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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第四章 三角形及四边形
4.1角、 相交线与平行线
线与角 直线、 射线、线段 1．线段向一方无限延伸就成为 ．线段向两方无限延伸就成为 ．线段是直线上两点间的部分，射线是直线上某一点一旁的部分． 2．直线有以下的基本事实： ． 线段有以下的基本事实： ． 连结两点的 叫做这两点间的距离．
角 定义 由两条有 的 所组成的图形叫做角，这个公共端点叫做这个角的 ．角也可以看成是由一条 绕着它的端点旋转而成的图形．
角平分线 （1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线. （2）角平分线的性质：①若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．②角平分线上的点到角两边的距离相等。
角度换算 1°=60'，1'=60″. 1周角=2平角=4直角=360°.
余角 补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角；∠1＋∠2＝90° ∠1与∠2互为余角； （2）补角：如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角；∠1＋∠2＝180° ∠1与∠2互为补角． （3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．
邻 补 角 （1）定义：有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，并且互补的两个角称为邻补角， （2）性质：邻补角互补．
相交线 5．两条直线相交，只有 个交点．两条直线相交形成四个角，我们把其中相对的任何一对 角叫做对顶角．对顶角 ． 6．当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，我们说这两条直线 ，其中 的一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 ． 从直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离．在同一平面内，过一点有 条直线垂直于已知直线．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短．
三线八角 （1）直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）． ∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角． （2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类： 做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：
平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做 ．
性质 ①两直线平行， ． ②两直线平行， ． ③两直线平行， ． ④经过直线外一点，有 条直线与这条直线平行
判定 ①在同一平面内， 的两条直线叫做平行线． ②同位角 ，两直线平行． ③内错角 ，两直线平行． ④同旁内角 ，两直线平行． ⑤在同一平面内， 同一条直线的两条直线互相平行． ⑥ 同一条直线的两条直线互相平行．
【题型一】线段、射线、直线的概念、度量及计算
【例1.1】（2025 九台区一模）如图，用一个钉子把一根木条钉在墙上，发现木条可以转动，若用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到的数学原理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
【例1.2】（2025 滨州）如图，秦岭终南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（　　）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【例1.3】（2025 朝阳区校级一模）如图，C是线段AB上的一点，M是线段AC的中点，若AB＝8cm，BC＝2cm，则MC的长是（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
【例1.4】（2024 滦南县校级模拟）如图AB＝CD，则AC与BD的大小关系是（　　）
A．AC＞BD B．AC＜BD C．AC＝BD D．无法确定
【例1.4】（2025 遵义模拟）线段AB上有P，Q两点，AB＝30cm，AP＝12cm，PQ＝10cm，那么BQ的长是（　　）
A．2cm或22cm B．18cm或28cm C．8cm或28cm D．8cm或18cm
【题型二】角的概念、度量及计算
【例2.1】（2025 市南区校级模拟）下列四个图中，能用∠1、∠ACB、∠C三种方法表示同一角的是（　　）
A． B． C． D．
【例2.2】（2025 南通）上午9时整，钟表的时针和分针构成的角的度数为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【例2.3】（2025 桥西区一模）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西35°方向，则∠ACB的度数是（　　）
A．35° B．50° C．85° D．90°
【例2.4】（2025 雁塔区校级模拟）计算：15.4°＝（　　）
A．15°4' B．15°24' C．15°36' D．15°40'
【例2.5】（2025 陕西）如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC．若∠1＝52°，则∠2的度数为（　　）
A．76° B．74° C．64° D．52°
【例2.6】（2022 温州二模）已知∠1和∠2互为余角，且∠2与∠3互补，∠1＝60°，则∠3为（　　）
A．120° B．60° C．30° D．150°
【题型三】两直线相交及其性质
【例3.1】（2025 北京模拟）如图，直线AB和CD相交于点O，OB平分∠DOE，OE⊥OF，若∠AOF＝28°，则∠COF的度数为（　　）
A．28° B．30° C．32° D．34°
【例3.2】（2025 慈利县一模）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC．
（1）若∠BOD＝35°，求∠EOC的度数；
（2）若∠EOC：∠EOD＝1：4，求∠BOD的度数．
【题型四】平行线的判定与性质
【例4.1】（2025 宁波模拟）如图，平行线AB，CD被EF所截，若∠1＝50°，则∠2等于（　　）
A．100° B．130° C．140° D．150°
【例4.2】（2025 开化县模拟）如图，直线a，b被直线c，d所截形成的角中，∠1＝130°，∠2＝50°，∠3＝70°，则∠4＝（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【例4.3】（2025 苏州模拟）在△ABC中，D是BC的中点，E是AC上一点，连接ED并延长使DF＝DE．
（1）证明：AC∥BF；
（2）若BC＝8，AB＝5，DB平分∠ABF，求AD的长．
1．（2025 浙江）如图所示，直线a，b被直线c所截．若a∥b，∠1＝91°，则（　　）
A．∠2＝91° B．∠3＝91° C．∠4＝91° D．∠5＝91°
2．（2023 金华）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
3．（2025 浙江一模）一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．（2024 临安区一模）已知∠α＝42°12′，与∠α互余的角的度数是（　　）
A．132°12′ B．137°48′ C．57°48′ D．47°48′
5．（2024 浙江模拟）高速公路是指专供汽车高速行驶的公路．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是（　　）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．平行线之间的距离最短 D．平面内经过一点有无数条直线
6．（2024 婺城区模拟）为防止森林火灾的发生，会在森林中设置多个观测点，如图，若起火点M在观测台B的南偏东46°的方向上，点A表示另一处观测台，若AM⊥BM，那么起火点M在观测台A的（　　）
A．南偏东44° B．南偏西44° C．北偏东46° D．北偏西46°
7．（2024 上城区校级模拟）已知点A，B，C是直线l上互不重合的三个点，设AB＝a2+a+4，AC＝na，BC＝2na+1，其中n，a是常数，（　　）
A．若0＜n≤1，则点A在点B，C之间 B．若2＜n≤3，则点A在点B，C之间
C．若0＜n≤1，则点C在点A，B之间 D．若2＜n≤3，则点C在点A，B之间
8．（2025 绍兴三模）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（　　）
A．30° B．40° C．45° D．50°
9．（2022 拱墅区一模）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD．若∠BOD＝40°，则∠COE的度数为（　　）
A．130° B．120° C．110° D．100°
10．（2023 西湖区校级三模）如图，∠ACB＝90°，AC＝4，点P是直线CB上动点，则线段AP长度不可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（2025 浙江模拟）如图，张师傅将两根木条AB和AC固定在点A处，在木条AB上点O处安装一根能旋转的木条DE．张师傅用量角仪测得∠A＝68°，木条DE与AB的夹角∠BOD＝80°，要使DE∥AC，木条DE绕点O至少旋转（　　）
A．10° B．12° C．14° D．16°
12．（2025 沭阳县三模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝133°，则∠ADE的度数为（　　）
A．57° B．66° C．67° D．74°
13．（2025 金华模拟）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠．若∠AGE＝40°，则∠ABC的度数为（　　）
A．50° B．65° C．70° D．75°
14．（2025 浙江一模）将一个含45°角的三角尺和直尺如图放置．若∠1＝65°，则∠2＝（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
15．（2025 衢州四模）如图，AB∥CD，∠DEF＝110°，则∠A的度数是（　　）
A．70° B．80° C．110° D．150°
16．（2025 西湖区一模）如图，一束光线PO从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知AD∥BC，延长PO交BC于点P'，若∠POA＝50°，∠P'OQ＝25°，则∠OQB的度数为（　　）
A．45° B．55° C．65° D．75°
17．（2023 台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为 　140°　 ．
18．（2025 湖州一模）把角度转化成度的形式：70°30′＝　 　 °．
19．（2025 钱塘区三模）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O．若∠1＝40°，则∠2＝ 　 　 ．
20．（2024 萧山区一模）如图，AB∥DE，∠C＝78°，则∠B+∠D＝　 　 ．
21．（2024 仙居县二模）如图，直线AB∥直线CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．射线EG平分∠BEF，交CD于点G；GH⊥EF于点H，若EF＝5，EH＝2，则HG＝　 　 ．
22．（2024 莲都区二模）课堂上同学们独立完成了这样一道问题：“如图，已知AB∥CD，AD∥BC，求证：∠1＝∠2．”
小莲同学解答如下：
∵AB∥CD， ∴∠1+∠BCD＝180°， ∵AD∥BC， ∴∠2+∠BCD＝180°， ∴∠1＝∠2．
小莲的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．
23．（2025 温州模拟）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，E为边AB上一点，AE＝DE．
（1）求证：AC∥DE．
（2）若DE＝2，BE＝4，，求BC的长．
1．（2023 金华模拟）已知∠α＝76°22′，则∠α的补角是（　　）
A．103°38′ B．103°78′ C．13°38′ D．13°78′
2．（2025 保定模拟）如图，这是嘉嘉绘制的从A地到B地的路线图，这两地之间的最短距离为8km，从上到下分别为路线M，N，P，Q，其中某条路线所标的数据错误，则数据错误的是（　　）
A．路线M B．路线N C．路线P D．路线Q
3．（2025 安次区校级二模）如图，平面上点C为线段AB外一点，AB＝10，连接AC，BC．线段AC+BC的长可能是（　　）
A．7 B．9 C．10 D．11
4．（2025 莲池区校级模拟）已知线段AB＝16cm，点C是直线AB上一点，BC＝2cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（　　）
A．8cm B．9cm C．7cm或5cm D．7cm或9cm
5．（2024 邯郸模拟）如图，某同学利用量角器测量∠AOB的度数，已知OA，OB经过的刻度分别是70°，115°，则∠AOB＝（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
6．（2025 广西模拟）为保障学生的睡眠时间，教育部规定，小学生上课时间不能早于8：00．如图，8点钟时，分针与时针所夹的度数是（　　）
A．800° B．150° C．130° D．120°
7．（2025 池州一模）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD．若∠1＝36°，则∠COE＝（　　）
A．26° B．72° C．108° D．144°
8．（2025 广饶县二模）如图，一支水笔正好与一把直尺平靠放在一起，小明发现：水笔的笔尖端（A点）正好对着直尺刻度约为5.6cm处，另一端（B点）正好对着直尺刻度约为20.6cm．则水笔的中点位置的刻度约为（　　）
A．15cm B．7.5cm C．13.1cm D．12.1cm
9．（2025 椒江区二模）如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1＝37°，则∠2的度数为（　　）
A．111° B．127° C．137° D．143°
10．（2025 朝阳区校级一模）计算35°20'+25°50'＝　 ．
11．（2025 金华模拟）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东65°方向行走至点C处，则∠ABC的度数为 　 　 °．
12．（2025 福建模拟）如图，M，N位于数轴上原点O两侧，且OM＝3ON．若点M表示的数是9，则点N表示的数是　 　 ．
13．（2025 南京模拟）如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠COB的平分线，∠AOD＝60°，则∠AOB＝　 　 ．
14．（2025 游仙区一模）如图，已知AB∥CD∥EF，若∠1＝60°，∠3＝140°，则∠2＝ 　 　 ．
15．（2025 长安区校级模拟）如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．求∠DOG的度数．
16．（2024 永昌县三模）如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：AD∥BC．
17．（2025 闽侯县校级模拟）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF＝90°，∠BOD：∠BOE＝1：2．
（1）求∠AOF的度数；
（2）若过点O作射线OG，使得∠GOE＝∠AOC，求∠AOG的度数．
18．（2024 凉州区三模）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD，∠1＝∠2．
（1）求证：FG∥AE；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝120°，求∠1的度数．
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第四章 三角形及四边形
4.1角、 相交线与平行线
线与角 直线、 射线、线段 1．线段向一方无限延伸就成为射线．线段向两方无限延伸就成为直线．线段是直线上两点间的部分，射线是直线上某一点一旁的部分． 2．直线有以下的基本事实：经过两点有一条而且只有一条直线． 线段有以下的基本事实：两点之间线段最短． 连结两点的线段的长度叫做这两点间的距离． 3.
角 定义 由两条有公共端点的射线所组成的图形叫做角，这个公共端点叫做这个角的顶点．角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．
角平分线 （1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线. （2）角平分线的性质：①若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．②角平分线上的点到角两边的距离相等。
角度换算 1°=60'，1'=60″. 1周角=2平角=4直角=360°.
余角 补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角；∠1＋∠2＝90° ∠1与∠2互为余角； （2）补角：如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角；∠1＋∠2＝180° ∠1与∠2互为补角． （3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．
邻 补 角 （1）定义：有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，并且互补的两个角称为邻补角， （2）性质：邻补角互补．
相交线 5．两条直线相交，只有一个交点．两条直线相交形成四个角，我们把其中相对的任何一对 角叫做对顶角．对顶角相等． 6．当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，我们说这两条直线互相垂直，其中 的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
三线八角 （1）直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）． ∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角． （2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类： 做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：
平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
性质 ①两直线平行，同位角相等． ②两直线平行，内错角相等． ③两直线平行，同旁内角互补． ④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
判定 ①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． ②同位角相等，两直线平行． ③内错角相等，两直线平行． ④同旁内角互补，两直线平行． ⑤在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． ⑥平行于同一条直线的两条直线互相平行．
【题型一】线段、射线、直线的概念、度量及计算
【例1.1】（2025 九台区一模）如图，用一个钉子把一根木条钉在墙上，发现木条可以转动，若用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到的数学原理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
【点拨】过一点可作无数条直线，而两点确定一条直线．
【解析】解：运用到的数学原理是两点确定一条直线，
故选：C．
【点睛】本题考查直线的性质，关键是根据两点确定一条直线在生活中的应用解答．
【例1.2】（2025 滨州）如图，秦岭终南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（　　）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【点拨】依据线段的性质，即可得出结论．
【解析】解：两点之间，线段最短．
故选：C．
【点睛】本题考查了线段的性质，熟练掌握两点之间，线段最短是关键．
【例1.3】（2025 朝阳区校级一模）如图，C是线段AB上的一点，M是线段AC的中点，若AB＝8cm，BC＝2cm，则MC的长是（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
【点拨】由图形可知AC＝AB﹣BC，依此求出AC的长，再根据中点的定义可得MC的长．
【解析】解：由图形可知AC＝AB﹣BC＝8﹣2＝6cm，
∵M是线段AC的中点，
∴MC＝AC＝3cm．
故MC的长为3cm．
故选：B．
【点睛】考查了两点间的距离的计算；求出与所求线段相关的线段AC的长是解决本题的突破点．
【例1.4】（2024 滦南县校级模拟）如图AB＝CD，则AC与BD的大小关系是（　　）
A．AC＞BD B．AC＜BD C．AC＝BD D．无法确定
【点拨】根据AB＝CD两边都加上线段BC得出AB+BC＝CD+BC，即可得出答案．
【解析】解：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
∴AC＝BD，
故选：C．
【点睛】本题考查了比较线段的长度的应用，主要考查学生的推理能力．
【例1.4】（2025 遵义模拟）线段AB上有P，Q两点，AB＝30cm，AP＝12cm，PQ＝10cm，那么BQ的长是（　　）
A．2cm或22cm B．18cm或28cm C．8cm或28cm D．8cm或18cm
【点拨】P点可确定，但Q点不能确定，需分Q点在P点左侧和右侧两种情况考虑．
【解析】解：如图1，当Q点在P点右侧时，
∵线段AB上有P，Q两点，AB＝30cm，AP＝12cm，PQ＝10cm，
∴BQ＝AB﹣AP﹣PQ＝30﹣12﹣10＝8（cm）．
如图2，当Q点在P点左侧时，
∵AP＝12cm，PQ＝10cm，
∴AQ＝AP﹣PQ＝12﹣10＝2（cm），
∵AB＝30cm，
∴BQ＝AB﹣AQ＝30﹣2＝28（cm），
综上所述，BQ长为8cm或28cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了线段的和差，能进行分类讨论求解是解题的关键．
【题型二】角的概念、度量及计算
【例2.1】（2025 市南区校级模拟）下列四个图中，能用∠1、∠ACB、∠C三种方法表示同一角的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据角的表示方法进行判断即可．
【解析】解：根据角的表示方法可知，选项C中的∠1，∠ACB，∠C表示同一角，
故选：C．
【点睛】本题考查角的定义及其表示方法，正确认识角和记忆角的表示方法是解决本题的关键．
【例2.2】（2025 南通）上午9时整，钟表的时针和分针构成的角的度数为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【点拨】根据时钟上一大格是30°进行计算，即可解答．
【解析】解：由题意得：3×30°＝90°，
故选：C．
【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．
【例2.3】（2025 桥西区一模）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西35°方向，则∠ACB的度数是（　　）
A．35° B．50° C．85° D．90°
【点拨】过点C作CF∥AD，根据猪脚模型进行计算，即可解答．
【解析】解：过点C作CF∥AD，
∴∠DAC＝∠ACF＝50°，
∵AD∥BE，
∴CF∥BE，
∴∠BCF＝∠EBC＝35°，
∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝85°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，方向角，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【例2.4】（2025 雁塔区校级模拟）计算：15.4°＝（　　）
A．15°4' B．15°24' C．15°36' D．15°40'
【点拨】根据度分秒之间的进率进行转化即可．
【解析】解：15.4°＝15°+0.4×60′＝15°24′，
故选：B．
【点睛】本题考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒之间的进率是解题的关键．
【例2.5】（2025 陕西）如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC．若∠1＝52°，则∠2的度数为（　　）
A．76° B．74° C．64° D．52°
【点拨】由角平分线的定义得到∠AOC＝2∠1＝104°，由邻补角的性质即可求出∠2的度数．
【解析】解：∵OD平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠1＝2×52°＝104°，
∴∠2＝180°﹣∠AOC＝76°．
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的定义，余角和补角，关键是由角平分线的定义得到∠AOC＝2∠1．
【例2.6】（2022 温州二模）已知∠1和∠2互为余角，且∠2与∠3互补，∠1＝60°，则∠3为（　　）
A．120° B．60° C．30° D．150°
【点拨】根据∠1和∠2互为余角，∠1＝60°，求得∠2的度数，然后根据∠2与∠3互补，得出∠3＝180°﹣∠2．
【解析】解：∵∠1和∠2互为余角，∠1＝60°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣60°＝30°，
∵∠2与∠3互补，
∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°．
故选：D．
【点睛】本题考查了余角和补角的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°．
【题型三】两直线相交及其性质
【例3.1】（2025 北京模拟）如图，直线AB和CD相交于点O，OB平分∠DOE，OE⊥OF，若∠AOF＝28°，则∠COF的度数为（　　）
A．28° B．30° C．32° D．34°
【点拨】首先由OE⊥OF，∠AOF＝28°利用平角的定义可求出∠EOB＝62°，再根据角平分线的定义得∠DOE＝2∠EOB＝124°，进而再根据平角的定义可求出∠COE的度数，最后再根据垂直的定义可求出∠COF的度数．
【解析】解：∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∵∠AOF+∠EOF+∠EOB＝180°，
又∠AOF＝28°，
∴∠EOB＝180°﹣∠AOF﹣∠EOF＝180°﹣28°﹣90°＝62°，
∵OB平分∠DOE，
∴∠DOE＝2∠EOB＝2×62°＝124°，
∵∠COE+∠DOE＝180°，
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣124°＝56°，
∴∠COF＝∠EOF﹣∠COE＝90°﹣56°＝34°．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了垂直的定义，平角的定义，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，利用平角的定义和垂直的定义找出相关角的关系．
【例3.2】（2025 慈利县一模）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC．
（1）若∠BOD＝35°，求∠EOC的度数；
（2）若∠EOC：∠EOD＝1：4，求∠BOD的度数．
【点拨】（1）由角平分线的定义得到∠EOC＝2∠AOC，由对顶角的性质得到∠AOC＝∠BOD＝35°，即可求出∠EOC的度数；
（2）由∠EOC：∠EOD＝1：4，求出∠EOC 度数，由角平分线的定义求出∠AOC的度数，由对顶角的性质即可求出∠BOD的度数．
【解析】解：（1）∵OA平分∠EOC，
∴∠EOC＝2∠AOC，
∵∠AOC＝∠BOD＝35°，
∴∠EOC＝2×35°＝70°；
（2）∵∠EOC：∠EOD＝1：4，∠EOC+∠EOD＝180°，
∴∠EOC＝×180°＝36°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC＝∠EOC＝18°，
∴∠BOD＝∠AOC＝18°．
【点睛】本题考查角平分线的定义，对顶角，邻补角，关键是掌握对顶角的性质，邻补角的性质，角平分线的定义．
【题型四】平行线的判定与性质
【例4.1】（2025 宁波模拟）如图，平行线AB，CD被EF所截，若∠1＝50°，则∠2等于（　　）
A．100° B．130° C．140° D．150°
【点拨】根据平行线的性质和平角的定义，进行求解即可．
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3＝50°（两直线平行，同位角相等），
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣50°＝130°；
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
【例4.2】（2025 开化县模拟）如图，直线a，b被直线c，d所截形成的角中，∠1＝130°，∠2＝50°，∠3＝70°，则∠4＝（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【点拨】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【解析】解：如图，
∵∠1＝130°，∠2＝50°，
∴∠1+∠2＝180°，
∴a∥b，
∴∠3＝∠5＝70°，
∵∠4+∠5＝180°，
∴∠4＝110°，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
【例4.3】（2025 苏州模拟）在△ABC中，D是BC的中点，E是AC上一点，连接ED并延长使DF＝DE．
（1）证明：AC∥BF；
（2）若BC＝8，AB＝5，DB平分∠ABF，求AD的长．
【点拨】（1）证明△BDF≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠FBD＝∠C，然后证明结论即可；
（2）证明△ABC为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，，然后利用勾股定理求解即可．
【解析】（1）证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），
∴∠FBD＝∠C，
∴AC∥BF；
（2）解：由条件可知∠FBD＝∠ABD，
由（1）可知，∠FBD＝∠C，
∴∠ABD＝∠C，
∴AB＝AC，即△ABC为等腰三角形，
∴AD⊥BC，，
∴在Rt△ABD中，．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解题关键．
1．（2025 浙江）如图所示，直线a，b被直线c所截．若a∥b，∠1＝91°，则（　　）
A．∠2＝91° B．∠3＝91° C．∠4＝91° D．∠5＝91°
【点拨】根据两直线平行，内错角相等；对顶角相等；邻补角互补即可求解．
【解析】解：∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝91°，
由邻补角互补得∠4＝180°﹣∠3＝89°，
由对顶角相等得∠5＝∠4＝89°，
由邻补角互补得∠2＝180°﹣∠1＝89°，
故正确的是B选项．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．
2．（2023 金华）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【点拨】由同位角相等两直线平行得到a与b平行，再由两直线平行同旁内角互补，求出∠5的度数，根据对顶角相等即可求出∠4的度数．
【解析】解：∵∠1＝∠3＝50°，
∴a∥b，
∴∠5+∠2＝180°，
∵∠2＝50°，
∴∠5＝130°，
∴∠4＝∠5＝130°．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
3．（2025 浙江一模）一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【点拨】利用题中“一个角的余角是这个角的2倍”作为相等关系列方程求解即可．
【解析】解：设这个角是x，
则90°﹣x＝2x，
解得x＝30°．
故选：A．
【点睛】主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180度．解此题的关键是能准确的从图中找出角之间的数量关系，从而计算出结果．
4．（2024 临安区一模）已知∠α＝42°12′，与∠α互余的角的度数是（　　）
A．132°12′ B．137°48′ C．57°48′ D．47°48′
【点拨】如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角，由此计算即可．
【解析】解：∵∠α＝42°12′，
∴∠α互余的角的度数是90°﹣42°12′＝89°60′﹣42°12′＝47°48′，
故选：D．
【点睛】本题考查了余角和补角，度分秒的换算，熟练掌握余角的定义是解题的关键．
5．（2024 浙江模拟）高速公路是指专供汽车高速行驶的公路．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是（　　）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．平行线之间的距离最短 D．平面内经过一点有无数条直线
【点拨】根据两点之间，线段最短解答即可．
【解析】解：在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，
这是因为：两点之间，线段最短．
故选：A．
【点睛】本题考查线段的性质，解题的关键是掌握：两点之间，线段最短．
6．（2024 婺城区模拟）为防止森林火灾的发生，会在森林中设置多个观测点，如图，若起火点M在观测台B的南偏东46°的方向上，点A表示另一处观测台，若AM⊥BM，那么起火点M在观测台A的（　　）
A．南偏东44° B．南偏西44° C．北偏东46° D．北偏西46°
【点拨】方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度．根据定义就可以解决．
【解析】解：如图：
因为AM⊥BM，
所以∠2+∠3＝90°，
因为南北方向的直线平行，
所以∠2＝46°，∠1＝∠3，
所以∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣46°＝44°，
所以∠1＝44°，
所以起火点M在观测台A的南偏西44°，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了方向角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，找准中心是做这类题的关键．
7．（2024 上城区校级模拟）已知点A，B，C是直线l上互不重合的三个点，设AB＝a2+a+4，AC＝na，BC＝2na+1，其中n，a是常数，（　　）
A．若0＜n≤1，则点A在点B，C之间 B．若2＜n≤3，则点A在点B，C之间
C．若0＜n≤1，则点C在点A，B之间 D．若2＜n≤3，则点C在点A，B之间
【点拨】根据点A，B，C是直线上互不重合的三个点，设当点A在点B，C之间时，BC＝BA+AC恒成立；设点C在点A，B之间时，AB＝AC+CB恒成立；分别代入求解即可．
【解析】解：当点A在点B，C之间时，BC＝BA+AC恒成立，即方程至少有一解，
（2na+1）＝（a2+a+4）+（na），
化简得a2+（1﹣n）a+3＝0，
Δ＝（1﹣n）2﹣12．
若0≤n≤1，则Δ（1﹣n）2﹣12＜0，不符合条件，故A选项错误；
若2＜n≤3，则Δ（1﹣n）2﹣12＜0，不符合条件，故B选项错误；
当点C在点A，B之间时，AB＝AC+CB恒成立，即方程至少有一解，
（a2+a+4）＝（2na+1）+（na），
化简得a2+（1﹣3n）a+3＝0，
Δ＝（1﹣3n）2﹣12．
若0＜n≤1，则Δ＝（1﹣3n）2﹣12＜0，不符合条件，故C选项错误；
若2＜n≤3，则Δ＝（1﹣3n）2﹣12＞0，符合条件，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了线段的和与差，一元二次方程根的判定，依据题意，列方程，结合选项进行验证是解题的关键．
8．（2025 绍兴三模）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（　　）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【点拨】根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到∠2．
【解析】解：∵直线a∥b，∠1＝50°，
∴∠1＝∠3＝50°，
∵直线AB⊥AC，
∴∠2+∠3＝90°．
∴∠2＝40°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等及垂线的定义是解题的关键．
9．（2022 拱墅区一模）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD．若∠BOD＝40°，则∠COE的度数为（　　）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【点拨】根据对顶角相等求出∠AOC，利用邻补角，角平分线性质计算，得到答案．
【解析】解：∵∠BOD＝40°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝140°，∠AOC＝∠BOD＝40°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE＝∠AOD＝70°．
∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝110°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是对顶角、邻补角、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角、角平分线的定义是解题的关键．
10．（2023 西湖区校级三模）如图，∠ACB＝90°，AC＝4，点P是直线CB上动点，则线段AP长度不可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【点拨】由垂线段的性质：垂线段最短，即可得到答案．
【解析】解：∠ACB＝90°，AC＝4，点P是直线CB上动点，则线段AP长度不可能是3．
故选：A．
【点睛】本题考查垂线段最短，关键是掌握垂线段的性质：垂线段最短．
11．（2025 浙江模拟）如图，张师傅将两根木条AB和AC固定在点A处，在木条AB上点O处安装一根能旋转的木条DE．张师傅用量角仪测得∠A＝68°，木条DE与AB的夹角∠BOD＝80°，要使DE∥AC，木条DE绕点O至少旋转（　　）
A．10° B．12° C．14° D．16°
【点拨】由同位角相等，两直线平行，即可解决问题．
【解析】解：当∠BOD＝∠A＝68°时，DE∥AC，
∴木条DE绕点O至少逆时针旋转80°﹣68°＝12°．
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．
12．（2025 沭阳县三模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝133°，则∠ADE的度数为（　　）
A．57° B．66° C．67° D．74°
【点拨】根据两直线平行，内错角相等得出∠BCE＝∠DEC＝67°，即可求出∠DEF的度数，再根据两直线平行，内错角相等得出∠ADE＝∠DEF＝66°即可．
【解析】解：∵AB∥DE，
∴∠BCE＝∠DEC，
∵∠BCE＝67°，
∴∠DEC＝67°，
∵∠CEF＝133°，
∴∠DEF＝∠CEF﹣∠DEC＝133°﹣67°＝66°，
∵AD∥EF，
∴∠ADE＝∠DEF＝66°，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
13．（2025 金华模拟）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠．若∠AGE＝40°，则∠ABC的度数为（　　）
A．50° B．65° C．70° D．75°
【点拨】根据题意，得到∠FBG的度数，结合折叠的性质，得到∠FBC的度数，从而得到结果．
【解析】解：如图，延长AB至M，
∵EC∥FB，∠AGE＝40°，
∴∠FBG＝∠AGE＝40°，
∵将一条两边沿互相平行的纸带折叠，
∴∠FBC＝∠MBC，
∴∠FBC+∠MBC＝180°+40°＝220°，
∴∠FBC＝110°，
∴∠ABC＝∠FBC﹣∠FBG＝70°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
14．（2025 浙江一模）将一个含45°角的三角尺和直尺如图放置．若∠1＝65°，则∠2＝（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【点拨】根据直尺两边平行，求出∠3的度数，再根据平角的性质，求解即可．
【解析】解：∵直尺对边平行，
∴∠3＝∠1＝65°，
∴∠2＝25°．
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是关键．
15．（2025 衢州四模）如图，AB∥CD，∠DEF＝110°，则∠A的度数是（　　）
A．70° B．80° C．110° D．150°
【点拨】由AB∥CD，∠DEF＝110°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得答案，
【解析】解：由条件可知∠A＝∠DEF＝110°，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
16．（2025 西湖区一模）如图，一束光线PO从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知AD∥BC，延长PO交BC于点P'，若∠POA＝50°，∠P'OQ＝25°，则∠OQB的度数为（　　）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【点拨】根据对顶角相等，角的和差关系计算∠DOQ的度数，再应用平行线的性质得到∠OQB的度数即可．
【解析】解：∵∠POA＝∠DOP′，
∠POA＝50°，
∴∠DOP′＝50°，
∵∠DOQ＝∠DOP'+∠P'OQ，
∠P′OQ＝25°，
∴∠DOQ＝50°+25°＝75°，
∵AD∥BC，
∴∠OQB＝∠DOQ＝75°，
∴∠OQB的度数为75°．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角、邻补角，熟练掌握相关性质是解题的关键．
17．（2023 台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为 　140°　 ．
【点拨】利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．
【解析】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C．
∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．
∵图案是由一张等宽的纸条折成的，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
又∵纸条的长边平行，
∴∠ABC＝∠1＝20°，
∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°．
故答案为：140°．
【点睛】本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用．
18．（2025 湖州一模）把角度转化成度的形式：70°30′＝　70.5　 °．
【点拨】根据度分秒的进制进行计算，即可解答．
【解析】解：∵30′＝0.5°，∴70°30′＝70.5°．
故答案为：70.5．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
19．（2025 钱塘区三模）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O．若∠1＝40°，则∠2＝ 　50°　 ．
【点拨】先根据已知条件和垂直定义求出∠BOE，再根据∠1+∠BOE+∠AOC＝180°和已知条件，求出∠AOC，最后根据对顶角相等求出∠2即可．
【解析】解：∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠1+∠BOE+∠AOC＝180°，∠1＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
∴∠2＝∠AOC＝50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角，解题关键是熟练掌握对顶角的性质和垂直定义．
20．（2024 萧山区一模）如图，AB∥DE，∠C＝78°，则∠B+∠D＝　282°　 ．
【点拨】过点C作CF∥AB，则CF∥AB∥DE，根据两直线平行，同旁内角互补即可解答．
【解析】解：过点C作CF∥AB，
∴∠B+∠BCF＝180°，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠D+∠DCF＝180°，
∴∠B+∠D+∠BCF+∠DCF＝180°+180°＝360°，
∵∠BCF+∠DCF＝∠BCD＝78°，
∴∠B+∠D＝282°．
故答案为：282°．
【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，解答此题的关键是正确添加辅助线．
21．（2024 仙居县二模）如图，直线AB∥直线CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．射线EG平分∠BEF，交CD于点G；GH⊥EF于点H，若EF＝5，EH＝2，则HG＝　4　 ．
【点拨】根据角平分线定义及平行线的性质求出∠FEG＝∠FGE，根据等腰三角形的判定得出EF＝GF＝5，再根据勾股定理求解即可．
【解析】解：∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠FEG，
∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠FGE，
∴∠FEG＝∠FGE，
∴EF＝GF＝5，
∵EF＝5，EH＝2，
∴FH＝EF﹣EH＝3，
∵GH⊥EF于点H，
∴HG＝＝4，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了平行线的性质、勾股定理，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
22．（2024 莲都区二模）课堂上同学们独立完成了这样一道问题：“如图，已知AB∥CD，AD∥BC，求证：∠1＝∠2．”
小莲同学解答如下：
∵AB∥CD， ∴∠1+∠BCD＝180°， ∵AD∥BC， ∴∠2+∠BCD＝180°， ∴∠1＝∠2．
小莲的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．
【点拨】由平行线的性质推出∠1+∠BAD＝180°，∠2+∠BAD＝180°，由补角的性质推出∠1＝∠2．
【解析】小莲的证法是错误的．
证明：AB∥CD，
∴∠1+∠BAD＝180°，
∵AD∥BC，
∴∠2+∠BAD＝180°，
∴∠1＝∠2．
【点睛】本题考查平行线的性质，关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
23．（2025 温州模拟）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，E为边AB上一点，AE＝DE．
（1）求证：AC∥DE．
（2）若DE＝2，BE＝4，，求BC的长．
【点拨】（1）根据AD平分∠BAC，得∠CAD＝∠DAE，再由AE＝DE，得出∠DAE＝∠ADE，再由平行线的判定解答即可；
（2）根据相似三角形的判定与性质解答即可．
【解析】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠DAE，
又∵AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠CAD，
∴AC∥DE
（2）解：∵DE＝AE＝2，AC∥DE，
∴△BED∽△BAC，
∴＝＝＝，
∴，
∴BD＝2CD＝3，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
1．（2023 金华模拟）已知∠α＝76°22′，则∠α的补角是（　　）
A．103°38′ B．103°78′ C．13°38′ D．13°78′
【点拨】根据补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互补，列出式子计算即可．
【解析】解：180°﹣76°22′＝103°38′，
故选：A．
【点睛】本题考查了补角的定义，度分秒的换算，掌握1°＝60′是解题的关键．
2．（2025 保定模拟）如图，这是嘉嘉绘制的从A地到B地的路线图，这两地之间的最短距离为8km，从上到下分别为路线M，N，P，Q，其中某条路线所标的数据错误，则数据错误的是（　　）
A．路线M B．路线N C．路线P D．路线Q
【点拨】这两地之间的最短距离为8km，其他线路都应大于8km，但是N线路的长度为8km，所以N线路所标的数据错误．
【解析】解：∵从A地到B地的路线图，这两地之间的最短距离为8km，
∴其他线路都应大于8km，
∵N线路的长度为3+3+2＝8（km），
∴路线N所标的数据错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段的性质，熟知两点之间线段最短是解题的关键．
3．（2025 安次区校级二模）如图，平面上点C为线段AB外一点，AB＝10，连接AC，BC．线段AC+BC的长可能是（　　）
A．7 B．9 C．10 D．11
【点拨】根据三角形任意两边之和大于第三边求解即可．
【解析】解：根据三角形任意两边之和大于第三边可知：AC+BC＞AB＝10，
故线段AC+BC的长可能是11．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，掌握两点间的距离的计算方法是关键．
4．（2025 莲池区校级模拟）已知线段AB＝16cm，点C是直线AB上一点，BC＝2cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（　　）
A．8cm B．9cm C．7cm或5cm D．7cm或9cm
【点拨】根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可．
【解析】解：∵点M是AC的中点，点N是BC的中点，
∴AM＝CM＝AC，BN＝CN＝BC，
当点C在线段AB上时，MN＝CM+CN＝ （AC+BC）＝AB＝8cm；
当点C在线段AB的延长线上时，MN＝CM﹣CN＝ （AC﹣BC）＝AB＝8cm．
故选：A．
【点睛】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键．
5．（2024 邯郸模拟）如图，某同学利用量角器测量∠AOB的度数，已知OA，OB经过的刻度分别是70°，115°，则∠AOB＝（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【点拨】依题意得∠COA＝70°，∠COB＝115°，再根据∠AOB＝∠COB﹣∠COA可得出答案．
【解析】解：如图所示：
依题意得：∠COA＝70°，∠COB＝115°，
∴∠AOB＝∠COB﹣∠COA＝115°﹣70°＝45°，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了量角器的使用，角的计算，熟练掌握量角器的使用，角的计算是解决问题的关键．
6．（2025 广西模拟）为保障学生的睡眠时间，教育部规定，小学生上课时间不能早于8：00．如图，8点钟时，分针与时针所夹的度数是（　　）
A．800° B．150° C．130° D．120°
【点拨】根据8：00时，分针指向12，时针指向8，从而可得答案．
【解析】解：∵钟面被等分成12份，每一份对应的圆心角为，
∵8：00时，分针指向12，时针指向8，
∴此时所成的角为4×30°＝120°．
故选：D．
【点睛】本题考查的是钟面角的大小，理解钟面被等分成12份，每一份对应的圆心角为30°是解本题的关键．
7．（2025 池州一模）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD．若∠1＝36°，则∠COE＝（　　）
A．26° B．72° C．108° D．144°
【点拨】由邻补角互补可得∠AOD＝180°﹣∠1＝144°，由角平分线的定义可得，由对顶角相等可得∠COA＝∠1＝36°，然后根据∠COE＝∠COA+∠AOE即可求出∠COE的度数．
【解析】解：根据题意可知，∠AOD＝180°﹣∠1＝144°，
∵OE平分∠AOD，
∴，
又∵∠COA＝∠1＝36°，
∴∠COE＝∠COA+∠AOE＝36°+72°＝108°．
故选：C．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，掌握几何图形中角度计算问题是解题的关键．
8．（2025 广饶县二模）如图，一支水笔正好与一把直尺平靠放在一起，小明发现：水笔的笔尖端（A点）正好对着直尺刻度约为5.6cm处，另一端（B点）正好对着直尺刻度约为20.6cm．则水笔的中点位置的刻度约为（　　）
A．15cm B．7.5cm C．13.1cm D．12.1cm
【点拨】由题意可求出水笔的长度，再求出他的一半，加上5，6即可解答．
【解析】解：∵水笔的笔尖端（A点）正好对着直尺刻度约为5.6cm处，另一端（B点）正好对着直尺刻度约为20.6cm．
∴水笔的长度为20.6﹣5.6＝15，水笔的一半＝15÷2＝7.5，
∴水笔的中点位置的刻度约为5.6+7.5＝13.1．
故选：C．
【点睛】解答此题的关键是求出水笔的长度，再求出他的一半，加上起始长度即可解答．
9．（2025 椒江区二模）如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1＝37°，则∠2的度数为（　　）
A．111° B．127° C．137° D．143°
【点拨】利用平行线的性质即可解答．
【解析】解：∵a∥b，∠1＝37°，
∴∠2＝90°+∠1＝127°，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
10．（2025 朝阳区校级一模）计算35°20'+25°50'＝　61°10'　 ．
【点拨】根据度分秒的进制进行计算，即可解答．
【解析】解：35°20'+25°50'＝60°70′＝61°10′，
故答案为：61°10'．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
11．（2025 金华模拟）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东65°方向行走至点C处，则∠ABC的度数为 　105　 °．
【点拨】根据方向角求出∠EBC，再根据平行线的性质求出∠ABE即可得出答案．
【解析】解：如图：
∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东65°方向行走至点C处，
∴∠DAB＝40°，∠CBE＝65°，
∵AD∥BE，
∴∠ABE＝∠DAB＝40°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+65°＝105°．
故答案为：105．
【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
12．（2025 福建模拟）如图，M，N位于数轴上原点O两侧，且OM＝3ON．若点M表示的数是9，则点N表示的数是　﹣3　 ．
【点拨】先根据点M表示的数是9得出OM＝9，再由OM＝3ON得出ON的长，进而可得出结论．
【解析】解：∵点M表示的数是9，
∴OM＝9，
∵OM＝3ON，
∴ON＝3，
∵点N在x轴的负半轴，
∴点N表示的数是﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查的是线段的和差，数轴，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键．
13．（2025 南京模拟）如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠COB的平分线，∠AOD＝60°，则∠AOB＝　80°　 ．
【点拨】利用角平分线的定义得到∠AOD＝∠AOB，利用已知条件∠AOB可求．
【解析】解：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB．
∵OD是∠COB的平分线，
∴∠COD＝∠BOC＝∠AOB．
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝∠AOB．
∵∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOB＝80°．
故答案为：80°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，利用角平分线的定义得到∠AOD＝∠AOB是解题的关键．
14．（2025 游仙区一模）如图，已知AB∥CD∥EF，若∠1＝60°，∠3＝140°，则∠2＝ 　20°　 ．
【点拨】根据平行线的性质得到∠BOF＝∠1＝60°，∠COF＝180°﹣∠3＝40°，即可得到答案．
【解析】解：∵AB∥EF，
∴∠BOF＝∠1＝60°，
∵CD∥EF，
∴∠COF＝180°﹣∠3＝180°﹣140°＝40°，
∴∠2＝∠BOF﹣∠COF＝60°﹣40°＝20°，
故答案为：20°．
【点睛】此题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
15．（2025 长安区校级模拟）如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．求∠DOG的度数．
【点拨】根据对顶角相等可得∠BOF＝∠AOE＝70°，由CD⊥EF可得∠DOF＝90°，再根据角平分线的性质求得∠GOF，进而根据∠DOG＝∠DOF﹣∠GOF计算即可．
【解析】解：∵三条直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOE＝70°，
∴∠BOF＝∠AOE＝70°，
∵CD⊥EF，
∴∠DOF＝90°，
∵OG平分∠BOF，
∴，
∴∠DOG＝∠DOF﹣∠GOF＝90°﹣35°＝55°．
【点睛】本题考查了几何图形中角的和差计算，对顶角的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
16．（2024 永昌县三模）如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：AD∥BC．
【点拨】首先利用平行线的性质以及角平分线的定义得到满足关于AD∥BC的条件，内错角∠2和∠E相等，得出结论．
【解析】证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥CD，∠CFE＝∠E，
∴∠1＝∠CFE＝∠E，
∴∠2＝∠E，
∴AD∥BC．
【点睛】本题考查角平分线的定义以及平行线的性质定理和判定定理．关键是根据平行线的性质以及角平分线的定义解答．
17．（2025 闽侯县校级模拟）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF＝90°，∠BOD：∠BOE＝1：2．
（1）求∠AOF的度数；
（2）若过点O作射线OG，使得∠GOE＝∠AOC，求∠AOG的度数．
【点拨】（1）根据角平分线定义得出∠COE＝∠BOE，根据∠BOD：∠BOE＝1：2，得出∠BOD：∠BOE：∠EOC＝1：2：2，然后再根据平角的定义进行计算即可；
（2）根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系分两种情况进行解答即可．
【解析】解：（1）∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠COE＝∠BOC，
由于∠BOD：∠BOE＝1：2，可设∠BOD＝x，则∠BOE＝∠COE＝2x，
∵∠BOD+∠BOE+∠COE＝180°，
即x+2x+2x＝180，
解得x＝36，
∴∠BOD＝36°，∠BOE＝72°，∠BOC＝144°，
∴∠BOD＝∠AOC＝36°，
又∵∠COF＝90°，
∴∠AOF＝∠COF﹣∠AOC＝90°﹣36°＝54°，
（2）由（1）知∠AOC＝36°，∠BOE＝72°，
∴∠GOE＝∠AOC＝36°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOE＝72°，
分两种情况：
①∠AOG＝∠AOC+∠COE+∠GOE＝36°+72°+36°＝144°，
②∠GOC＝∠COE﹣∠GOE＝72°﹣36°＝36°，
∴∠AOG＝∠AOC+∠GOC＝36°+36°＝72°．
即∠AOG＝72° 或∠AOG＝144°．
【点睛】本题考查角平分线，邻补角、对顶角，理解邻补角、对顶角的定义，掌握角平分线的定义是正确解答的关键．
18．（2024 凉州区三模）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD，∠1＝∠2．
（1）求证：FG∥AE；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝120°，求∠1的度数．
【点拨】（1）利用平行线的性质可得∠1＝∠FGC，再结合已知可得∠2＝∠FGC，然后利用平行线的判定，即可解答；
（2）根据垂直定义可得∠FHB＝90°，再利用平行线的性质可得∠ABD＝60°，然后利用角平分线的定义可得∠ABH＝30°，从而利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．
【解析】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠FGC，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠FGC，
∴FG∥AE；
（2）解：∵FG⊥BC，
∴∠FHB＝90°，
∵AB∥CD，∠D＝120°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D＝60°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABH＝∠ABD＝30°，
∴∠1＝90°﹣∠ABH＝60°，
∴∠1的度数为60°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
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