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2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块四 三角形
专题6 相似与全等
【考点一】全等形与全等三角形
1. 全等形定义：能够完全重合的两个图形叫作全等形.
2. 全等三角形的有关概念和表示方法
相关概念 示例
定义 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形 △ABC与△DEF全等
相关概念 示例
对应元素 对应顶点：重合的顶点叫作对应顶点 点A与点D， 点B与点E，点C与点F
对应边：重合的边叫作对应边 AB与DE，BC与EF，AC与DF
对应角：重合的角叫作对应角 ∠A与∠D， ∠B与∠E，∠C与∠F
相关概念 示例
表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于” △ABC≌△DEF
3. 三种常见的全等类形
(1)平移型
(2)翻折型
(3)旋转型
【考点二】全等三角形的判定与性质
一般三角形 直角三角形
判定 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL）
性质 对应边相等，对应角相等。 全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。 全等三角形的周长相等，面积相等。
备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等
【考点三】全等三角形的证明思路
【考点四】全等三角形证明方法
1． 证明线段相等的方法：
(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.
(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.
(3) 等式性质.
2． 证明角相等的方法：
(1) 利用平行线的性质进行证明.
(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.
(3) 利用角平分线的判定进行证明.
(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.
(5) 对顶角相等.
3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法：
可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.
4． 辅助线的添加:
(1)作公共边可构造全等三角形；
(2)倍长中线法；
(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；
(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.
5. 证明三角形全等的思维方法:
（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两
个角所在的两个三角形及它们全等的条件.
如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质
或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.
如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，
通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.
【考点五】 相似多边形
1.定义：把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形. 两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似
比或相似系数.
2.性质：如果两个多边形是相似的，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例.
【考点六】比例线段
1.定义：如果（或），那就说成比例。两条线段的长度的比叫做两条线段的比.
对于四条线段如果 （或表示为），那么叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段是比例外项，线段是比例内项.
性质：
基本性质：
合比性质：,
等比性质：=k=k
【考点七】黄金分割
如果点把线分割成和（）两段，其中是和的比例中项，即这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点.
与的比值称为黄金分割数（简称黄金数）.黄金分割数是一个无理数，在应用时取其接近值0.618.
【考点八】 平行线分线段成比例
1. 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
2. 数学语言描述：如图，已知直线∥∥，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，则，，，．
3. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例．
如图（1）、图（2）所示，∥，则有，，．
【考点九】相似三角形
定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．和相似，记作．
2. 全等三角形与相似三角形的比较
全等三角形 相似三角形
定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形
特征 形状相同且大小相等 形状相同但大小不一定相等
图形表示
对应边 相等 成比例
对应角 相等 相等
相似比 1 可以是1，也可以是其他正实数
【考点十】三角形相似的判定
如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．
相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似．
1. 定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似．
已知和和和，若，，则．
2. 定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
已知和和，若，，则．
3. 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．
已知和和，若，则．
直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
4. 有关三角形相似的常见图形
图形特征 所需条件 证明方法
平行线型 已知 DE // BC，所以同位角、内错角相等 两角分别相等的两个三角形相似．
斜交型 有公共角或对顶角， 两角分别相等的两个三角形似．
公共角的两边对应成比例， 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
母子型 两角分别相等的两个三角形相似．
旋转型 有一组角对应相等， 公共角（对应角）的两边对应成比例，， 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
【考点十一】相似三角形的性质
1. 相似三角形对应高的比等于相似比．
2. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
3. 相似三角形对应中线的比等于相似比．
4. 相似三角形的周长比等于相似比．
5. 相似三角形的面积比等于相似比的平方．
【考点十二】位似图形的有关概念
1. 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形．点O叫做位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比．位似中心可能在两个位似图形的同侧，也可能在两个位似图形的异侧，也可能在其中一个图形的边上，还可能在两个位似图形的内部．
2. 位似与相似的关系
位似 相似
形状 完全相同 完全相同
对应角 相等 相等
对应边 成比例 成比例
位置关系 对应点所在直线都经过同一点 任意摆放
联系 位似是相似的特殊情况
【考点十三】 位似图形的性质
1. 位似图形对应顶点的连线所在直线必过位似中心．
2. 位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
3. 位似图形的对应线段所在直线平行（或共线），且对应线段之比相等．
4. 如果两个图形是位似图形，则两个图形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
【考点十四】 位似图形的画法
1. 利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小的过程叫做位似变换．
2. 画位似图形的步骤
（1）确定位似中心O；
（2）分别连接位似中心和能代表原图形的关键点；
（3）按相似比找出所作位似图形的对应点；
（4）顺次连接上述各点，所得的图形就是所求的位似图形．
【考点十五】平面直角坐标系中的位似变换
1. 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为，即若原图形的某一顶点坐标为，则其位似图形对应顶点的坐标为或．
2. 平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律
名称 规律
平移变换 对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度
轴对称变换 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数
旋转变换 将一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数
位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值都等于相似比
【题型一】全等形与全等三角形定义
◇典例1：
在下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解：属于全等图形，
故选A．
◆变式训练
1.下列说法正确的是（ ）
A．面积相等的图形叫做全等图形 B．周长相等的图形叫做全等图形
C．能完全重合的图形叫做全等图形 D．形状相同的图形叫做全等图形
【答案】C
【详解】解：A、面积相等，但图形不一定能完全重合，说法错误；
B、周长相等的两个图形不一定能完全重合，说法错误；
C、能完全重合的图形叫做全等图形，符合全等形的概念，正确；
D、形状相同的两个图形也不一定是全等形，说法错误；
故选：C．
2.已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（ ）
A．与是对应边 B．与是对应边
C．与是对应边 D．不能确定 的对应边
【答案】A
【详解】解：与是对应角，和是对应角，
和是对应角，
与是对应边，
故选A．
【题型二】全等三角形的性质
◇典例2：
如图，若，且，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，
，
，
；
故选．
◆变式训练
1.如图，在长方形中，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D匀速运动，连接，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则a的值为（　　）
A．2或 B．2或 C．或 D．2或
【答案】A
【详解】解：设t秒后，与全等，
根据题意得：，，
当时，，
∴，
解得：；
当时，，
∴，
解得：，
综上所述，a的值为2或．
故选：A
2.如图， ，B、C和A、D分别是对应顶点．如果， ， ，那么BC的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】解：∵，，
∴，即．
故选：C．
【题型三】三角形全等的判定
◇典例3：
如图，，，垂足分别为，，，，求证：．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵，，垂足分别为，，
∴，
在和中，
，
∴．
◆变式训练
1.如图，，且．求证：．
【详解】证明：，
．
在和中，
．
2.如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴．
【题型四】三角形全等的性质与判定综合
◇典例4：
如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：．
【详解】证明：在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
◆变式训练
1.如图，在和中，，，与相交于点O．求证：．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
2.如图，为上一点，为上一点，为延长线上的一点，，，．
(1)请猜想与有什么关系，并说明理由；
(2)若，，求．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
，
在与中，，
∴
；
（2）解：在与中，
∴，
，，
，
．
【题型五】成比例线段的判断
◇典例5：
下列各组线段中，能成比例线段的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：A、由可知，四条线段成比例，符合题意；
B、由可知，四条线段不能成比例，不符合题意；
C、由可知，四条线段不能成比例，不符合题意；
D、由可知，四条线段不能成比例，不符合题意；
故选：A．
◆变式训练
1.现有四条线段，长度按从短到长的顺序分别为．若这四条线段是成比例线段，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【详解】解：∵有四条线段，长度按从短到长的顺序分别为．且这四条线段是成比例线段，
∴，
∴，
故选：D．
2.下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】C
【详解】解：A、，四条线段不是成比例线段，故A不符合题意；
B、，四条线段不是成比例线段，故B不符合题意；
C、，四条线段是成比例线段，故C符合题意；
D、，四条线段不是成比例线段，故D不符合题意．
故选：C．
【题型六】比例的性质运用
◇典例6：
若，且，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ ，且，
∴ ，故选项A正确。
对于选项B：由得，即（∵ ），故B错误。
对于选项C：由得，则，
∴ ，故C错误。
对于选项D：由，设，（），则，
∴ ，故D错误。
故选：A．
◆变式训练
1.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ ，
又 ∵ ，
∴ ．
故选：A．
2.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵ ，
∴ 设 , （其中 ），
∴ ，
∴ ，
故选：A
【题型七】由平行判断成比例的线段
◇典例7：
如图，，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵
∴，
故选：C ．
◆变式训练
1.已知中，D、E分别是边反向延长线上的点，下列各式中，能判断出的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图， D、E分别是边反向延长线上的点，
A、若，能判定，符合题意；
B、若，不能判定，不符合题意；
C、若，不能判定，不符合题意；
D、若，不能判定，不符合题意；
故选：A．
2.如下图，已知与交于点O，则下列比例式中不成立的是（ ）
① ② ③ ④
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【详解】解：，
，，
，，
故不成立的为：②，
故选：．
【题型八】由平行截线求相关线段的长或比值
◇典例8：
如图，，直线a，b与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：A．
◆变式训练
1.如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知 ，则的长为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【详解】解：由题意，得，
∴，
∴．
故选：D ．
2.如图，在中，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： ，
，
设，则，
，
故选：D．
【题型九】黄金分割
◇典例9：
如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，则下列两条线段的比等于黄金比的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：假设，则，
∵，
∴根据勾股定理得，
根据画图可得，，，
A. ，不是黄金比，不符合题意；
B. ，不是黄金比，不符合题意；
C. ，不是黄金比，不符合题意；
D. ，是黄金比，符合题意；
故选：D．
◆变式训练
1.如图，已知线段，点P是它的黄金分割点，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵点P是它的黄金分割点，，
∴
∵，
∴，
∴，
故选：C．
2.黄金分割（比值约为）具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点（），若横画的长为，则的长为（ ）（结果保留到）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴．
故选B．
【题型十】利用相似三角形的判定定理来证明两个三角形相似
◇典例10：
已知：如图，是直角三角形斜边上的中线，，交的延长线于点．求证：．
【详解】证明：，．
．
是直角三角形斜边上的中线，
．
．．
又，
．
．
◆变式训练
1.如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证：
【详解】证明：∵点D，E，F分别是，，的中点，
∴，，，
即，
∴．
2.如图，已知，，，，，．
(1)求的长；
(2)求证：．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【题型十一】相似三角形的性质运用
◇典例11：
如图，已知四边形对角线，交于点E，点F是上一点，连结，且．
(1)求证：．
(2)若，，，求的长．
【详解】（1）证明：已知四边形对角线，交于点E，，
∴，
∴，
∵，，且，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
答：长为18．
◆变式训练
1.已知：如图，在中，，，垂足为．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，，
，
，
．
2.如图，四边形是平行四边形，交于点F，交的延长线于点E，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
又，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
即
∴或（不符合题意，舍去）．
答：的长为．
【题型十二】位似图形的识别
◇典例12：
如图，点的坐标为，与是位似图形，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，作直线交直线于点，
∴点的坐标为，与是位似图形，
∴位似中心的坐标为．
故选：C
◆变式训练
1.下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形，
图3中、不平行，即与不成位似图形，
综上分析可知：与成位似图形有3个．
故选：C．
2.如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： ，
，
与的相似比是，
与的周长比是，
故选：．
【题型十三】位似图形的作图
◇典例13：
如图，在的网格图中，三个顶点坐标分别为，，．
(1)请画出沿轴正方向平移4个单位长度所得到的；
(2)以原点为位似中心，将（1）中的放大为原来的3倍得到，请在第一象限内画出，并直接写出的面积．
【详解】（1）解：如图所示：，即为所求；
（2）解：如图所示：，，即为所求，
的面积．
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．
(1)画出关于y轴对称的图形，并写出的坐标______；
(2)以原点O为位似中心，在x轴上方画出的位似图形，使它与的相似比为，并写出对应点的坐标______；
(3)用无刻度的直尺在网格中画出的角平分线，D点在上，保留作图痕迹．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，．
（2）解：如图所示，即为所求，．
（3）解：如图所示，即为所求．
理由：由矩形的性质可得：，
∵，
∴平分．
2.如图，已知O是坐标原点，M，N的坐标分别为，．
(1)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似，所作新图形与原图形的相似比为；
(2)分别写出M，N的对应点P，Q的坐标；
(3)求的面积．
【详解】（1）解：连接并延长至、，使，，连接得到，则即为所求；
（2）解：∵位似中心在原点，与的相似比，且在轴左侧，
∴将、的坐标分别乘以得到、的坐标，
∴，；
（3）解：
．
一、单选题
1．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故选C．
2．（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定．
【详解】解：在和中
，
∴，
∴，
故选：C．
3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为和确定相似比，相似三角形的周长比等于相似比，再根据周长之和为即可求解．
【详解】解：两个相似三角形的最长边分别为和，
相似比为，
较大三角形与较小三角形的周长比为：，
它们的周长之和为，
较小三角形的周长为：，
故选：B．
4．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】题目主要考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键.
根据折叠得出，，利用相似三角形的判定和性质得出，再由正方形的性质求解即可.
【详解】解：∵正方形沿折叠，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
故选：D.
5．（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
由折叠可得：，，则，那么，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可．
【详解】解：由折叠可得：，，
∴，故A正确，不符合题意；
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴，，
∴，，
∴，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，，，
∴，故D错误，符合题意，
故选：D．
6．（2025·西藏·中考真题）如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正方形中的翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握翻折性质，由折叠的性质易知，证明，设，则，由勾股定理得到，求出，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，
由折叠的性质易知，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
∵E为边的中点，
∴．
设，则，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
7．（2025·福建·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为、、的延长线与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】连接，交于点O，根据旋转的性质，得到，，证明，得到垂直平分，得到，，根据直角三角形的面积解答即可．
本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
【详解】解：连接，交于点O，
根据旋转的性质，得到，，
在和中
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
8．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出．
【详解】解：∵正方形中，，
∴，．
∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
∵，，，
∴（），
∴，．
在中，，，
∴．
在中，，，
∴．
在中，，，
∴．
∵，
∴是直角三角形，且．
∴．
故选：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理逆定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形的性质并结合全等三角形和勾股定理求解线段长度是解题的关键．
二、填空题
9．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则 ．
【答案】12
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
根据题意，易得，有，结合已知条件，得到的长．
【详解】解：，
，
，
，
．
故答案为：12．
10．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，是边上的高，证明，故，则，则，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
则
∴，
故答案为：．
11．（2025·福建·中考真题）如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，则与的面积之和为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质求出，，然后证明即可求解．
【详解】解：∵菱形，，
∴，，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
12．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为 m．
【答案】10
【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键．
先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可．
【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N，
∴，
由题意，得，，，
∴，
∴，，
∴四边形，，都是矩形，
∴，，，，
由题意，得，，，，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：10．
三、解答题
13．（2025·浙江台州·中考真题）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．
(1)填空：___________，___________；
(2)判断与是否相似？并证明你的结论．
【答案】(1)；
(2)．见解析
【分析】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．
（1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，根据，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段的长；
（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似．
【详解】（1）解：，
；
故答案为：；．
（2）解：．
证明：∵在的正方形方格中，
，，
∴．
∵，，，，
∴．
∴，
∴．
14．（2025·陕西·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，运用全等转化思想．解题关键是利用正方形的边和角的性质证明三角形全等，进而通过线段的和差关系推导结论；易错点是对正方形性质理解不全面，或全等三角形的对应关系判断错误．
先根据正方形性质得出，，结合已知，证明，得到．再由正方形中，通过，推出．
【详解】证明：四边形是正方形，
．
，
，
，
，即．
15．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由点分别是边的中点，则有，，所以，，从而可得，然后根据性质即可求证；
（）连接，，证明四边形为平行四边形，所以，，又，为中点，故有，所以，，然后通过“”证明即可．
【详解】（1）证明：∵点分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，，
∵点分别是边的中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵，为中点，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
一、单选题
1．若两个相似三角形的对应高的比为，则这两个三角形的周长比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应高比等于相似比，周长比也等于相似比．
【详解】∵两个相似三角形的对应高的比为，
∴相似比为，
∴周长比为．
故选：B．
2．如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm
【答案】B
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质得到，则．
【详解】解：∵直线为的垂直平分线，
∴，
∴，
故选：B．
3．如图，，则的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．先求得，再利用证明即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
故选：D．
4．观察下列每组三角形，不一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．利用相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知：A中，能判定相似，选项正确，故不符合题意；
B中，即夹角相等，能判定相似，选项正确，故不符合题意；
C中只有一组角相等，不能判定相似，故符合题意，
D 中有一组角相等，且对顶角相等，故有两组角相等的三角形相似，选项正确，故不符合题意；
故选：C．
5．上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，
∴应建在三条角平分线的交点．
故选：C．
6．如图，，且是中点，则与的周长比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据是中点，得，又因为，故与的周长比等于相似比，即可作答．
【详解】解：∵是中点，
∴，
∵，
∴，
即与的周长比为，
故选：D．
7．如图，在等边三角形中，点，分别在，边上，如果，，，那么的周长等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了等边三角形的性质及相似三角形的周长的比等于相似比的运用．
先求出等边三角形的周长，再根据三角形相似比得到周长比，从而求出周长．
【详解】解：∵等边三角形，，
∴．
∵点在边上，，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：C．
8．如图，与是位似图形，是位似中心，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质可得，则可证明，得到，据此可得答案．
【详解】解：∵与是位似图形，是位似中心，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
9．如图，在中，点在上，连接；过点作交于点D，交于点，且，在上取一点，使，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质及等腰三角形的性质，熟练掌握判定定理是解题关键．利用证明，根据全等三角形的性质可得，，可判定①正确，根据等腰三角形的性质可得，即可得出，根据平行线的判定定理可判定②正确；只有，两个条件，无法判定，可判定③错误；综上即可得答案．
【详解】解：和中，，
∴，
∴，，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
在和中，只有，两个条件，
∴无法判定，故③错误；
综上所述：正确的结论为①②，
故选：B．
10．如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】B
【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握面积代换是解题的关键．
连接，证明和全等，，然后根据三角形的面积即可求出和，最后利用勾股定理即可求出结论．
【详解】解：如图所示，连接，
∵在等腰三角形中，，
∴，
∵D为边上中点，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌，
，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴或（舍去）
故选：B．
二、填空题
11．如图，在中，和的平分线交于点D，于点E，连接，若，，则的面积为 ．
【答案】8
【分析】本题考查角平分线的性质和三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键，根据角平分线的性质可得到，再利用三角形的面积公式即可求得答案．
【详解】解：过点作，如图：
∵和的平分线交于点D，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：8．
12．如图，中，是的垂直平分线，，的周长为18，则的周长为 ．
【答案】26
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由是的垂直平分线得到，，由的周长为18得到，最后由的周长为，进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵是的垂直平分线，，的周长为18，
∴，，
∴，
∴的周长为：．
故答案为：26．
13．如图，与位似，位似中心为点，且，则与的周长之比为 ．
【答案】
【分析】本题考查了位似图形的概念，相似三角形的性质，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵与是位似图形，，
∴，则与的位似比是．
∴与的相似比为，
∴与的周长比为．
故答案为：．
14．如图，在中，，交于点D，，，过点B作，垂足为E，，，延长交的延长线于点H，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形等积法求线段长，先证明得，，再由勾股定理求出，再根据即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15．凸透镜成像的原理如图所示，，若焦点到物体的距离与到凸透镜中心线的距离之比为，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证四边形为矩形，得到，再根据，即可求出．
【详解】解：由题意知，，
，
，，
四边形是平行四边形，
∵，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．如图，，是四边形的对角线，，若，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上定理和性质．
过点作，交的延长线于点，利用勾股定理求出相关线段的长度，证明，通过对应边成比例求出，然后再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，
∴，
∵，，，
∴由勾股定理得，；
∵，，
∴由勾股定理得，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
由勾股定理得，，
故答案为：．
三、解答题
17．如图，在等边中，，、相交于点．
(1)求证；
(2)过点作，垂足为．若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用等边三角形的性质可得，，由可得出，最后利用全等三角形判定定理即可证明；
（2）利用全等三角形的性质可得，，利用三角形的外角的性质得出，利用含角直角三角形的性质可得，最后利用线段的和差关系即可求出的长．
【详解】（1）证明：等边，
，，
，
，即，
在和中，
，
．
（2）解：由（1）得，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为7．
18．如图，在中，边的垂直平分线交的平分线于点，于点，于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键：
（1）连接，根据垂直平分线的性质，得到，角平分线的性质，得到，进而得到，即可得证；
（2）证明，得到，进而得到，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵边的垂直平分线交的平分线于点，于点，于点，
∴，，，
∴，
∴；
（2）解：在和中，，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
19．如图，在和中，，平分．
(1)证明：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
（1）先根据角平分线的定义可得，再根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先利用勾股定理可求出的长，再利用相似三角形的性质即可得的长．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵在中，，，，
∴，
由（1）已证：，
∴，即，
解得．
20．如图，在平行四边形中，点E在边上，交于点F，．
(1)求证：；
(2)如果．
①若，求的长；
②若四边形的面积为24，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①5；②1
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）先由平行四边形的性质可得，，可得，，再证明，最后可得出；
（2）①先证明，可得，从而可得，求出，再证明，可得，再求解即可；
②设与之间的距离为，由四边形的面积为24，可得，再求出
，再由求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
；
（2）解：①，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
②设与之间的距离为，
四边形的面积为24，
，
，
，
．
21．如图1，是等边三角形，点是外部一点，连接，，与边交于点，，
(1)求的度数；
(2)如图2，过点作，过点作的垂线，交于点，探究线段与的数量关系，并证明结论；
(3)在（2）的条件下，若，求的值.
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）结合等边三角形的性质，得，因为，得，又因为三角形内角和性质，得，代入数值计算，即可作答．
（2）先证明是等边三角形，得出，又因为是等边三角形，故，即可证明，运用30度角的直角三角形的性质，得，结合，即可得出；
（3）理解题意，延长交的延长线于点，证明，设为，则，，把数值代入进行计算，即可作答．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，
，
，
，且，
∴，
，
；
（2）解：；证明如下：
延长至，使，连接，，
，
，
，
∵
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：延长交的延长线于点，
，
，
，
，，
，
，
设为，则，
，
，
，
，
，
在中, ，
则，
∴，
得（负值已舍去），
，
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形内角和性质，30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
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模块四 三角形
专题6 相似与全等
【考点一】全等形与全等三角形
1. 全等形定义：能够完全重合的两个图形叫作全等形.
2. 全等三角形的有关概念和表示方法
相关概念 示例
定义 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形 △ABC与△DEF全等
相关概念 示例
对应元素 对应顶点：重合的顶点叫作对应顶点 点A与点D， 点B与点E，点C与点F
对应边：重合的边叫作对应边 AB与DE，BC与EF，AC与DF
对应角：重合的角叫作对应角 ∠A与∠D， ∠B与∠E，∠C与∠F
相关概念 示例
表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于” △ABC≌△DEF
3. 三种常见的全等类形
(1)平移型
(2)翻折型
(3)旋转型
【考点二】全等三角形的判定与性质
一般三角形 直角三角形
判定 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL）
性质 对应边相等，对应角相等。 全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。 全等三角形的周长相等，面积相等。
备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等
【考点三】全等三角形的证明思路
【考点四】全等三角形证明方法
1． 证明线段相等的方法：
(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.
(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.
(3) 等式性质.
2． 证明角相等的方法：
(1) 利用平行线的性质进行证明.
(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.
(3) 利用角平分线的判定进行证明.
(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.
(5) 对顶角相等.
3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法：
可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.
4． 辅助线的添加:
(1)作公共边可构造全等三角形；
(2)倍长中线法；
(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；
(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.
5. 证明三角形全等的思维方法:
（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两
个角所在的两个三角形及它们全等的条件.
如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质
或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.
如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，
通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.
【考点五】 相似多边形
1.定义：把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形. 两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似
比或相似系数.
2.性质：如果两个多边形是相似的，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例.
【考点六】比例线段
1.定义：如果（或），那就说成比例。两条线段的长度的比叫做两条线段的比.
对于四条线段如果 （或表示为），那么叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段是比例外项，线段是比例内项.
性质：
基本性质：
合比性质：,
等比性质：=k=k
【考点七】黄金分割
如果点把线分割成和（）两段，其中是和的比例中项，即这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点.
与的比值称为黄金分割数（简称黄金数）.黄金分割数是一个无理数，在应用时取其接近值0.618.
【考点八】 平行线分线段成比例
1. 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
2. 数学语言描述：如图，已知直线∥∥，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，则，，，．
3. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例．
如图（1）、图（2）所示，∥，则有，，．
【考点九】相似三角形
定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．和相似，记作．
2. 全等三角形与相似三角形的比较
全等三角形 相似三角形
定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形
特征 形状相同且大小相等 形状相同但大小不一定相等
图形表示
对应边 相等 成比例
对应角 相等 相等
相似比 1 可以是1，也可以是其他正实数
【考点十】三角形相似的判定
如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．
相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似．
1. 定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似．
已知和和和，若，，则．
2. 定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
已知和和，若，，则．
3. 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．
已知和和，若，则．
直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
4. 有关三角形相似的常见图形
图形特征 所需条件 证明方法
平行线型 已知 DE // BC，所以同位角、内错角相等 两角分别相等的两个三角形相似．
斜交型 有公共角或对顶角， 两角分别相等的两个三角形似．
公共角的两边对应成比例， 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
母子型 两角分别相等的两个三角形相似．
旋转型 有一组角对应相等， 公共角（对应角）的两边对应成比例，， 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
【考点十一】相似三角形的性质
1. 相似三角形对应高的比等于相似比．
2. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
3. 相似三角形对应中线的比等于相似比．
4. 相似三角形的周长比等于相似比．
5. 相似三角形的面积比等于相似比的平方．
【考点十二】位似图形的有关概念
1. 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形．点O叫做位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比．位似中心可能在两个位似图形的同侧，也可能在两个位似图形的异侧，也可能在其中一个图形的边上，还可能在两个位似图形的内部．
2. 位似与相似的关系
位似 相似
形状 完全相同 完全相同
对应角 相等 相等
对应边 成比例 成比例
位置关系 对应点所在直线都经过同一点 任意摆放
联系 位似是相似的特殊情况
【考点十三】 位似图形的性质
1. 位似图形对应顶点的连线所在直线必过位似中心．
2. 位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
3. 位似图形的对应线段所在直线平行（或共线），且对应线段之比相等．
4. 如果两个图形是位似图形，则两个图形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
【考点十四】 位似图形的画法
1. 利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小的过程叫做位似变换．
2. 画位似图形的步骤
（1）确定位似中心O；
（2）分别连接位似中心和能代表原图形的关键点；
（3）按相似比找出所作位似图形的对应点；
（4）顺次连接上述各点，所得的图形就是所求的位似图形．
【考点十五】平面直角坐标系中的位似变换
1. 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为，即若原图形的某一顶点坐标为，则其位似图形对应顶点的坐标为或．
2. 平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律
名称 规律
平移变换 对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度
轴对称变换 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数
旋转变换 将一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数
位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值都等于相似比
【题型一】全等形与全等三角形定义
◇典例1：
在下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.下列说法正确的是（ ）
A．面积相等的图形叫做全等图形 B．周长相等的图形叫做全等图形
C．能完全重合的图形叫做全等图形 D．形状相同的图形叫做全等图形
2.已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（ ）
A．与是对应边 B．与是对应边
C．与是对应边 D．不能确定 的对应边
【题型二】全等三角形的性质
◇典例2：
如图，若，且，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，在长方形中，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D匀速运动，连接，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则a的值为（　　）
A．2或 B．2或 C．或 D．2或
2.如图， ，B、C和A、D分别是对应顶点．如果， ， ，那么BC的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【题型三】三角形全等的判定
◇典例3：
如图，，，垂足分别为，，，，求证：．
◆变式训练
1.如图，，且．求证：．
2.如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：．
【题型四】三角形全等的性质与判定综合
◇典例4：
如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：．
◆变式训练
1.如图，在和中，，，与相交于点O．求证：．
2.如图，为上一点，为上一点，为延长线上的一点，，，．
(1)请猜想与有什么关系，并说明理由；
(2)若，，求．
【题型五】成比例线段的判断
◇典例5：
下列各组线段中，能成比例线段的是（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.现有四条线段，长度按从短到长的顺序分别为．若这四条线段是成比例线段，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．
2.下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【题型六】比例的性质运用
◇典例6：
若，且，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型七】由平行判断成比例的线段
◇典例7：
如图，，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.已知中，D、E分别是边反向延长线上的点，下列各式中，能判断出的是（ ）
A． B． C． D．
2.如下图，已知与交于点O，则下列比例式中不成立的是（ ）
① ② ③ ④
A．① B．② C．③ D．④
【题型八】由平行截线求相关线段的长或比值
◇典例8：
如图，，直线a，b与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
◆变式训练
1.如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知 ，则的长为（ ）
A．3 B． C．2 D．
2.如图，在中，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型九】黄金分割
◇典例9：
如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，则下列两条线段的比等于黄金比的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，已知线段，点P是它的黄金分割点，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
2.黄金分割（比值约为）具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点（），若横画的长为，则的长为（ ）（结果保留到）
A． B． C． D．
【题型十】利用相似三角形的判定定理来证明两个三角形相似
◇典例10：
已知：如图，是直角三角形斜边上的中线，，交的延长线于点．求证：．
◆变式训练
1.如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证：
2.如图，已知，，，，，．
(1)求的长；
(2)求证：．
【题型十一】相似三角形的性质运用
◇典例11：
如图，已知四边形对角线，交于点E，点F是上一点，连结，且．
(1)求证：．
(2)若，，，求的长．
◆变式训练
1.已知：如图，在中，，，垂足为．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
2.如图，四边形是平行四边形，交于点F，交的延长线于点E，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【题型十二】位似图形的识别
◇典例12：
如图，点的坐标为，与是位似图形，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比为（　　）
A． B． C． D．
【题型十三】位似图形的作图
◇典例13：
如图，在的网格图中，三个顶点坐标分别为，，．
(1)请画出沿轴正方向平移4个单位长度所得到的；
(2)以原点为位似中心，将（1）中的放大为原来的3倍得到，请在第一象限内画出，并直接写出的面积．
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．
(1)画出关于y轴对称的图形，并写出的坐标______；
(2)以原点O为位似中心，在x轴上方画出的位似图形，使它与的相似比为，并写出对应点的坐标______；
(3)用无刻度的直尺在网格中画出的角平分线，D点在上，保留作图痕迹．
2.如图，已知O是坐标原点，M，N的坐标分别为，．
(1)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似，所作新图形与原图形的相似比为；
(2)分别写出M，N的对应点P，Q的坐标；
(3)求的面积．
一、单选题
1．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·西藏·中考真题）如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
7．（2025·福建·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为、、的延长线与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（ ）
A． B． C．4 D．
8．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（）
A． B． C． D．2
二、填空题
9．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则 ．
10．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是 ．
11．（2025·福建·中考真题）如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，则与的面积之和为 ．
12．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为 m．
三、解答题
13．（2025·浙江台州·中考真题）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．
(1)填空：___________，___________；
(2)判断与是否相似？并证明你的结论．
14．（2025·陕西·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：．
15．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明：
(1)；
(2)．
一、单选题
1．若两个相似三角形的对应高的比为，则这两个三角形的周长比为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm
3．如图，，则的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．观察下列每组三角形，不一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
6．如图，，且是中点，则与的周长比为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在等边三角形中，点，分别在，边上，如果，，，那么的周长等于（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，与是位似图形，是位似中心，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，点在上，连接；过点作交于点D，交于点，且，在上取一点，使，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
10．如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
二、填空题
11．如图，在中，和的平分线交于点D，于点E，连接，若，，则的面积为 ．
12．如图，中，是的垂直平分线，，的周长为18，则的周长为 ．
13．如图，与位似，位似中心为点，且，则与的周长之比为 ．
14．如图，在中，，交于点D，，，过点B作，垂足为E，，，延长交的延长线于点H，则 ．
15．凸透镜成像的原理如图所示，，若焦点到物体的距离与到凸透镜中心线的距离之比为，则的值是 ．
16．如图，，是四边形的对角线，，若，，，则的长为 ．
三、解答题
17．如图，在等边中，，、相交于点．
(1)求证；
(2)过点作，垂足为．若，，求的长．
18．如图，在中，边的垂直平分线交的平分线于点，于点，于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
19．如图，在和中，，平分．
(1)证明：；
(2)若，，求的长．
20．如图，在平行四边形中，点E在边上，交于点F，．
(1)求证：；
(2)如果．
①若，求的长；
②若四边形的面积为24，求的面积．
21．如图1，是等边三角形，点是外部一点，连接，，与边交于点，，
(1)求的度数；
(2)如图2，过点作，过点作的垂线，交于点，探究线段与的数量关系，并证明结论；
(3)在（2）的条件下，若，求的值.
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