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(共23张PPT)
第一章 三角形的证明
4　线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
探究与应用 课堂小结与检测
【探究1】　线段垂直平分线的性质
探究与应用
【尝试证明】
我们曾经探索过线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.请你尝试证明这一结论,并与同伴进行交流.
你能根据性质画出图形,写出已知、求证吗
【探究1】　线段垂直平分线的性质
探究与应用
已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的任意一点.
求证:PA=PB.
证明:∵MN⊥AB,
∴∠PCA=∠PCB=90°.
∵AC=BC,PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SAS),
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).
如果点P与点C重合,那么结论也成立
【探究1】　线段垂直平分线的性质
探究与应用
【概括新知】
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
符号语言:
∵MN是线段AB的垂直平分线,P是MN上的一点,
∴PA=PB
【探究2】线段垂直平分线的判定
探究与应用
【尝试·思考】
你能写出线段垂直平分线性质定理的逆命题吗 它是真命题吗 请证明自己结论的正确性.
怎样证明这一结论呢？
逆命题：
到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
它是真命题.
【探究2】线段垂直平分线的判定
探究与应用
已知:如图,线段AB,点P是平面内一点,且PA=PB.
求证:点P在AB的垂直平分线上.
证明:过点P作已知线段AB的垂线PC,垂足为C.
∵PA=PB,PC=PC,
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL),∴AC=BC,
即点P在AB的垂直平分线上.
C
【探究2】线段垂直平分线的判定
探究与应用
【概括新知】
到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
符号语言:
∵PA=PB,
∴点P在线段AB的垂直平分线上
【探究2】线段垂直平分线的判定
探究与应用
【应用】
例　如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC.
求证:直线AO垂直平分线段BC.
证明:∵AB=AC,
∴点A为线段BC垂直平分线上的一点(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
同理，点O为线段BC垂直平分线上.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线).
【拓展提升】
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的延长线上一点,EH是BD的垂直平分线,且交AB于点E,交BD于点H,DE交AC于点F.
求证:点E在AF的垂直平分线上.
探究与应用
证明：∵EH垂直平分BD，
∴BE=DE，
∴∠BEH=∠DEH，
∵∠ACB=90°，
∴EH∥AC，
∴∠BEH=∠BAC，∠DEH=∠AFE，
∴∠EAF=∠AFE，
∴AE=EF，
∴点E在AF的垂直平分线上．
达标测评
1.如图1,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是 (　　)
A.AB=AD　　B.CA平分∠BCD C.AB=BD　　D.△BEC≌△DEC
2.如图2,点D在△ABC的边BC上,且BC=BD+AD,则点D在　 　　　的垂直平分线上.
图1 图2
C
线段AC
课堂小结与检测
达标测评
3.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是线段AB的中垂线,垂足为D,交BC于点E,BE=5,则AE=　　　　,∠AEC=　　　　,AC=　　　　.
4.如图2,在△ABC中,DE,FG分别是边AB,AC的垂直平分线,则∠B=∠BAE,
∠C=∠GAF.若∠BAC=126°,则∠EAG=　　　　.
图1 图2
课堂小结与检测
5
第一章 三角形的证明
4　线段的垂直平分线
第2课时　垂直平分线的应用
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
回答下列问题:
问题1:线段垂直平分线的性质定理和判定定理内容是什么
知识关联
性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
问题2:你能利用垂直平分线的性质尺规作等腰三角形吗
判定定理：
到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
【探究1】　利用垂直平分线的性质尺规作图
探究与应用
【尝试·交流】
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高,你能画出满足条件的三角形吗
先作已知线段BC=a;然后再作BC边上的高h,由于垂足不确定,我们可将垂足
取在线段BC所在直线上的任意一点D,过此点作BC边的垂线,最后以D为端
点在垂线上截取AD(或A1D),使AD(或A1D)=h,连接AB,AC(或A1B,A1C),所得
△ABC(或△A1BC)都满足条件,所以这样的三角形有无数多个.
解:(1)已知三角形的一条边及这条边上的高,能作出三角形,并且能作出无数多个,
【探究1】　利用垂直平分线的性质尺规作图
探究与应用
【尝试·交流】
(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高,你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗 能作几个 与同伴进行交流.
如图,已知线段a,h,用尺规作△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h.
作法:
1.作线段BC,使BC=a.
2.作线段BC的垂直平分线l,交BC于点D.在l上作线段DA,使DA=h.
4.连接AB,AC.
△ABC就是所要作的等腰三角形.
【探究1】　利用垂直平分线的性质尺规作图
探究与应用
【思考·交流】
还记得用尺规过直线l上一点P作l的垂线的方法吗 这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题.如果点P在直线l外呢 此时,还能运用这种转化的方法吗 请你试一试,并与同伴进行交流.
如图 ,已知直线l和l外一点P,用尺规作l的垂线,使它经过点P.
作法:
1.任取一点Q,使点Q与点P在直线l两旁.
2.以点P为圆心,以PQ的长为半径作弧,交直线l于点A和点B.
3.作线段AB的垂直平分线m.
如图,直线m就是所要作的直线.
【探究1】　利用垂直平分线的性质尺规作图
探究与应用
【应用】
如图,已知△ABC,完成下列尺规作图:
(1)作AC边上的高;
(2)作BC边上的高.
解:(1)如图线段BH即为所求.
(2)如图线段AD即为所求.
【探究2】 三角形三条边垂直平分线的性质的证明
探究与应用
例　(教材例2)已知:如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线PD与边BC的垂直平分线PE相交于点P.
求证:边AC的垂直平分线经过点P.
分析:要证明点P在边AC的垂直平分线上,需要什么条件
已知的两条垂直平分线相交于点P,由此你能得到哪些相关的结论
证明:如图,连接PA,PB,PC.
∵点P在线段AB的垂直平分线上,
∴PA=PB.同理,PB=PC.
∴PA=PB=PC.
∴点P在线段AC的垂直平分线上，
即边AC的垂直平分线经过点P.
【探究2】 三角形三条边垂直平分线的性质的证明
探究与应用
【概括新知】
三角形三条边的垂直平分线相交于一点,
并且这一点到三个顶点的距离相等.
【探究2】 三角形三条边垂直平分线的性质的证明
探究与应用
变式训练
如图△ABC,现要求找一点P,使其到三个顶点的距离相等.
(1)该点P是△ABC三条 的交点;(选填“中线”“高线”“角平分线”或“垂直平分线”)
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出点P的位置(保留作图痕迹,不写作法).
解：(2)如图所示,分别作出AB,BC的中垂线,
交点为点P,点P为所求作的点.
垂直平分线
小杰认为:“三角形三条边的垂直平分线的交点一定在三角形的内部.”
小明说:“小杰的说法不正确,如果这个三角形是钝角三角形,结论就不一样了.”
(1)你认为谁的说法正确 请用尺规作图法作出锐角三角形三条边的垂直平分线的交点,并回答这个交点在三角形的什么位置.
(2)锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的　　　　(填“内部”“外部”或“边上”)
钝角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的　　　　(填“内部”“外部”或“边上”)
.

【拓展提升】
探究与应用
外部
　　 (3)直角三角形三条边的垂直平分线的交点在直角三角形的什么位置
内部
在直角三角形的斜边中点处
达标测评
1.P为△ABC内一点,且PA=PB=PC,则点P是 (　　)
A.三条中线的交点　　　　B.三条高的交点
C.三个角的平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点
2.如果一个三角形三条边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角形是 (　　)
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
3.下列说法:①若直线PE是线段AB的垂直平分线,则EA=EB,PA=PB;
②若PA=PB,EA=EB,则直线PE垂直平分线段AB;
③若PA=PB,则点P必是线段AB的垂直平分线上的点;
④若EA=EB,则过点E的直线垂直平分线段AB.其中正确的说法有 (　　)
A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个
D
A
课堂小结与检测
C
达标测评
4.如图,有一块三角形的地,现要平均分给四个农户种植(即四等分三角形的面积),请你在图上作出分法.(不写作法,保留作图痕迹)
课堂小结与检测
解：如图，方法不唯一

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