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2026年中考数学一轮复习精讲精练
变量与函数
3.3 反比例函数
反 比 例 函 数 的 图 象与性质 反比例函数的概念 1、反比例函数定义：一般的，如果两个变量之间的关系可以表示成的形式，那么是的反比例函数．自变量的取值范围是不等于0的一切实数． 2、反比例函数的三种表达式：； 2、； 3、．
反比例函数的图象与性质 函数 图象 所在象限 增减性
三象限 在同一象限内，y随x的增大而减小
四象限 在同一象限内，y随x的增大而增大
反比例函数的对称性: 反比例函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y=﹣x，对称中心为原点.
比例系数k的几何意义 过双曲线上任意一点P(x，y)向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标 轴围成的矩形PMON的面积 S＝PN·PM＝｜x｜·｜y｜＝｜x y｜＝ ｜k｜　.
反比例函数解析的确定 1.用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. 2. 利用k的几何意义求解：当面积已知时，可考虑用k的几何意义求反比例函数的解析式，由图形面积得｜k｜，再结合图象所在象限判断k的正负，可得k的值，最后代入解析式即可.
反比例函数的应用
■考点一 反例函数的定义
◇典例1：（2025九上·广东期末）在下列函数中，是关于的反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、是关于的反比例函数，不符合题意；
B、是关于的反比例函数，不符合题意；
C、是关于的反比例函数，不符合题意；
D、是关于的反比例函数，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的定义，逐项进行识别，即可得出答案。
◆变式训练
1.下列函数中表示是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A．，是的正比例函数，不符合题意；
B．，是的反比例函数，不符合题意；
C．，是的反比例函数，符合题意；
D．，是的反比例函数，不符合题意；
故选：C
【分析】本题考查了反比例函数的定义逐一判断即可．
2.下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是 （填入序号）．
【答案】
【解析】【解答】解： ，是正比例函数，故不符合反比例函数形式；
，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数；
，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数；
，即 ，含有常数项，故不符合反比例函数形式；
，分母是 而非 ，故不符合反比例函数形式．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式．
■考点二 反比例函数的图象与性质
◇典例2：（2025九上·深圳期中）已知反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．当时，随着的增大而减小 B．图象在第一、三象限
C．当时， D．图象经过点
【答案】D
【解析】【解答】解：∵反比例函数，，
∴图象在第二、四象限，故B错误.
当时，y 随 x 的增大而增大，故A错误.
当时，y 的值可能大于2或小于2，故C错误.
当时，，图象经过点，故D正确．
故答案为：D．
【分析】根据，图象在第二、四象限，且当时y随x增大而增大，当时，y 的值可能大于2或小于2，当时，，即可得答案.
◆变式训练
1.在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与反比例函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A，一次函数图象经过第一、三、四象限，则，，，则反比例函数的k=ab＜0，其图像经过第二、四象限，故该选项与题意不符；
B，一次函数图象经过第二、三、四象限，则，，，则反比例函数的k=ab>0，其图像经过第一、三象限，故该选项与题意不符；
C，一次函数图象经过一、三、四象限，则，，，则反比例函数的k=ab＜0，其图像经过第二、四象限，符合题意；
D，一次函数图象经过第一、二、四象限，则，，，则反比例函数的k=ab＜0，其图像经过第二、四象限，故该选项与题意不符；
故答案为：C．
【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的综合判断，根据一次函数图象所在象限判断a，b的正负，进而判断的正负，得出反比例函数图象应该所在的象限，逐项判断可得答案．
2.已知反比例函数，给出下列结论：①该函数图象在一，三象限；②若，则；③若点在该函数图象上，则．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【解析】【解答】解：∵y= ，k＞0
∴该函数的图象分支在第一、三象限，故①正确；
当x=3时，y=1，当x＞3时图像分支在第一象限，
∴y的取值范围是0＜y＜1，故②正确；
点（m－n，在该函数图象上
∴m＞n；m＞p
∴m＞p＞n，故③正确；故正确结论的序号为：①②③.
故答案为：D
【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系可判断①，求出当x=3时，y的值，根据函数的图象性质可得判断②，将点代入反比例函数解析式可判断③.
3.（2025九下·广州月考）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】【解答】解：∵正比例函数y1=ax的图象经过点（1，-1），
∴a=-1，
∵ 反比例函数的图象位于第一、第三象限 ，
∴b＞0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，即该函数的图象一定不会经过第三象限，
故A、B、D三个选项都是错误的，不符合题意；只有C选项正确，符合题意.
故答案为：C.
【分析】将点（1，-1）代入正比例函数y1=ax可求出a=-1，根据反比例函数的图象与系数的关系，由反比例函数的图象位于第一、第三象限，得b＞0，进而根据一次函数的图象与系数的关系：y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，即可判断得出答案.
■考点三 反比例函数k的几何意义
◇典例3：（2025·河源模拟）如图，点在反比例函数图象上，轴于点，若的面积等于3，则的值是（　　）
A．3 B． C．6 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：的面积为3，
，
，
，
图象经过一、三象限，
，
，
故答案为：C．
【分析】
根据反比例函数中的几何意义：由的面积为3，可得，再结合图象经过一、三象限，从而可确定的值，解答即可．
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，点A在函数 的图象上，过点A作AB⊥x轴，取AB中点C， 点D在y轴上， 连接AD、CD， △ACD的面积为2，则k的值是　 　.
【答案】8
【解析】【解答】解：设点A的坐标为（x，y），则：OB=x，AB=y，
∵点C是AB的中点，
∴AC=，
∵ △ACD的面积为2，
∴，
∴xy=8，
∴k=xy=8.
故答案为：8 .
【分析】根据 △ACD的面积为2，可得出xy=8，根据反比例函数中k的几何意义，即可得出k的值。
2.如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，
点关于原点对称，
，
，，
，
过点作轴的垂线交轴于点，
，
，
，
故答案为：4．
【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的对称性，以及反比例函数的几何意义。正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，因此它们的交点A、C也关于原点对称，这就意味着A、C两点到x轴的距离相等，即。△AOB和△COB有共同的底边OB，高分别为A、C两点到x轴的距离和，根据三角形面积公式可知。根据反比例函数的几何意义，过点A作x轴垂线，形成的△AOB的面积为，这里k=4，因此，则。△ABC的面积等于，由此可求出面积为4。
■考点四 反例函数的实际应用
◇典例1：（2025九上·深圳期中）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　）
A．24 B．27 C．45 D．50
【答案】C
【解析】【解答】解：∵在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例 ，
∴关于的函数解析式为：，
将点代入，得，
解得：，
∴关于的函数解析式为，
当时，；当时，，
∵，
∴在第一象限内，随着的增大而减小，
∴，
因此四个选项中，的值可以为，
故答案为：C．
【分析】本题首先根据反比例函数解析式，可以列出并求出关于的函数解析式，然后分别求出，时的函数值，最后根据反比例函数的性质求出的取值范围，各选项进行判断即可．
◆变式训练
1.（2025九上·深圳期中）在功W(J)一定的条件下，功率P(W)与做功时间t(s)成反比例，P(W)与t(s)之间的函数关系如图所示.当25≤t≤40时，P的值可以为(　　)
A．24 B．27 C．45 D．50
【答案】C
【解析】【解答】如图，
观察图像知 P(W)与t(s)之间的函数关系是反比例函数，经过点（60，20），设，则：，
∴，
∵25≤t≤40 时，P随t的增大而减小，
∴当时，，当时，，
∴30≤Ｐ≤48，
故答案为：Ｃ.
【分析】观察图像知 P(W)与t(s)之间的函数关系是反比例函数，经过点（60，20），设，可求得解析式，再根据25≤t≤40 时，P随t的增大而减小，得当时，，当时，，进一步得30≤Ｐ≤48即可得答案.
2.（2025·海珠模拟）某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进行了5天试销，
试销情况如下：
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
售价（元/千克） 18 15 12 10 9
销售量（千克） 50 60 75 90 100
（1）根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映试销期间这批苹果每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出的取值范围）；
（2）若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间都满足（1）中的函数关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完？
【答案】（1）设解析式为，
把代入，得．
关于的函数表达式为．
（2）试销5天共销售苹果千克
苹果的售价定为10元/千克时，每天的销售量为90千克，
销售10天后，还剩下苹果（千克）．
最后2天售完300kg，则每天销售150kg，
把代入中得，
，随的增大而减小，
当时，，
新的售价最高可以定为6元/千克，
答：新的售价最高定为6元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完．
【解析】【分析】
（1）根据表格数据可知x与y乘积恒为900，说明y与x成反比例函数，求出反比例函数解析式即可；
（2）根据题意，新售价前的剩余量300千克，设新售价为a元/千克，则每天的销量为千克，根据题意列出方程求出a值即可．
■考点五 反比例函数与一次函数的综合
◇典例1：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．则的的取值范围　 　．
【答案】或
【解析】【解答】解：如图，
由图象可知，的的取值范围或．
故答案为：或．
【分析】不等式的的取值范围可以理解为一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时，自变量的取值范围，于是观察图像得的的取值范围或．
◆变式训练
1. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与坐标轴交于、两点，连接，．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
【答案】（1）解：∵， 在反比例函数的图像 上，
∴k=1×4=4，
∴ 反比例函数的表达式 为；
∵点D（4，m）在 反比例函数上，
∴4m=4，
∴m=1，
∴点D（4，1），
∵， D（4，1），在 一次函数的图像 上，
∴，解得：，
∴ 一次函数 的表达式为：；
（2）解：设直线AB向下平移n个单位长度时， 直线与反比例函数图象只有一个交点 ，
由（1）知，一次函数 的表达式为：，
∴平移后的解析式为：-n
令，
整理为：x2-(5-n)x+4=0，
∴，
解得：n=1或9.
【解析】【分析】（1）首先根据点， 在反比例函数的图像 上，可求得 反比例函数的表达式 为；进而根据点D在反比例函数图象上，求得点D的坐标，在根据点C，D利用待定系数法求得一次函数表达式；
（2）设直线AB向下平移n个单位长度时， 直线与反比例函数图象只有一个交点 ，可得平移后的解析式为：-n，令，方程的解即为直线和反比例函数的交点，因为只有一个交点，即根的判别式为0，根据判别式等于0，即可求出n的值。
2.已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．其中，
（1）求一次函数的解析式；
（2）已知双曲线在第一象限的图像上有一点到y轴的距离为，求的面积．
【答案】（1）解：∵，在反比例函数图象上，
∴
∴，，
即，
又∵点在一次函数图象上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：∵由（1）得，
∴点的坐标为，
如图，过点作轴交直线于，则点的纵坐标为2，
∴，解得，
∴点的坐标为，
∴，
点到的距离为，
联立，解得（舍去），，
∴点的坐标为，
∴点到的距离为，
.
【解析】【分析】（1）本题考察反比例函数的性质以及一次函数解析式的求法（待定系数法）。因为点A(m， 6)和点C(3， m+1)都在反比例函数的图象上，根据反比例函数的性质，图象上任意一点的横纵坐标之积等于k，因此有，解方程可求出m=1，进而得到A点坐标为(1， 6)，k=6×1=6。将A点坐标(1， 6)代入一次函数中，可求出n=5，因此一次函数的解析式为。
（2）本题考察一次函数与反比例函数的交点求法以及三角形面积的计算。由（1）可知m=1，所以C点坐标为(3， 2)。过点C作CD∥x轴交直线AB于点D，因为CD∥x轴，所以点D的纵坐标与C点相同为2，将y=2代入一次函数解析式，可求出x=-3，即D点坐标为(-3， 2)，因此CD的长度为3 - (-3)=6。联立一次函数和反比例函数的解析式，解方程可求出交点A(1， 6)和B(-6， -1)。点A到CD的距离为6 - 2=4，点B到CD的距离为2 - (-1)=3，△ABC的面积可拆分为△ACD和△BCD的面积之和，根据三角形面积公式代入CD的长度和两个高的值，即可求出△ABC的面积。
■考点六 反比例函数与几何图形的综合
◇典例1：如图，已知菱形的面积为5，边在轴上，顶点在反比例函数图象（第一象限的分支）上，则点的坐标是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
作轴于点，作轴于点，设，且，
∵，
∴，
∴，，
在中，，即，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标是，
故答案为：．
【分析】作轴于点，作轴于点，设，根据，得，
根据勾股定理列式，求解即可．
◆变式训练
1.如图，的直角顶点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，延长交轴于点，连接，当且的面积为4时，点的坐标为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：设，
为直角三角形，且，轴，
，，
设直线的解析式为，
把，代入解析式可得，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，解得，
，
的面积为4，
，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
故答案为：．
【分析】
设得点的坐标，用待定系数法再求出直线的解析式，再求出点的坐标，根据的面积为4，列方程计算即可解答．
2.如图，平面直角坐标系中正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且（k≠0，x＞0）的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别相交于M、反比例函数N两点，且的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得，点M的横坐标及点N的纵坐标都是4
∵点M，N在反比例函数的图象上
∴
∴
∵
即
解得：k=12（负值舍去）
∴M(4，3)，N(3，4)
作点M关于x轴的对称地点M'，连接M'N交x轴于点P，连接PM，此时PM+PN最小
∴M'(4，-3)
∴
故答案为：
【分析】由题意可得，点M的横坐标及点N的纵坐标都是4，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得，根据两点间距离可得，再根据割补法，结合正方形，三角形面积建立方程，解方程可得M(4，3)，N(3，4)，作点M关于x轴的对称地点M'，连接M'N交x轴于点P，连接PM，此时PM+PN最小，根据两点间距离即可求出答案.
1．（2025·广州）若，反比例函数的图象在（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【解析】【解答】解：∵
∴-k>0，即k<0
∴反比例函数的图象在第二、四象限
故答案为：C
【分析】根据绝对值的非负性可得k<0，再根据反比例函数的图象与系数的关系即可求出答案.
2．（2025·高州模拟）如果反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，那么的值可以是（　　）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，
∴，
故选：A．
【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系即可求出答案.
3．（2025·汕尾模拟）已知点，，都在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】直接将三个点的坐标代入反比例函数解析式中，求出的值，再比较大小即可.
4．（2025·惠城模拟）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，加压后气体对气缸壁所产生的压强与气缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示．当压强由（　　）时，气体体积压缩了
A．加到 B．加到
C．加到 D．加到
【答案】B
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为，
由图象知，反比例函数图象过点，则，
∴；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当压强由加到时，体积由减少到，
则体积压缩了；
当压强由加到时，体积由减少到，
则体积压缩了；
当压强由加到时，体积由减少到，
则体积压缩了；
当压强由加到时，体积由减少到，
则体积压缩了；
故选：B．
【分析】本题主要对反比例函数的应用进行考查；首先根据待定系数法设出反比例函数解析式为，根据题意接触解析式，在带入各点数据完成判断．
5．（2025·花都模拟）若，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴；
A、反比例函数图象经过第一、三象限，则，一次函数经过第二、三、四象限，则，不符合题意；
B、反比例函数图象经过第一、三象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，符合题意；
C、反比例函数图象经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，不符合题意；
D、反比例函数图象经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、三象限，则，不符合题意；
故答案为：B。
【分析】根据 ，可求出，然后再对m>0和m<0两种情况进行讨论，求出n>0和n<0两种情况，同时结合一次函数和反比例函数经过的象限，代入各个选项后，逐一对各个选项进行分析排除，即可求解。
6．（2025·潮阳模拟）如图，已知轴，垂足为，，分别交反比例函数的图象于点，．若，则的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解析】【解答】解：设，则，
∵轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，，
∴，，
∴，
则，
故答案为：B。
【分析】设，则，根据反比例函数中k的几何意义，将A代入反比例函数中，求出mn的值，进而可得的值，即，然后用三角形OCD的面积减去三角形BOD的面积，据此即可求解。
7．（2025·香洲模拟）已知点，在反比例函数的图象上．若，则的值为　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵点，在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：2.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标之积等于k并结合反比例函数的图象上点的特征即可求解．
8．（2025·龙华模拟）小亮通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（m）会随着电磁波的频率f（MHz）的变化而变化。已知波长λ与频率f是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值。若f=60MHz，则电磁波的波长λ=　 　m。
频率f/MHz 10 15 50
波长λ/m 30 20 6
【答案】5
【解析】【解答】解：设波长入关于频率f的函数解析式为(k≠0)
把点(10，30)代入上式中得：，
解得：k=300，
∴
当f=60MHz时，，
答：当f=60MHz时，此电磁波的波长为5m.
故答案为：5.
【分析】根据表格中的数据求出反比例函数的表达式，再代入f=60MHz计算对应的入值.
9．（2025·东莞模拟）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为。点为轴上的一点， 连接，.若的面积为， 则的值是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：连接OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB=S△CAB=3，
而S△OAB=|k|，
∴|k|=3，
∵k＜0，
∴k=-6．
故答案为：-6．
【分析】连接OA，根据根据三角形面积可得S△OAB=S△CAB=3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义建立方程，解方程即可求出答案.
10．（2025·罗湖模拟）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点，分别为反比例函数，的图象上的点，且轴，已知的面积为3，则的值为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：轴，
、的纵坐标相同，
∴设，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】设，，再利用三角形的面积公式可得，最后求出的值即可.
11．（2025·雷州模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A(4，3)，与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式；
（2）已知点C(0，5)，试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．
【答案】解：（1）把点A（4，3）代入函数y＝得：a＝3×4＝12，
∴y＝．
OA＝＝5，
∵OA＝OB，
∴OB＝5，
∴点B的坐标为（0，﹣5），
把B（0，﹣5），A（4，3）代入y＝kx+b得：
解得：；
∴y＝2x﹣5．
（2）∵点M在一次函数y＝2x﹣5上，
∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），
∵MB＝MC，
∴
解得：x＝2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）．
方法二：∵B（0，﹣5）、C（0，5），
∴BC＝10，
∴BC的中垂线为：直线y＝0，
当y＝0时，2x﹣5＝0，即x＝2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）．
【解析】【分析】（1）首先根据 A(4，3)在反比例函数图象上， 利用待定系数法可求得 y＝的表达式；然后再根据 OA＝OB ，求出点B（0，-5），再根据点A和点B在直线AB上，利用待定系数法可求出 函数y＝kx+b 的表达式；
（2）由（1）知直线AB的表达式为：y＝2x﹣5，可设点M的坐标为（x，2x﹣5），根据MB＝MC，得到，即可解答．
12．（2025·广州模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（1，0），D（0，2），反比例函数的图象经过了矩形的顶点B，且．
（1）求反比例函数表达式；
（2）动手画直线OB，记为，结合图象直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1）解：过点B作BE⊥x轴于E．
∵四边形ABCD为矩形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，，，
∴，
∴，．
∴B（5，2）．
将B（5，2）代入中，得．
∴．
（2）或
【解析】【解答】解：（2）如图，
∵双曲线是中心对称图形，
∴直线与双曲线的交点关于原点O成中心对称，
∵B（5，2）
∴直线与双曲线的另一交点坐标为（-5，-2）
观察图象得，直线在双曲线上方时，x的取值范围为或，
即不等式的解集为或．
故答案为：或.
【分析】
（1）过点B作BE⊥x轴于E，利用矩形的性质推导出，即可根据AA可推出，利用相似三角形的性质和三角函数可求出，，从而可求出点B的坐标，进一步利用待定系数法得出反比例函数解析式，即可解答；
（2）根据中心对称的性质则得到直线与双曲线的另一个交点坐标 （-5，-2） ，再观察函数图象即可解答．
1．（2025·东莞模拟）若点和点在同一个正比例函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意得，，
，
，即，故选项B，C，D错误，
，
，选项A正确；
故选：A．
【分析】根据正比例函数的性质即可求出答案.
2．（2025·中山模拟）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【解析】【解答】解：当时，有正比例函数的图象在反比例函数的图象下方，
∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为2，
∴点的横坐标为-2，
∴当时，的取值范围是或，
故答案为：B.
【分析】根据题意可知正比例函数的图象在反比例函数的图象下方，然后结合图象信息以及点的横坐标得点的横坐标，据此即可得的取值范围.
3．（2025·金湾模拟）点在图象上，则m，n的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵函数，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据反比例函数的性质“当k＞0时，图象分布在一、三象限，当x＞0时，随的增大而减小”并结合A、B两点的横坐标的大小即可判断求解．
4．（2025·连州模拟）节能环保已成为人们的共识．小东家计划购买300度电，若平均每天用电度、则能使用天．下列说法正确的是（　　）
A．若减小，则也减小 B．若减少100，则就增加100
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】【解答】解：∵小东家计划购买300度电，若平均每天用电度、则能使用天．
∴，
∴
若减小，则增大，故不符合题意；
∵，
∴不一定等于300，故B不符合题意；
当时，，故C不符合题意：
当时，，则，故D符合题意．
故选D．
【分析】先得到解析式，再利用反比例函数的增减性和点的坐标特征解答即可．
5．（2025·中山模拟）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为，点为轴上的一点，连接，，若的面积为，则的值是（　　）
A．6 B． C．12 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连结，如图，
∵轴，
∴，
∴，而，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】
连结，根据等面积法利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值，解答即可.
6．（2025·龙岗模拟） 如图，在直角坐标系中，点在反比例函数（，）的图象上，轴，垂足为，点在轴正半轴上，连接，交轴于点.若是的中点，且，则的值为（　　）
A．1 B．0.5 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： 轴于点B，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
连接AC，
∵是的中点，
∴CO=CD=AB，
∴四边形ABOM是矩形，
，
∵反比例函数图象在第二象限，
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数k值的几何意义进行解答即可.
7．（2025·深圳） 如图所示，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数交于A，B两点，若A的横坐标为1，则B点坐标是　 　.
【答案】(-1，-1)
【解析】【解答】解：将x=1分别代入正比例函数与反比例函数解析式得y=a=2-a，得a=1，故点A(1，1)正比例函数与反比例函数都是关于(0，0)对称的函数，故点A、B关于原点对称，故B(-1，-1).
故答案为：(-1，-1) .
【分析】令x=1得a=2-a，即a的值，根据函数的对称性知A、B的对称性，即可得点B的坐标.
8．（2025·龙湖模拟）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示，当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度h为　 　．
【答案】10
【解析】【解答】解：设h关于的函数解析式为，
把代入解析式，得，
h关于的函数解析式为，
当时，，
故答案为：10．
【分析】由题意可得，设，把代入解析式即可求出k的值，再将代入h关于的函数解析式计算即可求解．
9．（2025·深圳一模）如图，正方形ABCD的边长为2，点B与原点O重合，与反比例函数的图象交于E、F两点，若的面积为，则k的值　 　
【答案】1
【解析】【解答】解：设E(2，)，F(2)，为直角三角形，面积
由，解得k = 1，
故填：1.
【分析】本题考查正方形图像与反比例函数综合，利用正方形边长表示E、F坐标，结合三角形面积公式列方程求解k。通过坐标关系确定的直角边长度，建立方程体现函数与几何图形的融合，核心是用代数方法解决几何面积问题.
10．（2025·台山模拟）如图，的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，在轴上，与轴交于点，连接，若，，则的值为　 　．
【答案】-8
【解析】【解答】解：∵，∴EB∥DC，AD=BC，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∵，
∴OC=BC，∴，
∴∴，
∵k<0，∴；
故答案为：．
【分析】先证明，求出的面积，进而得到的值，根据值的几何意义，即可得出结果．
11．（2025·广州模拟）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，
两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）以直线x=2为对称轴，作直线的轴对称图形，交x轴于点C，连接AC，求AC的长度．
【答案】（1）解：∵点B（-3，-4）是反比例函数图象上的点，
∴m=-3（-4）=12，
∴反比例函数的解析式：.

（2）解：∵点A（2，）是反比例函数图象上的点，
∴2 =12，则=6．
将A（2，6），B（-3，-4）代入得：，
解得：，
∴，
将代入得：．
∴一次函数与的交点为（-1，0），
∵一次函数关于直线对称的图形与轴交于点C，
∴（-1，0）关于直线对称的点为点C，
∴C（5，0），
根据两点间距离公式可得：AC=，
∴AC=.
【解析】【分析】（1）根据点B的坐标先求出m的值，再求反比例函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求出，再求出一次函数与的交点为（-1，0），最后利用两点间距离公式计算求解即可.
（1）解：∵点B（-3，-4）是反比例函数图象上的点
∴m=-3（-4）=12
∴反比例函数的解析式：
（2）解：∵点A（2，）是反比例函数图象上的点
∴2 =12，则=6．
将A（2，6），B（-3，-4）代入得：，解得：．
∴
将代入得：．
∴一次函数与的交点为（-1，0）
∵一次函数关于直线对称的图形与轴交于点C
∴（-1，0）关于直线对称的点为点C
∴C（5，0）
根据两点间距离公式可得：AC=
∴AC=
12．（2025·黄埔模拟）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）求的值和反比例函数的解析式；
（2）点是直线上的一点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，连接，，求的面积．
【答案】（1）解：∵直线经过点，
∴
∴
∴
∵反比例函数经过
∴
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：过点作轴于点，过点作轴于点，
令，
解得：，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
①点在线段上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与重合，如图，
∴点N在轴上，即点N为与轴交点重合，
将代入，则，
∴，
在反比例函数中，当时，，
∴，
∴，
②点在线段的延长线上，
同理得：，，
∴，
在反比例函数中，当时，，
∴，
，
综上所述，或14．
【解析】【分析】
（1）由题意，将点A的坐标代入直线解析式可求出m的值，然后用待定系数法即可求解；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由题意分两种情况：①点在线段上，②点在线段的延长线上可求解．
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2026年中考数学一轮复习精讲精练
变量与函数
3.3 反比例函数
反 比 例 函 数 的 图 象与性质 反比例函数的概念 1、反比例函数定义：一般的，如果两个变量之间的关系可以表示成的形式，那么是的反比例函数．自变量的取值范围是的一切 实数． 2、反比例函数的三种表达式： .
反比例函数的图象与性质 函数 图象 所在象限 增减性
在同一象限内，y随x的增 大而
在同一象限内，y随x的增 大而
反比例函数的对称性:反比例函数的图象既是轴对称图形，也是 图形，其对称轴为直线 或 ，对称中心为原点.
比例系数k的几何意义 过双曲线上任意一点P(x，y)向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标 轴围成的矩形PMON的面积 S＝PN·PM＝｜x｜·｜y｜＝｜x y｜＝ .
反比例函数解析的确定 1.用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. 2. 利用k的几何意义求解：当面积已知时，可考虑用k的几何意义求反比例函数的解析式，由图形面积得｜k｜，再结合图象所在象限判断k的正负，可得k的值，最后代入解析式即可.
反比例函数的应用
■考点一 反例函数的定义
◇典例1：（2025九上·广东期末）在下列函数中，是关于的反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.下列函数中表示是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是 （填入序号）．
■考点二 反比例函数的图象与性质
◇典例2：（2025九上·深圳期中）已知反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．当时，随着的增大而减小 B．图象在第一、三象限
C．当时， D．图象经过点
◆变式训练
1.在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与反比例函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
2.已知反比例函数，给出下列结论：①该函数图象在一，三象限；②若，则；③若点在该函数图象上，则．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
3.（2025九下·广州月考）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
■考点三 反比例函数k的几何意义
◇典例3：（2025·河源模拟）如图，点在反比例函数图象上，轴于点，若的面积等于3，则的值是（　　）
A．3 B． C．6 D．
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，点A在函数 的图象上，过点A作AB⊥x轴，取AB中点C， 点D在y轴上， 连接AD、CD， △ACD的面积为2，则k的值是　 　.
2.如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于　 　．
■考点四 反例函数的实际应用
◇典例1：（2025九上·深圳期中）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　）
A．24 B．27 C．45 D．50
◆变式训练
1.（2025九上·深圳期中）在功W(J)一定的条件下，功率P(W)与做功时间t(s)成反比例，P(W)与t(s)之间的函数关系如图所示.当25≤t≤40时，P的值可以为(　　)
A．24 B．27 C．45 D．50
2.（2025·海珠模拟）某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进行了5天试销，
试销情况如下：
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
售价（元/千克） 18 15 12 10 9
销售量（千克） 50 60 75 90 100
（1）根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映试销期间这批苹果每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出的取值范围）；
（2）若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间都满足（1）中的函数关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完？
■考点五 反比例函数与一次函数的综合
◇典例1：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．则的的取值范围　 　．
◆变式训练
1. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与坐标轴交于、两点，连接，．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
2.已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．其中，
（1）求一次函数的解析式；
（2）已知双曲线在第一象限的图像上有一点到y轴的距离为，求的面积．
■考点六 反比例函数与几何图形的综合
◇典例1：如图，已知菱形的面积为5，边在轴上，顶点在反比例函数图象（第一象限的分支）上，则点的坐标是　 　．
◆变式训练
1.如图，的直角顶点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，延长交轴于点，连接，当且的面积为4时，点的坐标为　 　．
2.如图，平面直角坐标系中正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且（k≠0，x＞0）的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别相交于M、反比例函数N两点，且的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是　 　.
1．（2025·广州）若，反比例函数的图象在（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
2．（2025·高州模拟）如果反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，那么的值可以是（　　）
A． B．0 C．1 D．
3．（2025·汕尾模拟）已知点，，都在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·惠城模拟）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，加压后气体对气缸壁所产生的压强与气缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示．当压强由（　　）时，气体体积压缩了
A．加到 B．加到
C．加到 D．加到
5．（2025·花都模拟）若，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·潮阳模拟）如图，已知轴，垂足为，，分别交反比例函数的图象于点，．若，则的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．（2025·香洲模拟）已知点，在反比例函数的图象上．若，则的值为　 　．
8．（2025·龙华模拟）小亮通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（m）会随着电磁波的频率f（MHz）的变化而变化。已知波长λ与频率f是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值。若f=60MHz，则电磁波的波长λ=　 　m。
频率f/MHz 10 15 50
波长λ/m 30 20 6
9．（2025·东莞模拟）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为。点为轴上的一点， 连接，.若的面积为， 则的值是　 　．
10．（2025·罗湖模拟）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点，分别为反比例函数，的图象上的点，且轴，已知的面积为3，则的值为　 　.
11．（2025·雷州模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A(4，3)，与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式；
（2）已知点C(0，5)，试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．
12．（2025·广州模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（1，0），D（0，2），反比例函数的图象经过了矩形的顶点B，且．
（1）求反比例函数表达式；
（2）动手画直线OB，记为，结合图象直接写出关于x的不等式的解集．
1．（2025·东莞模拟）若点和点在同一个正比例函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·中山模拟）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
3．（2025·金湾模拟）点在图象上，则m，n的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·连州模拟）节能环保已成为人们的共识．小东家计划购买300度电，若平均每天用电度、则能使用天．下列说法正确的是（　　）
A．若减小，则也减小 B．若减少100，则就增加100
C．若，则 D．若，则
5．（2025·中山模拟）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为，点为轴上的一点，连接，，若的面积为，则的值是（　　）
A．6 B． C．12 D．
6．（2025·龙岗模拟） 如图，在直角坐标系中，点在反比例函数（，）的图象上，轴，垂足为，点在轴正半轴上，连接，交轴于点.若是的中点，且，则的值为（　　）
A．1 B．0.5 C． D．
7．（2025·深圳） 如图所示，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数交于A，B两点，若A的横坐标为1，则B点坐标是　 　.
8．（2025·龙湖模拟）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示，当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度h为　 　．
9．（2025·深圳一模）如图，正方形ABCD的边长为2，点B与原点O重合，与反比例函数的图象交于E、F两点，若的面积为，则k的值　 　
10．（2025·台山模拟）如图，的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，在轴上，与轴交于点，连接，若，，则的值为　 　．
11．（2025·广州模拟）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，
两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）以直线x=2为对称轴，作直线的轴对称图形，交x轴于点C，连接AC，求AC的长度．
12．（2025·黄埔模拟）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）求的值和反比例函数的解析式；
（2）点是直线上的一点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，连接，，求的面积．
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