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第二十六章 反比例函数 章末综合检测试题 2025-2026学年
下学期初中数学人教版九年级下册期末复习
一、单选题
1．点在反比例函数的图象上，则“▲”的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点，都在反比例函数的图象上，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列关于反比例函数的说法中，正确的是（ ）
A．图象在第一、三象限
B．比例系数为
C．当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大
D．如果点和点在该函数的图象上，那么
4．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作轴，取中点，点在轴上，连接、，的面积为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．固体糖溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，轴表示糖水质量，轴表示含糖浓度（瓶中糖固体质量与糖水质量的比值），其中乙、丁两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含糖固体质量最多的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．如图，的直角顶点A在y轴上，点B的坐标为，将向右平移得到，反比例函数的图像经过点C和的中点F，则k的值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
7．为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强（）是气体体积（）的反比例函数，其图像如图所示．则下列说法中错误的是（ ）

A．这一函数的表达式为
B．当气体体积为40时，气体的压强值为150
C．当温度不变时，注射器里气体的压强随着气体体积增大而减小
D．若注射器内气体的压强不能超过400，则其体积不能超过15
8．函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图在平面直角坐标系中，点、点在反比例函数的图象上．过点作．轴于点，点作轴于点，若，且的面积为12，则的值是（ ）
A．12 B．16 C．18 D．24
10．如图，点A，B在x轴正半轴上（点B在点A的右侧），，分别以，为直角边作等腰直角三角形，等腰直角三角形，反比例函数的图象经过的中点E，与边交于点F，作轴于点M，轴于点N．若阴影部分（四边形）的面积等于，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
11．如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点B，C，若的面积为8，则的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．如图是函数和在第一象限内的图象，点是的图象上一动点，轴于点轴于点，分别交的图象于点，点，连接．给出下面结论：

①与的面积相等；②与始终相等；③的面积大小不会发生变化；④．其中正确结论的序号是（）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
二、填空题
13．若点在反比例函数的图象上，则 n．（填“＞”“<”或“=”）
14．在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的直角顶点在原点，斜边轴交轴于点，经过顶点的反比例函数解析式为，若，则经过顶点的反比例函数解析式为 ．
16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，则的值为 ．
三、解答题
17．已知，与成正比例，与成反比例，且时，；时，．求与之间的函数关系式．
18．已知直线与双曲线相交于点，求反比例函数的解析式．
19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第三象限内交于点，与x轴交于点B，且横坐标为3．
(1)请自接写出k，n的值．
(2)若C为第一象限内反比例函数图象上一点，且点C的纵坐标为4，连接，求的面积．
20．某校举行田径运动会，学校准备了一些气球，某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少
(3)请你利用p与V的表达式解释，为什么超载的车辆容易爆胎．
21．如图，反比例函数和的图象如图所示，点是x轴正半轴上一动点，过点C作x轴的垂线，分别与和的图象交于点．
(1)当时，线段，求两点的坐标及的值．
(2)小伟同学提出了一个猜想：“当k值一定时，的面积随a值的增大而减小．”你认为他的猜想对吗？请说明理由．
22．如图，直线与轴交于点，且与双曲线交于、两点，已知点，为等腰直角三角形，，．
(1)①求双曲线解析式；
②求点的坐标．
(2)观察图象，不等式的解集为_____．
23．为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题：
(1)求药物燃烧时y与x的函数关系式；
(2)求药物燃烧后y与x的函数关系式；
(3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象相交于，两点，过点作轴，过点作轴，与相交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若直线与轴相交于点，点是反比例函数（）上一点，连接，，若的面积等于的面积，求点的坐标．
25．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，且与轴，轴分别交于点，．
(1)直接写出的值；
(2)结合图象，直接写出时的取值范围；
(3)点在线段上，过点作轴的垂线，交反比例函数图象于点，若，求点的坐标．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D B C C D C B D
题号 11 12
答案 C D
1．B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把代入函数解析式即可求解，正确计算是解题的关键．
【详解】解：当时，，
∴“▲”的值为，
故选：．
2．D
【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴反比例函数的图象过二，四象限，
∵点，都在反比例函数的图象上，且，
∴；
故选D．
3．D
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据的符号，结合反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，比例系数为，故选项B错误，不符合题意；
∴图象在第二、四象限，故选项A错误，不符合题意；
在每一个象限内，随着的增大而增大，故选项C错误，不符合题意；
如果点和点在该函数的图象上，那么；故选项D正确，符合题意；
故选D．
4．B
【分析】本题主要考查反比例函数与三角形的综合，比例系数的几何意义，连接，由轴，则，故有，又为中点，则，所以，再根据比例系数的几何意义即可求解，掌握反比例函数图象的性质，三角形的面积计算方法是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵轴，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∵点在函数的图象上，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
5．C
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，发现的值即为糖水中含糖固体质量成为解题的关键．
根据题意可知，的值即为糖水中含糖固体质量，再根据图象即可确定甲瓶糖水中含糖固体质量最少，丙瓶糖水中含糖固体质量最多，乙、丁两瓶糖水中含糖固体质量相同解题即可．
【详解】解：根据题意，可知的值即为糖水中含糖固体质量，
∵描述乙、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两瓶糖水中含糖固体质量相同，
∵点甲在反比例函数图象下面，点丙在反比例函数图象上面，
∴甲瓶的的值最小，即糖水中含糖固体质量最少，丙瓶的的值最大，即糖水中含糖固体质量最多．
故选∶C．
6．C
【分析】本题考查了反比例函数图象中点的坐标特征，平移的性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
设平移距离为a，如下图，分别表示出点C、F坐标，利用k的几何意义即可求解．
【详解】解：设平移距离为a，为平移后的图形，
则
又∵点F是中点
∴
∵点C、F在图像上，
∴
解得
∴
故选：C．
7．D
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键．利用待定系数法解得函数解析式，即可判断选项A；将代入函数解析式并求解，即可判断选项B；由函数图像的增减性，即可判断选项C；求得当时气体体积的值，结合函数图像即可判断选项D．
【详解】解：A．设，由题意知，
所以，即，故该选项正确，不符合题意；
B．当时，，
所以，气球内气体的气压是，故该选项正确，不符合题意；
C．由函数图像可知，气体的压强随着气体体积增大而减小，可知该选项正确，不符合题意；
D．当时，，
所以，为了安全起见，气体的体积应不小于，故该选项错误，符合题意；
故选：D．
8．C
【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数图象的综合判断，根据二次函数图象和性质得到的取值范围，再判断反比例函数的图象，即可得到答案．
【详解】解：A. 由的图象可知，，，则，得到，的图象应该分别在二、四象限，故选项错误，不符合题意；
B.由可知，图象必过原点，选项中的二次数图象不经过原点，故选项错误，不合题意；
C. 由的图象可知，，，则，得到，的图象分别在一、三象限，故选项正确，符合题意；
D. 由的图象可知，，，则，得到，则的图象应该分别在一、三象限，但选项中的反比例函数图象分别位于二、四象限，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
9．B
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，图象点的坐标特征．延长交于点E，已知，表示出各点坐标，根据的面积为12，列出方程，求出k．
【详解】解：延长交于点E．
∵，点A、点B在反比例函数的图象上，
∴．
∴，
∵的面积为，的面积为，的面积为，
∴，
解得，，
∵函数图象在第一象限，，负数舍去，
∴．
故选：B．
10．D
【分析】本题考查反比例函数的图像上点的特征，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，设，得以得到点，然后可以得到，然后得到点F的坐标，根据阴影部分的面积求出值即可解题．
【详解】解：设，
∵，
∴．
∵三角形，三角形是等腰直角三角形，
∴．
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵阴影部分的面积等于，
∴，
∴，
∴，
∴，解得，
∴．
故选D．
11．C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．
如图，过C作轴于D，交于E．由是等腰直角三角形得到，设，则，设，则，，反比例函数的图象过点B，C，则，解得，则，再根据即可求解．
【详解】解：如图，过C作轴于D，交于E．
∵轴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
设，则，，
∵反比例函数的图象过点B，C，
∴，
解得，则，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
12．D
【分析】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数的几何意义是解答此题的关键．由于、是反比函数上的点，可得出，可判断①；当点的横坐标与纵坐标相等时，，可判断②；根据反比例函数系数的几何意义可求出的面积为定值，可判断③；连接，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论，可判断④．
【详解】解：、是反比函数上的点，
，故①正确；
依题意得：四边形为矩形，
只有当时，，
即当点的横坐标与纵坐标相等时，，故②错误；
是反比例函数上的点，
可设，
四边形为矩形，
，
点P与点A横坐标相等，点P与点B纵坐标相等，
点，点在的图象上，
，
，
，故③正确；
连接，
，
，，
，
同理可得，
，即，故④正确．
故选：D
13．
【分析】本题主要考查了反比函数的图象和性质．根据反比例函数的图象和性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴比例函数的图象位于第一、三象限内，且在每一象限内y随x的增大而减少，
∵点在反比例函数的图象上，
∴．
故答案为：
14．1
【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，分式化简求值．熟练掌握一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．把分别代入与，得，，再计算，然后整体代入计算即可．
【详解】解：把分别代入与，得
，，
∴，，
∴．
故答案为：1．
15．
【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，熟练掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键．根据反比例函数中的几何意义，可得，再根据，可知，最后再根据反比例函数中的几何意义，即可得到答案．
【详解】解：设经过顶点的反比例函数解析式为 (k为常数，)．
斜边轴交轴于点，
点的纵坐标相等．
．
．
，
．
．
．
则经过顶点的反比例函数解析式为．
故答案为： ．
16．
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，掌握一次函数与坐标轴的交点，几何图形面积的计算得到是解题的关键．
根据一次函数与坐标轴的交点的计算可得，由此勾股定理可得，根据三角形面积的计算可得，代入一次函数即可求解．
【详解】解：一次函数的图象与轴交于点，
∴令，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵过点作轴，
∴点的纵坐标为，
∵，
∴，
∴，
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
∴在一次函数中，
解得，，
故答案为： ．
17．
【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数、正比例函数的解析式，解题的关键是能熟练地利用性质进行计算．
设，，设，根据已知得到，把，和，代入即可求出、的值，即可得到答案．
【详解】解：与成正比例，设，
与成反比例，设，
∴，
把，和，代入得：
，
解得：，
∴，
答：与之间的函数关系式是．
18．
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键．先根据一次函数的解析式可得点的坐标，再利用待定系数法求解即可得．
【详解】解：由题意，将点代入一次函数得：，
则点的坐标为，
将点代入反比例函数得：，
所以反比例函数的解析式为．
19．(1)，
(2)
【分析】（1）把代入得到，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）先根据反比例函数求得点的坐标，作轴交直线于点，于点F，求得，，即可求得的面积．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积计算等知识．
【详解】（1）解：把代入得到
解得．
∴一次函数的解析式为
把代入反比例函数得到，
，
反比例函数为；
（2）解：∵点C的纵坐标为4且在反比例函数的图象上，
∴，
解得
∴点C的坐标为
作轴交直线于点，于点F，
∴点的横坐标为，
∴
∴
20．(1)
(2)气体的体积应不小于
(3)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎
【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）根据反比例函数的增减性解题即可；
（3）根据实际情况分析解答即可．
【详解】（1）解：设函数表达式为，
根据图象，得，
所以，函数的表达式为．
（2）解：当时，，
∵，
∴p随V的增大而减小．
∴要使气球不会爆炸，．
∴气体的体积应不小于．
（3）解：由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
21．(1)，，
(2)不正确，理由见解析
【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，三角形面积，一次函数的性质等知识点，其中理解反比例函数k的几何意义是解题的关键．
（1）由题意可知，点C的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，再将代入计算即可求解．
（2）根据题意列出的关系式，再根据公式代入化简即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意可知，点C的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为
当时，点的坐标为
点的坐标为，
，
，
点的坐标为，
．
（2）解：不正确．理由：由题意可知，
值一定．
的面积一定，
小明的猜想不正确．
22．(1)①；②点的坐标为
(2)或
【分析】本题考查求反比例函数的解析式、坐标与图形性质、反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练掌握反比例函数的图象与性质，利用数形结合思想求解不等式的解集是解答的关键．
（1）①利用待定系数法求函数解析式；
②根据全等三角形的判定和性质求得A点坐标，再根据函数图象求解即可；
（2）利用图象，求得直线位于双曲线的下方部分的点的横坐标的取值范围即可．
【详解】（1）解：①把点代入中，可得，
解得，
∴双曲线的解析式为；
②过点C作轴，交x轴于点N，过点A作，垂足为G
∴
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴
∴，
∵，，
∴，，
∴
∴，
把，代入中，可得，
解得
∴一次函数解析式为，
当时，，解得，
∴点的坐标为；
（2）解：由图可得不等式的解集为或．
23．(1)
(2)
(3)对病毒有作用的时间长为分钟
【分析】本题考查反比例函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（3）根据题意列不等式组，求出不等式组的解集即可解题．
【详解】（1）
解：设药物燃烧时的函数解析式为，
由题意得：，解得：，
燃烧时的函数关系式为；
（2）
解：设燃烧后函数解析式为，
由题意得：，解得：，
燃烧后的函数关系式为；
（3）
解：由题意得： 解得：，
（分钟），
答：对病毒有作用的时间长为分钟．
24．(1)，（）
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合知识点，解题的关键是熟练运用待定系数法求出函数解析式，以及利用三角形面积公式建立等式求解点的坐标．
（1）已知反比例函数图象过点，将点坐标代入反比例函数中，可求出的值，进而得到反比例函数解析式．再把点代入已求出的反比例函数解析式，求出点坐标．最后将，两点坐标代入一次函数，通过解方程组得到一次函数的k，b的值，从而确定一次函数解析式．
（2）先求出直线与轴交点的坐标，再根据已知条件求出点坐标为．设点坐标为，利用三角形面积公式，根据的面积等于的面积列出方程，求解得出点坐标．
【详解】（1）反比例函数（）经过点，
将点代入中得，，
反比例函数解析式为（），
的图象经过点，
，点坐标为，
将，两点代入中得，
解得，
一次函数解析式为
（2）对于函数，令，得，
解得，
，
，，轴，轴，
点坐标为，
，，，
，
点是反比例函数（）上一点，
可设点坐标为，
，
解得，
点坐标为．
25．(1)，，
(2)或
(3)
【分析】（1）根据点，先确定反比例函数解析式，再根据反比例函数解析式确定点，最后代入确定一次函数的解析式计算即可 ；
（2）根据图象交点坐标为，点，结合，利用交点的横坐标，直接写出解集即可；
（3）根据题意，设，则，故，解答即可．
【详解】（1）解：将点代入反比例函数
得
在的图象上
直线AB的函数解析式为
根据题意，可得
解得
直线解析式为
（2）解：根据（1）得图象交点坐标为
或
（3）解：根据题意，设，则
故
整理，得
解得
故点的坐标为
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、图象交点的意义、根据图象求不等式的解集、解一元二次方程、一次函数以及反比例函数的解析式，求出函数解析式是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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