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2025人教版七年级下册数学课本考点汇总
【考点】01：直线的相交
1.两个重要公理
①经过两点有且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线 ”.②两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短 ”.
2.对顶角与邻补角
（1）对顶角：①定义：两直线相交所成的四个角中，一个角的两边与另一个角的两边互为反向延长线，这两个角叫做对顶角.
②性质：对顶角相等.
（2）邻补角：①定义：两直线相交所成的四个角中，两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，这两个角叫做邻补角.②性质：邻补角互补.
（3）相等的角不一定是对顶角，互补的角不一定是邻补角，对顶角和邻补角不只是数量上的关系，更是位置上的关系.
2.垂线
（1）定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直.其中一条直线是另一条直线的垂线.
（2）性质：①在同一平面内，过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.
（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离.
【必会拓展】
三线八角(两条直线被第三条直线所截)
1.同位角：
两个角分别在两条直线的同侧，并且在第三条直线的同旁，叫做同位角.如图所示∠1与∠5， ∠2与∠6， ∠3与∠7， ∠4与∠8都是同位角.形似“F ”.
2.内错角：
两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的两旁，位置交错，叫做内错角.如图
所示∠3与∠5， ∠4与∠6都是内错角.形似“Z ”.
3.同旁内角：
两个角都在两条直线之间，并且都在第三条直线的同旁，叫做同旁内角.如图所示， ∠3与∠6， ∠4与∠5都是同旁内角.形似“U ”.
【综合创新】
1.同位角、内错角和同旁内角的识别
①要找三种关系角(同位角、内错角、同旁内角)关键在于寻找线段；②不同的线段找出来的三种关系角是不会重复的；③在线段很多的时候，要找出相同特点的线段条数
m，只需要算出一条线段上的关系角个数则该特点的线段的关系角个数一共为mn.
例如：下图中有三条线段AB、AC、BC，其中AB、AC特点相同，均有1对同位角，1对内错角，1对同旁内角，线段BC有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角，所以总的同位角个数为：4+2×1＝6对，内错角对数为2+2×1＝4，同旁内角对数为2+2×1＝4
2.相交线规律
①n条直线两两相交，最多得到个交点；
②n条直线最多把平面分为个部分；
③n条直线两两相交，最多得到n(n-1)对对顶角.
【考点】02：平行线的性质及判定
1.平行线
①定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a//b.注：必须强调在同一平面内，否则无法说明平行.
②平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.注：点必须在直线外，而不能在直线上.
③平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行.即“平行于同一条直线的两直线平行 ”.
2.两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行
注：判断同一平面内两条直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，两直线平行.
3.两直线平行的判定方法
①平行线的定义；
②平行公理的推论；
③同位角相等，两直线平行；
④内错角相等，两直线平行；
⑤同旁内角互补，两直线平行.
4.平行线的性质
①两直线平行，同位角相等；
②两直线平行，内错角相等；
③两直线平行，同旁内角互补.
【必会拓展】
证明平行一般从寻找相等同位角、内错角和互补同旁内角出发，而这些角关系的获得条件一般有：①已知平行条件；②三角形内角和；③角平分线；④垂直；⑤互余互补关系.
【综合创新】
平行的考查通常会和相关导角放在一起，增加题目的难度.我们需要增加对条件的分析和综合能力，提高几何题的解题能力.
【考点】03：平行线的基本模型平行线模型
平行线模型
【必会拓展】
“过拐点作平行线 ”是平行线中常用辅助线.具体的方法是找到截线段，在拐点处作平行线，构造三线八角.
【综合创新】
除了常规模型的证明，在很多地方还会用到平行线的构造.现阶段，不管图形多么复杂，基本上都可以先找到平行线，再找平行线之间的拐点，最后通过过拐点作平行线解决.
【考点】04：平行线的构造与等积变换
1.两条平行线间的距离
①同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两条平行线间的距离.
②平行线间的距离处处相等.
2.同底等高的两三角形面积相等，用此来解决有关面积转化的问题
①如下左图，已知AB//CD，
则S△ACD与S△BCD的大小关系是S△ACD＝S△BCD；
②如下右图，已知AB//CD，
则S△ACO与S△BDO的大小关系是S△ACO＝S△BDO.
【必会拓展】
在已知两条平行线，而要解决与三个角相关的问题时，一般都可以通过构造第三条平行线，使问题得到轻松解决.
【综合创新】
有关图形面积的计算或证明是常见的数学问题，通常用“割补法 ”来解决，但是用“割补法 ”的计算比较烦琐，因而容易出现差错.学习了“平行线间的距离处处相等 ”以及“等底等高的三角形面积相等 ”后，就能运用“等积变换 ”的方法简捷、巧妙地解决这类问题.
【考点】05：实数的化简
1.平方根的相关结论
①当被开方数扩大(或缩小)n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n倍(n≥0).
②平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：
(、ia )2 = a （a≥0）
= |a|＝a（a≥0）或-a（a＜0）.
③若一个非负数a介于另外两个非负数a1 、a2 之间，它的算术平方根介于 、 之间，即当0≤a1 ＜a＜a2 时，则0≤ < 、＜ 、 ，利用这个结论我们可以估算一个非负数的算术平方根的大致范围.
2.立方根的相关结论
①当被开方数扩大(或缩小)n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n(n≥0)倍.
② =a ； ( ) =a.
③若一个数a介于另外两个数a1 、a2 之间，它的立方根介于 和 之间，即当a1 < a＜a2 时，则 ＜ ＜ ，利用这个结论我们可以估算一个数的立方根的大致范围.
3.三种非负数：a ≥0， ∣b ∣ ≥0， ≥0(c≥0).根据非负数的性质，若其中两个或三个非负数的和为0，则每一个非负数均为0，即若a + ∣b ∣+ ＝0，则a＝0，b＝0， c＝0.
4.绝对值与平方根问题一般需分类讨论
【必会拓展】
无理数的估算
1.求一个数的算术平方根与哪个整数最接近，就要看被开方数的值在哪两个相邻整数的平方之间，与被开方数的差值较小的那个整数即为与其最接近的数.
2.求一个数的立方根与哪个整数最接近，方法和求算术平方根相同，只要确定被开方数的值在哪两个相邻整数的立方之间，再确定和被开方数差值最小的那个整数即可.
【综合创新】
确定一个非完全平方数的算术平方根的小数部分，先确定这个无理数夹在哪两个相邻的自然数之间，则较小的自然数就是这个无理数的整数部分，再用这个无理数减去整数部分就得到它的小数部分.
【考点】06：复杂二元一次方程组
二元一次方程组的解法
1.代入消元法：通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解.
2.加减消元法：加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一.加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程(组)经常用到的方法.
【必会拓展】
对于具有某些特点的二元一次方程组，如果仍按常规方法不仅运算量大，而且容易出错，则可根据题目的特点，利用一些特殊解法：
1.整体加减法
①适用方程组类型：两个未知数系数之差或之和相等或互为相反数.
②步骤：根据方程组系数特点进行加减，得到较为简单的方程组，再适当变形消元.
2.系数轮换法
①适用方程组类型：如果把方程组中的每一个未知数依次轮换后，虽然每个方程都变了，但是整个方程组仍不变.
②步骤：解题时，把各方程相加，即可得到x+y＝常数的形式，把各方程相减，即可得到x-y＝常数的形式，这两个新的方程组成的方程组就是原方程组化简后的结果，便可以采用加减或代入消元法求得未知数的值.
3.换元法
①适用方程组类型：方程组项数较多、系数较为复杂，而且会有相同的部分或者是互为相反数的部分多次出现.
②步骤：解题时，把方程中相同的部分或者是互为相反数的部分看成是一个整体，用另一个字母来替换，从而简化原先项数多、系数复杂的方程组，再采用常规的加减或者代入消元法来求得未知数的值.
4.倒数法
①适合方程组类型：方程中出现分母是和的形式，分子是积的形式
②步骤：解题时，采用倒数法变换成分子是和、分母是积的形式 ，然后进行拆分，
利用加减或者代入或者换元法来解出x、y的值.
【考点】07：二元一次方程组的应用列方程组解应用题的一般步骤
1.审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系；
2.设：设未知数(四种设未知数的方法：直接设元、间接设元、辅助设元、整体设元)；
3.找：找出题目中蕴含的等量关系；
4.列：根据等量关系列出两个方程，组成方程组；
5.解：解方程组，求出未知数的值；
6.验：检验方程组的解是不是原方程组的解，是否符合实际意义；
7.答：作答，注意单位的书写.
【必会拓展】
1.由实际问题抽象出二元一次方程
①由实际问题列方程是把“未知 ”转化为“ 已知 ”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系；
②一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足： 方程两边表示的是同类量； 同类量的单位要统一； 方程两边的数值要相符；
③找等量关系是列方程的关键和难点.常见的一些公式要牢记，如利润问题、路程问题、比例问题等中的有关公式.
2.相关题型的解题技巧
①和差倍分问题：较大量＝较小量+多余量，总量＝倍数×倍量
②产品配套问题：加工总量成比例
③路程问题：速度×时间＝路程
④航速问题：此类问题分为水中航速和风中航速两类
⑤工程问题：工作量＝工作效率×工作时间
⑥增长率问题：原量×(1+增长率)＝增长后的量，原量×(1-减少率)＝减少后的量
⑦浓度问题：溶液×浓度＝溶质
⑧银行利率问题：免税利息＝本金×利率×时间；
税后利息＝本金×利率×时间-本金×利率×时间×税率
⑨利润问题：利润＝售价-进价，利润率＝[(售价-进价)÷进价]× 100%
⑩盈亏问题：关键从盈(过剩)、亏(不足)两个角度把握事物的总量
数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示
几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式
年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的
⑩方案设计问题
【综合创新】
1.设元
①直接设元：将要求的量设为未知元，即问什么设什么；
②间接设元：将要求的量以外的其他量设为未知元即所设的不是所求的，此法更易找出符合题意的等量关系；
③辅助设元：有些应用题中隐含一些未知的常量，这些量和求解无直接联系，但如果不指明这些量的存在，则难求其解，因此把这些未知的常量设为参数，以便建立等量关系.
2.找等量关系
①运用基本公式；
②从关键词中找；
③用不变量；
④对一种“量 ”从不同角度进行表述(即计算两次).
3.注意事项
①“设 ”“答 ”两步，都要写清单位名称；
②一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组.
【考点】08：含参方程（组）
方程组 的解的情况讨论： (对于方程组的解的存在性问题消元法更具有一般性).
1.方法一：可以写成比的形式.
①若 方程组有无穷多组解；
②若 ，方程组无解；
③若 ，方程组有唯一解.
2.方法二：用代入消元法消去一个未知数，写成ax＝b的形式，再讨论ax＝b的解的情况.
①当时，ax＝b有无穷个解，方程组也有无穷组解；
②当时，ax＝b无解，方程组也无解；
③当a≠0时，ax＝b有唯一解，方程组也有唯一解.
【必会拓展】
1.求二元一次方程的整数解的方法：
①首先用一个未知数表示另一个未知数，如ax＝b；
②给定x一个值，求出y的一个对应值，就可以得到二元一次方程的一组解；
③根据题意对未知数x、y进行限制，确定x的可能取值，进而确定二元一次方程所有的整数解.
2.求二元一次方程的整数解要注意两点：一要正确，“正确 ”的标准是两个未知数的值都必须符合题意，且适合此方程；二要不重不漏，可根据题意把其中一个未知数按一定顺序验证求解.
【综合创新】
对于方程组系数不确定，需要分类讨论的问题，严格按照方程组的解法处理，消元转化为一元方程进而按照ax＝b的讨论方式进行即可.
【考点】09：不等式应用
【题型典例】
某出租车的收费标准是：5千米之内起步价为10.8元，往后每增加1千米，增收1.2元.现在从A地到B地共支出车费24元，如果从A地到B地先步行460米，然后乘车也是24元，求从AB中点C到B地需支付多少车费
解：设A地到B地的路程是x千米，由 ，
则5+10＜x≤5+11，且5+10＜x-0.46≤5+11.即15＜x≤16① , 且15.46＜x≤16.46② ,取不等式①②的公共部分得15.46＜x≤16.
于是7.73< ≤8.
即求得了C地到B地的路程在7.73千米至8千米之间，在5千米以外部分应收3个1千米车费，故从C地到B地应付车费10.8+1.2×3＝14.4元.
答：乘车从AB中点C到B地需支付车费14.4元.
列一元一次不等式(组)解应用题的一般步骤
1.审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键词语，如“大于 ”“小于”“不大于 ”“不超过 ”等；
2.设：设出适当的未知数；
3.列：根据题中的不等关系列出不等式(组)；
4.解：求出所列的不等式(组)的解集；
5.答：检验是否符合题意，并写出答案；
即审题一设未知数一找出题中所有的数量关系一列出不等式(组)一解不等式(组)一检验答.
【必会拓展】
一元一次不等式(组)的解一般情况下是无穷多个，但由于实际问题的限制，可能只有其中的某个或某些满足实际问题，这样也就随之产生了一种或几种设计方案.
注意：方案选择时，要根据实际情况选择范围内的合适数量，比如正数或者整数等.
【综合创新】
题中变量较多，无法直接解决时，就得考虑巧妙设置未知数，将问题简化，同时对于有多个可行方案时，考虑哪个最优，最好逐个代入计算.
【考点】10：含参不等式（组）
用字母表示出方程的解，列出题目中要求的不等关系，然后解不等式即可.
【必会拓展】
已知解集求字母取值范围思路
1.首先观察不等式和解集的不等号方向是否一致.如果方向一致，说明系数为正；如果方向相反，说明系数为负；
2.其次题目给出的解集应该和自己写出的解集相等，可以据此求出字母的具体数值.
【综合创新】
已知解集求另一个不等式的解集思路
1.根据给出的不等式和解集的不等号方向，判断出字母参数的正负
2.根据给出的解集得出字母参数的值或者几个字母之间的数量关系
3.将要求的不等式用消元法化简成只含有一个字母的形式
4.解该不等式，注意不等号方向是否需要改变.
【考点】11：方程不等式综合
方程与不等式综合，主要考查的是用参数(字母)表示方程(组)的解，然后按照题意列出不等式，解之，给出符合要求的参数的值或范围.
【必会拓展】
方程组的解往往满足一些不等式，有些是隐藏的，具体解题就是两步： 用参数表示未知数的值； 按照题意列出不等式.
【综合创新】
这类题目往往难度较大，涉及不等式的综合应用，包括其他知识以及题中给出的定义或方法才是解决问题的突破口.
【考点】12：平面直角坐标系中点的特征与变换
1.各象限内点的坐标特征
①P(x，y)点在第一象限 x＞0，y＞0， (+，+)；
②P(x，y)点在第二象限 x＜0，y＞0， (-，+)；
③P(x，y)点在第三象限 x＜0，y＜0， (-，-)；
④P(x，y)点在第四象限 x＜0，y＜0， (+，-).
2.坐标轴上点的坐标特征
①点P(x，y)在x轴上 y＝0，x为任意实数；
②点P(x，y)在y轴上 x＝0，y为任意实数；
③点P(x，y)在原点 x＝0，y＝0.
3.两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征
①点P(x，y)在第一、三象限夹角的角平分线上 x＝y；
②点P(x，y)在第二、四象限夹角的角平分线上 x+y＝0.
4.平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征
①平行于x轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数；
②平行于y轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数.
【必会拓展】
坐标系中的坐标变换(图形的变换与图形上点的变换保持一致性)
③旋转(特殊角:90 ° , 60 ° , 45 ° , 30 °……;例.P(0,3)绕原点(0，0)顺时针旋转90 °后的对应点P' (3，0).
【综合创新】
1.与坐标有关的新定义问题，理解“新定义 ”是解题的关键.
2.用坐标表示距离
①点P(x，y)到x轴的距离是 ∣y ∣ , 点P(x，y)到直线y＝m的距离是 ∣y-m ∣ ;
②点P(x，y)到y轴的距离是 ∣x ∣ , 点P(x，y)到直线x＝n的距离是 ∣x-n ∣ ;
③当P1 P2 平行于x轴时，P1(x1 ，y1 )，P2(x2 ，y2 )， ∣P1 P2 ∣ = ∣x1 -x2 ∣ (y1 ＝y2 )；当P1 P2 平行于y轴时， ∣P1 P2 ∣ = ∣y1 -y2 ∣ (x1 ＝x2 ).
3.平面直角坐标系中点P到x轴的距离为 ∣b ∣ , 到y轴的距离为 ∣a ∣ , 则点坐标有四
种情况，分别是(a，b)、 (-a，b)、 (a，-b)、 (-a，-b). 【考点】13：坐标系中的面积与规律坐标系中的面积问题
1.已知点坐标，求面积；
2.已知面积，确定点坐标；
3.方法：
①公式法；②割补法；③等积转化法；④铅垂线法；
4.注意：对于无图的已知面积求点问题，要注意多解现象，点的位置不确定就分类讨论.
【必会拓展】
坐标系中的找规律问题，本质都是找点坐标规律，即数的规律.
1.有关点的问题→重点理解点坐标的静态意义及动态意义(动态意义：点从原点出发，左右、上下移动后所在位置的描述).
2.有关线的问题→重点理解线是一系列点(一类点)的集合.
①x轴→纵坐标为0的所有点组成的图形，记作：y＝0；
②y轴→横坐标为0的所有点组成的图形，记作：x＝0；
③ Ⅰ , Ⅲ象限角平分线→横纵坐标相等的所有点组成的图形，记作：y＝x；
④Ⅱ , Ⅳ象限角平分线→横纵坐标互为相反数的点组成的图形，记作：y＝-x.
3.有关距离的问题→重点掌握：水平放置线段和竖直放置线段的求法即可.
①水平放置的线段长＝两端点横坐标差的绝对值；
②竖直放置的线段长＝两端点纵坐标差的绝对值.
【综合创新】
1.有关面积的问题：
2.掌握好“点的坐标和线段间的相互转化 ”.
3.有关点坐标找规律问题：先写出前几个点的坐标，一种思路是分别找横纵坐标规律；另一种思路是先找出横纵坐标中容易得到规律的坐标，然后再看横纵坐标间的规律或关系即可.

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