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专题 空心物体和混合物的密度计算（压轴题练习）
一．空心物体的密度计算（共11小题）
二．混合物的密度计算（共4小题）
一．空心物体的密度计算（共11小题）
1．体积和质量都相同的铜球、铁球和铝球。已知，则（　　）
A．铜球一定是实心的
B．铁球一定是实心的
C．铝球可能是空心的，另外两个球一定是空心的
D．三个球不可能都是空心的
2．有 两个空心小球分别由 、 的甲、乙两种材料制成，两小球质量分别为 和 ，体积之比为 ，两球空心部分体积相同，则下列说法正确的是（　　）
A． 球实心部分的体积小于 球实心部分的体积
B． 球空心部分的体积为
C． 球空心部分体积与总体积之比为
D．将两球空心部分都装满水后，两球总质量之比为
3．质量相等的铁球、铜球和铅球，其密度的大小关系是ρ铁＜ρ铜＜ρ铅，则下列说法正确的是（ ）
A．若铅球是空心的，则铁球和铜球一定是空心的
B．若三个球的体积相等，则铁球可能是实心的
C．若三个球的体积相等，则铅球空心部分体积最小
D．若三个球都是空心的，则空心都装满水时铅球的质量最大
4．（多选）用同种金属制成的甲、乙两种金属球，甲乙两球体积之比为；其中有一种是实心的，有一种是空心的。在调节好的天平左盘放3个甲球，在天平的右盘放5个乙球，天平恰好平衡，则下列说法正确的是（ ）
A．甲金属球是空心的
B．甲、乙两种金属球的质量之比为
C．空心的金属球中空心部分体积与整个球的体积之比为
D．空心的金属球中空心部分体积与整个球的体积之比为
5．现有 两个小球,分别由两种材料制成, 两小球质量之比为 ,体积之比为 . 下列说法正确的是（ ）
A．若只有一个球是空心的,则 球是空心的
B．若两球均是空心的, a 球的空心部分体积一定比 b 球的空心部分体积大
C．若只有一个球是空心的, 则空心球空心部分的体积与实心部分的体积之比为 1 : 6
D．若只有一个球是空心的, 将空心球的空心部分装上水, 则该球实心部分的质量与所加水的质量之比为 24 : 1
6．小明用密度比的两种材料，分别做成质量相等的a、b两个小球，测出它们的体积比，其中只有一个是空心的，则 球是空心的，空心球的空心部分体积是实心球体积的 倍。
7．A、B是同种材料制成的金属球，其中一个是空心的，A球质量96g，体积12cm3，B球质量104g，体积15cm3，则 （选填“A”或“B”）球是实心的，这种金属的密度是 kg/m3，将空心球的空心部分装满水后，该球的质量为 g。
8．有甲、乙两个由同种材料制成的金属球，它们的质量分别为400g、96g，体积分别为50cm3、15cm3。在甲、乙两个金属球中，若只有一个是空心的，那么这种材料的密度为 kg/m3，空心球空心部分的体积是 m3。
9．一个空心铜球质量为267g，在铜球的空心部分注满水后总质量为417g。（铜的密度）求：
(1)求这个铜球的空心部分的体积；
(2)将这个空心铜球装满密度为的液体，求装入的液体的质量；
(3)若在铜球的空心部分装入270g的金属颗粒后再注满水，总质量为587g，求注入的金属颗粒的密度。
10．周末，龙龙去龙南市的关西新围游玩时购买了一个小铁球。为了判断小铁球是实心的还是空心的，龙龙找来了一个质量为的空竹筒，装满水后竹筒的总质量为。他又把小铁球装进空竹筒中，测得竹筒的总质量为，然后在竹筒中装满水，测得竹筒、水和小铁球的总质量为。已知。
(1)求小铁球的质量；
(2)求竹筒的容积；
(3)请你通过计算判断小铁球是空心的还是实心的。
11．如图甲所示水平桌面上放有一个质量为200g，底面积为100cm2，高为20cm的薄壁圆柱形容器，容器内装有煤油，煤油深度为16cm。现将一个体积为500cm3空心铁质小球缓慢放入容器中，小球沉入容器底，部分煤油溢出，稳定后测得容器、容器内煤油和小球的总质量为2180g。（ρ铁=7.8g/cm3，ρ油=0.8g/cm3）求：
(1)溢出煤油的质量为多少g；
(2)铁质小球空心部分的体积为多少cm3；
(3)将小球的空心部分注满水，小球的平均密度为多少g/cm3。
二．混合物的密度计算（共4小题）
12．已知金属甲和金属乙的密度分别是ρ1、ρ2，取质量相等的金属甲和乙制成合金，若再取体积相等的金属甲和乙制成合金，这两种合金的密度分别是（　　）
A．ρlρ2、ρ1+ρ2
B．ρ1+ρ2、2ρ1ρ2（ρ1+ρ2）
C．、ρ1+ρ2
D．、
13．“玫瑰金”是一种黄金和铜的合金。小庆想买一件如图所示的玫瑰金工艺品送给他的朋友，商店的售货员告诉他们，这件合金工艺品是由金和铜两种金属混合而成的，其含金量为80%（金的质量占金和铜总质量的百分比）。小庆朋友对商店售货员的话表示怀疑，于是便让小庆进行验证。小庆利用所学的物理知识测出了这件工艺品的质量为900g，体积为（为方便计算，假设，）。则下列说法正确的是（　　）
A．按商店售货员的说法，这件工艺品的体积为
B．根据小庆的实验数据，这件工艺品的密度是
C．按商店售货员的说法，这件工艺品的密度是
D．根据小庆的实验数据，这件工艺品的含金量是70%
14．（多选）现有密度分别为ρ1、ρ2（）的两种液体，质量均为m0，某工厂要用它们按体积比1:1的比例配制一种混合液（设混合前后总体积不变），且使所得混合液的质量最大。则（　　）
A．这种混合液的密度为
B．这种混合液的体积为
C．这种混合液的体积为
D．这种混合液的质量为
15．查阅资料可知酒精度的含义是“表示酒中含酒精的体积百分比”，如酒精度“50%vol”的酒，表示100mL的酒中有酒精50mL。则酒精度“53%vol”的酒密度要比“50%vol”的酒 （选填“大”或“小”）。现有酒精度“60%vol”和酒精度“20%vol”的酒液若干，用酒精度“60%vol”和酒精度“20%vol”这两种酒液进行勾兑，获得了2000mL酒精度“52%vol”的酒液，则所用酒精度“60%vol”酒液的质量为 g。若勾兑后酒液的密度是，则该酒的度数为 度。（不考虑酒液混合后体积减少，酒液中的微量元素忽略不计，，）
答案与解析
一．空心物体的密度计算（共11小题）
二．混合物的密度计算（共4小题）
一．空心物体的密度计算（共11小题）
1．体积和质量都相同的铜球、铁球和铝球。已知，则（　　）
A．铜球一定是实心的
B．铁球一定是实心的
C．铝球可能是空心的，另外两个球一定是空心的
D．三个球不可能都是空心的
【答案】C
【详解】根据密度公式，质量相同时，密度越大的物质体积越小。已知，若三球均为实心，则体积关系应为。由题意知，三球体积相同，说明密度较大的铜球和铁球必须是空心的，铝球可能是实心或空心。故C符合题意，ABD不符合题意。
故选C。
2．有 两个空心小球分别由 、 的甲、乙两种材料制成，两小球质量分别为 和 ，体积之比为 ，两球空心部分体积相同，则下列说法正确的是（　　）
A． 球实心部分的体积小于 球实心部分的体积
B． 球空心部分的体积为
C． 球空心部分体积与总体积之比为
D．将两球空心部分都装满水后，两球总质量之比为
【答案】B
【详解】A．由可得，甲、乙两种材料的体积（即实心部分的体积）分别为、，所以a球实心部分的体积大于b球实心部分的体积，故A错误；
B．因为体积之比为，两球空心部分体积相同，即，则
解得a、b球空心部分的体积为，故B正确；
C．b球空心部分体积与总体积之比为，故C错误；
D．将两球空心部分都装满水后，水的质量为，则两球总质量之比为，故D错误。
故选B。
3．质量相等的铁球、铜球和铅球，其密度的大小关系是ρ铁＜ρ铜＜ρ铅，则下列说法正确的是（ ）
A．若铅球是空心的，则铁球和铜球一定是空心的
B．若三个球的体积相等，则铁球可能是实心的
C．若三个球的体积相等，则铅球空心部分体积最小
D．若三个球都是空心的，则空心都装满水时铅球的质量最大
【答案】B
【详解】ABC．若三球都是实心的，质量相等，根据密度公式可得，铁球体积，铜球体积，铅球体积。由ρ铁＜ρ铜＜ρ铅可得实心球材料的体积为V铁＞V铜＞V铅。若三个球的体积相等，则铅球和铜球一定是空心的，且铅球的空心部分体积最大。铁球可能是实心，也可能是空心。故AC错误，B正确；
D．若三个球都是空心的，且三球体积相等，则铅球空心体积最大，都装满水时铅球质量最大；若三球体积不相等，则无法判断，故D错误。
故选B。
4．（多选）用同种金属制成的甲、乙两种金属球，甲乙两球体积之比为；其中有一种是实心的，有一种是空心的。在调节好的天平左盘放3个甲球，在天平的右盘放5个乙球，天平恰好平衡，则下列说法正确的是（ ）
A．甲金属球是空心的
B．甲、乙两种金属球的质量之比为
C．空心的金属球中空心部分体积与整个球的体积之比为
D．空心的金属球中空心部分体积与整个球的体积之比为
【答案】ABD
【详解】由于甲、乙两种金属球是由同种金属制成，甲乙两球体积之比为；若两球都是实心球，根据可知，甲乙两球质量之比为2:1，根据题目条件“在调节好的天平左盘放3个甲球，在天平的右盘放5个乙球，天平恰好平衡”，可以得出3个甲球的质量等于5个乙球的质量，即3m甲 = 5m乙，即m甲 ：m乙=5：3
则说明甲球是空心的；由于甲球和乙球由同种金属制成且体积之比为2：1，设乙球的体积为V，则甲球的体积为，则乙球的质量 m乙= ，其中是金属的密度，甲球的质量 m甲 = ，其中 V实 是甲球的实心部分体积；由
可得
化简可得
所以甲球空心部分的体积
由此可得甲球空心部分体积与整个球的体积比为，故ABD正确，C错误。
故选ABD。
5．现有 两个小球,分别由两种材料制成, 两小球质量之比为 ,体积之比为 . 下列说法正确的是（ ）
A．若只有一个球是空心的,则 球是空心的
B．若两球均是空心的, a 球的空心部分体积一定比 b 球的空心部分体积大
C．若只有一个球是空心的, 则空心球空心部分的体积与实心部分的体积之比为 1 : 6
D．若只有一个球是空心的, 将空心球的空心部分装上水, 则该球实心部分的质量与所加水的质量之比为 24 : 1
【答案】C
【详解】由可得，a、b两种材料的体积之比（即实心部分的体积之比）
已知实际体积比Va∶Vb=7∶9（即 ），而实心体积比为。
因为，说明a球的实际体积大于实心体积，即a球是空心的，b球是实心的（若只有一个球空心 ）。
A．由上述分析，若只有一个球空心，是a球空心，b球实心，故A错误；
B．两球均空心时，空心体积
但因未知两球实际体积的具体数值，无法比较a、b空心部分体积大小，故B错误。
C．若只有a球空心，b球实心（Vb实=Vb）。 由Va实∶Vb实=2∶3
设Vb实=9V(因Vb=9V，b实心），则Va实=6V。a球实际体积Va=7V，所以a球空心体积
空心部分与实心部分体积比
故C正确。
D．a球实心部分质量
空心部分装水的质量
则
并非24∶1，故D错误。
故选C。
6．小明用密度比的两种材料，分别做成质量相等的a、b两个小球，测出它们的体积比，其中只有一个是空心的，则 球是空心的，空心球的空心部分体积是实心球体积的 倍。
【答案】 b 2
【详解】[1][2]由题意可知，，，故a、b两个实心球的体积之比为
又因为，所以a球是实心的，b球是空心的。
，
结合①可知，空心球的空心部分体积为
故空心球的空心部分体积是实心球体积的2倍。
7．A、B是同种材料制成的金属球，其中一个是空心的，A球质量96g，体积12cm3，B球质量104g，体积15cm3，则 （选填“A”或“B”）球是实心的，这种金属的密度是 kg/m3，将空心球的空心部分装满水后，该球的质量为 g。
【答案】 A 106/
【解析】【小题1】[1][2][3]根据可得，A、B球的平均密度分别为
显然，所以A球是实心的，B球是空心的，这种金属的密度即A球的密度为
B球中金属的体积即实心部分体积
所以空心的体积
空心部分装满水后，水的质量
所以总质量为
8．有甲、乙两个由同种材料制成的金属球，它们的质量分别为400g、96g，体积分别为50cm3、15cm3。在甲、乙两个金属球中，若只有一个是空心的，那么这种材料的密度为 kg/m3，空心球空心部分的体积是 m3。
【答案】
【详解】[1]甲球的密度为
乙球的密度为
因为是同种材料制成的甲、乙两金属球，实心金属球的密度大于空心金属球的密度，所以，乙球是空心的，材料密度等于甲的密度，即这种材料的密度为
[2]乙球中金属的体积为
空心球空心部分的体积为
9．一个空心铜球质量为267g，在铜球的空心部分注满水后总质量为417g。（铜的密度）求：
(1)求这个铜球的空心部分的体积；
(2)将这个空心铜球装满密度为的液体，求装入的液体的质量；
(3)若在铜球的空心部分装入270g的金属颗粒后再注满水，总质量为587g，求注入的金属颗粒的密度。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）注入水的质量
空心部分体积
（2）液体的质量
（3）注入水的质量
水的体积
金属颗粒体积
金属密度
10．周末，龙龙去龙南市的关西新围游玩时购买了一个小铁球。为了判断小铁球是实心的还是空心的，龙龙找来了一个质量为的空竹筒，装满水后竹筒的总质量为。他又把小铁球装进空竹筒中，测得竹筒的总质量为，然后在竹筒中装满水，测得竹筒、水和小铁球的总质量为。已知。
(1)求小铁球的质量；
(2)求竹筒的容积；
(3)请你通过计算判断小铁球是空心的还是实心的。
【答案】(1)800g
(2)500cm3
(3)小铁球是空心的
【详解】（1）小铁球的质量：
空竹筒质量为
装入铁球后总质量为
则铁球质量为
（2）竹筒的容积：
装满水时总质量
水的质量
水的体积（即竹筒容积）为
（3）判断铁球是否空心：
装入铁球后再次装满水的总质量
此时水的质量
水的体积为
铁球的体积为
若铁球实心，其理论体积应为
因，故铁球为空心的。
11．如图甲所示水平桌面上放有一个质量为200g，底面积为100cm2，高为20cm的薄壁圆柱形容器，容器内装有煤油，煤油深度为16cm。现将一个体积为500cm3空心铁质小球缓慢放入容器中，小球沉入容器底，部分煤油溢出，稳定后测得容器、容器内煤油和小球的总质量为2180g。（ρ铁=7.8g/cm3，ρ油=0.8g/cm3）求：
(1)溢出煤油的质量为多少g；
(2)铁质小球空心部分的体积为多少cm3；
(3)将小球的空心部分注满水，小球的平均密度为多少g/cm3。
【答案】(1)80g
(2)400cm3
(3)2.36g/cm3
【详解】（1）铁质小球缓慢放入容器中，沉入容器底，小球排开煤油的体积为，已知容器底面积为，排开的煤油使液面上升的高度是
容器内原有煤油深度，放入铁球后液面高度应为
薄壁圆柱形容器高，所以溢出煤油高度
溢出煤油的体积为
溢出煤油的质量为
（2）容器内原有煤油的质量为
已知溢出油后测得总质量，铁质小球的质量
由密度公式可得实心铁质小球的体积
已知，铁质小球空心部分的体积
（3）将空心小球的空心部分注满水，水的质量为
小球的总质量为
小球的平均密度为
二．混合物的密度计算（共4小题）
12．已知金属甲和金属乙的密度分别是ρ1、ρ2，取质量相等的金属甲和乙制成合金，若再取体积相等的金属甲和乙制成合金，这两种合金的密度分别是（　　）
A．ρlρ2、ρ1+ρ2
B．ρ1+ρ2、2ρ1ρ2（ρ1+ρ2）
C．、ρ1+ρ2
D．、
【答案】D
【详解】AB．已知甲、乙两金属块的质量均为，由可知，金属甲的体积；金属乙的体积；合金的体积为
合金球的质量为，则合金球的密度为
故AB不符合题意；
CD．再取体积相等的金属甲和乙制成合金，其体积分别为，根据知，总质量为，总体积为；则密度为
故C不符合题意，D符合题意。
故选D。
13．“玫瑰金”是一种黄金和铜的合金。小庆想买一件如图所示的玫瑰金工艺品送给他的朋友，商店的售货员告诉他们，这件合金工艺品是由金和铜两种金属混合而成的，其含金量为80%（金的质量占金和铜总质量的百分比）。小庆朋友对商店售货员的话表示怀疑，于是便让小庆进行验证。小庆利用所学的物理知识测出了这件工艺品的质量为900g，体积为（为方便计算，假设，）。则下列说法正确的是（　　）
A．按商店售货员的说法，这件工艺品的体积为
B．根据小庆的实验数据，这件工艺品的密度是
C．按商店售货员的说法，这件工艺品的密度是
D．根据小庆的实验数据，这件工艺品的含金量是70%
【答案】A
【详解】A．按商店售货员的说法，其含金量为80%，则金的质量为
铜的质量为
根据可得，这件工艺品所含铜的体积为
这件工艺品所含金的体积为
这件工艺品的体积为
故A正确；
B．根据小庆的实验数据，由可得，这件工艺品的密度是
故B错误；
C．按商店售货员的说法，由可得，这件工艺品的密度是
故C错误；
D．根据小庆的实验数据，假设金的质量为m金1，则铜的质量为，则总体积为
解得m金1=648g，则这件工艺品的含金量是
故D错误。
故选A。
14．（多选）现有密度分别为ρ1、ρ2（）的两种液体，质量均为m0，某工厂要用它们按体积比1:1的比例配制一种混合液（设混合前后总体积不变），且使所得混合液的质量最大。则（　　）
A．这种混合液的密度为
B．这种混合液的体积为
C．这种混合液的体积为
D．这种混合液的质量为
【答案】ABD
【详解】A．假设所取两种液体的体积均为V，则混合液体的体积为2V，所取两种液体的质量分别为，，则混合液体的质量为
混合液体的密度为
故A符合题意；
BCD．因为，，m0一定，由可知，，即质量相等的两种液体，密度较大的液体的体积较小；要使混合液质量最大，且是等体积混合，则密度为的液体全部用完，密度为的液体有剩余，则这种混合液的体积为
密度为ρ1的液体用去的质量
液体的最大质量
故BD符合题意，C不符合题意。
故选ABD。
15．查阅资料可知酒精度的含义是“表示酒中含酒精的体积百分比”，如酒精度“50%vol”的酒，表示100mL的酒中有酒精50mL。则酒精度“53%vol”的酒密度要比“50%vol”的酒 （选填“大”或“小”）。现有酒精度“60%vol”和酒精度“20%vol”的酒液若干，用酒精度“60%vol”和酒精度“20%vol”这两种酒液进行勾兑，获得了2000mL酒精度“52%vol”的酒液，则所用酒精度“60%vol”酒液的质量为 g。若勾兑后酒液的密度是，则该酒的度数为 度。（不考虑酒液混合后体积减少，酒液中的微量元素忽略不计，，）
【答案】 小 1408 45
【详解】[1]若酒的体积相同，酒精度“53%vol”的酒要比“50%vol”的酒含有酒精的体积更多，则含有的水更少，因为酒精的小于水，则酒精度“53%vol”的酒质量要比“50%vol”的酒小，则酒精度“53%vol”的酒密度要比“50%vol”的酒小。
[2]设勾兑2000mL52度的酒精，需要60度酒液的体积为V酒液，则需要20度酒液的体积为2000mL-V酒液，据题意可得，该酒液中酒精的体积
解得，60度酒液的体积
V酒液=1600mL=1600cm3
此酒液中水的体积
V60水=V酒液-V60酒=1600cm3-1600cm3×60%=640cm3
水的质量
酒精的质量
所用60度酒液的质量
[3]若勾兑后酒液的密度是，设该酒中酒精的体积为V酒，水的体积为V水，则勾兑后酒液的密度
解得，则该酒含酒精的体积百分比
则该酒的度数为45度。
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