时,木板运动的位移;
(2)铅块与木板间因摩擦产生的总热量;
(3)整个运动过程中木板对铅块的摩擦力所做的功。
【答案】 (1)0.5 m　(2)12 J　(3)-16 J
【解析】 (1)小铅块在木板上滑动过程中,木板达到最大速度时,木板运动的位移为x1,
由动能定理得[μ2mg-μ1(M+m)g]x1=Mv2,
解得x1=0.5 m。
(2)根据能量守恒定律,铅块与木板间因摩擦产生的总热量为
Q=m-(M+m)v2-μ1(M+m)gx1=12 J。
(3)由题意知,铅块与木板最终静止,则对铅块根据动能定理,整个运动过程中木板对铅块的摩擦力所做的功为Wf=0-m=-16 J。
7.(6分)(多选)(2025·山西晋中阶段练习)如图所示,轻质弹簧一端固定在水平面上的光滑转轴O上,另一端与套在粗糙固定直杆A处质量为m的小球(可视为质点)相连。A点距水平面的高度为h,直杆与水平面的夹角为30°,OA=OC,B为AC的中点,OB等于弹簧原长。小球从A处由静止开始下滑,经过B处的速度为v,并恰能停在C处。已知重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　)
[A]小球通过B点时的加速度为
[B]小球通过AB段比BC段摩擦力做功少
[C]弹簧具有的最大弹性势能为mv2
[D]A到C过程中,产生的内能为mgh
【答案】 CD
【解析】 小球通过B点时,弹簧的弹力为零,小球受到重力、杆的支持力和滑动摩擦力,由牛顿第二定律得mgsin 30°-Ff=maB,可知aB<,故A错误;根据对称性知,小球通过AB段与BC段关于B点对称位置受到的弹簧弹力大小相等,小球对直杆的正压力大小相等,小球与直杆之间的滑动摩擦力大小相等,则两段过程中摩擦力做功相等,故B错误;小球从A运动到B的过程克服摩擦力做功为Wf,AB间的竖直高度为h,小球的质量为m,设弹簧具有的最大弹性势能为Ep,对于小球从A到B的过程根据功能关系得mg·-Wf=mv2-Ep,从A到C的过程根据功能关系得mgh-2Wf=0,解得Wf=mgh,Ep=mv2,故C正确;从A到C过程中,产生的内能为Q=2Wf=mgh,故D正确。
8.(12分)如图所示为某快递企业的货物传输装置,BC间距为L=6 m的水平传送带以v=2 m/s的速率顺时针匀速转动,传送带的左端与半径为 R=1 m的四分之一圆弧轨道相切于B点(不接触)。质量为m=2 kg的滑块P(可视为质点)与传送带间的动摩擦因数为μ=0.2,重力加速度g取 10 m/s2。现将滑块P从圆弧轨道顶端A点由静止释放,滑块P运动到圆弧轨道底端B点时对轨道的压力大小为 52 N,求:
(1)滑块P从A点下滑到B点的过程中摩擦力做的功;
(2)滑块P通过BC过程中所用的时间;
(3)如果传送带逆时针匀速转动,转动速度为v=2 m/s,滑块P仍以原来的速度冲上传送带,则从滑块冲上传送带到第一次离开传送带的过程中,系统产生的热量。
【答案】 (1)-4 J　(2)2.5 s　(3)36 J
【解析】 (1)滑块P运动到B点时,由牛顿第三定律得,圆弧轨道对滑块P的支持力FN=52 N,
由牛顿第二定律得FN-mg=m,
解得vB=4 m/s,
滑块P从A点下滑到B点的过程中,设摩擦力做功为W,根据动能定理得
mgR+W=m,
解得W=-4 J。
(2)滑块P刚冲上传送带的速度vB>v,
故滑块先做匀减速运动,由牛顿第二定律得
μmg=ma,
滑块P做匀减速运动到与传送带共速过程中
-v2=2ax,
解得x=3 m所以滑块P在传送带上先做匀减速运动再做匀速运动,匀减速运动中vB-v=at1,
匀速运动中L-x=vt2,
滑块P通过BC过程中所用的时间为
t=t1+t2=2.5 s。
(3)传送带逆时针匀速转动,滑块向右做匀减速运动到速度为零的过程中
=2ax1,
vB=at3,
解得x1=4 m,t3=2 s,
该过程滑块P与传送带的相对位移为
Δx1=vt3+x1=8 m;
滑块向左做匀加速运动的过程中
μmg=ma1,v2=2a1x2,v=a1t4,
解得x2=1 m,t4=1 s,
该过程滑块P与传送带的相对位移为
Δx2=vt4-x2=1 m,
系统产生的热量为
Q=μmg(Δx1+Δx2)=36 J。(共45张PPT)
微专题7　
机械能守恒定律的综合应用
1.通过多物体组成的系统、含弹簧系统对机械能守恒定律的应用,掌握这些模型机械能守恒的条件,并能应用相关表达式做出解答。2.通过对机械能守恒定律和动能定理的应用比较,体会应用多种方法解决物理问题的思想。3.通过功能关系的分析,理解功是能量转化的量度,并能应用其解决问题;深化能量守恒的思想,进一步加深对能量观念的理解。
[定位·学习目标]　
突破·关键能力
要点一　多物体组成的系统机械能守恒的问题
「要点归纳」
1.如图所示的两物体组成的系统,各接触面光滑,在释放B而使A、B运动的过程中,A、B的速度均沿绳子方向,在相等时间内A、B运动的路程相等,则A、B的速度大小相等。
判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断,而从能量转化的角度判断,如果系统中只有动能和势能相互转化,系统的机械能守恒。这类题目的典型特点是系统不受摩擦力作用。
2.如图所示的两物体组成的系统,当释放后A、B在竖直平面内绕O点的轴无摩擦转动,在转动的过程中相等时间内A、B转过的角度相等,则A、B转动的角速度相等。
系统机械能守恒的特点:
(1)一个物体的机械能增加,另一个物体的机械能必然减少,机械能通过内力做功实现物体间的转移。
(2)内力对一个物体做正功,必然对另外一个物体做负功,且二者代数和为零。
3.如图所示的两物体组成的系统,各接触面光滑,在释放后A、B运动的过程中,A、B的速度并非均沿绳子方向,在相等时间内A、B运动的路程不相等,则A、B的速度大小不相等,但二者在沿着绳子方向的分速度大小相等。
系统机械能守恒的两种思路:
(1)系统动能的减少(增加)量等于重力势能的增加(减少)量。
(2)一个物体机械能的减少量等于另一个物体机械能的增加量。
「典例研习」
[例1] (绳连接的系统的机械能守恒问题)(多选)一条轻绳跨过定滑轮,绳的两端各系一个小球A和B,B球的质量是A球的3倍。用手托住B球,轻绳刚好被拉紧时,B球离地面的高度为h,A球静止于地面,如图所示。现由静止释放小球B,B通过轻绳带动A球上升,B球着地后对轻绳无作用力,速度立即变为0。A、B可视为质点,定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计,重力加速度为g。则从静止释放小球B,到球A达到最高点的过程中,下列说法正确的是(　 　)
BC
[例2] (杆连接的系统的机械能守恒问题)轻杆AB长为2L,A端连在固定轴上,B端固定一个质量为2m的小球,中点C固定一个质量为m的小球。AB杆可以绕A端在竖直平面内自由转动。现将杆置于水平位置,如图所示,然后由静止释放,不计各处摩擦力与空气阻力,重力加速度大小为g,下列说法不正确的是(　　)
D
由两个物体和轻杆(或轻绳)组成的系统,若没有摩擦力和阻力做功时,运动过程中只有重力势能、动能之间的相互转化,系统满足机械能守恒定律。处理这类问题的方法:
(1)找到两物体的速度关系,从而确定系统动能的变化。
(2)找到两物体上升或下降的高度关系,从而确定系统重力势能的变化。
(3)按照系统动能的变化等于重力势能的变化列方程求解。
·规律方法·
要点二　含弹簧类机械能守恒问题
解答含弹簧类机械能守恒问题的“四点”注意
(1)含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时,物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化,物体和弹簧组成的系统机械能守恒,而单个物体和弹簧机械能都不守恒。
(2)含弹簧的物体系统机械能守恒问题符合一般的运动学解题规律,同时还要注意弹簧弹力和弹性势能的特点。
「要点归纳」
(3)弹簧弹力做的功等于弹簧弹性势能的变化量,而弹簧弹力做功与路径无关,只取决于初、末状态弹簧形变量的大小。
(4)由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统,当弹簧形变量最大时,弹簧两端连接的物体具有相同的速度;弹簧处于自然长度时,弹簧弹性势能最小
(为零)。
「典例研习」
[例3] (竖直弹簧模型)(多选)如图所示,一根轻弹簧下端固定,竖立在水平面上。其上方A位置有一小球,小球从静止开始下落到B位置接触弹簧的上端,在C位置小球所受弹力大小等于重力大小,在D位置小球速度减小到零。不计空气阻力,则小球(　 　)
[A]下落至C处速度最大
[B]由A至D的过程中机械能守恒
[C]由B至D的过程中,动能先增大后减小
[D]由A运动到D时,重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
ACD
【解析】 小球从B至C过程,重力大于弹力,合力向下,小球做加速运动,小球从C至D过程,重力小于弹力,合力向上,小球做减速运动,所以动能先增大后减小,在C点动能最大,速度最大,故A、C正确;由A至B下落过程中小球只受重力,其机械能守恒,从B→D过程,小球和弹簧组成的系统机械能守恒,但小球的机械能不守恒,故B错误;在D位置小球速度减小到零,小球的动能为零,则从A运动到D时,小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量,故D正确。
[例4] (含弹簧类机械能守恒问题)(2025·江苏南通期中)如图所示,光滑斜面固定在水平地面上,质量相等的物块A、B通过一根不可伸长的轻绳跨过光滑定滑轮连接,一轻质弹簧下端固定在斜面底端,另一端连接在A上。开始时B被托住,轻绳伸直但没有弹力。现使B由静止释放,在B运动至最低点的过程中(设B未落地,A未与滑轮相碰,弹簧始终在弹性限度内)(　　)
[A]A和B总的重力势能先减小后增大
[B]轻绳拉力对A做的功等于A机械能的增加量
[C]当A受到的合力为零时,A的速度最大
[D]当A和B的速度最大时,A和B的总机械能最大
C
【解析】 在B运动至最低点的过程中,设B下降的高度为h0,斜面倾角为θ,则A和B总的重力做功为WG=mgh0-mgh0sin θ>0,可知,A和B总的重力势能一直减小,故A错误;在B运动至最低点的过程中,弹簧先处于压缩状态后处于拉伸状态,弹簧弹力对A先做正功后做负功,轻绳对A一直做正功,轻绳对A做功与弹簧对A做功的代数和等于A机械能的变化量,故B错误;在B运动至最低点的过程中,对A进行分析,A先向上做加速度减小的加速运动,后向上做加速度增大的减速运动,当A受到的合力为零时,A的速度最大,故C正确;在B运动至最低点的过程中,结合上述可知,当A和B的速度最大时,A、B所受外力合力为0,此时弹簧处于拉伸状态,在弹簧从原长到该拉伸状态过程,弹簧对A做负功,该过程,A、B系统的机械能减小,可知,当A和B的速度最大时,A和B的总机械能并不是最大,故D错误。
要点三　机械能守恒定律和动能定理的应用
「要点归纳」
机械能守恒定律和动能定理的比较
规律 比较 机械能守恒定律 动能定理
表达式 E1=E2 ΔEk=-ΔEp ΔEA=-ΔEB W=ΔEk
适用 范围 只有重力或弹力做功 无条件限制
研究 对象 物体与地球组成的系统 单物体、可看成单一物体的物体系统
选用 原则 (1)无论直线运动还是曲线运动,条件合适时,两规律都可应用,都要考虑初、末状态,都不需要考虑所经历过程的细节。
(2)能用机械能守恒定律求解的,一定能用动能定理求解。
(3)动能定理比机械能守恒定律应用更广泛,更普遍
思想 方法 机械能守恒定律和动能定理都是从功和能转化的角度来研究物体在力的作用下状态的变化,中间过程都有力做功,列式时都要找两个状态,所列方程都要用标量的形式表达
「典例研习」
[例5] 为了研究过山车的原理,某兴趣小组提出了下列设想:取一个与水平方向夹角为37°、长为L=2.0 m的粗糙倾斜轨道AB,通过水平轨道BC与半径为R=0.2 m的竖直圆轨道相连,出口为水平轨道DE,整个轨道除AB段以外都是光滑的。其中AB与BC轨道以微小圆弧相接,如图所示。一个质量m=1 kg的小物块以初速度v0=5.0 m/s 从A点沿倾斜轨道滑下,小物块到达C点时速度vC=4.0 m/s。g取10 m/s2,取 sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
(1)求小物块到达C点时对圆轨道压力的大小。
【答案】 (1)90 N
(2)求小物块从A到B运动过程中摩擦力所做的功。
【答案】 (2)-16.5 J
(3)为了使小物块不离开轨道,并从轨道DE滑出,竖直圆轨道的半径应满足什么条件
【答案】 (3)R≤0.32 m
要点四　功能关系和能量守恒定律
「要点归纳」
1.功能关系概述
(1)不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的,做功的过程就是能量之间转化的过程。
(2)功是能量转化的量度。做了多少功,就有多少能量发生转化。
(3)功和能尽管存在对应关系,而且单位也相同,但功和能本质不同,功是过程量,是能量转化的过程,而能是状态量,其变化通过做功来实现。
(4)以系统为研究对象时,内力做功的过程同样是能量转化的过程。
2.功能关系的几种表达形式
功 能量转化 关系式
重力做功 重力做正功,重力势能减少;重力做负功,重力势能增加 WG=Ep1-Ep2
弹力做功 弹力做正功,弹性势能减少;弹力做负功,弹性势能增加 WF=Ep1-Ep2
合力做功 合力做正功,动能增加;合力做负功,动能减少 W合=Ek2-Ek1
系统内除重力、弹力外其他力做功 其他力做正功,机械能增加;其他力做负功,机械能减少 W其他=E2-E1
两物体间滑动摩擦力对物体系统做功 系统内一对滑动摩擦力做的总功的数值等于转化成的内能 Q=Ff·l相对
3.能量守恒定律
(1)内容:能量既不会凭空产生,也不会凭空消失,它只能从一种形式转化为其他形式,或者从一个物体转移到别的物体,在转化或转移的过程中,能量的总量保持不变。
(2)表达式。
①E1=E2。
②ΔE减=ΔE增。
(3)能量转化问题的解题思路。
①当涉及滑动摩擦力做功,机械能不守恒时,一般应用能量守恒定律。
②解题时,首先确定初、末状态,然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少,哪种形式的能量增加,求出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增,最后由ΔE减=ΔE增列式求解。
「典例研习」
AC
(1)传送带对小物体做的功;
【答案】 (1)255 J
(2)电动机多输出的能量。
【答案】 (2)270 J
检测·学习效果
1.如图所示,质量为m的木块放在光滑的水平桌面上,用轻绳绕过桌边的定滑轮与质量为M的砝码相连,已知M=3m,让绳拉直后使砝码从静止开始下降,不计空气阻力,重力加速度大小为g。若砝码底部与地面的距离为h,砝码刚接触地面时木块仍没离开桌面,则下列说法正确的是(　　)
B
C
3.(多选)如图所示,一根轻质弹簧与质量为m的滑块P连接后,穿在一根光滑竖直杆上,弹簧下端与竖直杆的下端连接,一根轻绳跨过定滑轮将滑块P和重物Q连接起来。图中O、B两点等高,线段OA长为L,与水平方向的夹角θ=37°,重物Q的质量M=5m。把滑块从图中A点由静止释放后沿竖直杆上下运动,当它经过A、B两点时,弹簧对滑块的弹力大小相等,不计滑轮的摩擦,重力加速度大小为g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。在滑块从A到B的运动过程中( 　　)
BD
4.如图所示,间距为lAB=10 m的水平传送带以v0=5 m/s的速度顺时针匀速转动,在传送带的左端A点轻放一质量m=5 kg的有颜色小物块,当小物块与传送带刚达到共速时,传送带因某种原因突然停止运动,最终物块恰好到达传送带的右端B点,重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)物块与传送带间的动摩擦因数;
【答案】 (1)0.25
解得t=2 s,
对小物块由运动学公式可得v0=at,
解得a=2.5 m/s2,
设小物块与传送带间的动摩擦因数为μ,则有
μmg=ma,
解得μ=0.25。
(2)物块在传送带上留下的划痕长度;
【答案】 (2)5 m　
(3)物块与传送带因摩擦产生的热量Q。
【答案】 (3)125 J
【解析】 (3)小物块与传送带的相对路程
Δs=x1+x2=10 m,
由功能关系可得小物块与传送带因摩擦产生的热量为Q=μmgΔs,
解得Q=125 J。
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