资源简介

2026年中考数学复习专题课件★★
二次函数中的定点、交点、最值问题
类型1：定点、定值问题
1.特殊值法
方法：给参数赋予特殊值,得到具体的函数解析式,联立解析式求解方程组,得到的解即为定点坐标.
示例：y＝－x2＋2mx＋3m,令m＝0和m＝1,得到y＝－x2和y＝－x2＋2x＋3,联立两个方程可得定点?32，?94.
?
【提分关键】
1.一次函数过定点问题
(1)基本形式：对于一次函数y＝kx＋b(k,b为常数,k≠0),当x＝0时,y＝b,所以一次函数图象一定过点(0,b).
(2)含参数的一次函数：将函数整理成y＝k(x－a)＋b的形式,令x－a＝0,即x＝a,此时y＝b,所以函数图象一定过点(a,b).
2.分离参数法
方法：对含有参数的项进行集中,将所有含参数的项进行因式分解,把参数提出来,提出公因式后令剩下的因式等于0,得到一个关于自变量x的方程,解方程得到x的值,再代入解析式得到y的值,即为定点坐标.
示例：y＝mx2＋(1－2m)x＋1－3m,整理得 y＝m(x2－2x－3)＋x＋1,令 x2－2x－3＝0,解得x＝3或x＝－1,对应的y值分别为4和0,所以定点为(3,4)和(－1,0).
2.二次函数过定点问题
(1)基本形式：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数,a≠0),当x＝0时,y＝c,所以二次函数图象一定过点(0,c).
(2)含参数的二次函数：将函数整理成y＝a(x－m)(x－n)＋p的形式,令(x－m)(x－n)＝0,即x＝m或x＝n,此时y＝p,所以函数图象一定过点(m,p)和(n,p)
3.变换主元法
方法：把函数的解析式化为am＝b(m为参数,a,b为含有x,y的代数式)的形式,令a＝0且b＝0,得到关于x,y的二元方程组,方程组的解即为定点的坐标.
示例：y＝mx2＋(1－2m)x＋1－3m,整理得(x2－2x－3)m＝y－x－1,令x2－2x－3＝0且y－x－1＝0,解得x＝3或x＝－1,对应的y值分别为4和0,所以定点为(3,4)和(－1,0).
【针对训练】
1.已知一次函数y＝ax－2a＋3(a为常数,a≠0)的图象恒经过一个定点,这个定点坐标是 .
2.设抛物线y＝x2＋(m＋2)x＋m,其中m为实数.
(1)若抛物线一定经过一点,则该点的坐标为 ；
(2)当x＝2时,y＞0,且当x＜－2时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是
.
(2,3)
(－1,－1)
－83＜m≤2
?
3.在同一个平面直角坐标系中,已知函数y1＝x2＋bx＋14b2－b－1的图象与函数y2＝2x－1的图象一定有两个交点,而且这两个交点间的距离为定值.请说明这种说法是正确的,并求出这个定值.
?
解：设y1与y2相交于点A,B,
当y1＝y2时,x2＋bx＋14b2－b－1＝2x－1,整理得x2＋(b－2)x＋12b2－b＝0,
∵(b－2)2－414????2?????＝4>0.∴函数y1与y2的图象一定有两个交点.
则xA＋xB＝2－b,xAxB＝14b2－b,|xB－xA|＝(?????2)2?414????2?????＝2,
|yB－yA|＝|(2xB－1)－(2xA－1)|＝2|xB－xA|＝4,
∴AB＝22?42＝25.
?
类型2：与直线的交点问题
1.与直线的交点个数
(1)代数法：联立二次函数与直线解析式,根据一元二次方程根的判别式求解个数.
(2)图象法：通过画出函数的图象和直线,直观地观察它们的交点个数.
2.已知与直线的交点求线段长
(1)通过求交点坐标计算线段长度
方法：先求出二次函数与直线的交点坐标,再根据两点间距离公式计算线段长度.若线段平行于坐标轴,计算更简便,平行于x轴的线段长度为两点横坐标之差的绝对值,平行于y轴的线段长度为两点纵坐标之差的绝对值.
例1：二次函数y＝x2－2x－3与直线y＝x＋1,求它们交点间线段的长度.
解：先联立方程x2－2x－3＝x＋1,解得x＝－1或x＝4,对应的y值分别为y＝0,y＝5,所以交点为(－1,0),(4,5).根据两点间距离公式,线段长度为(4+1)2 +(5?0)2＝52 .
?
(2)利用函数性质求线段最值
方法：当线段与坐标轴不平行时,可将线段长度表示为关于某变量的函数,再利用函数的性质(如二次函数的顶点式)求最值.
例2：直线y＝x－4与x,y轴分别交于A,B两点,抛物线y＝x2－3x－4经过A,B两点,与x轴负半轴交于点F,C为第四象限抛物线上一动点,过点C作CE⊥x轴于点E,交直线AB于点D,D在C上方,求CD的最大值及此时点C的坐标.
解：设C(x,x2－3x－4),D(x,x－4),则CD＝yD－yC＝x－4－(x2－3x－4)＝－x2＋4x,开口向下的抛物线,其对称轴为直线x＝2,当x＝2时,CD有最大值为－22＋4×2＝4,此时C(2,－6).
(3)利用几何变换求线段最值
方法：通过平移、旋转、对称等几何变换,将问题转化为更易求解的形式,再结合二次函数与直线的交点关系求解.
例3：已知二次函数y＝－23x2－43x＋2的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,P为其对称轴上一动点,当PB＋PC最小时,求点P的坐标.
?
解：求出A(－3,0),B(1,0),C(0,2),∵A,B关于对称轴对称,∴PA＝PB,连接AC,与对称轴的交点即为P,此时PB＋PC＝PA＋PC＝AC最小.求出直线AC的解析式为y＝23x＋2,与x＝－1联立,可得P?1,43.
?
【针对训练】
4.已知抛物线y＝x2＋2x－3.
(1)若直线y＝a与该抛物线只有一个交点,则a＝ ；
(2)若直线y＝3x＋n与该抛物线有两个交点,则n的取值范围为 .
－4
n>－134
?
5.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y＝ax2＋4x的顶点为P(m,n).
(1)若该抛物线与x轴交于点(4,0),则n＝ ；
(2)已知点A(3,－2),B(－3,2),若该抛物线与线段AB始终有两个不同的交点,则n的取值范围是 .
4
0＜n≤187或－187≤n＜0
?
6.如图,抛物线y＝x2－4x与直线y＝x交于原点O和点B,与x轴交于另一点A,顶点为D.M是点B关于抛物线对称轴的对称点,Q是抛物线上的动点,它的横坐标为m(0＜m＜5),连接MQ交直线OB于点E,求????????????????的最大值.
?
解：令y＝x2－4x＝x,解得x＝0或x＝5,∴B(5,5),
∵点B(5,5)与点M关于对称轴x＝2对称,∴M(－1,5),
分别过点M,Q作y轴的平行线,交直线OB于点N,K,则
N(－1,－1),MN＝6,∵点Q的横坐标为m,
∴Q(m,m2－4m),K(m,m),
∴KQ＝m－(m2－4m)＝－m2＋5m,∵MN∥KQ,∴△MNE∽△QKE,
∴????????????????＝????????????????＝－16(m2－5m)＝－12?????522＋2524,
∵－16＜0,∴m＝52时,的最大值为2524.
?
类型3：最值问题(2024T23,2022T23,2021T14)
1.利用二次函数顶点式求最值
2.区间范围内利用增减性求最值
(1)二次函数区间最值类型
①定轴定区间：对称轴和区间都固定；
②定轴动区间：对称轴固定,区间动；
③动轴定区间：对称轴动,区间固定；
④动轴动区间：对称轴和区间都动.
(2)解题方法三要素
①三点：区间的两个端点和中点；
②一轴：表示二次函数的对称轴；
③开口：表示二次函数的开口方向.
通过数形结合方法,根据函数的增减性分类讨论解决问题.
(3)四种区间情况讨论
①对称轴在区间右边；
②对称轴在区间左边；
③对称轴在区间内,且靠近右端点；
④对称轴在区间内,且靠近左端点.
定轴动区间
动轴定区间
【针对训练】
7.(动轴定区间)已知二次函数y＝－x2＋2mx－3(m＞0),当－1≤x≤3时,函数的最大值为1,则m的值为 .
8.(定轴动区间)已知二次函数y＝x2－6x＋5,当m≤x≤4时,函数的最大值与最小值的和为－7,则m的取值范围为 .
2
2≤m≤3

展开更多......

收起↑