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(共48张PPT)
第一章 三角形的证明
1　三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理的证明
课堂引入 探究与应用 课堂小结与检测
问题：
我们知道,三角形三个内角的和等于180°.
你还记得这个结论的探索过程吗
课堂引入
【探究】三角形内角和定理的证明
探究与应用
(1)如图,如果只把∠A移动到∠1的位置,那么你能说明这个结论吗
解：∵∠A=∠1,
∴AB//直线b，
∴∠B=∠2,
∵∠ACB+∠1+∠2=
∴∠ACB+∠A+∠B=.
如果不移动∠A,那么你还有什么方法可以达到同样的效果
【尝试·交流】
【探究】三角形内角和定理的证明
探究与应用
【尝试·交流】
(2)你能说说这个结论的证明思路吗 请试着写出证明过程,并与同伴进行交流.
已知:如图,ABC.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
证明:如图,延长BC到D,过点C作射线CE,使CE∥BA,
则∠1=∠A,∠2=∠B.
∵点B,C,D在同一条直线上,
∴∠1+∠2+∠ACB=180°,
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
这时的CD,CE称为
辅助线，辅助线通常画成虚线.
【探究】三角形内角和定理的证明
【概括新知】
三角形内角和定理:
三角形三个内角的和等于180°.
探究与应用
【应用】
例　如图,在 ABC中,∠B=38°,∠C=62°,AD是 ABC的角平分线,
求∠ADB的度数.
解:在ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理).
∵∠B=38°,∠C=62°,
∴∠BAC=180°-38°-62°=80°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40°.
在ADB中,
∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理).
∵∠B=38°,∠BAD=40°,
∴∠ADB=180°-38°-40°=102°.
探究与应用
变式训练
1.如图,ABC的角平分线AD交BC于点D,∠1=∠B,∠C=54°,则∠BAC的度数是　　　　.
探究与应用
变式训练
探究与应用
2.如图,在ABC中,BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,∠A=65°.求∠F的度数.
解：∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠FBC=∠ABC，∠BCF=∠ACB，
又∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∠A=65°，
∴∠ABC+∠ACB=115°，
∴∠FBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=57.5°，
又∵∠FBC+∠FCB+∠F=180°，
∴∠F=180°-（∠FBC+∠FCB）=180°-57.5°=122.5°．
【尝试·思考】
探究与应用
我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论,你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗
证明:∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°),
∴∠C=180°-∠A-∠B.
同理,∠C'=180°-∠A'-∠B'.
∵∠A=∠A',∠B=∠B',
∴∠C=∠C'.
在ABC和A'B'C'中,
∵∠B=∠B',BC=B'C',∠C=∠C'.
∴ABCA'B'C'(ASA).
已知:如图,∠A=∠A',∠B=∠B',BC=B'C'.
求证:ABCA'B'C'.
探究与应用
【归纳】
1.定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(AAS)
2.根据全等三角形的定义,我们可以得到:全等三角形的对应边相等、对应角相等.
【拓展提升】
1.已知:如图,AB∥CD,点E在AC上.求证:∠CAB=∠CED+∠CDE.
探究与应用
证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB+∠C=180°，
在ECD中，∠CED+∠CDE+∠C=180°，
∴∠CAB=∠CED+∠CDE．
【拓展提升】
2.已知:如图,在ABC中,∠A=75°,∠B=50°,将∠C折起,点C落在ABC内部,已知∠1=20°,求∠2的大小.
探究与应用
解：∵∠A=75°，∠B=50°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-50°=55°，
∴∠CED+∠CDE=180°-∠C=180°-55°=125°
由折叠性质可得∠CED=∠C'ED，∠CDE=∠C'DE，
∵∠1=180°-∠CDE-∠C'DE=180°-2∠CDE
∠2=180°-∠CED-∠C'ED=180°-2∠CED
∴∠1+∠2=360°-2(∠CED+∠CDE)=360°-250°=110°，
又∵∠1=20°，∴∠2=90°．
达标测评
1.如图,α+β= (　　)
A.180° B.140° C.100° D.70°
2.若一个三角形的三个内角度数的比为2∶3∶4,则这个三角形是 (　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
3.如图,ABC中,ED∥AC,∠B=55°,∠DEB=90°,则∠A的度数为　　　　.
B
A
课堂小结与检测
达标测评
4.如图,在ABC中,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC于点E,若∠B=42°,∠C=58°.求∠ADE及∠ADC的度数..
课堂小结与检测
解：∵∠B=42°，∠C=58°，
∴∠BAC=180°-42°-58°=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC=40°，
∴∠ADC=180°-∠DAC-∠C=180°-40°-58°=82°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=90°-∠DAC=50°．
第一章 三角形的证明
1　三角形内角和定理
第2课时 三角形内角和的推论
探究与应用 课堂小结与检测
【探究】三角形内角和定理的推论
探究与应用
【启发思考】
ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角,称为ABC的外角.如图,∠1是ABC的一个外角.你能在图中画出ABC的其他外角吗
解：如图，其他的外角有：∠5、∠6、∠7、∠8、∠9
【探究】三角形内角和定理的推论
探究与应用
【归纳】
与三角形的每个内角相邻有两个外角,这两个外角是对顶角;
三角形一共有6个外角.
【探究】三角形内角和定理的推论
探究与应用
【思考·交流】 观察下图,∠1与其他角有什么关系 请证明你的结论,并与同伴进行交流.
解：如图
∵∠1(外角)+∠4(相邻的内角)=180°
∴∠1=180°-∠4
又∵∠2+∠3+∠4=180°.
∴∠2+∠3=180°-∠4.
∴∠1=∠2+∠3.
【探究】三角形内角和定理的推论
【概括新知】
三角形内角和的推论:
(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
探究与应用
【应用】
例1　(教材例2)已知:如图,在ABC中,∠B=∠C,AD平分外角∠EAC.
求证:AD∥BC.
证明:∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
∠B=∠C.
∴∠C=∠EAC.
∵AD平分∠EAC,
∴∠DAC=∠EAC,
∴∠DAC=∠C.
∴AD∥BC.
探究与应用
只要具备什么条件,就能说明AD∥BC
【应用】
例2　(教材例3)已知:如图,P是ABC内一点,连接PB,PC.
求证:∠BPC>∠A.
证明:如图,延长BP,交AC于点D.
∵∠BPC是PDC的一个外角(外角的定义),
∴∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
∵∠PDC是ABD的一个外角(外角的定义),
∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)
∴∠BPC>∠A.
探究与应用
你学过哪些关于角的不等关系的定理 这里能直接使用吗 你遇到的困难是什么 你能通过添加辅助线,构造出直接使用相关定理的图形吗
D
变式训练
1.如图1,∠1,∠2,∠3的大小关系是　　 　　　.
图1 图2 图3
2.如图2,∠ACD是ABC的一个外角,CE平分∠ACD.若∠A=60°,∠B=40°,则∠DCE的大小是　　　　°.
3.如图3,DE⊥AB于点E,∠A=25°,∠D=35°,则∠ACB的度数为　　　　.
探究与应用
∠3>∠2>∠1
50
达标测评
1.如图1，ABC的外角∠DAC=100°,∠B=60°,则∠C= (　　)
A.60° B.50° C.45° D.40°
图1 图2
2.如图2,小明同学利用课间跟同桌玩拼接三角板游戏的时候,将一副三角板按如图所示的位置摆放,则∠1的度数为 (　　)
A.95° B.75° C.105° D.115°
D
C
课堂小结与检测
达标测评
3.如图,在ABC中,∠B=40°,AE是∠BAC的平分线,外角∠ACD=110°,
求∠AEC的度数.
课堂小结与检测
解：∵∠ACD是ABC的外角，
∴∠ACD=∠B+∠BAC，
∵∠B=40°，∠ACD=110°，
∴∠BAC=70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=35°，
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=75°
达标测评
4.已知:如图,∠ACE是ABC的一个外角,CP平分∠ACE,且与BA的延长线交于点P. 求证:∠BAC>∠B.
课堂小结与检测
证明：∵CP平分∠ACE，
∴∠PCE=∠PCA
∵∠PCE＞∠B，∠BAC＞∠PCA，
∴∠BAC＞∠B．
第一章 三角形的证明
1　三角形内角和定理
第3课时 多边形的内角和
课堂引入 探究与应用 课堂小结与检测
小明和小亮经常到如图所示的广场进行体育锻炼.这个广场中心的边缘是一个五边形.你能设法求出它的五个内角的和吗 与同伴进行交流.
课堂引入
【探究1】多边形内角和
探究与应用
【操作交流】
小明、小亮分别利用图中的图形求
出了五边形的五个内角的和,你知道他们
是怎么做的吗 你还有其他的方法吗
解:小明:连接多边形的一个顶点与不相邻的顶点,把五边形分成三个三角形,
可得五边形内角和=3×180°=540°;
小亮:在五边形内部取一点,与五边形各顶点相连,把五边形分成五个三角形,
可得五边形内角和=5×180°-360°=540°;
还可以在五边形边上取一点(除五边形的顶点外),连接与其不相邻的顶点,
可得五边形内角和=4×180°-180°=540°
【探究1】多边形内角和
探究与应用
【尝试·思考】
(1)按照上面图(1)的方法,六边形能分成多少个三角形 n(n是大于或等于3的自然数)边形呢 你能确定n边形的内角和吗
(2)按照图(2)的方法再试一试.
解：按照图(1)的方法,可把六边形分成4个三角形,
n边形能分成(n-2)个三角形,从而得到n边形的内角和=(n-2)·180°;
按照图(2)的方法,可把六边形分成6个三角形,n边形能分成n个三角形,
从而得到n边形的内角和=180°n-360°,也就是(n-2)·180°.
【探究1】多边形内角和
探究与应用
【概括新知】
定理:n边形的内角和是(n-2)·180°
从n边形的一个顶点可以引出(n-3)条对角线,把n边形分成(n-2)个三角形.从而得出:n边形的内角和是(n-2)·180°.
【探究】多边形内角和
探究与应用
【应用】
例　(教材例1)如图,四边形ABCD中,∠A+∠C=180°,∠B与∠D有怎样的关系
解:∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°,
∴∠B+∠D
=360°-(∠A+∠C)
=360°-180°
=180°
【探究2】正多边形的内角
探究与应用
【操作·思考】
(1)正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形的每个内角分别是多少度
(2)怎样计算正多边形每个内角的度数
（1）解：正三角形的每个内角为：180°÷3=60°；
正方形的每个内角为：360°÷4=90°；
正五边形的每个内角为：（5-2）×180°÷5=108°；
正六边形的每个内角为：（6-2）×180°÷6=120°；
正八边形的每个内角为：（8-2）×180°÷8=135°．
（2）正多边形每个内角的度数=内角和除以边数
【探究3】剪掉一个角后的图形的内角和
探究与应用
【思考·交流】
剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩下的纸片是几边形？它的内角和是多少度？
与同伴进行交流.
解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，
也可能减少了1条，或者不变，
当截线为经过长方形对角2个顶点的直线时，
剩余图形为三角形，内角和为180°；
当截线为经过长方形一组对边的直线时，
剩余图形是四边形，内角和360°；
当截线为只经过长方形一组邻边的一条直线时，
剩余图形是五边形，内角和为540°．
【拓展提升】
1.一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为720°,那么原多边形的边数为 (　　)
A.5 B.5或6 C.5或7 D.5或6或7
2.如图,在四边形ABCD中,∠A=45°.直线l与边AB,AD分别相交于点M,N,则∠1+∠2=　　 .
探究与应用
D
达标测评
1.一个多边形的边数是10,这个多边形的内角和是 (　　)
A.1800°　　B.1440°　　C.1980°　　D.540°
2.一个多边形的内角和等于1800°,则它的边数是 (　　)
A.5 B.6 C.8 D.12
3.在四边形ABCD中,∠A,∠B,∠C,∠D的度数比为1∶3∶3∶5,则∠D= (　 )
A.20° B.90° C.130° D.150°
B
D
课堂小结与检测
D
达标测评
4.一个多边形的内角和等于900°,它是　　　　边形.
5.一个多边形除去一个内角后,其余内角的和为1680°,它是　　　　边形.
课堂小结与检测
七
十二
第一章 三角形的证明
1　三角形内角和定理
第4课时 多边形的外角和
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
问题:
(1)什么是三角形的外角
(2)三角形的外角有哪些性质
知识关联
三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角,称为三角形的外角.
①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
②三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
【探究】多边形的外角和定理
探究与应用
【情境问题】
如图,小刚在公园沿着五边形步道按逆时针方向慢跑.
(1)小刚每次从五边形步道的一条边转到下一条边时,跑步方向改变的角是哪个角 在图上标出这些角.
(1)如图跑步方向改变的角是:∠1,∠2,∠3,∠4,∠5.
5
1
2
3
4
【探究】多边形的外角和定理
探究与应用
【情境问题】
(2)他每跑完一圈,跑步方向改变的角的总和是多少度
说说你的理由,并与同伴进行交流.
(2)跑步方向改变的角的总和是360°.
理由:
方法一:以小明自身转过的度数计算,转过一周,刚好是360°;
方法二:用量角器量出度数后计算;
方法三:把各个外角都剪出来,再拼在一起,类似验证三角形内角和的方法;
【探究】多边形的外角和定理
探究与应用
【情境问题】
(2)他每跑完一圈,跑步方向改变的角的总和是多少度
说说你的理由,并与同伴进行交流.
方法四:利用内角与相邻的外角互补的关系推理得出:
∵∠1+∠EAB=180°, ∠2+∠ABC=180°,
∠3+∠BCD=180°, ∠4+∠CDE=180°,
∠5+∠DEA=180°,
∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=900°.
∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=900°-540°=360°.
【探究】多边形的外角和定理
探究与应用
【思考·交流】
如果公园的步道是六边形、八边形,那么结果会怎样 与同伴进行交流.
六边形或八边形的外角和都等于是360°。
【探究】多边形的外角和定理
探究与应用
【概括新知】
说明:多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.在每个顶点处取这个多边形的一个外角,它们的和叫做这个多边形的外角和.
多边形的外角和等于360°.
【探究】多边形的外角和定理
探究与应用
【应用】
例　(教材例2)一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍,它是几边形
解:设这个多边形是n边形,则内角和是(n-2)·180°,外角和等于360°.
根据题意,得
(n-2)·180°=3×360°.
解得n=8.
所以,这个多边形是8边形.
【探究】多边形的外角和定理
探究与应用
变式训练
1.一个多边形每个外角都是60°,则这个多边形的边数是　　　　.
2.一个多边形的每一个内角都比相邻的外角大36°,求这个多边形的边数.
6
解：设外角为x°，那么内角就是x° + 36°。
根据内角和外角的和为180°，我们可以得到方程：
x°+(x°+36°)=180°，
解这个方程，得到：
x=72
所以，这个多边形的边数为：360÷72=5。
【拓展提升】
1.如图,点A,B,C,D,E,F是平面上的6个点,则∠A+∠B+∠C+
∠D+∠E+∠F的度数是　　 　　.
2.讨论:是否存在一个多边形,它的每个内角都等于相邻外角的.
探究与应用
解：不存在，
理由：设外角是5x度，则相邻的内角是x度．
根据题意得：x+5x=180，
解得x=30．
外角是150度。
则多边形的边数是：360÷150=2.4．
因为多边形的边数是不小于3的正整数，
故不存在一个多边形，它的每个外角都等于相邻内角的．
达标测评
1.一个多边形的每个内角均为108°,则这个多边形是 (　　)　　　　　　　　　　　
A.七边形 B.六边形 C.五边形 D.四边形
2.一个多边形的内角和与外角和之比是11∶2,那么这个多边形的边
数是 (　　)
A.13 B.12 C.11 D.10
3.一个多边形的内角和是外角和的4倍,则这个多边形是　　　　边形.
C
A
课堂小结与检测
十
达标测评
4.一个正多边形,它的一个外角等于与它相邻的内角的,则这个多边形是正　　　　边形.
5.如图,小亮从点A出发前进10 m,向右转15°,再前进10 m,又向右转15°……这样一直走下去,他第一次回到出发点A时,一共走了　　　　m.
课堂小结与检测
八
240

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