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回归教材(二)——题源拓展与高考试题
一、函数的奇偶性和对称性
[教材题1](人教A版必修第一册P87习题3.2T13)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a) b为奇函数.
(2)类比上述推广结论,写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.
【解析】(2)函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数.
[常用结论]
结论①:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)对称 函数y=f(x+a) b为奇函数 f(x+a)+f(a x)=2b.
结论②:函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称 函数y=f(x+a)为偶函数 f(a+x)=f(a x).
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【解析】选D.因为f(x+1)为奇函数,
所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,
f(x)+f(2 x)=0,所以f(1)=0.
因为f(x+2)为偶函数,
所以f(x)的图象关于直线:x=2对称,
f(4 x)=f(x),
所以f(0)+f(3)= f(2)+f(1)= f(2)=6,
因为当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b,
[高考题3](2022·新高考Ⅰ卷改编)函数f(x)=x3 x+1的图象的对称中心是__________.
【解析】解法一:由题意得f'(x)=3x2 1,
f″(x)=6x,令f″(x)=6x=0,
得x=0,又f(0)=1,
所以函数f(x)=x3 x+1的图象的对称中心是(0,1).
解法二:令g(x)=x3 x.
因为g(x)是奇函数,图象关于点(0,0)对称,所以函数f(x)=x3 x+1的图象关于点(0,1)对称.
(0,1)
[高考题4](多选题)(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)=2x3 3ax2+1,则(　　)
A.当a>1时,f(x)有三个零点
B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点
C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
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【解析】选AD.A选项,f'(x)=6x2 6ax=6x(x a),由于a>1,
故x∈( ∞,0)∪(a,+∞)时f'(x)>0,故f(x)在( ∞,0),(a,+∞)上单调递增,
x∈(0,a)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
则f(x)在x=0处取到极大值,在x=a处取到极小值,
由f(0)=1>0,f(a)=1 a3<0,则f(0)f(a)<0,
根据零点存在定理f(x)在(0,a)上有一个零点,
又f( 1)= 1 3a<0,f(2a)=4a3+1>0,
则f( 1)f(0)<0,f(a)f(2a)<0,
则f(x)在( 1,0),(a,2a)上各有一个零点,于是a>1时,f(x)有三个零点,A选项正确;
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三、斐波那契数列
(人教A版选择性必修第二册P10阅读与思考)1202年,意大利数学家斐波那契在《算盘全书》中提到下面的问题:
　　如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌),而每1对小兔子在它出生后的第3个月里,又能生1对小兔子,假定在不发生死亡的情况下,由1对初生的小兔子开始,50个月后会有多少对兔子
[高考题5](2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,
f(x)>f(x 1)+f(x 2),且当x<3时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是(　　)
A.f(10)>100 B.f(20)>1 000
C.f(10)<1 000 D.f(20)<10 000
【解析】选B.由x<3时f(x)=x,f(x)>f(x 1)+f(x 2)得,
f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5,f(5)>f(4)+f(3)>8,
f(6)>f(5)+f(4)>13,不等式右侧恰好是斐波那契数列从第3项起的各项:
3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1 597,…,
所以f(20)>f(16)>1 597>1 000.
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