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第一章 三角形的证明
5　角平分线
第1课时　角平分线的性质与判定
探究与应用 课堂小结与检测
【探究1】　角平分线的性质定理的证明
探究与应用
我们曾经探索过角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.请你尝试证明这一结论,并与同伴进行交流.
证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,
∴∠PDO=∠PEO=90°.
∵∠1=∠2,OP=OP,
∴△PDO≌△PEO(AAS).
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).
已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证:PD=PE.
【探究1】 角平分线的性质定理的证明
探究与应用
【概括新知】
角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
符号语言表示:
∵∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE.
说明:应用角平分线的性质定理必须具备的条件:两垂直,一平分.
【探究2】 角平分线的判定定理的证明
探究与应用
【尝试·思考】
你能写出“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”这个定理的逆命题吗 它是真命题吗 请你证明自己结论的正确性.
证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在Rt△ODP和Rt△OEP中,OP=OP,PD=PE,
∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL),
∴∠1=∠2,
∴OP平分∠AOB.
已知:如图,在∠AOB的内部有一点P,且PD⊥OA,PE⊥OB,D,E为垂足,且PD=PE.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
【探究2】 角平分线的判定定理的证明
探究与应用
【概括新知】
角平分线的判定定理:在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
用符号语言表示:
∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴点P在∠AOB的平分线上.
说明:应用角平分线的判定定理必须具备的条件:两垂直,一相等.
【探究2】 角平分线的判定定理的证明
探究与应用
例　(教材例1)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,点D在BC上,AD=10,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,求DE的长.
解:∵DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,
∴AD平分∠BAC.
又∵∠BAC=60°,∴∠BAD=30°.
在Rt△ADE中,∠AED=90°,AD=10,
∴DE=AD=×10=5.
【拓展提升】
探究与应用
如图,∠1=∠2,AE⊥OB于点E,BD⊥OA于点D,AE与BD相交于点C.
求证:AC=BC.
解：∵∠1=∠2，CE⊥OB于E，CD⊥OA于D，
∴CD=CE．∠CDA=∠CEB=90°，
在△ACD和△BCE中，
∠CDA=∠CEB，CD=CE，∠DCA=∠ECB（对顶角相等），
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴AC=BC．
达标测评
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是∠ABC的平分线,交AC于点D,若CD=n,AB=m,则△ABD的面积是 (　　)
A.mn　　　B.mn　　　C.2mn　　　D.mn
B
课堂小结与检测
达标测评
2.某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力,拟在两条景观道OM,ON之间(即∠MON内部)的开阔地修建一所红十字救助站P,使其到景观道OM,ON的距离相等,同时到A,B两个休息亭的距离也相等,试确定救助站P的位置.
课堂小结与检测
解：由题知，点P既在∠MON的角平分线上，又在线段AB的垂直平分线上．
达标测评
3.如图 ,已知BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF相交于点D,若BD=CD.求证:AD平分∠BAC.
课堂小结与检测
解：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°．
在△BDF和△CDE中，,
∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF=DE．
∴点D在∠BAC的平分线上．
∴AD平分∠BAC．
第一章 三角形的证明
5　角平分线
第2课时　角平分线的应用
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
思考：
(1)角平分线的性质.
(2)角平分线的性质定理的逆定理.
(3)作三角形的三个内角的平分线,你发现了什么
知识关联
解 ：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
（2）在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
（3）三角形的三个内角的平分线交于一点。
【探究1】　角的平分线应用
探究与应用
例1　(教材例2)如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是
△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)已知CD=4 cm,求AC的长;
(2)求证:AB=AC+CD.
(1)解:∵AD是△ABC的角平线,DC⊥AC,DE⊥AB,
∴DE=CD=4 cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
∵AC=BC,
∴∠B=∠BAC(等边对等角).
∵∠C=90°,
∴∠B=×90°=45°.
∴∠BDE=90°-45°=45°.
∴BE=DE(等角对等边).
在等腰直角三角形BDE中,BD==4 cm(勾股定理).
∴AC=BC=CD+BD=(4+4) cm
【探究1】　角的平分线应用
探究与应用
例1　(教材例2)如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)已知CD=4 cm,求AC的长;
(2)求证:AB=AC+CD.
解(2)证明:由(1)的求解过程易知Rt△ACD≌Rt△AED(HL)
∴AC=AE(全等三角形的对应边相等).
∵BE=DE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD.
【探究2】 三角形的内角平分线的性质
探究与应用
每人都准备一张三角形的纸片,如图,让学生分别折出三个角的平分线,
然后观察三条角平分线有什么特点.
结论：
三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.
【探究2】 三角形的内角平分线的性质
探究与应用
例2　(教材例3)已知:如图,在△ABC中,角平分线BM与角平分线CN相交于点P。
求证:∠A的平分线经过点P.
证明:如图.过点P分别作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足分别为D,E,F.
∵BM是△ABC的角平分线
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
同理,PE=PF,
∴PD=PE=PF.
∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部,到角的两边距离相等
的点在这个角的平分线上),
即∠A的平分线经过点P.
要证明∠A的平分线经过点P,需要什么条件
E
D
F
【探究2】 三角形的内角平分线的性质
探究与应用
【概括新知】
三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.
【探究2】 三角形的内角平分线的性质
探究与应用
【应用】
如图,三条公路两两相交于A,B,C三点,现计划在三条公路围成的区域内修建一个超市,要求这个超市到三条公路的距离相等,问超市应建在何处(使用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
解:如图所示,超市应建在∠A和∠B的
角平分线的交点O处.
【拓展提升】
探究与应用
1.如图,直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.一处 B.二处 C.三处 D.四处
D
【拓展提升】
探究与应用
2.如图,在△ABC中,O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点,过点O作与BC平行的直线分别交AB,AC于点D,E.已知△ABC的周长为15,BC的长为6,求△ADE的周长.
解：连结CO，
∵点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点，
∴∠ABO=∠OBC，CO平分∠ACB。
∵DE∥BC，∴∠OBC=∠BOD，
∴∠ABO=∠BOD，∴DB=DO，同理可得EO=CE，
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+DO+AE+OE=AD+BD+AE+CE=AB+AC，
∵△ABC的周长为15，∴AB+AC+BC=15，而BC的长为6，
∴AB+AC=9，∴△ADE的周长为9．
达标测评
1.到三角形三边距离相等的点是 (　　)
A.三条高的交点 B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点 D.不能确定
2.如图1,已知点P到BE,BD,AC的距离恰好相等,则点P的位置:
①在∠B的平分线上;
②在∠DAC的平分线上;
③在∠ECA的平分线上;
④恰是∠B,∠DAC,∠ECA的平分线的交点.上述结论中正确的个数是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
C
课堂小结与检测
D
达标测评
3.如图,已知AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F,
且DB=DC,请你探究BE与CF存在怎样的关系,并写出你的探究过程.
课堂小结与检测
解：BE=CF，理由如下：
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF．

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