资源简介

利用齐次化快速解决圆锥曲线中斜率和与积为定值，直线过定点的问题
圆锥曲线中的直线过定点问题常见模型：
① 过定点
② 过定点
对于此类模型，运用齐次化的方法可以大大简化计算。
具体解题步骤：
（1）设不过定点P的直线为；（点P在椭圆上，因此）
（2）将椭圆标准方程写成；然后将其展开并在一次项部分乘以得到如下方程：
合并整理后为：
同除得：
（*）
（3）那么和为上述（*）方程的两个根，由韦达定理可得
+，的结果，具体应用见下列4道例题。
例1
已知椭圆 ，点 ，直线 与椭圆 交于 两点，且满足 （ 分别为直线 的斜率），证明：直线 过定点。
解析
步骤1：确定核心要素与直线方程
椭圆标准方程：（）。
定点 验证：，满足椭圆方程，符合“点 在椭圆上”的模板前提（此处定点记为 ，对应模板中 ，即 ）。
设不过点 的直线 方程：（严格遵循模板直线形式 ，因 简化）。
步骤2：椭圆方程齐次化处理
按模板要求，将椭圆方程改写为“以 为基准的平移形式”：
展开并整理（消去常数项）：
齐次化核心操作：将一次项 乘以直线方程 （保证方程齐次性），得：
步骤3：整理为关于斜率的二次方程
令 （即 ，对应模板中 ），方程两边同除以 ，整理得：
（二次方程形式完全匹配模板中（*）式）。
步骤4：韦达定理结合条件求解
由模板步骤（3）， 是上述二次方程的两个根，韦达定理得：
题目条件 ，故 。
步骤5：求直线过的定点
将 代入直线 方程：，整理为直线系方程：
直线系过“系数中参数 的系数为0”的交点，即 。
故直线 过定点 。
例2
已知椭圆 的离心率为 ，且过点 。过点 的直线 与椭圆 交于另一点 ，与 轴交于点 ，过点 （原点）且平行于 的直线与椭圆 交于点 ，证明：直线 过定点。
解析（齐次化法标准适配）
步骤1：求椭圆方程与核心转化
离心率 ，结合 得 。
椭圆过 ：，椭圆方程 （即 ）。
核心转化：设直线 与椭圆交于 ，通过椭圆对称性与斜率关系推导得 （定值），符合模板模型①。
步骤2：设直线方程与齐次化处理
设直线 方程：（模板形式，定点 对应 ）。
椭圆方程平移改写：
展开整理：
齐次化操作：一次项乘以 ，得：
步骤3：整理斜率方程与韦达定理
令 （即 ），同除以 得：
由模板步骤（3），韦达定理 ，化简：
步骤4：求直线过的定点
将 代入直线 方程：
展开整理（消去参数 ）：
令 ，解得 。
故直线 过定点 。
例3
已知椭圆，四点、、、中有三点在椭圆上。
(1) 求的方程；
(2) 设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：直线过定点。
解答
(1) 求椭圆的方程
椭圆关于轴对称，与关于轴对称，故这两点必同时在椭圆上。
- 若在椭圆上，则代入得：
且，两式矛盾，故不在椭圆上。
- 因此椭圆上的三点为、、。
将代入椭圆方程得：。
将代入得：。
故椭圆的方程为：。
(2) 证明直线过定点（齐次化法）
步骤1：设定核心要素与直线方程
定点在椭圆上（对应模板中）。
设不过的直线的方程为：（严格遵循模板形式，因简化）。
步骤2：椭圆方程齐次化处理
将椭圆方程改写为“以为基准的平移形式”：
展开并消去常数项：
齐次化核心：将一次项乘以直线方程，得：
步骤3：整理为关于斜率的二次方程
令（即直线、的斜率），方程两边同除以，整理得：
步骤4：韦达定理结合条件求解
由韦达定理，斜率和。
题目条件“斜率和为”，故：
步骤5：求直线过的定点
将代入直线的方程：
展开整理为直线系方程：
令直线系中参数的系数为0，同时满足常数项为0：
解得：，。
因此，直线过定点。
例4
已知椭圆 ，点 ，直线 与椭圆 交于 两点，直线 与 轴分别交于 两点，若 （ 为原点），证明：直线 过定点。
解析（转化为斜率积模型，适配模板①）
步骤1：条件转化为斜率积定值
椭圆方程：，定点 （在椭圆上，）。
设 ，直线 ，即 。令 得 ；同理 。
条件 ：，结合椭圆与直线联立推导得 （定值），符合模板模型①。
步骤2：齐次化设定与处理（模板步骤1-2）
设直线 方程：（模板形式， 故为 ）。
椭圆方程平移改写：。
齐次化操作：一次项 乘以 ，得：
步骤3：整理斜率方程与韦达定理（模板步骤2-3）
令 （即 ），同除以 得：
由韦达定理 ，解得：
步骤4：求直线过的定点
将 代入直线 方程：
直线系方程 恒过 ，解得 。
故直线 过定点 。
核心总结
1. 直线方程必设为 （点 在椭圆上）；
2. 椭圆方程需平移改写后，对一次项乘以直线方程实现齐次化；
3. 斜率统一设为 ，转化为二次方程后用韦达定理关联条件；
4. 定点求解通过消去参数 ，利用直线系恒过交点性质推导。
该方法对椭圆中“斜率和/积为定值”的直线过定点问题完全通用，可大幅简化计算量。
练习题1（斜率和为定值，模型②应用）
已知椭圆，是椭圆上的两个动点，在椭圆上.
直线的斜率与的斜率之和为2，证明直线过定点。
练习题2（斜率积为定值，模型①应用）
已知椭圆（），点在椭圆上，直线与椭圆交于两点（不经过点），且，证明：直线过定点。
练习题3（逆向问题：已知定点求斜率和）
已知椭圆（），点在椭圆上，直线与椭圆交于两点（不经过点），且直线恒过定点，求直线的斜率之和。
练习题解析过程
练习题1解析（斜率和为定值）
步骤1：设定直线方程（齐次化核心前提）
椭圆标准方程转化为整式形式：（满足，符合椭圆标准形式）。
定点验证：代入椭圆方程得，满足椭圆方程，即（符合模板中“点在椭圆上”的前提条件，此处对应模板中的，即）。
设不过点的直线方程为：（严格遵循模板直线形式，确保直线不经过定点，避免斜率无意义）。
步骤2：椭圆方程齐次化处理（关键变形步骤）
第一步：椭圆方程平移改写
将椭圆方程以定点为基准，改写为“平移形式”：
将，代入椭圆方程，得：
第二步：展开并消去常数项
展开上式并整理，消去无变量的常数项（确保后续齐次化后方程仅含与的项）：
化简得：
第三步：齐次化核心操作
模板核心：将方程中的一次项（含和的一次项）乘以直线方程，使方程整体变为“二次齐次式”（每一项变量次数均为2）：
步骤3：整理为关于斜率的二次方程（关联斜率与韦达定理）
第一步：定义斜率变量
令，此变量恰好对应直线、的斜率（因，在直线上，故，，即是的两个取值）。
第二步：方程齐次化整理
将步骤2中得到的方程两边同除以（因不与重合，，除法有意义），并代入（即），整理得关于的二次方程：
展开并合并同类项：
步骤4：韦达定理结合条件求解（关联斜率和与参数关系）
由模板可知，和是方程的两个实数根，根据韦达定理，两根之和为：
题目给出条件“直线的斜率与的斜率之和为2”，即：
化简参数关系
对上述等式交叉相乘并整理，消去分母后求解与的线性关系：
两边同除以2，简化得：
步骤5：求直线过的定点（最终目标）
第一步：代入参数关系化简直线方程
将步骤4得到的变形为，代入直线的方程：
第二步：整理为直线系方程
将方程两边同乘6消去分母，展开并整理为“参数的直线系方程”（分离含的项与常数项）：
进一步化简含的系数：
第三步：求解定点坐标
直线系方程（为关于的表达式）恒过“且”的交点，因此令：
解第二个方程：
将代入第一个方程：
结论
直线过定点。
练习题2解析（斜率积为定值）
步骤1：设定直线方程
椭圆方程化为，定点（）。
设不过点的直线方程为：（模板标准形式）。
步骤2：椭圆方程齐次化处理
平移椭圆方程：
展开整理（消去常数项）：
齐次化操作：一次项乘以直线方程，得：
步骤3：整理为关于斜率的二次方程
令（即），方程两边同除以，整理得：
步骤4：韦达定理结合条件求解
由韦达定理，，化简得：
步骤5：求直线过的定点
将代入直线方程：
直线恒过原点，验证：代入椭圆方程，原点在椭圆外，直线过原点时与椭圆交于两点，符合题意。
故直线过定点。
练习题3解析（逆向求斜率和）
步骤1：设定直线方程
椭圆方程化为，定点（）。
设不过点的直线方程为：（模板形式）。
因直线过定点，代入得：（关键系数关系）。
步骤2：椭圆方程齐次化处理
平移椭圆方程：
展开整理：
齐次化操作：一次项乘以直线方程，得：
步骤3：整理为关于斜率的二次方程
令（即），方程两边同除以，整理得：
步骤4：韦达定理求斜率和
设斜率之和为，由韦达定理得：。
将代入，无需单独求，因直线方程系数关系恒成立，的常数项为，故。
步骤5：结论
直线的斜率之和为。
2

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