资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块四 三角形
专题7 锐角三角函数及其应用
【考点一】正弦、余弦、正切
正弦
（1）定义：在中，，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即；
（2）符号语言:在中,，.
2.余弦
（1）定义：在中，，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即；
（2）符号语言:在中,，.
3.正切
（1）定义：在中，，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即；
（2）符号语言:在中,，.
4.余切
（1）定义：在中，，锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即；
（2）符号语言:在中,，.
【考点二】特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示：
三角比的值 角度
【考点三】锐角三角函数的关系
在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系：
1）同角三角函数的关系：
① 平方关系：；
② 商数关系：.
2) 互余两角的三角函数关系：
① 互余关系：
sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值.
sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
② 倒数关系：
【考点四】解直角三角形
1.解直角三角形的概念
一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.
在直角三角形中,除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有一个是边),可求出其余的三个未知元素(知二求三)
一个直角三角形可解，则其面积和周长可求.但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积和周长
2.直角三角形中五个元素（除直角外的）之间的关系
如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，
三边之间的关系：.（勾股定理）
∠A＋∠B＝90°
边角之间的关系： ;;;
;;;.
3.解直角三角形的类型和解法
条件 解法步骤 图示
两 边 ①两直角边 由，求； ;
②斜边,一直角边（如） 由，求； ;
一 边 一 角 一直角边 和一锐角 ③锐角,邻边 如（） ；
④锐角,对边 如（） ；
⑤斜边,锐角 如（） ；
【考点五】仰角、俯角
视角：视线与水平线的夹角叫做视角．
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的.
易错点： 测量塔高时： 将仰角当作视线与地面的夹角 必须从水平线向上测量
【考点六】坡度、坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作.
坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角.
易错点： 混淆h与l的位置：把垂直高度当水平距离
【考点七】方位角、方向角
方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°
易错点： 将"北偏东60°"误认为"东偏北30°"
【考点八】解直角三角形实际应用的一般步骤
①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形.
③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
2.实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式
图形 关系式 图形 关系式
【题型一】特殊角的三角函数
◇典例1：
如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出，及的近似值，然后得出结论即可．
【详解】解：，，，
又∵，余弦函数随角增大而减小，且，
∴．
故选：C．
◆变式训练
1.计算：．
【答案】
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了特殊角的三角形函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．
【详解】解：原式
．
2.计算：．
【答案】
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算
【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算．把特殊角的三角函数值代入后计算即可．
【详解】解：
【题型二】正切、正弦和余弦
◇典例2：
等腰三角形中， 分别是边上的中线，且 ，那么 ．
【答案】3
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、三线合一、求角的正切值、重心的有关性质
【分析】设与交于Q，连接并延长交于点，由题意得，点为的重心，则为中点，，则为等腰直角三角形，设，则，即可求解．
【详解】解：设与交于Q，连接并延长交于点，
由题意得，点为的重心，
∴为中点，
∵，
∴，
∵，为中点
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴设，则，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了求一个角的正切值，等腰三角形的性质，重心的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握知识点是解题的关键．
◆变式训练
1.如图，在中，，如果、分别是边，的中点，，的面积是，那么的正切值是 ．
【答案】/
【知识点】求角的正切值、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查了三角形中位线的性质与判定，求正切；根据三角形中位线定理得出的长，再结合的面积得出的长，进而得出的长，最后将转化为即可解决问题．
【详解】解：、分别是边，的中点，
是的中位线，
，．
又，，
，，
垂直平分，
，
．
的面积是，
，
则，
．
在中，
，
∴．
故答案为：．
2.如图，已知的三个顶点均在小正方形的方格顶点上，那么的值是 ．
【答案】
【知识点】求角的正弦值、勾股定理与网格问题
【分析】本题考查了三角形函数、勾股定理．首先根据网格求出三角形的三边，在三角形中过点作，利用三角形的面积公式求出的长度，再根据正弦的定义求出结果．
【详解】解：如下图所示，过点作，
在中，，，
，
当以为的底边时，对应的高为，
，
，
解得：，
．
故答案为： ．
【题型三】解直角三角形的相关计算
◇典例3：
在中，，点D、E分别在边上，且垂直平分．联结，如果，那么 ．
【答案】/0.6
【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、线段垂直平分线的性质
【分析】本题主要考查了解直角三角形及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质及正切和余弦的定义是解题的关键．根据题意画出示意图，再结合线段垂直平分线的性质及余弦和正切的定义即可解决问题．
【详解】解：如图所示，
垂直平分，
∵，
设，，
在中，
在中，
故答案为：．
◆变式训练
1.如图，已知在中，高、相交于点，，，那么的长为 ．
【答案】/
【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形
【分析】此题重点考查同角的余角相等、勾股定理、解直角三角形等知识，正确运用勾股定理、解直角三角形是解题的关键．
根据同角的余角相等得到，由解直角三角形的知识得出和的长，由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：在中，高、相交于点，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
2.为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形（如图1），米，米，斜坡的坡角为．计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2所示），坡面的宽度不变．
(1)求改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度；
(2)改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？
【答案】(1)改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度为米
(2)改建这条斜坡需要立方米的混凝土材料
【知识点】解直角三角形的相关计算、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，数形结合，正确地作出辅助线利用三角函数定义求解是解题的关键．
（1）过作交的延长线于，根据直角三角形的性质得到（米），（米），由，得到（米），于是得到米；
（2）根据三角形的面积公式得到平方米，于是得到结论．
【详解】（1）解：过作交的延长线于，如图所示：
∵米，
∴（米），（米），
在中，，
∴（米），
∴米，
答：改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度为米；
（2）解：∵平方米，
∴立方米，
答：改建这条斜坡需要立方米的混凝土材料．
【题型四】坡度坡比问题
◇典例4：
如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点处送到离地面3米高的处，则物体从到所经过的路程为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．9米
【答案】A
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】根据坡比定义求出AC的长度，再根据勾股定理求出AB长度即可.
【详解】解：设BC⊥AC,垂足为C，
∵i=BC：AC=1：3
∴3：AC=1:3,
∴AC=9,
在Rt△ACB中，由勾股定理得，
∴AB=米.
故选：A.
【点睛】本题考查解直角三角形，明确坡比的概念是解答此题的关键.
◆变式训练
1.如图，一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用表示，沿着通道走米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高米，那么残疾人通道的坡度为 ．（结果保留根号的形式）
【答案】
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理、坡度，熟练掌握利用正切求坡度是解题关键．先利用勾股定理求出的长，再利用正切求坡度即可得．
【详解】解：由题意得：米，米，，
∴，
∴，
∴残疾人通道的坡度为，
故答案为：．
2.如图，某商场开业，要为一段楼梯铺上红地毯，已知楼梯高，坡面的坡度，则至少需要红地毯 m．

【答案】14
【知识点】利用平移解决实际问题、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】根据坡面的坡度，求出的长度，从而利用平移的知识可得红地毯的长度为，进而得出答案．
【详解】解：∵，坡面的坡度，
∴，
∴红地毯的长度为，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用坡度求出的长度是解答本题的关键，另外要掌握平移性质的运用．
【题型五】仰角俯角问题
◇典例5：
如图，点是航拍飞机在某一高度时的位置，是地平线，，，是某大型建筑物的斜面．从点观测点的偏角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用的仰角俯角问题，熟练掌握俯角的定义是解题的关键．根据俯角的定义即可得到结论．
【详解】∵，是地平线，
∴从点观测点的俯角是，
故选：B．
◆变式训练
1.如图，斜坡的长为7米，在斜坡的顶部D处有一棵高为3米的小树（点A、D、C在一直线上），，在坡底B处测得树的顶端A的仰角为，那么这个斜坡的坡度为 ．
【答案】
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，设米，则米，根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得米，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】解：设米，
∵米，
∴米，
∵，
∴，
在中，，
∴米，
在中，，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴米，（米），
∴这个斜坡的坡度，
故答案为：．
2.如图，已知小河两岸各有一栋大楼与，由于小河阻碍无法直接测得大楼的高度．小普同学设计了如下的测量方案：将激光发射器分别置于地面点E和点F处，发射的两束光线都经过大楼顶端A，并分别投射到大楼最高一层的顶端C和其底部G处，并测得，，．（点D、B、E、F在同一水平线上）
(1)小普同学发现，根据现有数据就能测出大楼的高度，试求出大楼的高度；
(2)为了能测得大楼的高度，小普同学又获信息：这两栋大楼每层的高度都相同，大楼共有五层．据此信息能否测得大楼的高度？如果可以，试求出大楼的高度；如果不可以，说明理由．
（参考数据：，，，，，）
【答案】(1)大楼的高度为
(2)能，大楼的高度为
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键．
（1）设大楼的高度为．利用正切函数的定义用表示出和的长，再利用，列式计算即可求解；
（2）根据题意先求得，设为，则，利用正切函数的定义用表示出和的长，再利用，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：设大楼的高度为．
∵，
∴，．
∵，
∴．
解得．
答：大楼的高度为15m；
（2）解：由大楼的高度为，共有五层，且这两栋大楼每层的高度都相同，
可得，
设为，则，
∵，
∴，．
∵，
∴．
解得．
答：大楼的高度为．
【题型六】解直角三角形与反比例函数综合
◇典例6：
如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线在第一象限分支交于点，过点作轴的平行线，交轴于点，．
(1)求点、的坐标；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)．
【知识点】解直角三角形的相关计算、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的应用以及解直角三角形等，求得交点坐标是解题的关键．
（1）令和时，代入解析式得出坐标即可；
（2）先确定D点的纵坐标，进一步求得C点的坐标，然后利用待定系数法求得k；
（3）作于E，利用勾股定理求得、，利用三角形面积公式求得，然后解直角三角函数即可．
【详解】（1）解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
将代入，得到：，
∴，
将代入，得到，
解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴D的纵坐标为2，
把代入得，，
∴，
∵双曲线过点C，
∴；
（3）解：作于E，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为．
(1)求直线的表达式；
(2)如果，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)．
【知识点】解直角三角形的相关计算、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合运用、锐角三角函数．解决本题的关键是运用待定系数法求出正比例函数的解析式，根据的正确值和正比例函数的解析式求出点的坐标．
根据点在双曲线上，可以求出，把点的坐标代入正比例函数中求出的值即可得到直线的表达式；
因为直线的解析式为，设点的坐标为，根据，可得关于的分式方程，解方程求出即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：点在双曲线上，
把代入，
可得：，
点的坐标为，
设直线的表达式为（），
把，代入，
可得：，
直线的表达式为；
（2）解：如下图所示，过点作轴，垂足为点，
设点的坐标为，
可得：，，
在中，，
，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
，
可得点的坐标为．
【题型七】翻折问题
◇典例7：
如图，在中，，，，是上的动点，将沿翻折，如果点落到内（不包括边），那么的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理与折叠问题、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，先解直角三角形得到，再利用勾股定理求出；设点C折叠后的对应点为E，再分点E恰好在上和点E恰好在上两种情况，分别求出对应的的长即可得到结论．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
设点C折叠后的对应点为E，
如图所示，当点E恰好在上时，
由折叠的性质可得，则同理可得；
如图所示，当点E恰好在上时，过点D作于F，
由折叠的性质可得，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点落到内（不包括边）时，，
故答案为：．
◆变式训练
1.如图，在矩形中，，．点在边上，连接，将沿着翻折，点的对应点是点，连接．如果，那么点到的距离为 ．
【答案】
【知识点】矩形与折叠问题、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），掌握折叠的性质是解题的关键．根据题意画出图形，根据，，得出，再通过相等的角的三角函数值相等，即可求出结果．
【详解】解：过点作于点，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
一、单选题
1．（2025·广西·中考真题）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数定义直接进行解答，即可．
【详解】解：∵在中，，
∴．
故选：B
2．（2025·广东深圳·中考真题）如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正弦，理解正弦的定义是解题关键．
根据正弦的定义求解即可．
【详解】解：∵长为10米，斜道长为30米，
∴根据题意得：，
故选：D
3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得．
【详解】解：如图，由题意得：，米，
∴，
∴米，
即她沿垂直方向升高了米，
故选：D．
4．（2025·吉林长春·中考真题）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】B
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键．
由题意得四边形是矩形，则，那么，再解即可．
【详解】解：由题意得，四边形是矩形，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
故选：B．
5．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握锐角的正弦的定义是解本题的关键．先利用勾股定理求出，再在中利用即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故选：C．
6．（2025·江苏南通·中考真题）在中，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】根据直角三角形中正切函数的定义，结合已知条件求出的长．本题主要考查直角三角形中锐角三角函数的定义，熟练掌握正切函数的定义（为锐角，对边是，邻边是 ）是解题的关键．
【详解】解：在中，， ，，
∴ ．
∴ ．
故选：．
7．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质，证明，得到，然后过点作，得到，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可．
【详解】解：∵矩形，，是边上的三等分点，，，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，
过点作，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故选：B．
8．（2025·宁夏·中考真题）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（ ）
A．的长，的度数
B．的长，的度数
C．的长，的度数
D．的长，的度数
【答案】D
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．设，．，．，．则．，若已知的长，设，则，代入可解得，进而求得，最终得到．
【详解】解：由题意可得，测角仪水平视线到水面的高度为米，即3.5米，
因此，要求只需先求．
设，．
在中，，
则．
在中，，
则．
所以．
又因为是地面上两点的距离，且与测角仪测量点在同一水平线上，测角仪支架高度相同，
所以，
若已知的长，设，则，代入可解得，
进而求得，最终得到．
综上，需要测量、，这样就能通过解方程组求出，从而得到．
选项中的长和的度数，无法直接求EH，也无法建立两个方程求解：
选项缺少，无法联立方程组：
选项中的长已知则无需，但实际测量中无法直接得到；
选项中的长、的度数，符合上述分析，通过两个仰角和两点距离可求解，进而得到．
故选：D
二、填空题
9．（2025·湖北武汉·中考真题）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面的处，测得处的俯角为，处的俯角为，则之间的距离是 m．（取）
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键．
过点左于点，由题意得，，，，先解，再解，最后由线段和差计算即可．
【详解】解：过点作于点，
由题意得，，，，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
10．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】利用平行线的判定与性质证明，再求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可．
【详解】解：∵与相切于点B，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．
11．（2025·江苏盐城·中考真题）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用勾股定理是关键．
依据题意，作于，于，则，然后求出，故，从而得到，可得，再证明四边形是矩形，故，最后在中，进而可得，故计算可以得解．
【详解】解：由题意，作于，于，
．
，
．
．
，
．
．
∵．
，
．
．
．
，
四边形是矩形．
．
在中，
，
．
故答案为：．
12．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，根据垂径定理，圆周角定理推出，再根据特殊角的三角函数值即可得出结果．
【详解】解：连接，
∵，
∴为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
三、解答题
13．（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：）
【答案】
【分析】延长，交点为，过点作于点，过作交于点．设，根据题意可得，解方程得出答案．
【详解】解：如图，延长，交点为，过点作于点，过作交于点．
由题意得，，，，
，之间的距离为，在的中点处，
，
∵中，，
，，
，为中点，
∴，
为的中点，
即，，
设，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
∴,
,
，
，
解得，
答：甲航行的距离约为．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定，掌握锐角三角函数的定义，理解方向角的概念是解题的关键．
14．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内．
(1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）；
(2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）过点作于，根据正弦的定义求出；
（2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可．
【详解】（1）解：如图，过点作于，
在中，，m，
则m，
答：小明一家步行上升的垂直高度约为；
（2）解：如图，过点作于，
则四边形为矩形，
，
，
，
在中，，
则，
答： 缆车的行驶路线的长约为．
15．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】
如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为．
【问题解决】
(1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，）
(2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪）
【答案】(1)建筑物的高度约为，建筑物的高度约为；
(2)图见解析，建筑物的高度为，建筑物的高度为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键．
（1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可；
（2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，
由题意可知，，，，
，，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为；
（2）解：平面示意图如下：
用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．
在中，，
在中，，
一、单选题
1．的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的乘法，特殊角三角函数值的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
直接代入已知三角函数值计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选： C．
2．已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记这些值是解题的关键．根据特殊角的正切值，，即可求解.
【详解】解：∵，且 ，
∴．
故选：A．
3．在中，，若，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
利用直角三角形的边角关系，已知斜边，通过正弦或余弦函数求解的长度．
【详解】解：如图所示，
∵中，，，
∴
∵，
∴，
故选C．
4．如图，在中，，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，解直角三角形的相关计算，求角的正切值，已知正切值求边长等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
根据在中，，，可求得，由此可判断A；
根据，代入已知数据，可求得，由此可判断B；
根据勾股定理求得，由此可判断C；
根据正切的定义式求得，由此可判断D．
【详解】解：在中，，，
∴，故A正确，不符合题意；
在中，，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，故B错误，符合题意；
∵，，
∴，故C正确，不符合题意；
，故D正确，不符合题意．
故选：B．
5．如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角函数的定义．利用三角函数定义逐项判断即可．
【详解】解：A、在中，，故此选项不符合题意．
B、在中，，故此选项不符合题意；
C、在中，，原结论错误，故此选项符合题意；
D、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
6．如图，已知梯子的长为米，，，则梯子顶端离地面的高度为（ ）米
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，会解直角三角形是解题的关键．
在中，通过解直角三角形可求出的长．
【详解】解：在中，，，即，，
∴，
故选：A．
7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及正切，熟练掌握勾股定理逆定理及正切是解题的关键；如图，构造，由图可知，则有，然后根据正切的定义进行求解即可．
【详解】解：如图，构造，
由格点图可知：，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴；
故选A．
8．如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若米，则树高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意可得：，设米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后根据，列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，
设米，
在中，，
∴（米），
在中，，，
∴（米），
∵，
∴，
解得，
∴（米），
∴米．
故选：C．
9．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了50米，则此时该小车离水平面的垂直高度为（ ）
A．25米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】本题考查坡度的定义，坡度是坡面垂直距离与水平距离的比；根据坡度为可得：垂直距离：水平距离，据此即可求解
【详解】解：∵坡度为，
∴垂直距离:水平距离，
设该小车离水平面的垂直高度为米，则水平距离为米，
∵斜坡向上行驶了50米，
∴，解得：．
故选：C．
10．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接，，．若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握反比例函数值的几何意义和解直角三角形是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，易得，利用相似三角形的性质及反比例函数值的几何意义进行解答即可．
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，则．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵点在反比例函数的图象上，，
∴．
∴．
由于反比例函数的图象在第二象限，
∴．
故选：D．
二、填空题
11．小红沿坡比为的斜坡上走了米，则她实际上升了 米．
【答案】65
【分析】本题考查了坡度坡比问题(解直角三角形的应用），勾股定理．根据坡比定义，设上升高度为，水平宽度为，利用勾股定理列式计算求解，
【详解】解：设垂直距离为米，则水平距离为米，
根据勾股定理，得 ，
即，
解得，
∴（负值舍去），
故实际上升了65米．
故答案为：65．
12．在中，若，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了非负数的性质，根据特殊角三角函数值求角的度数，三角形内角和定理，根据非负性的性质可求出的值，则可求出的度数，进而由三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值和零指数幂的运算，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后去绝对值后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：
，
故答案为：．
14．如图，点均在正方形网格的格点上，交于点，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线构造平行线，取格点，使，可得，，从而得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：如图，取格点，使，
，
根据题意得：，，，，
，
，
．
故答案为：．
15．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为 米．（结果保留根号）
【答案】/米
【分析】本题主要考查坡比，熟练掌握坡比是解题的关键；由题意得：，，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：如图，
由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
16．如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求角的余弦，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意得，从而得出，设，则，由勾股定理得出，求得，即可得出答案．
【详解】解：如图，
由题意得：，，
∴，
设，则，
，
在中，，
．
故答案为：．
三、解答题
17．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)0
(2)1
【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，化简二次根式，实数的运算，零指数幂，正确计算是解题的关键．
（1）先计算特殊角三角函数值，再根据实数的运算法则求解即可；
（2）先计算特殊角三角函数值和化简二次根式，再计算零指数幂和绝对值，最后计算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．如图，在中，，，是边上的中线，．
(1)求的长．
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）如图所示，过点A作于点E，由，设，，然后利用勾股定理求出，，然后求出，然后利用勾股定理求解即可；
（2）首先求出，然后利用勾股定理求出，然后求正弦值即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点A作于点E，
∵
∴设，
∵
∴
∴
∴，
∵，是边上的中线
∴
∴
∴；
（2）解：∵，
∴
∵，
∴
∴．
19．如图，经过的两个顶点A，B，连接交于点D，且，．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，求正切值，掌握相关知识是解题的关键．
（1）连接，由得到，进而得到，由，，得到，，即可得出，即可得证；
（2）设，则，，设，则，在中根据勾股定理构造方程，求得，即，再根据正切的定义求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴为的切线．
（2）解：∵，
∴设，则，
∴在中，，
∴，
设，则，
∵在中，，即，
∴，
∴，
∴在中，．
20．凌霄塔是榆林古城“南塔北台中古城”格局的核心地标．小轩和几位同学准备利用所学的知识测量凌霄塔的高度．测量方法如下：小轩在点D处直立一根2米的标杆（），且发现A，E，C三点共线，经测量的长度为，．已知，，并且B，D，C三点在一条水平线上．请你根据以上信息，求出凌霄塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，）
【答案】米．
【分析】本题考查相似测高与三角函数测高综合，涉及三角形相似的判定与性质、解直角三角形等知识，根据题意得到，得到，再解直角三角形，由正切函数得到，联立方程组求解即可得到答案，熟练掌握相似测高与三角函数测高的题型解法是解决问题的关键．
【详解】解：，
．
又，
，
，
．
在中，，
，
，
解得米，
（米），
答：凌霄塔的高度约为米．
21．如图，大连市的永丰塔建于辽代，“永丰夕照”是复州八景之首．某校九年级“数学活动”小组开展了“永丰塔高度的测量”综合与实践活动，采用如下方法：如图，先将无人机沿垂直上升至距塔所在地面的点，测得塔的顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得塔的顶端的俯角为．请根据测量数据，求永丰塔的高度．（结果精确到整数，参考数据：，，）
【答案】永丰塔的高度约为
【分析】本题考查了三角函数的应用，矩形的判定和性质等知识点，掌握三角函数的基本概念是解题的关键．延长交延长线于，先证四边形是矩形，在中，根据得，设，则，在中，根据可建立关于的方程，求解后用进而可得．
【详解】解：延长交延长线于点，如图所示：
由题意得，，，
，
，
，
四边形为矩形，
，
设，
中，，
，
，
中，，
，解得，
经检验，是分式方程的解，
，
永丰塔的高度约为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块四 三角形
专题7 锐角三角函数及其应用
【考点一】正弦、余弦、正切
正弦
（1）定义：在中，，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即；
（2）符号语言:在中,，.
2.余弦
（1）定义：在中，，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即；
（2）符号语言:在中,，.
3.正切
（1）定义：在中，，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即；
（2）符号语言:在中,，.
4.余切
（1）定义：在中，，锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即；
（2）符号语言:在中,，.
【考点二】特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示：
三角比的值 角度
【考点三】锐角三角函数的关系
在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系：
1）同角三角函数的关系：
① 平方关系：；
② 商数关系：.
2) 互余两角的三角函数关系：
① 互余关系：
sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值.
sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
② 倒数关系：
【考点四】解直角三角形
1.解直角三角形的概念
一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.
在直角三角形中,除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有一个是边),可求出其余的三个未知元素(知二求三)
一个直角三角形可解，则其面积和周长可求.但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积和周长
2.直角三角形中五个元素（除直角外的）之间的关系
如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，
三边之间的关系：.（勾股定理）
∠A＋∠B＝90°
边角之间的关系： ;;;
;;;.
3.解直角三角形的类型和解法
条件 解法步骤 图示
两 边 ①两直角边 由，求； ;
②斜边,一直角边（如） 由，求； ;
一 边 一 角 一直角边 和一锐角 ③锐角,邻边 如（） ；
④锐角,对边 如（） ；
⑤斜边,锐角 如（） ；
【考点五】仰角、俯角
视角：视线与水平线的夹角叫做视角．
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的.
易错点： 测量塔高时： 将仰角当作视线与地面的夹角 必须从水平线向上测量
【考点六】坡度、坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作.
坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角.
易错点： 混淆h与l的位置：把垂直高度当水平距离
【考点七】方位角、方向角
方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°
易错点： 将"北偏东60°"误认为"东偏北30°"
【考点八】解直角三角形实际应用的一般步骤
①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形.
③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
2.实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式
图形 关系式 图形 关系式
【题型一】特殊角的三角函数
◇典例1：
如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.计算：．
2.计算：．
【题型二】正切、正弦和余弦
◇典例2：
等腰三角形中， 分别是边上的中线，且 ，那么 ．
◆变式训练
1.如图，在中，，如果、分别是边，的中点，，的面积是，那么的正切值是 ．
2.如图，已知的三个顶点均在小正方形的方格顶点上，那么的值是 ．
【题型三】解直角三角形的相关计算
◇典例3：
在中，，点D、E分别在边上，且垂直平分．联结，如果，那么 ．
◆变式训练
1.如图，已知在中，高、相交于点，，，那么的长为 ．
2.为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形（如图1），米，米，斜坡的坡角为．计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2所示），坡面的宽度不变．
(1)求改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度；
(2)改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？
【题型四】坡度坡比问题
◇典例4：
如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点处送到离地面3米高的处，则物体从到所经过的路程为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．9米
◆变式训练
1.如图，一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用表示，沿着通道走米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高米，那么残疾人通道的坡度为 ．（结果保留根号的形式）
2.如图，某商场开业，要为一段楼梯铺上红地毯，已知楼梯高，坡面的坡度，则至少需要红地毯 m．

【题型五】仰角俯角问题
◇典例5：
如图，点是航拍飞机在某一高度时的位置，是地平线，，，是某大型建筑物的斜面．从点观测点的偏角是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，斜坡的长为7米，在斜坡的顶部D处有一棵高为3米的小树（点A、D、C在一直线上），，在坡底B处测得树的顶端A的仰角为，那么这个斜坡的坡度为 ．
2.如图，已知小河两岸各有一栋大楼与，由于小河阻碍无法直接测得大楼的高度．小普同学设计了如下的测量方案：将激光发射器分别置于地面点E和点F处，发射的两束光线都经过大楼顶端A，并分别投射到大楼最高一层的顶端C和其底部G处，并测得，，．（点D、B、E、F在同一水平线上）
(1)小普同学发现，根据现有数据就能测出大楼的高度，试求出大楼的高度；
(2)为了能测得大楼的高度，小普同学又获信息：这两栋大楼每层的高度都相同，大楼共有五层．据此信息能否测得大楼的高度？如果可以，试求出大楼的高度；如果不可以，说明理由．
（参考数据：，，，，，）
【题型六】解直角三角形与反比例函数综合
◇典例6：
如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线在第一象限分支交于点，过点作轴的平行线，交轴于点，．
(1)求点、的坐标；
(2)求的值；
(3)求的值．
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为．
(1)求直线的表达式；
(2)如果，求点的坐标．
【题型七】翻折问题
◇典例7：
如图，在中，，，，是上的动点，将沿翻折，如果点落到内（不包括边），那么的取值范围是 ．
◆变式训练
1.如图，在矩形中，，．点在边上，连接，将沿着翻折，点的对应点是点，连接．如果，那么点到的距离为 ．
一、单选题
1．（2025·广西·中考真题）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东深圳·中考真题）如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．（2025·吉林长春·中考真题）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
5．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·江苏南通·中考真题）在中，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．5
7．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·宁夏·中考真题）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（ ）
A．的长，的度数
B．的长，的度数
C．的长，的度数
D．的长，的度数
二、填空题
9．（2025·湖北武汉·中考真题）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面的处，测得处的俯角为，处的俯角为，则之间的距离是 m．（取）
10．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为 ．
11．（2025·江苏盐城·中考真题）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影 ．
12．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为 ．
三、解答题
13．（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：）
14．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内．
(1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）；
(2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，）
15．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】
如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为．
【问题解决】
(1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，）
(2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪）
一、单选题
1．的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
2．已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，若，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知梯子的长为米，，，则梯子顶端离地面的高度为（ ）米
A． B． C． D．
7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．4
8．如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若米，则树高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了50米，则此时该小车离水平面的垂直高度为（ ）
A．25米 B．米 C．米 D．米
10．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接，，．若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．小红沿坡比为的斜坡上走了米，则她实际上升了 米．
12．在中，若，则的度数为 ．
13．计算： ．
14．如图，点均在正方形网格的格点上，交于点，则 ．
15．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为 米．（结果保留根号）
16．如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则的值为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)
(2)
18．如图，在中，，，是边上的中线，．
(1)求的长．
(2)求的值．
19．如图，经过的两个顶点A，B，连接交于点D，且，．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的值．
20．凌霄塔是榆林古城“南塔北台中古城”格局的核心地标．小轩和几位同学准备利用所学的知识测量凌霄塔的高度．测量方法如下：小轩在点D处直立一根2米的标杆（），且发现A，E，C三点共线，经测量的长度为，．已知，，并且B，D，C三点在一条水平线上．请你根据以上信息，求出凌霄塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，）
21．如图，大连市的永丰塔建于辽代，“永丰夕照”是复州八景之首．某校九年级“数学活动”小组开展了“永丰塔高度的测量”综合与实践活动，采用如下方法：如图，先将无人机沿垂直上升至距塔所在地面的点，测得塔的顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得塔的顶端的俯角为．请根据测量数据，求永丰塔的高度．（结果精确到整数，参考数据：，，）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑