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八年级数学期末选择填空压轴小题精练
20260115
1．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC= ∠DAE ＝90° , AB＝AC＝2 ，O 为 AC 中点，若点
D 在直线 BC 上运动，连接 OE，则在点 D 运动过程中，则 OE 的最小值是为( )
A ． B ．0.25 C ．1 D ．2
2．如图，直线y ＝2x+2 与直线y ＝ -x+5 相交于点 A，将直线 y ＝2x+2 绕点 A 旋转 45°后所得直线与 x 轴的交点坐标为( )
A ．（ -8 ，0） B ．（3 ，0） C ．（ -11 ，0），（ ，0） D ．（ -10 ，0），（2，0）
3
3．在平面直角坐标系中，点 A（1 ，3）、B（4 ，5）、C（m ，0）、D（m+2 ，0），当四边形ABDC 的周长最小时，m 的值为( )
A ．2 B ． C ． D ．√2
第 1 题图 第 2 题图 第 7 题图
4．平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（3m ， -4m+4），一次函数 yx+12 的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，若点 P 在△AOB 的内部，则 m 的取值范围为( )
A ．m＞一 1 或 m＜0 B ． -3＜m＜1
C ． -1＜m＜0 D ． -1≤m≤1
5．在平面直角坐标系中，已知定点 A ( √2，3√2）和动点 P（a ，a），则 PA 的最小值为( )
A ．2√2 B ．4 C ．2√5 D ．4√2
6．在平面直角坐标系xOy 中，点 P 在由直线y ＝ -x+3，直线 y ＝4 和直线x ＝1 所围成的区域内或其边界上，点 Q 在 x 轴上，若点 R 的坐标为 R（2 ，2），则 QP+QR 的最小值为( )
A ．√17 B ．√5+2 C ．3√5 D ．4
7．如图，已知一次函数y ＝kx+b 的图象经过点 A（ -1 ，2）和点 B（ -2 ，0），一次函数y ＝mx 的图象经过点 A，则关于x 的不等式组 0＜kx+b＜mx 的解集为( )
A ． -2＜x＜ -1 B ． -1＜x＜0 C．x＜ -1 D．x＞ -1
8．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB ＝90° , AC＝6，BC＝8，如果点 D，E 分别为 BC，AB 上的动点，那么AD+DE的最小值是( )
A ．8.4 B ．9.6 C ．10 D ．10.8
第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图
9．如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝3，BC＝4，E，F 分别是 BC，AD 上的点．现将四边形 ABEF 沿 EF 折叠，点 A、B 的对应点分别为M、N，且点 N 恰好落在 CD 上．连接 BM，过 B 作 BG⊥EF，垂足为 G，则 2BG+BM的最小值为( )
A ．√73 B ．5 C ．√52 D ．7
10．一次函数y1 ＝ax+b 与y2 ＝cx+d（a≠0，c≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ad+bc＞0；②3（a -c） =d -b；③x 的值每增加 1，y2 -y1 的值增加 d -b ．其中正确的是( )
A ．①② B ．②③ C ．② D ．①②③
11．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD，BE 是△ABC 的高，AD，BE 相交于点 H，连接 DE，EF 垂直平分AB，交 AD 于点 G ．下列结论：①BC＝2DE；②△BEC≌△ADC；③△GHE 是等腰三角形；④AG2 - GD2 ＝CD2，其中所有正确结论的序号是( )
A ．①② B ．①③④ C ．①④ D ．②③④
12．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB ＝90° , CD⊥AB，垂足为 D，AF 平分∠CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F．若 AC＝3，AB ＝5，则 CE 的长为( )
A．
3
2
B．
4
3
C．
5
3
D．
8
5
13．一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间 t（单位：h）的函数图象如图所示，则两车先后两次相遇的间隔时间是( )
A．h B ．h C ．h D．h
第 11 题图 第 12 题图 第 13 题图
14．如图，点 A，B 在直线MN的同侧，A 到 MN 的距离 AC＝8，B 到MN 的距离 BD ＝5，已知 CD ＝4，P是直线 MN 上的一个动点，记PA+PB 的最小值为 a，|PA-PB|的最大值为 b，则 a2 -b2 的值为( )
A ．160 B ．150 C ．140 D ．130
15．如图，在四边形ABCD 中，连接 AC、BD，已知∠ADB = ∠ACB ＝90° , ∠CAB=45° , CD=√2 ，BC=√5，则四边形 ABCD 的面积为( )
A ． B ．3 C ． D ．4
2
16．如图，在△ABC 中，∠ABC＝90° , BC＝4，AB ＝8，P 为AC 边上的一个动点，D 为 PB 上的一个动点，连接 AD，当∠CBP = ∠BAD 时，线段 CD 的最小值是 ( )
A ．√2 B ．2 C ．2√2 1 D ．4√2 4
第 14 题图
第 15 题图
第 16 题图
17．△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形 ABC 内．若求五边形 DECHF 的周长，则只需知道( )
A ．△ABC 的周长 B ．△AFH 的周长 C ．四边形 FBGH 的周长 D ．四边形 ADEC 的周长
18．如图，在等腰△ABC 中，AB＝AC＝5 ，BC＝6 ，O 是△ABC 外一点，O 到三边的垂线段分别为 OD， OE ，OF，且 OD：OE：OF＝1 ：4 ：4，则 AO 的长度为( )
A ．5 B ．6 C ． D．
19．如图，已知△ABC 中，∠ABC＝50° , P 为△ABC 内一点，过点 P 的直线 MN 分别交 AB 、BC 于点 M、
N．若 M 在 PA 的中垂线上，N 在 PC 的中垂线上，则∠APC 的度数为( )
A ．110° B ．105° C ．115° D ．无法确定
第 17 题图 第 18 题图 第 19 题图
20．无论 a 取什么实数，点 P（a -1 ，2a -3）都在直线 l 上．若点 Q（m ，n）也是直线 l 上的点，则2m -n+3 的值等于( )
A ．4 B ． -4 C ．6 D ． -6
21．八个边长为 1 的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线 l 将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线 l 的解析式为( )
A．y ＝ -x B．yx C．yx D．yx
22．在平面直角坐标系中，点 A（1，1），B（3，3），动点 C 在x 轴上，若以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点 C 的个数为( )
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
23．如图，在四边形ABCD 中，AC 与 BD 交于点 E，BD⊥AD，AC⊥BC，AD＝BD，AC 平分∠DAB ．下列结论：①∠ACD ＝45°; ②AE ＝2BC；③AB -BD＝DE；④BC＝CD ．其中结论正确的有( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
第 21 题图 第 23 题图 第 24 题图
24．如图，在直角△ABC 中，AB＝BC，点 D 是边 AC 上一动点，以 BD 为直角边，B 为直角顶点作等腰直角△DBE ，DE 交 BC 于点 F，连接 CE ．过点 B 作 BQ⊥DE 于点 P，交 CD 于点 Q ．下面结论中正确的个数是( )
① △ABD≌△CBE ； ② ∠CDE = ∠ABD ； ③ AD2+CQ2 ＝DQ2 ； ④ 当 AD ：DC ＝ 1 ： 2 时， S△BEC+S△DCES△DBE；⑤当 CE ＝CF 时，AD：CD
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
25．如图，在△ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的平分线 AE、BF 相交于点 O，AE 交 BC 于 E，BF 交 AC 于 F，过点 O 作 OD⊥BC 于 D，下列四个结论：①∠AOB ＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD ＝a，AB+BC+CA ＝2b，则 S△ABC ＝ab ．其中正确的是( )
A ．①② B ．②③ C ．①②③ D ．①③
26．将函数y＝x 的图象作如下变换：保留其在 x 轴及其上方部分的图象，再将 x 轴下方部分的图象沿 x 轴翻折，得到如图所示的“V”形图．已知关于 x 的一次函数y ＝mx+4m -2（m≠0）的图象与“V”形图左、右两侧分别交于点 A、B ．有下列说法：
① △OAB 是直角三角形； ② 有且仅有一个实数 m，使 AB ＝2； ③ 当 m时，△OAB 是等腰三角形； ④ 当 m时，△OAB 的面积是 ． 其中说法正确的个数是( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
第 25 题图
第 26 题图
第 27 题图
27．如图，∠MON＝90°,点 B 在射线 ON 上且 OB ＝2，点 A 在射线 OM 上，以 AB 为边在∠MON 内部作正方形 ABCD，其对角线 AC、BD 交于点 P．在点 A 从 O 点出发，沿射线 OM 的运动过程中，下列说法正确的是( )
A ．点 P 始终在∠MON的平分线上，且线段 OP 的长有最小值等于
B ．点 P 始终在∠MON的平分线上，且线段 OP 的长有最大值等于√2
C ．点 P 不一定在∠MON的平分线上，但线段 OP 的长有最小值等于√2
D ．点 P 运动路径无法确定
28．设 P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数 C1 ，C2 图象上的点，当 a≤x≤b 时，总有 -1≤y1 -y2≤1 恒成立，则称函数 C1 ，C2 在 a≤x≤b 上是“逼近函数 ”，a≤x≤b 为“逼近区间” ．则下列结论：
① 函数y＝x -5，y ＝3x+2 在 1≤x≤2 上是“逼近函数 ”；
② 函数y＝x -5，y＝x2 -4x 在 3≤x≤4 上是“逼近函数 ”；
③ 0≤x≤1 是函数y＝x2 -1，y ＝2x2 -x 的“逼近区间 ”；
④ 2≤x≤3 是函数y＝x -5，y＝x2 -4x 的“逼近区间”．其中，正确的有( )
A ．②③ B ．①④ C ．①③ D ．②④
29．定义：我们把一次函数y ＝kx+b（k≠0）与正比例函数y ＝ -x 的交点称为一次函数y ＝kx+b（k≠0）的
“关联点”．例如求y ＝2x+3 的“关联点”：联立方程{ ，解得{1，则y ＝2x+3 的“关联点”
为（ -1 ，1）．
①一次函数y ＝3x+4 的“关联点 ”为（ -1，1）；②若一次函数y ＝mx+n 的“关联点 ”为（2，n -1），则m= ，n ＝ -1 ；③若一次函数y ＝3x+4 和一次函数 y ＝kx+3 的“关联点 ”相同，则 k ＝2；④若一次函数y ＝kx -3 的图象与x 轴交于点 A，与y 轴交于点 B，且一次函数y ＝kx -3 上没有“关联点 ”，若 P 点为x 轴上一个动点，使得S△ABP= S△ABO，则点 P 的坐标为（ -1.5 ，0）．
以上说法正确的是( )
A ．①② B ．①③ C ．①③④ D ．②③④
30．在直角坐标系中，点A 的坐标是（4，0），点 B 在坐标轴上，点 B 绕点 A 顺时针旋转 90°落在直线y=x+3上，则点 B 的坐标是 ．
31．在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx+b 的图象经过点（ -4，2）和(3 ，√5)，则不等式(k+)x+b＜0的解集是 ．
32．已知点 A（1 ，5），B（3 ， -1），点M 在x 轴上，当 AM-BM 最大时，点M 的坐标为 ．
33．在平面直角坐标系中，已知 A 、B、C、D 四点的坐标依次为（0 ，0）、（6 ，0）、（8 ，6）、（2 ，6），若一次函数y ＝mx -6m 的图象将四边形 ABCD 的面积分成 1 ：3 两部分，则 m 的值为 ．
34．若直线 l1：y ＝ax+b（a≠0）与直线 l2：y ＝mx+n（m≠0）的交点坐标为（ -2 ，1），则直线 l3：y ＝a（2x -3）+b+2（a≠0）与直线 l4：y ＝m（2x -3）+n+2（m≠0）的交点坐标为 ．
35．在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（a ，b），点 P 的“变换点”P'的坐标定义如下：当a≥b 时，P'点坐标为（a， -b）；当 a＜b 时，P'点坐标为（a+4 ，b -2）．线段 l：y ＝ -0.5x+3（ -2≤x≤6）上所有点按上述“变换点 ”组成一个新的图形，若直线y ＝kx+5 与组成的新的图形有两个交点，则 k 的取值范围是 ．
36．如图，两条互相垂直的直线 m 、n 交于点O，等腰直角三角形 ABC 的直角顶点A 在直线 m 上，锐角顶点 B 在直线n 上，D 是斜边 BC 的中点．若 OD ＝3 ，BC＝4，则 OA2+OB2 = , △AOB 的面积为 ．
第 36 题图 第 37 题图 第 38 题图
37．如图，∠ABC＝30° , AB ＝2，BC＝1，点 D 是射线BA 上的动点，将线段 CD 绕点 D 顺时针旋转 120° ,得到线段 ED，连接 CE、AE，则 CE+AE 的最小值是 ．
38．如图，在平面直角坐标系中，Q 是直线y=x+3上的一个动点，将 Q 绕点 P（0 ，1）顺时针旋转 90° ,得到点 Q'，连接 OQ'，则 OQ'的最小值为 ．
39．如图，点 C 的坐标是（2，2），A 为坐标原点，CB⊥x 轴于 B ，CD⊥y 轴于D，点 E 是线段 BC 的中点，过点 A 的直线y ＝kx 交线段 DC 于点 F，连接 EF，若 AF 平分∠DFE，则 k 的值为 ．
40．如图，一次函数y ＝ -x+4 的图象与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点 B，点 C 为AO 中点，OD ＝3，点 P为 AB 上的动点，当∠APC= ∠BPD 时，点 P 的坐标为 ．
41．如图，已知 AB ＝4，点 C 是线段 AB 的中点，以 C 为直角顶点，作等腰直角三角形 CDE（C，D ，E三点按顺时针方向排列），且 CD=√3，将等腰直角三角形 CDE 绕点 C 顺时针方向旋转，在旋转过程中，|AD-BE|的最大值为 ．
第 39 题图 第 40 题图 第 41 题图
42．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝2，AD 为 BC 边上的中线，且 AD ＝1，点 P 是 BC 上一动点，连接AP ，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 120°得到线段 AQ，连接 DQ，则 DQ 长度的最小值为 ．
43．如图，△ABC 为等边三角形，AB ＝2，点 D 是 BC 中点，点 E、F 分别是边 AB 、BC 上的动点，且不与端点重合，作∠AEF 和∠EFC 的角平分线交于点 G，则 DG+CG 的最小值为 ．
第 42 题图 第 43 题图 第 44 题图
44．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A ＝40° , D 是边AB 上的动点，连接 CD，将△ADC 沿直线 CD 翻折得到△A′DC，直线 AB 与直线 A′ C 交于点 E ．若△A′DE 是等腰三角形，则∠ACD 的度数为 ° .
45 ．如图，P 是直线 y=x 上一动点，若点 A 、B 的坐标分别为（5 ，0）、（9 ，3）， 则△PAB 的面积为 ．
46．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90° , AC＝BC=√2．D 是边 AB 上一动点，连接 CD，以 CD 为直角边在
CD 左侧作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°,连接 AE，则 DE 长度的最小值为 ；
△ADE 面积的最大值为 ．
第 45 题图 第 46 题图 第 47 题图
47．如图，四边形 ABCD 中，∠B ＝60° , AB＝BC，将边 DA 绕点 D 逆时针旋转 60°得到线段DE，过点 E作 EF⊥BC，垂足为 F，若 EF＝2 ，BF＝3，则线段 CD 的长是 ．
48．如图，在边长为 2 的等边△ABC 中，射线 BD⊥AC 于点 D，将△ABD 沿射线 BD 平移，得到△EGF，连接 CF、CG，则 CF+CG 的最小值为 ．
49．如图，在△ACB 中，∠ACB ＝90° , CP 平分∠ACB，过 P 作 PQ⊥CP 交 CB 于 Q ．若 AP ＝3 ，BP ＝4，则 CQ ＝ ，S△APC+S△PQB = .
第 48 题图 第 49 题图 第 50 题图
50．如图①,在△ABC 中，∠ACB ＝90° , ∠A ＝30°,点 C 沿 BE 折叠与 AB 上的点D 重合．连接 DE，请你探究：= ；请在这一结论的基础上继续思考：如图②,在△OPM中， ∠OPM＝90° , ∠M＝30°, 若 OM＝2，点 G 是 OM 边上的动点，则PG+MG的最小值为 ．
51．如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边上的l2 处，点A对应点为 A'，且 B'C＝3，则 BN＝ ，AM= .
第 51 题图 第 52 题图
52．在平面直角坐标系 xOy 中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0 ，4），点 B 是x轴正半轴上的点，且点 B 的横坐标为 n（n 为正整数），记△AOB 内部（不包括边界）的整点个数为 m．当 n ＝12 时，m 的值为 ；当 n ＝2022 时，m 的值为 ．
53．如图，点 A 坐标为（ -4， -4），点 B（0 ，m）在 y 轴的负半轴上沿负方向运动时，作 Rt△ABC，其中∠BAC＝90° . 直线 AC 与 x 轴正半轴交于点 C（n，0），当 B 点的运动过程中时，则 m+n 的值为 ．
54．如图，已知直线 AB 与y 轴交于点A（0 ，2），与 x 轴的负半轴交于点 B，且∠ABO ＝30°,点 C 为x 轴的正半轴上一点，将线段 CA 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°得线段 CD，连接 BD，若 BD=√41，则点 C的坐标为 ．
第 53 题图 第 54 题图 第 55 题图
55．如图，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC＝90° , AB＝AC，点 M，N 在边 BC 上，且∠MAN＝45° . 若 BM = 1 ，CN＝3，则 MN 的长为 ．
56．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（0，2），点 B 的坐标是（2 ，0），连接 AB，点 P 是线段AB 上的一个动点（包括两端点），直线y ＝ -x 上有一动点 Q，连接 OP，PQ，已知△OPQ 的面积为√2 ，则点 Q 的坐标为 ．
第 56 题图 第 57 题图 第 58 题图
57．如图，△ABO 为等腰直角三角形，A（ -6 ，0），直角顶点 B 在第二象限．点 C 在y 轴上移动，以 BC为斜边作等腰直角△BCD，我们发现直角顶点 D 点随着 C 点的移动也在一条直线上移动，这条直线的函数表达式是 ．
58 ．如图所示， 在四边形 ABCD 中，AD ＝3 ，CD ＝2 ， ∠ABC = ∠ACB = ∠ADC ＝45° ,则 BD 的长为 ．
59．甲、乙二人从学校出发去科技馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差 s（米）与甲出发时间 t（分）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙先到达科技馆；
②乙的速度是甲速度的 2.5 倍；③b ＝480；④a ＝24．其中正确的是 （填序号）．
60．如图，Rt△ABC 中，∠ACB ＝90° , AC＝6，BC＝8，将边 AC 沿 CE 翻折，使点 A 落在 AB 上的点 D 处；再将边 BC 沿 CF 翻折，使点 B 落在 CD 的延长线上的点 B′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点 E、F，则线段 B′E 的长为 ．
第 59 题图 第 60 题图
八年级数学期末选择填空压轴小题精练
参考答案与试题解析
20260115
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C C C B A A B A A B
题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
答案 A D A B D A D C A D B
题号 23 24 25 26 27 28 29
答案 D C B C A A B
√2
A ． B ．0.25 2
【解答】解：设 Q 是 AB 的中点，连接 DQ，
∵∠BAC= ∠DAE ＝90° ,
:∠BAC﹣∠DAC= ∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD = ∠CAE，
∵AB＝AC＝2 ，O 为AC 中点， :AQ＝AO，
C ． 1 D
在△AQD 和△AOE 中，OAE，:△AQD≌△AOE :QD ＝OE，
∵点 D 在直线 BC 上运动，:当 QD⊥BC 时，QD 最小，
∵△ABC 是等腰直角三角形，:∠B ＝45° ,
∵QD⊥BC，:△QBD 是等腰直角三角形，
:QDQB ，∵QBAB ＝1，:QD :线段 OE 的最小值是为 故选：A．
2．如图，直线y ＝2x+2 与直线y =﹣ x+5 相交于点 A，将直线 y ＝2x+2 绕点 A 旋转 45°后所得直线与 x 轴的交点坐标为( )
A ．(﹣8 ，0） B ．（3 ，0） 7
【解答】解：令 2x+2 =﹣ x+5，解得 x ＝1，
:A（1 ，4）．
设直线y ＝2x+2 与x 轴交于点 B，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C， :OC＝1，AC＝4，
令y ＝2x+2 ＝0，则 x =﹣ 1， :OB ＝1，
:BC＝2．
将直线y ＝2x+2 绕点A 旋转45° , 需要分两种情况：
①当直线AB 绕点 A 逆时针旋转 45°时，如图 1，设此时直线与x 轴的交点为 P，此时∠BAP ＝45° ,过点 B 作 BD⊥AB 交直线AP 于点 D，过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E
:∠ACO = ∠ABD ＝90° ,
:∠ABC+∠DBE = ∠DBE+∠BDE ＝90° , :∠ABC= ∠BDE，
∵∠ABD ＝90° , ∠BAP ＝45° , :∠BDA = ∠BAP ＝45° , :AB＝BD，
:△ACB≌△BED（AAS），
:BC＝DE ＝2，BE＝AC＝4， :OE ＝3 ，:D（3，﹣2），
设直线 AP 的解析式为y ＝kx+b，:{，解得{3， :直线 AP 的解析式为y =﹣ 3x+7，令y ＝0，则 x=，
:P（ ，0）；
3
②当直线AB 绕点 A 顺时针旋转 45°时，如图 2，
设此时直线与 x 轴的交点为 Q，延长 DB 交 AQ 于点 F，则∠BAQ ＝45° ,
∵∠ABF= ∠ABD ＝90° ,
:∠BAF= ∠BFA ＝45° ,
:BF＝BA＝BD，即点 B 为 DF 的中点， ∵B (﹣ 1 ，0），D（3，﹣2），
:F (﹣5 ，2），
设直线 AQ 的解析式为：y ＝mx+n，:{，解得{，
:直线 AQ 的解析式为：y=x+ ．令y ＝0，则 x =﹣ 11 ，:Q (﹣ 11 ，0），综上所述，将直线y ＝2x+2 绕点 A 旋转 45°后所得直线与 x 轴
的交点坐标为(﹣ 11 ，0），（ ，0）．
3
故选：C．
3．在平面直角坐标系中，点A（1 ，3）、B（4，5）、C（m ，0）、
D（m+2 ，0），当四边形ABDC 的周长最小时，m 的值为( )
5
A ．2 B ．
4
C ． D ．√2
【解答】解：把 B 左移 2 个单位到点 E（2 ，5），作 A 关于x 轴的对称点 F（1 ， -3），连接 EF 交x 轴于点 C
设 EF：y ＝kx+b ，∴{，解得：{11，
∴EF：y ＝8x -11，
当y ＝0 时，8x -11 ＝0 ，解得：x=，故选：C．
4．平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（3m ， -4m+4），一次函数 y=x+12 的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，若点 P 在△AOB 的内部，则 m 的取值范围为( )
A ．m＞一 1 或 m＜0 B ． -3＜m＜1
C ． -1＜m＜0 D ． -1≤m≤1
【解答】解：当 x ＝0 时，y ＝12，当 y ＝0 时，x ＝ -9，∴A（ -9 ，0），B（0 ，12），当 m ＝1 时，P 点坐标为（3，0），当 m ＝2 时，P 点坐标为（6 ， -4），
设点 P 所在的直线解析式为y ＝kx+b，将（3 ，0），（6， -4）代入，{，解得{，
∴点 P 在直线y= x+4 上，联立方程组{，解得{3，
∵点 P 在△AOB 的内部，∴{8，解得： -1＜m＜0，
故选：C．
5．在平面直角坐标系中，已知定点 A ( √2，3√2）和动点 P（a ，a），则 PA 的最小值为( )
A ．2√2 B ．4 C ．2√5 D ．4√2
【解答】解：PA=√( √2 a)2+(3√2 a)2=√2a2 4√2a+20 =√2(a √2)2+16，
∴PA 的最小值为√16=4，故选：B．
6．在平面直角坐标系xOy 中，点 P 在由直线y ＝ -x+3，直线 y ＝4 和直线x ＝1 所围成的区域内或其边界上，点 Q 在 x 轴上，若点 R 的坐标为 R（2 ，2），则 QP+QR 的最小值为( )
A ．√17 B ．√5+2 C ．3√5 D ．4 【解答】解：当点 P 在直线y ＝ -x+3 和 x ＝1 的交点上时，
作 P 关于x 轴的对称点 P′，连接 P′R，交 x 轴于 Q，此时 PQ+QR 最小，
连接 PR，
∵PR ＝1 ，PP′ ＝4 ， ∴P′R=√ 12+42=√17，
11
:QP+QR 的最小值为√17．
故选：A．
7．如图，已知一次函数y ＝kx+b 的图象经过点 A（ -1 ，2）和点 B（ -2 ，0），一次函数y ＝mx 的图象经
过点 A，则关于x 的不等式组 0＜kx+b＜mx 的解集为( )
A ． -2＜x＜ -1 B ． -1＜x＜0
C．x＜ -1 D．x＞ -1
【解答】解：当 x＞ -2 时，y ＝kx+b＞0；
当 x＜ -1 时，kx+b＜mx，
所以不等式组 0＜kx+b＜mx 的解集为 -2＜x＜ -1．
故选：A．
8．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB ＝90° , AC＝6 ，BC＝8，如果点 D ，E 分别为 BC，AB 上的动点，那么AD+DE的最小值是( )
A ．8.4 B ．9.6 C ．10 D ．10.8 【解答】解：作点 A 关于 BC 的对称点A'，作点 A'E⊥AB，交 BC 于点 D.
则 AD＝A'D，
:AD+DE＝A'D+DE≥A'E．即 AD+DE 的最小值为 A'E． “∠ACB ＝90° , AC＝6，BC＝8，
:AB ＝10，AA' ＝12，
“S△AA'B= AA'.BC=AB.A'E， :A'E== =9.6 ， 即 AD+DE 的最小值为 9.6．
故选：B．
9．如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝3，BC＝4，E，F 分别是 BC，AD 上的点．现将四边形 ABEF 沿 EF 折叠，点 A、B 的对应点分别为M、N，且点 N 恰好落在 CD 上．连接 BM，过 B 作 BG⊥EF，垂足为 G，则 2BG+BM的最小值为( )
A ．√73 B ．5
C ．√52 D ．7
【解答】解：连接 BN，AN，延长 BC 到 J，使得 CJ＝BC，连接 AJ．由翻折变换的性质可知 EF 垂直平分线段 BN，BM＝AN，
“BG⊥EF，
:B ，G ，N 共线，
:2BG+BM＝BN+AN，
“四边形 ABCD 是矩形，
:∠DCB = ∠ABC＝90° , :NC⊥BJ，
“BC＝CJ，
:BN＝NJ，
:2BG+BM＝NJ+AN≥AL， “AB ＝3 ，BJ＝8，
:AJ=√AB2+BJ2=√32 +82 =√73， :2BG+BM≥√73，
:2BG+BM 的最小值为√73．
故选：A．
10．一次函数y1 ＝ax+b 与y2 ＝cx+d（a≠0，c≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ad+bc＞0；②3（a -c） =d -b；③x 的值每增加 1，y2 -y1 的值增加 d -b ．其中正确的是( )
A ．①② B ．②③ C ．② D ．①②③
【解答】解：①由图象可得：a＜0 ，b＞0 ，c＞0 ，d＜0， :ad＞0 ，bc＞0，
:ad+bc＞0，故①正确；
“一次函数y1 ＝ax+b 与y2 ＝cx+d 的图象的交点的横坐标为 3， :3a+b ＝3c+d，
:3a -3c ＝d -b，即 3（a-c）＝d-b，故②正确； “y1 ＝ax+b，y2 ＝cx+d，
:y2 -y1＝（c -a）x+d -b，
“3（a -c）＝d -b，
3 3故选：A．
11．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD，BE 是△ABC 的高，AD，BE 相交于点 H，连接 DE，EF 垂直平分AB，交 AD 于点 G ．下列结论：①BC＝2DE；②△BEC≌△ADC；③△GHE 是等腰三角形；④AG2 - GD2 ＝CD2，其中所有正确结论的序号是( )
A ．①② B ．①③④ C ．①④ D ．②③④ 【解答】解：“AB＝AC，AD 是△ABC 的高，:BD ＝CD ，:BC＝2DE，
所以①正确；
“∠ADC= ∠BEC＝90°,而 AC 与 BC 不确定相等， :△BEC≌△ADC 不成立，
所以②错误；
“∠DAC+∠C＝90° , ∠CBE+∠C＝90° , :∠DAC= ∠CBE， “AB＝AC，AD 是△ABC 的高，:AD 平分∠BAC，
:∠DAC= ∠DAB，
“EF 垂直平分 AB ，:∠DAB+∠AGF＝90° ,而∠CBE+∠BHD ＝90° ,
:∠AGF= ∠BHD，
“∠EGH= ∠AGF，∠EHG = ∠BHD ，:∠EGH= ∠EHG， :EG＝EH，:△GHE 是等腰三角形，
所以③正确．
连接 BG，如图，
“EF 垂直平分 AB ，:AG＝BG，
在 Rt△BDG 中，BG2 -GD2＝BD2 ，“BD ＝CD ，:AG2 -GD2 ＝CD2，所以④正确．
故选：B．
12．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB ＝90° , CD⊥AB，垂足为 D，AF 平分∠CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点
F．若 AC＝3，AB ＝5，则 CE 的长为( )
3
A．
2
【解答】方法一：
解：过点 F 作 FG⊥AB 于点 G，
13
∵:::CE ＝CF，
∵AF 平分∵∵AC＝3，AB ＝5 ，方法二：
过点 F 作 FG丄AB 于点 G，
∵::∵AF 平分在 Rt△AFC 和 Rt△AFG 中，{，:Rt△AFC≥Rt△AFG（HL），
:AC＝AG ＝3，
:设 FG＝x，则 BF＝4 -x，BG＝AB -AG ＝5 -3 ＝2，
:FG2+BG2＝BF2，则 x2+22＝（4 -x）2 ，解得：x=，即 CE 的长为．
故选：A．
13．一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间 t（单位：h）的函数图象如图所示，则两车先后两次相遇的间隔时间是( )
4 5 7 3
A．h B． -h C． -h D． -h
3 3 5 2
【解答】解：由图象可得，
快车的速度为：km/h），慢车的速度为：km/h，设两车第一次相遇的时间为 mh，则am=a（m -2），
解得 m ＝3，
两车第二次相遇的时间为 nh ， n+ （n -4）＝a，
解得 n=，即两车先后两次相遇的间隔时间是 故选：D．
14．如图，点 A，B 在直线MN的同侧，A 到 MN 的距离 AC＝8，B 到MN 的距离 BD ＝5，已知 CD ＝4，P是直线 MN 上的一个动点，记PA+PB 的最小值为 a ，|PA-PB|的最大值为 b，则 a2 -b2 的值为( )
A ．160 B ．150 C ．140 D ．130
【解答】解：如图，
14
作点 A 关于直线MN 的对称点 A′，连接 A′B 交直线MN 于点 P，则点 P 即为所求点．
过点 A′作直线A′E⊥BD 的延长线于点 E，则线段 A′B 的长即为 PA+PB 的最小值． ∵AC＝8 ，BD ＝5 ，CD ＝4，
:A′ C＝8 ，BE ＝8+5 ＝13，A′E＝CD ＝4， :A′B=√ 132+42=√185，
即 PA+PB 的最小值是 a=√185．
如图，延长AB 交MN 于点 P′，
∵P′A -P′B＝AB，AB＞|PA -PB|，
:当点 P 运动到 P′点时，|PA-PB|最大，
∵BD ＝5 ，CD ＝4，AC＝8，过点 B 作 BE⊥AC，
则 BE ＝CD ＝4，AE＝AC -BD ＝8 -5 ＝3， :AB=√42 +32 =5．
:|PA -PB| ＝5 为最大，即 b ＝5， :a2 -b2 ＝185 -25 ＝160．
故选：A．
15．如图，在四边形 ABCD 中，连接 AC、BD，已知∠ADB = ∠ACB ＝90° , ∠CAB=45° , CD=√2 ，BC=√5，则四边形 ABCD 的面积为( )
7
A ．2√2 B ．3 C ． D ．4
2
【解答】解：过 C 作 CE⊥AD 交AD 的延长线于 E， ∵∠ACB ＝90° , ∠CAB ＝45° ,
:△ACB 是等腰直角三角形，
:AC＝BC=√5，
∵∠ADB = ∠ACB ＝90° ,
:A ，B ，C，D 四点共圆， :∠BAC= ∠BDC＝45° ,
∵∠ADB ＝90° , :∠EDB ＝90° ,
:∠EDC＝45° ,
:△CED 是等腰直角三角形，
∵CD=√2，
:CE＝DE ＝1，
∵AE :AD ＝1，
:四边形 ABCD 的面积＝S△ACD+S△ACB= AD CE+AC BC= ×1×1+ ×√5 ×√5=3，故选：B．
16．如图，在△ABC 中，∠ABC＝90° , BC＝4，AB ＝8，P 为AC 边上的一个动点，D 为 PB 上的一个动点，
连接 AD，当∠CBP = ∠BAD 时，线段 CD 的最小值是( )
A ．√2 B ．2
C ．2√2 1 D ．4√2 4
15
【解答】解：∵∠ABC＝90° ,
:∠ABP+∠CBP ＝90° , ∵∠CBP = ∠BAD，
:∠ABD+∠BAD ＝90° , :∠ADB ＝90° ,
取 AB 的中点 E，连接 DE ，CE，
:EC=√2EB ＝4√2， ∵CD≥CE -DE，
:CD 的最小值为 4√2 4，故选：D．
17．△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形 ABC 内．若求五边形 DECHF 的周长，则只需知道( )
A ．△ABC 的周长 B ．△AFH的周长
C ．四边形 FBGH 的周长 D ．四边形 ADEC 的周长【解答】解：∵△GFH 为等边三角形，
:FH＝GH，∠FHG ＝60° ,
:∠AHF+∠GHC＝120° ,
∵△ABC 为等边三角形，
:AB＝BC＝AC，∠ACB = ∠A ＝60° , :∠GHC+∠HGC＝120° ,
:∠AHF= ∠HGC，
:△AFH≌△CHG（AAS）， :AF＝CH．
∵△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形， :BE＝FH，
:五边形 DECHF 的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF， =（BD+DF+AF）+（CE+BE），
=AB+BC．
:只需知道△ABC 的周长即可．
故选：A．
18．如图，在等腰△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6 ，O 是△ABC 外一点，O 到三边的垂线段分别为 OD， OE ，OF，且 OD：OE：OF＝1 ：4 ：4，则 AO 的长度为( )
A ．5 B ．6 C ． D．
【解答】解：如图，连接 AO ，OB ，OC，
∵O 是△ABC 外一点，O 到三边的垂线段分别为 OD ，OE ，OF，且 OD：OE：OF＝1 ：4 ：4，
:O 在∠BAC 的角平分线上， ∵AB＝AC，
:AO 过 D，且 AD⊥BC， ∵BC＝6，
在 Rt△ADC 中，由勾股定理得：AD 设 OD＝x，则 OE＝OF＝4x，
∵S△ABC+S△OBC ＝S△ABO+S△ACO，AB＝AC＝5 ，BC＝6，AD ＝4，
解得：x，
即 OD
故选：D．
19．如图，已知△ABC 中，∠ABC＝50° , P 为△ABC 内一点，过点 P 的直线 MN 分别交 AB 、BC 于点 M、
N．若 M 在 PA 的中垂线上，N 在 PC 的中垂线上，则∠APC 的度数为( )
A ．110° B ．105° C ．115° D ．无法确定
【解答】解：∵∠ABC＝50° ,
:∠BMN+∠BNM＝180° -∠ABC＝180° -50° = 130° . ∵M 在 PA 的中垂线上，N 在 PC 的中垂线上，
:AM＝PM，PN＝CN．
:∠MAP = ∠MPA ，∠CPN= ∠PCN（等边对等角）． ∵∠BMN= ∠MAP+∠MPA ，∠BNM= ∠CPN+∠PCN， :∠MPA=∠BMN，∠CPN=∠BNM．
:∠APC＝180° -65° = 115° .
则∠APC 的度数为 115° .
故选：C．
20．无论 a 取什么实数，点 P（a -1 ，2a -3）都在直线 l 上．若点 Q（m ，n）也是直线 l 上的点，则 2m
-n+3 的值等于( )
A ．4 B ． -4 C ．6 D ． -6
【解答】解：设直线 l 的解析式为y ＝kx+b（k≠0），
∵无论 a 取什么实数，点 P（a -1 ，2a -3）都在直线 l 上，
:当 a ＝1 时，P（0 ， -1），
当 a ＝2 时，P（1 ，1），
:{，解得{1，
:直线 l 的解析式为y ＝2x -1．
∵点 Q（m ，n）也是直线 l 上的点， :2m -1 ＝n，
:2m -n+3 ＝2m -（2m -1）+3 ＝4．
故选：A．
21．八个边长为 1 的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线 l 将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线 l 的解析式为( )
A．y ＝ -x B．yx C．yx D．yx
【解答】解：设直线 l 和八个正方形的最上面交点为A，过 A 作 AB丄y 轴于 B，过 A 作 AC丄x 轴于 C，
∵正方形的边长为 1 ，:OB ＝3，
∵经过原点的一条直线 l 将这八个正方形分成面积相等的两部分， 1 10 10
设直线方程为y ＝kx，则 3= k，k= ,
:直线 l 解析式为y= x，故选：D．
22．在平面直角坐标系中，点A（1 ，1），B（3 ，3），动点 C 在x 轴上，
若以 A 、B、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点 C 的个数为( )
A ．2 B ．3
C ．4 D ．5
【解答】解：如图，
∵AB 所在的直线是y＝x，
:设 AB 的中垂线所在的直线是y ＝ -x+b， ∵点 A（1 ，1），B（3，3），
:AB 的中点坐标是（2，2），
把 x ＝2，y ＝2 代入y ＝ -x+b，
解得 b ＝4，
:AB 的中垂线所在的直线是y ＝ -x+4， :C1（4 ，0）
以点 A 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与x 轴的交点为点 C2 、C3；
∵2√2＜3，
:以点 B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与x 轴没有交点．
综上，可得若以 A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点 C 的个数为 3．
故选：B．
23．如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 E，BD丄AD，AC丄BC，AD＝BD，AC 平分结论：①A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
【解答】解：①如图 1 ，BD丄AD，AD＝BD，过点 D 作 DF丄CD 交 AC 于点 F，则:△ABD 是等腰直角三角形，
:∵AC 平分∵AC丄BC，:::∵::△ADF≥△BDC（ASA），
:AF＝BC，DF＝DC，
∵②∵△DFC 是等腰直角三角形，::AF＝DF＝CD，
:又∵:DF＝EF，:AF＝DF＝CD＝EF＝BC，:AE ＝2AF，:AE ＝2BC，故结论②和④正确；
③过点 E 作 EF丄AB 于点 F，如图 2， ∵AC 平分:ED＝EF，
在 Rt△ADE 和 Rt△AFE 中，{，
:Rt△ADE≥Rt△AFE（HL），
:AD＝AF＝BD，
∵EF丄AB，DBA ＝45° , :△FBE 是等腰直角三角形，:EF＝BF＝ED， ∵AB -AF＝BF，:AB -BD＝ED，
故结论③正确，
综上所述，结论正确的有 4 个，故选：D．
24．如图，在直角△ABC 中，AB＝BC，点 D 是边 AC 上一动点，以 BD 为直角边，B 为直角顶点作等腰直角△DBE ，DE 交 BC 于点 F，连接 CE ．过点 B 作 BQ丄DE 于点 P，交 CD 于点 Q ．下面结论中正确的个数是( )
①△ABD≥△CBE；②A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【解答】解：∵在△ABD 和△CBE 中，CBE， :△ABD≥△CBE（SAS），故①正确；
∵∵:∵如图，连接 QE，
∵:QC2+CE2 ＝QE2 ，:AD2+CQ2＝DQ2；故③正确；
∵AD：DC＝1 ：2 ，:设AD ＝a，DC＝2a，:AC＝3a，
:BC＝AB= a ，:DE=√DC2+CE2=√5a ，:BP=DE= a， :S△BDE= × a×√5a=a2，
“S△BEC+S△DCE= × a× a+ ×a×2a=a2 ，:S△BEC+S△DCE≠S△BDE，故④错误；
如图，“CE ＝CF，:∠CFE = ∠CEF，
“∠ECF= ∠BCD = ∠BDE ＝45° , :∠CEF= ∠CBD， :∠CDB = ∠AFE ，:∠CDB = ∠CBD ，:CD＝BC，
设 AB＝BC＝x ＝CD，则 AC=√2x ，:AD=(√2 1）x ，:AD：CD=√2 1，故⑤正确，故选：C．
25．如图，在△ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的平分线 AE、BF 相交于点 O，AE 交 BC 于 E ，BF 交 AC 于 F，过点 O 作 OD⊥BC 于D，下列四个结论：①∠AOB ＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若 OD =a，AB+BC+CA ＝2b，则 S△ABC ＝ab ．其中正确的是( )
A ．①② B ．②③ C ．①②③ D ．①③
【解答】解：“∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点 O，
:∠OBA=∠CBA ，∠OAB=∠CAB，
:∠AOB ＝180° -∠OBA -∠OAB ＝180° ∠CBA ∠CAB = 180° （180° -∠C）＝90°+∠C，故①错误；
“∠C＝60° ,
:∠BAC+∠ABC＝120° ,
“AE ，BF 分别是∠BAC 与ABC 的平分线，
:∠OAB+∠OBA= (∠BAC+∠ABC）＝60° ,
:∠AOB ＝120° , :∠AOF＝60° , :∠BOE ＝60° ,如图，在 AB 上取一点 H，使 BH＝BE，
“BF 是∠ABC 的角平分线，
:∠HBO = ∠EBO，
在△HBO 和△EBO 中，∠EBO ，:△HBO≌△EBO（SAS）， :∠BOH= ∠BOE ＝60° ,
:∠AOH＝180° -60° -60° =60° , :∠AOH= ∠AOF，
在△HAO 和△FAO 中，，:△HAO≌△FAO（ASA），
:AF＝AH，:AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；
作 OH⊥AC 于 H，OM⊥AB 于M，
“∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点 O， :点O 在∠C 的平分线上，
:OH＝OM＝OD ＝a， “AB+AC+BC＝2b
:S△ABC= ×AB×OM+ ×AC×OH+ ×BC×OD=（AB+AC+BC） a ＝ab ，③正确．
综上所述：正确的为：②③.
故选：B．
26．将函数y＝x 的图象作如下变换：保留其在 x 轴及其上方部分的图象，再将 x 轴下方部分的图象沿 x 轴翻折，得到如图所示的“V”形图．已知关于x 的一次函数y ＝mx+4m -2（m≠0）的图象与“V”形图左、右两侧分别交于点 A 、B ．有下列说法：
①△OAB 是直角三角形；
②有且仅有一个实数 m，使 AB ＝2；
③当m=时，△OAB 是等腰三角形；
④当m=2时，△OAB 的面积是4
其中说法正确的个数是( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
【解答】解：∵函数y＝x 的图象保留其在x 轴及其上方部分的图象，再将x 轴下方部分的图象沿x 轴翻折，
:x 轴左边的函数为y ＝ -x，x 轴右边的函数为y＝x，
:两个函数形成的图象“V”关于y 轴对称，且相互垂直交于原点 o，
∵关于 x 的一次函数y ＝mx+4m -2（m≠0）的图象与“V”形图左、右两侧分别交于点 A、B， :△OAB 是直角三角形，
故①符合题意；
∵y ＝mx+4m -2 ＝m（x -4） -2 ，:y ＝mx+4m -2 是经过（ -4 ， -2）的直线，
∵AB 的线段是从 0 连续增大，:有且仅有一个实数 m，使 AB ＝2；故②符合题意； ∵当 m=时，一次函数y ＝mx+4m -2 的解析式为：y=x+1，
∵y=4x+1 与y ＝ -x 相交于点A ，: -x=4x+1 ，:x= 7 ，:y=7 ，:点A ( 7 ，7），
:同理可得点 B（4 ，4），
∵OA≠OB，AB 是直角边，:△OAB 此时不是等腰三角形，故③不符合题意； ∵当 m=时，一次函数y ＝mx+4m -2 的解析式为：y
∵y与y ＝ -x 相交于点A ，x ，:x ，:点A ( , ),
:同理可得点 B（2 ，2），:OA=√2 ，OB ＝2√2 ，:S△OAB= OA OB= × √2 ×2√2= ，
故④符合题意，故选：C．
27．如图，∠MON＝90°,点 B 在射线 ON 上且 OB ＝2，点 A 在射线 OM 上，以 AB 为边在∠MON 内部作正
方形 ABCD，其对角线 AC、BD 交于点 P ．在点 A 从 O 点出发，沿射线 OM 的运动过程中，下列说法正确的是( )
A ．点 P 始终在∠MON的平分线上，且线段 OP 的长有最小值等于√2
B ．点 P 始终在∠MON的平分线上，且线段 OP 的长有最大值等于√2
C ．点 P 不一定在∠MON的平分线上，但线段 OP 的长有最小值等于√2
D ．点 P 运动路径无法确定
21
【解答】解：作 PE⊥ON、PF⊥OM 垂足分别为 E、F，
∠PEB = ∠PFA ＝90° ,
∵ABCD 是正方形，:PA＝PB，
∵∠BOA = ∠BAC＝90° ,
:∠DAM= ∠OBA ，∠POD = ∠PBA ＝45° , :∠DMA+∠POD = ∠PBA+∠OBA，
即∠PBE= ∠PAF，
在△PBE 与△PAF 中，△PBE≌△PAF，
:PE＝PF，即 P 在∠MON的平分线上，
当点 A 在点O 时，OP 最小，此时，OP 是正方形 ABCD 的对角线的一半，而此时，正方形的边长为 2，
故选：A．
28．设 P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数 C1 ，C2 图象上的点，当 a≤x≤b 时，总有 -1≤y1 -y2≤1 恒成立，则称函数 C1 ，C2 在 a≤x≤b 上是“逼近函数” ，a≤x≤b 为“逼近区间” ．则下列结论：
①函数y＝x -5，y ＝3x+2 在 1≤x≤2 上是“逼近函数”；
②函数y＝x -5，y＝x2 -4x 在 3≤x≤4 上是“逼近函数”；
③0≤x≤1 是函数y＝x2 -1，y ＝2x2 -x 的“逼近区间”；
④2≤x≤3 是函数y＝x -5，y＝x2 -4x 的“逼近区间”．其中，正确的有( )
A ．②③ B ．①④ C ．①③ D ．②④
【解答】解：①y1 -y2 ＝ -2x -7，在 1≤x≤2 上，当 x ＝1 时，y1 -y2 最大值为 -9，当 x ＝2 时，y1 -y2最小值为 -11，即 -11≤y1 -y2≤-9，故函数y＝x -5，y ＝3x+2 在 1≤x≤2 上是“逼近函数”不正确；
②y1 -y2 ＝ -x2+5x -5，在 3≤x≤4 上，当x ＝3 时，y1 -y2 最大值为 1，当 x ＝4 时，y1 -y2 最小值为 -1，即 -1≤y1 -y2≤1，故函数y＝x -5，y＝x2 -4x 在 3≤x≤4 上是“逼近函数”正确；
③y1 -y2 ＝ -x2+x -1，在 0≤x≤1 上，当x时，y1 -y2 最大值为 ,当 x ＝0 或 x ＝1 时，y1 -y2 最小值为 -1，即 -1≤y1 -y，当然 -1≤y1 -y2≤1 也成立，故 0≤x≤1 是函数y＝x2 -1，y ＝2x2 -x 的“逼近区间”正确；
④y1 -y2 ＝ -x2+5x -5，在 2≤x≤3 上，当x时，y1 -y2 最大值为，当 x ＝2 或 x ＝3 时，y1 -y2 最小值为 1，即 1≤y1 -y，故 2≤x≤3 是函数y＝x -5，y＝x2 -4x 的“逼近区间”不正确；
:正确的有②③ ,故选：A．
29．定义：我们把一次函数y ＝kx+b（k≠0）与正比例函数y ＝ -x 的交点称为一次函数y ＝kx+b（k≠0）的“关联点”．例如求y ＝2x+3 的“关联点”：联立方程 ，解得，则 y ＝2x+3 的“关联点”为（ -1， 1）．
①一次函数y ＝3x+4 的“关联点”为（ -1 ，1）；
②若一次函数y ＝mx+n 的“关联点”为（2 ，n -1），则m n ＝ -1；
③若一次函数y ＝3x+4 和一次函数y ＝kx+3 的“关联点”相同，则k ＝2；
④若一次函数y ＝kx-3 的图象与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，且一次函数y ＝kx -3 上没有“关联点”，若 P 点为x 轴上一个动点，使得S△ABPS△ABO，则点 P 的坐标为（ -1.5 ，0）．
以上说法正确的是( )
A ．①② B ．①③ C ．①③④ D ．②③④
【解答】解：①联立，解得 ，
:一次函数y ＝3x+4 的“关联点”为（ -1 ，1）故①正确；
②“一次函数y ＝mx+n 的“关联点”为（2 ，n -1），: -2 ＝n -1 ，:n ＝ -1，
:一次函数y ＝mx+n 的“关联点”为（2 ， -2）， :2m -1 ＝ -2，解得 m，故②错误；
③一次函数y ＝3x+4 和一次函数y ＝kx+3 的“关联点”相同，
:一次函数y ＝kx+3 的“关联点”为（ -1 ，1），:1 ＝ -k+3 ，:k ＝2，故③正确；
④“一次函数y ＝kx -3 上没有“关联点”，
:直线y ＝kx-3 与直线y ＝ -x 平行，:k ＝ -1，:y ＝ -x -3，当 x ＝0 时，y ＝ -3，当 y ＝0 时， -x -3 ＝0，解得 x ＝ -3 ， :A（ -3 ，0），B（0， -3），:OA ＝3，OB ＝3，
设 P（t，0），
:AP ＝| -3 -t| ，:S△ABP= | -3 -t|×3= ，S△ABO OA.OB “S△ABP= S△ABO ，: = × , :| -3 -t|= ，解得：t或 t
:P 0）或( , 0）故④错误，故选：B．
30．在直角坐标系中，点A 的坐标是（4，0），点 B 在坐标轴上，点 B 绕点 A 顺时针旋转 90°落在直线y=x+3
上，则点 B 的坐标是 （ -1 ，0）或（0 ， -2） ． 【解答】解：令点 B 旋转后的对应点为 M．
当点 B 在x 轴上时，
令点 B 坐标为（m ，0），则 AB ＝4 -m．由旋转可知，
AM＝AB ＝4 -m ，∠BAM＝90° ,
所以点 M 坐标可表示为（4，4 -m）．
将点 M 坐标代入y得，，解得 m ＝ -1，所以点 B 的坐标为（ -1 ，0）．
当点 B 在y 轴上时，过点M 作x 轴的垂线，垂足为 N，
令点 B 坐标为（0 ，n），由旋转可知，
∠BAM＝90° , AB＝AM．
所以∠BAO+∠MAN= ∠MAN+∠M＝90° ,
所以∠BAO = ∠M．
23
在△BAO 和△NMO 中，，
所以△BAO≌△NMO（AAS），
所以 MN＝AO，AN＝OB．
因为点 A 坐标为（4，0），点 B 坐标为（0 ，n），所以 MN＝AO4，AN＝OB ＝ -n，
所以 ON＝4 -（ -n）＝n+4，则点 M 坐标为（n+4 ，4）．
将点 M 坐标代入y= x+3得， (n+4)+3=4，解得 n ＝ -2，
所以点 B 的坐标为（0 ， -2）．
综上所述：点 B 的坐标为（ -1 ，0）或（0 ， -2）．
故答案为：（ -1 ，0）或（0 ， -2）．
31．在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx+b 的图象经过点（ -4，2）
和(3 ，√5)，则不等式(k+)x+b＜0的解集是x＜ -4 ．
【解答】解：∵一次函数y ＝kx+b 的图象经过点（ -4 ，2）和(3 ，√5)，
正比例函数y= x 也经过点（ -4，2），如图，
观察图象，当 x＜ -4 时，直线y ＝kx+b 在直线yx 的下方，
:不等式(k+)x+b＜0的解集是 x＜ -4．
故答案为：x＜ -4．
32．已知点 A（1，5），B（3 ， -1），点 M 在 x 轴上，当 AM-BM 最大时，点 M 的坐标为 （ ，0） ． 2
【解答】解：如图，作点 B 关于x 轴的对称点 B′，连接 AB′并延长与x 轴的交点，即为所求的 M 点．此时 AM -BM＝AM -B′M＝AB ′．
不妨在 x 轴上任取一个另一点 M′，连接 M′A、M′B、M′B′．
则 M′A -M′B＝M′A -M′B′＜AB′（三角形两边之差小于第三边）． :M′A -M′B＜AM-BM，即此时 AM-BM 最大．
∵B′是 B（3 ， -1）关于 x 轴的对称点，:B′（3，1）．
设直线 AB′解析式为y ＝kx+b，把 A（1 ，5）和 B′（3，1）代入得：
{，解得{2 ，:直线 AB′解析式为y ＝ -2x+7．
令y ＝0，解得x= ，:M 点坐标为（ ，0）．
故答案为：（ ，0）．
2
33．在平面直角坐标系中，已知 A 、B、C、D 四点的坐标依次为（0 ，0）、（6 ，0）、（8 ，6）、（2 ，6），若
一次函数y ＝mx -6m 的图象将四边形 ABCD 的面积分成 1 ：3 两部分，则 m 的值为 或 -6 ． 【解答】解：∵直线y ＝mx -6m 经过定点 B（6，0），
又∵直线y ＝mx -6m 把平行四边形 ABCD 的面积分成 1 ：3 的两部分．
:直线y ＝mx -6m 经过 AD 的中点M（1，3）或经过 CD 的中点 N（5 ，6），
:m -6m ＝3 或 5m -6m ＝6，
:m= 或 -6，
故答案为 或 -6．
34．若直线 l1：y ＝ax+b（a≠0）与直线 l2：y ＝mx+n（m≠0）的交点坐标为（ -2 ，1），则直线 l3：y ＝a（2x
-3）+b+2（a≠0）与直线 l4：y ＝m（2x -3）+n+2（m≠0）的交点坐标为 【解答】解：把（ -2，1）分别代入y ＝ax+b、y ＝mx+n 得 -2a+b ＝1 ， -2m+n ＝1，
:2（a -m）＝b -n，
解
①-②得（a -m）（2x -3）+（b -n）＝0， :（a -m）（2x -3）+2（a -m）＝0，
:（a -m）（2x -3+2）＝0，
:2x -1 ＝0，
:x=，
把 x=代入y ＝a（2x -3）+b+2 得y ＝ -2a+b+2 ＝1+2 ＝3，
:直线 l3：y ＝a（2x -3）+b+2（a≠0）与直线 l4：y ＝m（2x -3）+n+2（m≠0）的交点坐标为（ ，3），
2
故答案为（ ，3）．
2
35．在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（a ，b），点 P 的“变换点”P'的坐标定义如下：当 a≥b 时，P'点坐标为（a ， -b）；当 a＜b 时，P'点坐标为（a+4 ，b -2）．线段 l：y ＝ -0.5x+3（ -2≤x≤6）上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线 y ＝kx+5 与组成的新的图形有两个交点，则 k 的取值范围是 ≤k< .
【解答】解：y ＝ -0.5x+3 横纵坐标相等时的坐标为（2 ，2），
当 2≤x≤6 时，y ＝ -0.5x+3 上任意一点 P（a，b），a≥b，
:P 点的“变换点”P'（a ， -b），:P'在线段y ＝0.5x -3 上，
当 -2≤x＜2 时，a＜b ，:P 点的“变换点”P'（a+4 ， -0.5a+1）， :P'点在线段y ＝ -0.5x+3（ -2≤x＜2）上，
联立两组直线：以及，解得：x=以及 x= , :2≤≤6 且 2≤ <6，解得： ≤k< .
36．如图，两条互相垂直的直线 m 、n 交于点 O，等腰直角三角形 ABC 的直角顶点 A 在直线 m 上，锐角
25
顶点 B 在直线n 上，D 是斜边 BC 的中点．若 OD ＝3，BC＝4，则 OA2+OB2 ＝ 8 ，△AOB 的面积
为 ．
2
【解答】解：依题意得：△ABC 是等腰直角三角形，
且 AC＝AB ，∠BAC＝90° , BC＝4，
由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2 ，:2AB2 ＝42，即 AB2 ＝8， ∵直线 m⊥直线n ，:△OAB 是直角三角形，
由勾股定理得：OA2+OB2＝AB2 ，:OA2+OB2 ＝8，
在△CEA 和△AOB 中，∠AOB=90° ,
:△CEA≌△AOB（AAS），:CE ＝OA ＝b，EA ＝OB ＝a，:OE＝EA+OA ＝a+b， ∵CE⊥直线 m，BF⊥直线m ，:∠F= ∠CED ，∠FDB = ∠ECD，
∵点 D 是 BC 的中点，:BD ＝CD，
在△BDF 和△CDE 中，，:△BDF≌△CDE（AAS），:BF＝CE ＝b，DF＝DE，
:OF＝OB+BF＝a+b，:OE ＝OF＝a+b ，:△OEF 是等腰直角三角形，
∵DF＝DE ，:OD 是等腰 Rt△OEF 斜边上的中线，:OD⊥EF，OD＝DF＝DF＝3，:EF＝6，在 Rt△OEF 中，由勾股定理得：OE2+OF2＝EF2，
:（a+b）2+（a+b）2 ＝62 ，:（a+b）2 ＝18，即 a2+b2+2ab ＝18， ∵a2+b2 ＝8 ，:ab ＝5，:S△AOB= ab=．
故答案为：8；．
2
37．如图，∠ABC＝30° , AB ＝2，BC＝1，点 D 是射线BA 上的动点，将线段 CD 绕点 D 顺时针旋转 120° ,得到线段 ED，连接 CE、AE，则 CE+AE 的最小值是 √5 ．
【解答】解：如图，在射线 BC 上取点 F，连接 DF，使∠BDF＝120°,作直线 BE．
则∠DFC=（180°﹣∠BDF）＝30° .
:∠DFC= ∠DBF，:BD＝FD．
由旋转得，∠EDC＝120° , ED ＝CD． :∠EDB+∠BDC= ∠EDC＝120° .
∵∠BDC+∠CDF= ∠BDF＝120° .
:∠EDB = ∠CDF．
在△BDE 和△FDC 中，CDF ，:△BDE≌△FDC（SAS）． :∠ABE = ∠DFC＝30° .
∵∠ABE 为定角，点 B 为定点，:点 E 在直线 BE 上，
作点 C 关于直线 BE 的对称点 C'，连接 AC'交 BE 于 E'，当点 E 在点 E'处时 CE+AE 取最小值，
（由对称得 C'E ＝CE ，:CE+AE ＝C'E+AE，由两点间线段最短可知，点 E 在点 E'处，
CE+AE 取最小值，最小值为 C'A 的长），
连接 BC'，则 BC'＝BC＝1，∠C'BE= ∠CBE， ∵∠CBE = ∠ABE+∠ABC＝60° ,
:∠ABC' = ∠C'BE+∠ABE ＝90° .
:AC'=√AB2 +C'B2 =√22+12=√5．
:CE+AE 的最小值√5．
故答案为：√5．
38．如图，在平面直角坐标系中，Q 是直线y=x+3上的一个动点，将 Q 绕点 P（0 ，1）顺时针旋转 90° ,
得到点 Q'，连接 OQ'，则 OQ'的最小值为 √5 ．
【解答】解：过点 Q 作 QM⊥y 轴于点M，Q ′N⊥y 轴于 N，
∵∠PMQ = ∠PNQ′ = ∠QPQ′ ＝90° , :∠QPM+∠NPQ′ = ∠PQ′N+∠NPQ′，
:∠QPM= ∠PQ′N
在△PQM 和△Q′PN 中，''=90° ,
:△PQM≌△Q′PN（AAS），
:PN＝QM，Q ′N＝PM，
设 Q（m ， m+3），:PM= m+3 -1= m+2 ，QM＝m，
:PN＝m ，Q N= m+2 ，:Q （ m+2 ，1 -m），
:OQ′2＝（ 1m+2）2+（1 -m）2= 5m2+5，
当 m ＝0 时，OQ ′2 有最小值为 5，:OQ′的最小值为√5，故答案为：√5．
39．如图，点 C 的坐标是（2，2），A 为坐标原点，CB⊥x 轴于 B ，CD⊥y 轴于D，点 E 是线段 BC 的中点，过点 A 的直线y ＝kx 交线段 DC 于点 F，连接 EF，若 AF 平分∠DFE，则 k 的值为 1 或 3 ．
【解答】解：∵C 的坐标是（2 ，2），A 为坐标原点，CB⊥x 轴于 B ，CD⊥y 轴于D，
:四边形 ABCD 是正方形，
①如图，作 AG⊥EF 交 EF 于点G，连接 AE，
∵AF 平分∠DFE， :DA＝AG ＝2，
在 RT△ADF 和RT△AGF 中，{ ，
:RT△ADF≌RT△AGF（HL），:DF＝FG， ∵点 E 是 BC 边的中点，:BE ＝CE ＝1，
:AE=√AB2+BE2=√5， :GE=√AE2 AG2 =1，
:在RT△FCE 中，EF2＝FC2+CE2，即（DF+1）2＝（2 -DF）2+1，解得 DF= ，:点 F（ ，2），把点 F 的坐标代入y ＝kx 得：2=k，解得 k ＝3；
②当点 F 与点 C 重合时，
∵四边形 ABCD 是正方形，:AF 平分∠DFE ，:F（2 ，2），把点 F 的坐标代入y ＝kx 得：2 ＝2k，解得 k＝1．
故答案为：1 或 3．
40．如图，一次函数y ＝ -x+4 的图象与x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 C 为 AO 中点，OD ＝3，点 P
为 AB 上的动点，当∠APC= ∠BPD 时，点 P 的坐标为 （- ，- ） ．
3 3
【解答】解：过点 P 作 PM⊥x 轴于点M，PN⊥y 轴于点 N，
∵一次函数y ＝ -x+4 的图象与x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， :A（4 ，0），B（0 ，4），
:OA ＝OB ＝4，AB ＝4√2 ， ∵点 C 为 AO 中点，OD ＝3， :OC＝AC＝2 ，BD ＝1，
∵OA ＝OB ，∠AOB ＝90° ,
:∠ABO = ∠OAB ＝45° ,
∵∠APC= ∠BPD，
:△BPD∽△APC，:BP = BD = 1 :BP= 1AB=4√2 AP=2AB=8√2
∵PM⊥x 轴于点M，PN⊥y 轴于点 N，∠ABO = ∠OAB ＝45° ,
:PN= 3 ，PM= 3 ，:P（3 ，3）．
解法二：取 PA，AC 的中点 F，H，连接 FH． ∵AF＝PF，AH＝CH，
:FH∥PC，
:∠AFH= ∠CPA， ∵∠BPD = ∠CPA， :∠BPD = ∠AFH，
由题意 BD＝AH＝1 ，∠PBD = ∠FAH＝45° ,
:△PBD≌△FAH（AAS），
:PB＝PF＝AF，
∵A（4 ，0），B（0 ，4），:OA ＝OB ＝4，AB ＝4√2， :BP=AB=，AP=AB=，
设 P（m ， -m+4）（m＞0），:BP=√m2 +(4+m 4)2 = ，:m=，
故答案为：（- ，-）．
3 3
如图，已知 AB ＝4，点 C 是线段 AB 的中点，以 C 为直角顶点，作等腰直角三角形 CDE（C，D，E三点按顺时针方向排列），且 CD=√3，将等腰直角三角形 CDE 绕点 C 顺时针方向旋转，在旋转过程中，
|AD-BE|的最大值为 √6 ．
【解答】解：如图，过 C 作 CM⊥AB，且 CM＝CB，连接 EM，DM， ∵AB ＝4，点 C 是线段 AB 的中点，
:CA ＝CB ＝CH＝2，
∵等腰直角三角形 CDE，CD=√3，
:CE=CD=√3，∠DCE = ∠ACM= ∠BCM＝90° , :DE=√CD2 +CE2 = √6，∠ACD = ∠ECM，
:△ACD≌△ECM（SAS），
:AD＝EM，同理：DM＝BE， :|AD -BE| ＝|EM-DM|≤DE，
当且仅当 D ，E，M 三点共线时，|AD-BE|＝DE，此时最大，
:|AD-BE|的最大值为√6，故答案为：√6．
42．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝2，AD 为 BC 边上的中线，且 AD ＝1，点 P 是 BC 上一动点，连接AP，
将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 120°得到线段 AQ，连接 DQ，则 DQ 长度的最小值为 ． 2
【解答】解：∵AB＝AC，AD 为 BC 边上的中线， :AD⊥BC，∠B = ∠ACB．
在 Rt△ABD 中， sinB== ， :∠B ＝30° ,
:∠ACB = ∠B ＝30° ,
:∠BAC＝120° .
连接 CQ，
由旋转可知，
AP＝AQ ，∠PAQ ＝120° ,
:∠BAP+∠PAC= ∠PAC+∠CAQ， :∠BAP = ∠CAQ．
在△BAP 和△CAQ 中，CAQ ，:△BAP≌△CAQ（SAS）， :∠ACQ = ∠ABP ＝30° , :∠DCQ ＝60° .
过点 M 作 CQ 的垂线，垂足为 M，则当点 Q 在点M 处时，DQ 的长度最小，为 DM 的长．
在 Rt△ACD 中，CD=√22 12 =√3．
在 Rt△DCM 中，sin∠DCQ=，: = ，:DM= ，:DQ 长度的最小值为．
故答案为：．
2
43．如图，△ABC 为等边三角形，AB ＝2，点 D 是 BC 中点，点 E、F 分别是边 AB 、BC 上的动点，且不与端点重合，作∠AEF 和∠EFC 的角平分线交于点 G，则 DG+CG 的最小值为 √3 ．
【解答】解：作 GP⊥BA 于点 P ，GQ⊥BC 于点 Q ，GI⊥EF 于点I，连接 AG、AD，
∵EG 平分∠AEF， :PG＝IG，
∵FG 平分∠EFC，
29
:QG＝IG，
:PG ＝QG，
:点 G 在∠ABC 的平分线上， :BG 平分∠ABC，
∵△ABC 是等边三角形，AB ＝2 ， :BG 垂直平分 AC，BC＝AB ＝2， :AG ＝CG，
∵点 D 是 BC 中点，
:BD ＝CD=BC＝1，AD⊥BC， :∠ADB ＝90° ,
:AD=√AB2 BD2 =√22 12=√3，
∵DG+AG≥AD，
:DG+CG≥√3，
:DG+CG 的最小值为√3，故答案为：√3．
44．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A ＝40° , D 是边 AB 上的动点，连接 CD，将△ADC 沿直线 CD 翻折得到△A′DC，直线 AB 与直线 A′ C 交于点 E．若△A′DE 是等腰三角形，则∠ACD 的度数为 15 或 30
或 60 ° .
【解答】解：设∠ACD = α ,
∵将△ACD 沿 CD 翻折至△A′ CD 处，
:∠A = ∠A' ＝40° , ∠ACD = ∠A'CD = α , ∠ADC= ∠A'DC＝140° -α, :∠AEA' ＝2α+40° , ∠A'DE ＝100° -2α ,
当 A'E＝A'D，则∠A'ED = ∠AEA'，
:2α+40° = 100° -2α ,
:α = 15° ,
当 A'E＝DE，则∠A'DE = ∠A'，
:100° -2α =40° ,
:α =30° ;
如图，
由折叠可知，∠A = ∠A′ ＝40° , ∠ADC= ∠A′DC，∠ACD = ∠A′ CD = α ,显然此时∠EA′D 为钝角，
若△A′DE 是等腰三角形，则只能 A′E＝A'E，即∠ADE′ = ∠E ＝20° , :∠ADC= ∠A′DC＝80° ,
:∠ACD ＝180° -40° -80° =60° .
综上，∠ACD 的度数 15°或 30°或 60° .
故答案为：15 或 30 或 60．
45．如图，P 是直线y=x 上一动点，若点A、B 的坐标分别为（5，0）、（9，3），则△PAB 的面积为 ． 【解答】解：设直线 AB 的解析式为y ＝kx+b，
∵点A 、B 的坐标分别为（5 ，0）、（9 ，3），
30
:{，解得 k= ，b= ,
:直线 AB 为y=x , :直线 AB 与直线y=x 平行，设直线 AB 交y 轴于 C 点，作 OD⊥直线 AB 于 D，
在y=x 中，令x ＝0，则 y= ,
:直线 AB 与y 轴的交点 C（0 ， ), :OC=，
:S△OAC= OA.OC=AC OD，即 ×5× = × ×OD， :OD ＝3，
:AB=√(9 5)2 +(3 0)2 =5 ，:△PAB 的面积为： 故答案为：．
46．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90° , AC＝BC=√2．D 是边 AB 上一动点，连接 CD，以 CD 为直角边在
CD 左侧作等腰直角△CDE，且∠DCE ＝90°, 连接 AE，则 DE 长度的最小值为 √2 ；△ADE 面积的
最大值为 ．
2
【解答】解：:△CDE 是等腰直角三角形，
:DE=√2CD，
:CD 取得最小值时，DE 取得最小值，
如图，过点 C 作 CF⊥AB 于点 F，此时 CF 即为 CD 的最小值，
:∠ACB ＝90° , AC＝BC=√2，:CF＝1，AB ＝2，
:CD 的最小值为 1 ， :DE 的最小值为√2．
:∠ACB = ∠DCE＝90° , :∠ACE= ∠BCD，
在△ACE 和△BCD 中，∠BCD， :△ACE≌△BCD（SAS），
:∠EAC= ∠B ＝45° , AE＝BD ，:∠EAD ＝90° ,设 BD＝x，则 AE＝x，AD ＝2 -x，
:S△ADE= x(2 x)= (x 1)2+ ，
:当x ＝1 时，S△ADE 的最大值为 ，
2
故答案为√2 ，．
2
47．如图，四边形 ABCD 中，∠B ＝60° , AB＝BC，将边 DA 绕点 D 逆时针旋转 60°得到线段 DE，过点 E
作 EF⊥BC，垂足为 F，若 EF＝2 ，BF＝3，则线段 CD 的长是 √13 ．
31
【解答】解：如图，连接 AC，AE ，BE， ∵EF＝2 ，BF＝3，
:BE=√EF2+BF2=√4+9=√13，
∵∠ABC＝60° , AB＝BC， :△ABC 是等边三角形， :AB＝AC，∠BAC＝60° ,
∵将边 DA 绕点 D 逆时针旋转 60°得到线段 DE，
:AD＝AE，∠ADE ＝60° , :△ADE 是等边三角形， :AE＝AD ，∠DAE ＝60° , :∠DAE = ∠BAC，
:∠BAE = ∠DAC，
在△ABE 和△ACD 中，DAC，:△ABE≌△ACD（SAS），:BE ＝CD=√13，故答案为：√13．
48．如图，在边长为 2 的等边△ABC 中，射线 BD⊥AC 于点 D，将△ABD 沿射线 BD 平移，得到△EGF，连接 CF、CG，则 CF+CG 的最小值为 √7 ．
【解答】解：连接 AG、AE、AF．作点 F 关于点 E 的对称点 F'，连接 AF'． ∵AE∥BD，
则 AF'＝AF，
∵△ABC 为等边三角形，BD⊥AC，
:AG ＝CG，AF＝CF，
:AF' ＝CF，
:CF+CG＝AF'+AG，
当 G、A、F'三点在同一直线上时，AF'+AG 的最小值为 GF'．
连接 GF'，
∵等边△ABC 的边长为2
:GF＝BDAB FF' ＝2EF＝2AD＝AC＝2，
即 AF'+AG 的最小值为√7．故答案为：√7．
49．如图，在△ACB 中，∠ACB ＝90° , CP 平分∠ACB，过 P 作 PQ⊥CP 交 CB 于 Q．若 AP ＝3，BP ＝4，则24
CQ ＝ ，S△APC+S△PQB ＝ 6 ．
5
【解答】解：过点 P 作 PD⊥AC 于点D，如图，
∵∠ACB ＝90° , CP 平分∠ACB，
∵PD⊥AC，
:PD＝DC．
∵CP 平分∠ACB ，
设 AC＝3k，则 BC＝4k，:AB=√AC2 +BC2 =5k． :AB＝AP+BP ＝5k ＝7．:k=．
:AC= ，CB=．
设 PD＝DC＝x，则 ADx，
∵PD⊥AC，BC⊥AC，:PD∥BC．: = ． ．解得：x= ．:PC=√2PD=√2． ∵PQ⊥CP ，∠BCP ＝45° , :PC＝PQ=√2．:CQPC
故答案为：．
∵S△APC+S△PQB ＝S△ABC -S△PCQ ，:S△APC+S△PQB=AC BC PQ = × × × × =6．
故答案为：6．
50．如图①,在△ABC 中，∠ACB ＝90° , ∠A ＝30°,点 C 沿 BE 折叠与 AB 上的点D 重合．连接 DE，请你
探究： ；请在这一结论的基础上继续思考：如图②,在△OPM 中，∠OPM＝90° , ∠M＝30° ,若 OM＝2，点 G 是 OM 边上的动点，则PG+MG的最小值为 ．
【解答】解：∵∠ACB ＝90° , ∠A ＝30° , :∠ABC＝60° ,
∵点 C 沿 BE 折叠与 AB 上的点 D 重合，:∠DBE = ∠CBE ＝30° , :∠A = ∠ABE， ∵∠BDE = ∠C＝90° , :AD＝BD，
∵BC＝BD ，:AB ＝2BC，
作 P 点关于 OM 的对称点 P'，作 P'N⊥PM 交于 N 点，交 OM 于 G'点， :PG'＝P'G'，
∵∠M＝30° , :NGG'M，
:PG+MG=P'G'+G'N≥P'N，此时PG+MG的值最小， ∵OM＝2，
在 Rt△OPM 中，OPOM＝1，:PM，
在 Rt△PDM 中，PDPM :PP'=√3，
∵∠P' ＝30° , :PN 在 Rt△PP'N 中，P'N
1 3
2 2
1 3
51．如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边上的l2 处，点A
对应点为 A'，且 B'C＝3，则 BN＝ 5 ，AM＝ 2 ．
【解答】解：设 BN＝B'N＝a，则 CN＝9 -a， ∵CN2+B'C2＝B'N2 ，:（9 -a）2+32 ＝a2，
解得 a ＝5 ，:BN＝5，
设 AM＝x，连接 BM，MB′，
在 Rt△ABM 中，AB2+AM2＝BM2，
在 Rt△MDB′中，B′M2＝MD2+DB′2，
∵MB＝MB′ ，:AB2+AM2＝BM2＝B′M2＝MD2+DB′2，
即 92+x2＝（9 -x）2+（9 -3）2，解得 x ＝2，即 AM＝2，
故答案为：5，2．
52．在平面直角坐标系 xOy 中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点 A（0 ，4），点 B 是 x轴正半轴上的点，且点 B 的横坐标为 n（n 为正整数），记△AOB 内部（不包括边界）的整点个数为 m．
当 n ＝12 时，m 的值为 15 ；当 n ＝2022 时，m 的值为 3031 ．
【解答】解：当点 B 的横坐标为 2n 时，在4×2n 的网格图内（不包括边界），一共有 3（2n -1）个网格点，
而当 n 为奇数时，4×2n 的网格图的对角线 AB 与网格线有 1 个交点，当 n 为偶数时，4×2n 的网格图的对角线 AB 与网格线有 3 个交点，
:在△OAB 内部（不包括边界）的网格点个数 m，
当 n 为奇数时，m，整理，得：m ＝3n -2，
当 n 为偶数时，m，整理，得：m ＝3n -3， :当 2n ＝12，即 n ＝6 时，m ＝3×6 -3 ＝15；
当 2n ＝2022，即 n ＝1011 时，m ＝3×1011 -2 ＝3031，故答案为：15 ；3031．
53．如图，点 A 坐标为（ -4， -4），点 B（0 ，m）在 y 轴的负半轴上沿负方向运动时，作 Rt△ABC，其中∠BAC＝90° . 直线 AC 与 x 轴正半轴交于点 C（n ，0），当 B 点的运动过程中时，则m+n 的值为 -
8 ．
【解答】解：∵A（ -4， -4），B（0 ，m），C（n，0），
∵∠BAC＝90° ,
:AB2+AC2＝BC2，
:42+（m+4）2+（n+4）2+42 ＝m2+n2，化简得，m+n ＝ -8，
故答案为： -8．
54．如图，已知直线 AB 与y 轴交于点A（0 ，2），与 x 轴的负半轴交于点 B，且∠ABO ＝30°,点 C 为x 轴的正半轴上一点，将线段 CA 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°得线段 CD，连接 BD，若 BD=√41，则点 C的坐标为 （5 -2√3 ，0） ．
【解答】解：如图，过点 B 作 BT⊥BC，使得 BT＝AB，连接 AT，CT． ∵A（0 ，2），:OA ＝2，
∵∠AOB ＝90° , ∠ABO ＝30° ,
:AB ＝2AO ＝4 ，OB=√3OA ＝2√3，
∵TB⊥BC，:∠TBC＝90° , :∠TBA ＝60° , ∵BT＝BA ，:△ABT 是等边三角形，
:AT＝AB ，∠BAT＝60° ,
∵AC＝AD ，∠CAD ＝60° , :∠BAT= ∠CAD，
:∠BAD = ∠TAC，
在△BAD 和△TAC 中，∠TAC，:△BAD≌△TAC（SAS）， :BD ＝CT=√41，
在 Rt△BCT 中，BC=√CT2 BT2=√41 16=5，
:OC＝BC -OB ＝5 -2√3， :C（5 -2√3 ，0）．
55．如图，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC＝90° , AB＝AC，点 M，N 在边 BC 上，且∠MAN＝45° . 若 BM = 1 ，CN＝3，则 MN 的长为 √10 ．
【解答】解：将△AMB 逆时针旋转 90°到△ACF，连接 NF，
:CF＝BM，AF＝AM，∠B = ∠ACF．∠2 = ∠3，
∵△ABC 是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90° , :∠B = ∠ACB ＝45° ,
∵∠MAN＝45° , :∠NAF= ∠1+∠3 = ∠1+∠2 ＝90° -45° =45° = ∠NAF，
在△MAN 和△FAN 中，=∠FAN ，:△MAN≌△FAN（SAS）， :MN＝NF，
∵∠ACF= ∠B ＝45° , ∠ACB ＝45° , :∠FCN＝90° ,
35
∵CF＝BM＝1 ，CN＝3，
:在 Rt△CFN 中，由勾股定理得：MN＝NF=√ 12+32=√10，
故答案为：√10．
56．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（0，2），点 B 的坐标是（2 ，0），连接 AB，点 P 是线段AB 上的一个动点（包括两端点），直线y ＝ -x 上有一动点 Q，连接 OP，PQ，已知△OPQ 的面积为√2 ，则点 Q 的坐标为 ( √2 ， √2 ）或( √2，√2）． ．
【解答】解：方法一：∵点 Q 在直线y ＝ -x 上， :设点 Q 的坐标为（m ， -m）．
∵点A 的坐标是（0 ，2），点 B 的坐标是（2 ，0）， :△AOB 为等腰直角三角形，
点 O（0 ，0）到 AB 的距离 hOA 设直线 AB 的解析式为y ＝kx+b，
∵点A（0 ，2），点 B（2 ，0）在直线 AB 上，
:有{k+b，解得{1．即直线 AB 的解析式为y ＝ -x+2，
∵直线y ＝ -x+2 与y ＝ -x 平行，:点 P 到底 OQ 的距离为√2（平行线间距离处处相等）．
∵△OPQ 的面积 S△OPQ=OQ h= OQ=√2 ，:OQ ＝2．
由两点间的距离公式可知 OQ=√(m 0)2+( m 0)2 =2，解得：m = ±√2，
:点 Q 的坐标为( √2 ， √2 ）或( √2，√2）．故答案为：( √2 ， √2）或( √2，√2）．方法二：当 P 点与A 重合时，则△OPQ 底 OP 为2，
∵△OPQ 的面积为√2 ，:△OPQ 的高为√2，即点 Q 的横坐标为±√2，
∵点 Q 在直线y ＝ -x 上，:点 Q 的坐标为( √2 ， √2 ）或( √2，√2）；
当 P 点与 B 重合时，同理可求出点 Q 的坐标为( √2 ， √2 ）或( √2，√2）．综上即可得出点 Q 的坐标为( √2 ， √2 ）或( √2，√2）．
57．如图，△ABO 为等腰直角三角形，A（ -6 ，0），直角顶点 B 在第二象限．点 C 在y
轴上移动，以 BC 为斜边作等腰直角△BCD，我们发现直角顶点 D 点随着 C 点的移动也在一条直线上移动，这条直线的函数表达式是 y＝x+3 或y ＝ -x+3 ．
【解答】解：当 BC 与x 轴平行时，过 B 作 BE⊥x 轴，
过 D 作DF⊥x 轴，交 BC 于点 G，如图 1 所示，
∵等腰直角△ABO 的 O 点是坐标原点，A 的坐标是（ -6 ，0），:AO ＝6， :BC＝BE＝AE＝EO ＝GF=OA ＝3 ，OF＝DG＝BG ＝CG=BC＝1.5 ， 当 D 在 BC 的上方时，DF＝DG+GF＝4.5 ，:D 坐标为（ -1.5 ，4.5）；
当 D 在 BC 的下方时，同理：D（ -1.5 ，1.5）和 D（0 ，3），
于是得到y＝x+3，
综上所述：这条直线的函数表达式是y＝x+3 或y ＝ -x+3．
故答案为：y＝x+3 或y ＝ -x+3．
58．如图所示，在四边形 ABCD 中，AD ＝3，CD ＝2， ∠ABC= ∠ACB = ∠ADC＝45°,则 BD 的长为 √22 ．
【解答】解：作 AD ′⊥AD，AD ′＝AD，连接 CD ′ ，DD ′，如图： ∵∠BAC+∠CAD = ∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD = ∠CAD′，
在△BAD 与△CAD′中，CAD'， :△BAD≌△CAD′（SAS），
:BD ＝CD′ ，∠DAD′ ＝90° ,
由勾股定理得 DDD ′DA+∠ADC＝90° ,由勾股定理得 CD′=√DC2+BD ＝CD ．
故答案为：√22．
59．甲、乙二人从学校出发去科技馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差 s（米）与甲出发时间 t（分）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙先到达科技馆；
②乙的速度是甲速度的 2.5 倍；③b ＝480；④a ＝24．其中正确的是 ①②③ （填序号）． 【解答】解：由图象得出甲步行 720 米，需要 9 分钟，
所以甲的运动速度为：720÷9 ＝80（m/分），
当第 15 分钟时，乙运动 15 -9 ＝6（分钟），运动距离为：15×80 ＝1200（m），
:乙的运动速度为：1200÷6 ＝200（m/分）， :200÷80 ＝2.5，（故②正确）；
当第 19 分钟以后两人之间距离越来越近，
说明乙已经到达终点，则乙先到达科技馆，（故①正确）；此时乙运动 19 -9 ＝10（分钟），
运动总距离为：10×200 ＝2000（m），
:甲运动时间为：2000÷80 ＝25（分钟），故 a 的值为 25，（故④错误）；
∵甲 19 分钟运动距离为：19×80 ＝1520（m），:b ＝2000 -1520 ＝480，（故③正确）．
故正确的有：①②③. 故答案为：①②③.
60．如图，Rt△ABC 中，∠ACB ＝90° , AC＝6，BC＝8，将边 AC 沿 CE 翻折，使点 A 落在 AB 上的点 D 处；再将边 BC 沿 CF 翻折，使点 B 落在 CD 的延长线上的点 B′处，两条折痕与斜边 AB 分别交于点 E、F，则线段 B′E 的长为 ．
【解答】解：根据折叠的性质可知：DE＝AE，
∠ACE = ∠DCE ，∠BCF= ∠B′ CF，CE⊥AB ，B′F＝BF， :B′D ＝8 -6 ＝2 ，∠DCE+∠B′ CF= ∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB ＝90° , :∠ECF＝45° ,
:△ECF 是等腰直角三角形， :EF＝CE ，∠EFC＝45° ,
:∠BFC= ∠B′FC＝135° ,
:∠B′FE＝90° ,
“根据勾股定理得：AB
:CEEF＝4.8，AE :B′F＝BF＝AB﹣AE﹣EF＝10﹣3.6﹣4.8 ＝1.6，
:B′E ．故答案为
7
7
1．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC= ∠DAE ＝90° , AB＝AC＝2 ，O 为 AC 中点，若点D 在直线 BC 上运动，连接 OE，则在点 D 运动过程中，则 OE 的最小值是为( )
C ．(﹣ 11 ，0），（ ，0） D ．(﹣ 10 ，0），（2，0） 3
7
7
1 1
:y2 -y1= （d -b）x+d -b，:x 的值每增加 1，y2 -y1 的值增加 （d -b）．故③错误；
4
8
5
5
3
C．
B．
D．
3
解得：FC=2，即 CE 的长为2．故选：A．
6 2
a a
6 2
:S△AOB ＝4+1 ＝5 ，:2OB AB ＝5 ，:AB= 3 ，:OC= 3 ，由此可知直线 l 经过( , 3），
3 5．
3 3 4 4 4 4
1 1
2 2
7
7
1
1
5
过点 C 作 CE⊥直线 m 于点 E，连接 ED 并延长交直 n 线于点F，如图所示：
:∠CEA = ∠AOB ＝90° ,
设 OB ＝a，OA ＝b ，:a2+b2 ＝8 ，S△AOB= OA OB=ab， ∵∠CEA = ∠BAC＝90° , :∠1+∠2 ＝90° , ∠2+∠3 ＝90° ,
:∠1 = ∠3，
5
1 1 1
2 2 2
′ 1 ′ 1
2 2
2 4
4 8
AP AC 2 ， 3 3 ， 3 3 ，
4 8 4 8
4 8
3
3
1
1
1
BC 1
:PG+ MG的最小值为 ，
故答案为：
当 C 与原点O 重合时，D 在y 轴上，此时 OD＝BE ＝3，即 D（0 ，3），
设所求直线解析式为y ＝kx+b（k≠0），
将两点坐标代入得：k+b=4.5，解得：{EQ \* jc3 \* hps21 \o\al(\s\up 4(k),b)EQ \* jc3 \* hps21 \o\al(\s\up 4( ),3)1．
则这条直线解析式为y ＝ -x+3，