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(共27张PPT)
第一章 三角形的证明
3　直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
探究与应用 课堂小结与检测
【探究1】直角三角形的两个锐角关系定理及逆定理
探究与应用
思考：
问题1:直角三角形的两个锐角有怎样的关系 为什么
问题2:如果一个三角形有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形吗
你能证明这两个结论吗
结论:
1.直角三角形的两个锐角互余;
2.如果一个三角形有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形.
【探究1】直角三角形的两个锐角关系定理及逆定理
探究与应用
证明定理:直角三角形的两个锐角互余.
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.
求证:∠A+∠B=90°.
证明:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,
∵∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°.
【探究1】直角三角形的两个锐角关系定理及逆定理
探究与应用
证明定理:有两个角互余的三角形是直角三角形。
已知:如图,在△ABC中,∠A+∠B=90°.
求证:△ABC是直角三角形.
证明:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,
∵∠A+∠B=90°,
∴∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°,
∴△ABC是直角三角形.
【探究1】直角三角形的两个锐角关系定理及逆定理
探究与应用
【概括新知】
定理:直角三角形的两个锐角互余.
定理: 有两个角互余的三角形是直角三角形.
【探究2】勾股定理及其逆定理的证明
探究与应用
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
怎样证明这一结论呢？
已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.求证:a2+b2=c2.
证明:延长CB至点D,使BD=b,作∠EBD=∠A,并取BE=c,
连接ED,AE(如图),则△ABC≌△BED.
∴∠BDE=90°,ED=a.从而四边形ACDE是直角梯形.
∴S梯形ACDE=(a+b)(a+b)=(a+b)2.
由全等可得∠ABE=180°-(∠ABC+∠EBD)=180°-90°=90°,
且AB=BE,∴S△ABE=c2.
∵S梯形ACDE=S△ABE+S△ABC+S△BED,
∴(a+b)2=c2+ab+ab,即a2+ab+b2=c2+ab, ∴a2+b2=c2.
【探究2】勾股定理及其逆定理的证明
探究与应用
【尝试·交流】
在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,我们曾用测量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.你能用基本事实和已有定理证明这一结论吗 与同伴进行交流.
【探究2】勾股定理及其逆定理的证明
探究与应用
已知:如图:在△ABC中,AB2+AC2=BC2.
求证:△ABC是直角三角形.
证明:作Rt△A'B'C'(如图),使∠A'=90°,
A'B'=AB,A'C'=AC,
则A'B'2+A'C'2=B'C'2(勾股定理).
∵AB2+AC2=BC2,
∴BC2=B'C'2,
∴BC=B'C',
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS),
∴∠A=∠A'=90°(全等三角形的对应角相等).
因此,△ABC是直角三角形.
【探究3】互逆命题和互逆定理
探究与应用
【观察交流】
(1)观察本节第一个定理和第二个定理,它们的条件和结论之间有怎样的关系
第三个定理和第四个定理呢 与同伴进行交流.
(2)观察下面三组命题:

如果两个角是对顶角,那么它们相等.
如果两个角相等,那么它们是对顶角.
如果a=b,那么a2=b2.
如果a2=b2,那么a=b.
一个三角形中相等的边所对的角相等.
一个三角形中相等的角所对的边相等.
解：问题(1)中的两个定理,其中一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件;
问题(2)中的三个命题也有类似的关系.
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？
与同伴进行交流.
【探究3】互逆命题和互逆定理
探究与应用
【概括新知】
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,如果把其中一个命题称为原命题.那么,另一个命题就称为它的逆命题.
【探究3】互逆命题和互逆定理
探究与应用
【尝试·思考】
你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗 它们都是真命题吗
答：如果两个有理数的平方相等,那么这两个有理数相等,这个命题是假命题.
如:52=25,(-5)2=25,5和-5的平方相等,但5和-5不相等.
【探究3】互逆命题和互逆定理
探究与应用
【概括新知】
原命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理, 其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
【探究3】互逆命题和互逆定理
探究与应用
【应用】
说出下列命题的逆命题,并判断每对互逆命题的真假:
(1)如果a=0,那么ab=0;
(2)周长相等的三角形的面积相等;
(3)如果两个数都是正数,那么这两个数的差是正数.
解:(1)逆命题是“如果ab=0,,则a=0”,
原命题是真命题,逆命题为假命题;
(2)逆命题是“面积相等的三角形周长相等”,
原命题和逆命题都是假命题;
(3)逆命题是“两个数的差是正数,则这两个数都是正数”,
原命题和逆命题都是假命题.
【拓展提升】
1.如图1,已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=4,分别以AB,AC,BC为边向外作等
边三角形,面积分别记为S1,S2,S3,则S1+S2+S3的值等于　　　　 .
图1 图2
2.如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6 cm,AC=8 cm,按图中所示方法将△BCD
沿BD折叠,使点C落在AB边上的点C'处,那么△ADC'的面积是 .
探究与应用
8
6cm2
达标测评
1.下列命题中,其逆命题成立的是　　 　　.(只填写序号)
①同旁内角互补,两直线平行;
②如果两个角是直角,那么它们相等;
③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;
④如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
2.“直角三角形两锐角互余”的逆命题是 　.
①④
两锐角互余的三角形是直角三角形
课堂小结与检测
达标测评
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,若a∶b=1∶2,且c=5,则ab=　　　　.
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,垂足为D,若∠A=60°,AB=4 cm,
则CD=　 　.
课堂小结与检测
10
达标测评
5.如图,在△ABC中,已知AB=13 cm,BC=10 cm,BC边上的中线AD=12 cm.
求证:AB=AC.
课堂小结与检测
证明：∵AD是中线，
∴BD=BC=5．
∵AB=13，AD=12，52+122=132，即BD2+AD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，
又∵BD=CD，
∴AC=AB=13．
第一章 三角形的证明
3　直角三角形
第2课时 直角三角形全等的判定
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
问题:
两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗
知识关联
两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等.
如果其中一组等边的对角都是直角呢
【探究】HL定理
探究与应用
【尝试·交流】
已知斜边和一条直角边,如何作出这个直角三角形呢
(1)假设满足条件的直角三角形已经作出,你能画出这个直角三角形的草图吗
(2)你是按照怎样的步骤画这个草图的 先画一画,再用尺规试一试,并与同伴进行交流.
【探究】HL定理
探究与应用
如图,已知线段a,c(a由此你是否发现判定直角三角形全等的一种方法
1.作射线CN.
2.过点C作射线CN的垂线CM.
3.在射线CM上截取CB=a.
4.以点B为圆心,以线段c的长为半径作弧,交射线CN于点A.
5.连接AB.
△ABC就是所要作的直角三角形.
【探究】HL定理
探究与应用
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
你能写出已知、求证和证明过程吗？
证明:在△ABC中,∵∠C=90°,
∴BC2=AB2-AC2(勾股定理).
同理,B'C'2=A'B'2-A'C'2.
∵AB=A'B',AC=A'C',
∴BC=B'C'.
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).
已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AC=A'C',AB=A'B'.
求证:△ABC≌△A'B'C'.
【探究】HL定理
探究与应用
【概括新知】
定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
这一定理可以简述为“斜边、直角边” 或 “HL”
符号表示:
如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,
∵AC=A'C',AB=A'B'(已知),
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).
探究与应用
【应用】
例　如图,有两个长度相等的梯子,左边梯子的高度AC与右边梯子水平方向的 长度DF相等,两个梯子的倾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么关系
解:根据题意,可知
∠BAC=∠EDF=90°,
BC=EF,AC=DF,
∴Rt△BAC≌Rt△EDF(HL).
∴∠CBA=∠DEF(全等三角形的对应角相等).
∵∠DEF+∠EFD=90°(直角三角形的两个锐角互余).
∴∠CBA+∠EFD=90°.
【拓展提升】
如图,已知∠ABC=∠ADC=90°,E是AC上一点,AB=AD.求证:EB=ED.
探究与应用
证明：在Rt△ADC和Rt△ABC中，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠DCE=∠BCE，DC=BC，
∴在△DCE和△BCE中，,
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴EB=ED
达标测评
1.如图,O是∠BAC内一点,且点O到AB,AC的距离OE=OF,则直接判定△AEO≌△AFO的依据是 (　　)
A.HL　 　　B.AAS　 　　C.SSS　　　D.ASA
2.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是 (　　)
A.两条直角边对应相等 B.有两条边对应相等
C.一条边和一锐角对应相等 D.一条边和一个角对应相等
3.如图,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.给出下列结论:①∠1=∠2;
②BE=CF;③△ACN≌△ABM.其中正确的结论是　　　 　 .
(将你认为正确的结论序号都填上)
A
①②③
课堂小结与检测
D
达标测评
4.如图,已知AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于点F,且有
BF=AC,FD=CD.求证:BE⊥AC.
课堂小结与检测
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠BDF=90°，
∵BF=AC，FD=CD，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），
∴∠C=∠BFD，
∵∠DBF+∠BFD=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，
∵∠C+∠DBF+∠BEC=180°
∴∠BEC=90°，即BE⊥AC．

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