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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第三章 函数
3.5反比例函数
反比例函数 定义 我们把形如y＝(k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．自变量x≠0． 反比例函数有三种表达形式：①y＝(k为常数，k≠0)；②y＝kx－1(k为常数，k≠0)；③xy＝k(k为常数，k≠0)． 自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
图象 和性质 图象的特征 反比例函数的图象是双曲线，它关于坐标原点成中心对称，两个分支在第一、三象限或第二、四象限.．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
图象和性质 k>0 图象的两个分支位于第一、三象限 在每个象限内，y随x的增大而减小
k<0 图象的两个分支位于第二、四象限 在每个象限内，y随x的增大而增大
求反比例函数解析式 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为（k≠0）； （2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式
k的几何意义 同一象限内运用k的几何意义
S矩形PAOB＝|k|　 S△AOP＝　 S△ACP＝
两个象限内运用k的几何意义
S△ABC＝|k|　　　　　　S△APP1＝2|k|
双反比例函数中运用k的几何意义
S矩形ABCD＝|k1|－|k2|　 S△ABO＝　 S△ABC＝S△ABO＝
涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． 1.正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|； 2.如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； 3.如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
反比例函数与一次函数的综合 （1）当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。 （2）针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
【题型一】反比例函数的概念及解析式
【例1.1】（2025 绥化一模）在下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝2x B． C． D．
【点拨】根据反比例函数（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，可得答案．
【解析】解：A、y＝2x 不是反比例函数，故不符合题意；
B、y＝不是反比例函数，故不符合题意；
C、y＝是反比例函数，故符合题意；
D、y＝不是反比例函数，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．
【例1.2】（2025 闵行区二模）正多边形的一个外角的大小y（度）随着它的边数n的变化而变化，下列说法正确的是（　　）
A．y与n之间是正比例函数关系 B．y与n之间是反比例函数关系
C．y与n之间是一次函数关系 D．y与n之间是二次函数关系
【点拨】根据多边形的外角和度数及正多边形的性质列得y关于x的函数关系式后进行判断即可．
【解析】解：由题意可得y＝（n≥3，且n为整数），
那么y与n之间是反比例函数关系，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的定义，正多边形和圆，根据题意列得正确的函数关系式是解题的关键．
【例1.3】（2024 浙江模拟）已知P（x，y）是反比例函数的图象上的动点，若我们把叫做点P的伴随点，则点Q所在函数的表达式为（　　）
A． B．y＝x C． D．
【点拨】根据点P在反比例函数图象上得出y＝，再用x表示y，发现点Q横纵坐标之间的关系即可解决问题．
【解析】解：∵P（x，y）在反比例函数的图象上，
∴y＝，
又∵点Q的坐标为（），
∴，
所以点Q所在的函数的表达式为y＝x．
故选：B．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【题型二】反比例函数的图象与性质
【例2.1】（2025 化州市一模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的图象大致（　　）
A． B． C． D．
【点拨】k＜0时的情况下，根据一次函数和反比例函数图象的特点进行判断即可．
【解析】解：∵k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数y＝的图象经过二、四象限，
故D选项的图象符合要求．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象，一次函数的图象，掌握当k＜0时，一次函数和反比例函数的图象都经过第二、四象限是解题的关键．
【例2.2】（2023 黄岩区一模）下列关于反比例函数的描述中，正确的是（　　）
A．图象位于第二、四象限 B．图象过点（1，3）
C．y随x的增大而增大 D．当x＞﹣1时，y＞3
【点拨】根据反比例函数的图象和性质，逐一判断选项，即可得到答案．
【解析】解：A．∵k＝﹣3＜0，即：函数的图象在二，四象限内，∴A正确，
B．∵1×3＝3≠﹣3，函数的图象不经过（1，3），∴B错误，
C．∵k＝﹣3＜0，即：在每个象限内，y随x的增大而增大，∴C错误，
D．∵当x＞﹣1时，则y＞3或y＜0，∴D错误，
故选：A．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握比例系数k的意义与增减性，是解题的关键．
【例2.3】（2024 温州二模）已知两个反比例函数y1＝，y2＝﹣（m≠0）．当1≤x≤2时，y1的最大值和最小值分别为a1，b1，y2的最大值和最小值分别为a2，b2．若a1﹣a2＝4，则b1﹣b2的值为（　　）
A．﹣5 B． C． D．5
【点拨】根据反比例函数y＝中，当x＞0，k＞0时，图象在第一象限，y＞0，y随x的增大而减小；当x＞0，k＜0时，图象在第四象限，y随x的增大而增大；根据题上条件分析解答即可．
【解析】解：∵在反比例函数y＝中，当x＞0，k＞0时，图象在第一象限，y＞0，y随x的增大而减小；当x＞0，k＜0时，图象在第四象限，y随x的增大而增大；
∴两个反比例函数y1＝，y2＝﹣（m≠0）．当1≤x≤2时，y1的最大值和最小值分别为a1，b1，y2的最大值和最小值分别为a2，b2．若a1﹣a2＝4，即有a1＞a2，则m＞0，
∴a1＝m，b1＝，a2＝﹣＝﹣m，b2＝﹣＝﹣2m，
∴m﹣（﹣m）＝4，解得m＝2，
∴b1＝＝1，b2＝﹣2m＝﹣4，
∴b1﹣b2＝1﹣（﹣4）＝5．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数性质是关键．
【例2.4】（2025 浙江模拟）已知反比例函数的图象经过（﹣3，2），（m，n）两点．
（1）当m＞2时，求n的取值范围．
（2）设一次函数y2＝ax+3a+2（a＜0），当x＜0时，比较y1与y2的大小．
【点拨】（1）首先求出y1的函数表达式为，然后根据反比例函数的增减性求解即可；
（2）首先判断出直线经过点（﹣3，2），得到y1与y2函数图象的一个交点为（﹣3，2），进而求解即可．
【解析】解：（1）由条件可知k＝﹣3×2＝﹣6，
∴y1的函数表达式为．
∵k＝﹣6＜0，
∴图象位于第二、四象限，
在图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大，
∴当m＞2时，﹣3＜n＜0．
（2）由y2＝ax+3a+2＝a（x+3）+2可知，直线经过点（﹣3，2）
∴y1与y2函数图象的一个交点为（﹣3，2）．
又∵a＜0，
∴y2随x的增大而减小，
∴当x＜﹣3时，y1＜y2；
当x＝﹣3时，y1＝y2；
故当﹣3＜x＜0时，y1＞y2．当x＜﹣3，y1＜y2.当x＝﹣3时，y1＝y2；
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式求解及其增减性，一次函数和反比例函数交点问题，熟记相关结论是解题关键．
【例2.5】（2024 萧山区二模）如图，平面直角坐标系xOy中， OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数的图象经过点A（5，6）和点M．
（1）求k的值和点M的坐标；
（2）求 OABC的周长．
【点拨】（1）利用待定系数法求出k，再推出AM＝MC，即可得到答案；
（2）求出点C的坐标，求出OA，OC的长即可解决问题．
【解析】解：（1）∵点A（5，6）在上，
∴k＝30，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AM＝MC，
∴点M的纵坐标为3，
∵点M在的图象上，
∴M（10，3）．
（2）∵AM＝MC，A（5，6），M（10，3）
∴C（15，0），
∴，
∴平行四边形OABC的周长为．
【点睛】本题主要考查反比例函数上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，灵活运用所学知识是解题的关键．
【题型三】反比例系数k的几何意义
【例3.1】（2025 定海区一模）如图，点B，C在反比例函数的图象上，点A在x轴上，连结AB交y轴于点E，延长BC交x轴于点D．已知点A（﹣2，0），且BC＝CD，AE＝BE．若△ABC面积为10，则k的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【点拨】根据反比例函数k值的几何意义解答即可．
【解析】解：如图，连接CE、OC，
∵AE＝BE．△ABC面积为10，
∴S△AEC＝S△ABC＝＝5，
∵BC＝CD，AE＝BE．
∴CE是△ABD的中位线，
∴CE∥AD，
∴S△AEC＝S△OEC＝5，
∴k＝2S△OEC＝2×5＝10，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．
【例3.2】（2025 湖州一模）如图，A是函数的图象上一点，过点A作AB∥x轴，AB交函数的图象于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积是2，则k的值是　3　 ．
【点拨】依据题意，设点A的坐标为，其中a＜0，又AB∥x轴，则点B的纵坐标与点A相同，故，代入（x＞0），从而B的横坐标为，可得点B的坐标为，又△ABC的顶点C在x轴上，可设其坐标为（c，0），故S△ABC＝AB h＝（﹣ak﹣a） （﹣）＝2，则，进而计算可以得解．
【解析】解：由题意，设点A的坐标为，其中a＜0．
又∵AB∥x轴，
∴点B的纵坐标与点A相同．
∴，代入（x＞0），
∴B的横坐标为．
∴点B的坐标为．
又∵△ABC的顶点C在x轴上，可设其坐标为（c，0）．
∴S△ABC＝AB h＝（﹣ak﹣a） （﹣）＝2．
∴．
∴k＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．
【题型四】反比例函数与一次函数综合
【例4.1】（2025 富阳区一模）如图，一次函数y1＝x﹣1与反比例函数y2＝的图象交于点A（2，1），B（﹣1，﹣2），则使y1＜y2的x的取值范围是　0＜x＜2或x＜﹣1　 ．
【点拨】求得一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，自变量x的取值即可．
【解析】解：∵一次函数y1＝x﹣1与反比例函数y2＝的图象交于点A（2，1），B（﹣1，﹣2），
∴从图象可知：使y1＜y2的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2，
故答案为0＜x＜2或x＜﹣1．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．
【例4.2】2024 北仑区一模）如图，一次函数y＝k1（x﹣1）+3与反比例函数（k1k2≠0）的图象相交于A（1，m）、两点．
（1）求m、n的值；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）过A、B两点分别作x轴的平行线和垂线，四条直线的另两个交点为C、D，求证：直线CD经过原点．
【点拨】（1）将A点坐标代入直线解析式可得m，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得n；
（2）根据函数图象直接写出不等式解集即可；
（3）根据题意可得C（﹣2，3），D（1，﹣），待定系数法求出直线CD解析式是正比例函数即可．
【解析】（1）解：当x＝1时，一次函数m＝k1（1﹣1）+3＝3，
∴A（1，3），
∵A（1，m）、两点都在反比例函数图象上．
∴1×m＝﹣，即3＝﹣，
∴n＝﹣2．
∴m＝3，n＝﹣2．
（2）解：由（1）可知A（1，3），B（﹣2，﹣），
根据函数图象可知不等式的解集为：x＞1或﹣2＜x＜0．
（3）证明：由（1）可知，A（1，3），B（﹣2，﹣），
根据题意可得C（﹣2，3），D（1，﹣），
设直线CD解析式为y＝kx+b，代入C、D坐标得：
，解得，
∴直线CD解析式为y＝﹣，
故直线CD经过原点．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求两个函数解析式是关键．
【题型五】反比例函数的实际应用
【例5.1】（2025 临平区模拟）某校科技小组进行野外考查，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图，点A在反比例函数图象上，坐标是（8，30），当压强P（Pa）是4800Pa时，木板面积为 　0.05　 m2
【点拨】先利用待定系数法求出P关于S的函数解析式，再将P＝4800代入计算即可．
【解析】解：设反比例函数解析式为P＝，
将（8，30）代入，得：30＝，
解得：k＝240，
∴P＝，
当P＝4800时，4800＝，
解得S＝0.05，
所以当压强P（Pa）是4800Pa时，木板面积为0.05m2，
故答案为：0.05．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求反比例函数解析式．
【例5.2】（2025 临平区校级二模）在探究欧姆定律时，小明发现小灯泡电路上的电压保持不变，通过小灯泡的电流越大，灯就越亮．设选用小灯泡的电阻为R（Ω），通过的电流强度为I（A）．
（1）若电阻为40Ω，通过的电流强度为0.30A，求I关于R的函数表达式．
（2）如果电阻小于40Ω，那么与电阻为40Ω时相比，小灯泡亮度将发生什么变化？
【点拨】（1）根据物理知识，确定I与R之间的函数类型并利用待定系数法求出函数关系式即可；
（2）根据反比例函数的增减性判断即可．
【解析】解：（1）当小灯泡电路上的电压保持不变时，通过的电流强度与小灯泡的电阻之间是反比例函数的关系，
设I关于R的函数表达式为I＝（U为常数，且U≠0），
将R＝40，I＝0.3代入I＝，
得0.3＝，
解得U＝12，
∴I关于R的函数表达式为I＝．
（2）∵I＝；
∴I随R的减小而增大，
∵当R＝40时，I＝0.3，
∴当R＜40时，I＞0.3，
∴小灯泡将变得更亮．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，掌握电压一定时，电流与电阻之间的关系及待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．
【例5.3】（2025 景宁县二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由32℃烧到800℃后立即开始锻造操作，当材料温度低于480℃时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度y（℃）与时间x（min）成一次函数关系，第一次锻造造时温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为600℃．
（1）求第一次锻造操作的时长；
（2）求第二次开始锻造的时间．
【点拨】（1）先求出反比例函数的解析式，再求出当y＝800和y＝480时x的值，即可得答案；
（2）先求出煅烧温度上升的速度，再求出第二次煅烧时需要的时间，即可得答案．
【解析】解：（1）第一次锻造造时温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为600℃．
材料锻造时，设，
由题意得，解得k＝4800，
∴，
当y＝800时，，解得：x＝6，
当y＝480时，，解得：x＝10，
10﹣6＝4（min），
所以第一次锻造操作的时长是4min；
（2）（800﹣32）÷6＝128（℃），所以煅烧时温度每分钟上升128℃，
（800﹣480）÷128＝2.5（min），所以第二次煅烧需要2.5min，
10+2.5＝12.5（min），所以第二次开始锻造的时间是第12.5min．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数的解析式．
【题型六】反比例函数综合
【例6.1】（2024 义乌市模拟）如图，直线y＝mx+n与双曲线相交于A（﹣1，3）、B（3，b）两点，与y轴相交于点C．
（1）求直线AB的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）点D在y轴上，且，在x轴上是否存在一点G，使得GD+GB的值最小？若存在，求点G的坐标，若不存在请说明理由．
【点拨】（1）由待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）作点B关于x轴的对称点N（3，1），连接DN交x轴于点G，则此时GD+GB的值最小，即可求解．
【解析】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝﹣1×3＝﹣3，
则反比例函数的表达式为：y＝﹣，
将点B的坐标代入上式得：b＝﹣＝﹣1，
即点B的坐标为：（3，﹣1），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+2；
（2）观察函数图象知，不等式的解集为：x＞3或﹣1＜x＜0；
（3）存在，理由：
由直线AB的表达式知点C（0，2），
∵，则OD＝3，
则点D（0，﹣3），
作点B关于x轴的对称点N（3，1），连接DN交x轴于点G，则此时GD+GB的值最小，
理由：GD+GB＝GD+GN＝ND为最小，
由点D、N的坐标得，直线DN的表达式为：y＝x﹣3，
令y＝0，则x＝，
即点G（，0）．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到求函数表达式、线段和最小值的确定等，有一定的综合性，难度适中．
【例6.2】（2025 南山区一模）数学兴趣小组对面积为9的矩形，其周长m的范围进行了探索，兴趣小组的同学们已经能用“代数”的方法来解决：
（1）建立函数模型．
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为9，得xy＝9，即，由周长为m，得2（x+y）＝m，即．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第　一　 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象．
函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线y＝﹣x平移得到，请在同一平面直角坐标系中画出直线y＝﹣x．
（3）观察函数图象．
平移直线y＝﹣x，
①当直线平移到与函数的图象有唯一交点（3，3）时，周长m的值为　12　 ；
②在直线平移过程中，直线与函数的图象交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论．
面积为9的矩形，它的周长m的取值范围为m≥12　 ．
【点拨】（1）x，y都是边长，则x，y都比0大，由此即可判断；
（2）y＝﹣x的图象是一条经过原点的直线；
（3）①利用待定系数法求解；
②欲判断直线平移过程中的交点个数，考虑联立y＝﹣x+和y＝并整理，判断一元二次方程x2﹣x+9＝0的实数根的个数；
（4）联立y＝﹣x+和y＝，可知Δ≥0，即可解决问题．
【解析】解：（1）∵x＞0，
∴满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标；
故答案为：一；
（2）图形如图所示：
（3）①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点（3，3）时，
将（3，3）代入y＝﹣x+，解得m＝12，
故周长m的值为12．
故答案为：12；
②在直线平移过程中，交点个数还有0个，2个两种情况．
联立y＝﹣x+和y＝并整理，得x2﹣x+9＝0，
有0个交点，即Δ＝b2﹣4ac＝（﹣）2﹣4×1×9＝﹣36＜0，解得0＜m＜12．
有两个交点，即Δ＝b2﹣4ac＝（﹣）2﹣4×1×9＝﹣36＞0，解得m＜﹣12（舍去）或m＞12．
综上所述，当有0个交点时，0＜m＜12，当有2个交点时，m＞12．
（4）由（3）可知，矩形的周长2x+2y＝m≥12，
所以若能生产出面积为9的矩形模具，则周长m的取值范围为m≥12．
故答案为：m≥12．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
1．（2025 浙江）已知反比例函数y＝.下列选项正确的是（　　）
A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大
【点拨】根据反比例函数图象和性质判断即可．
【解析】解：∵反比例函数y＝，k＝﹣7＜0，
∴函数图象在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
故选项C符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟悉反比例函数的图象是解题的关键．
2．（2024 浙江）反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）两点．下列正确的选项是（　　）
A．当t＜﹣4时，y2＜y1＜0 B．当﹣4＜t＜0时，y2＜y1＜0
C．当﹣4＜t＜0时，0＜y1＜y2 D．当t＞0时，0＜y1＜y2
【点拨】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再对各选项进行逐一判断即可．
【解析】解：∵反比例函数中，k＝4＞0，
∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，
A、当t＜﹣4时，t+4＜0，
∵t＜t+4，
∴y2＜y1＜0，正确，符合题意；
B、当﹣4＜t＜0时，点P（t，y1）在第三象限，点Q（t+4，y2）在第一象限，
∴y1＜0，y2＞0，
∴y1＜0＜y2，原结论错误，不符合题意；
C、由B知，当﹣4＜t＜0时，y1＜0＜y2，原结论错误，不符合题意；
D、当t＞0时，t+4＞0，
∴P（t，y1），Q（t+4，y2）在第一象限，
∵t＜t+4，
∴y1＞y2＞0，原结论错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
3．（2023 宁波）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1＞0）的图象与反比例函数y2＝（k2＞0）的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣2＜x＜0或0＜x＜1
【点拨】根据图象即可．
【解析】解：由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合．
4．（2024 玉环市模拟）如图所示，满足函数y＝k（x﹣1）和y＝（k≠0）的大致图象是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【点拨】分别根据一次函数与反比例函数图象的特点解答即可．
【解析】解：∵y＝k（x﹣1），
∴函数y＝k（x﹣1）过点（1，0），
故①④不合题意；
当k＞0时，函数y＝k（x﹣1）过第一、三、四象限，函数y＝（k≠0）在一、三象限；
当k＜0时，函数y＝k（x﹣1）过第一、二、四象限，函数y＝（k≠0）在二、四象限；
故②③符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
5．（2025 西湖区二模）反比例函数的图象在第二、四象限，则二次函数y＝kx2+4x的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】首先根据反比例函数所在象限确定k＜0，再根据k＜0确定抛物线的开口方向和对称轴，即可选出答案．
【解析】解：∵反比例函数y＝（k≠0）图象在第二、四象限，
∴k＜0，
∴二次函数y＝kx2+4x的图象开口向下，
对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∵k＜0，
∴﹣＞0，
∴对称轴在y轴的右侧，
故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象与性质以及二次函数图象与性质，解决此题的关键是根据反比例函数的性质确定k的正负．
6．（2025 嵊州市模拟）如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价＝单价×数量）最多的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【点拨】过点甲作平行于x轴的直线，交反比例函数图象于点A，过点丙作平行于x轴的直线，交反比例函数图象于点B，设A（a，b），B（c，d），甲（x甲，b），丙（x丙，d），设反比例函数图象对应的函数关系式为y＝（k为常数，且k≠0），位于反比例函数图象上的点总价均为k，根据坐标，比较甲的总价与A的总价、丙的总价与B的总价，从而将四件商品的总价排序即可得出结论．
【解析】解：如图，过点甲作平行于x轴的直线，交反比例函数图象于点A，过点丙作平行于x轴的直线，交反比例函数图象于点B．
设A（a，b），B（c，d），甲（x甲，b），丙（x丙，d），
设反比例函数图象对应的函数关系式为y＝（k为常数，且k≠0），
∴乙，丁的总价均为k，
∵ab＝k，x甲＜a，
∴x甲b＜ab＝k，
∴甲的总价小于k，
∵cd＝k，x丙＞c，
∴x丙d＞cd＝k，
∴丙的总价大于k，
∴四件商品中，总价的大小关系为丙＞乙＝丁＞甲，
∴总价最多的是丙．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，掌握反比例函图象的特点是解题的关键．
7．（2025 衢州三模）已知反比例函数，当2≤x≤3时，函数y的最小值为a，则当﹣2≤x≤﹣1时，函数y有（　　）
A．最小值﹣2a B．最大值﹣2a C．最大值﹣a D．最小值﹣
【点拨】根据反比例函数的性质，可知图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，可得k＝2a，进而可判断：当x＝﹣2时，函数有最小值，当x＝﹣1时，函数有最大值．
【解析】解：∵反比例函数y＝（k＜0），
∴图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵当2≤x≤3时，函数y的最小值为a，
则x＝2时，＝a，
∴k＝2a，
∴y＝，
当﹣2≤x≤﹣1时，
当x＝﹣2时，函数y的最小值为＝﹣a，
当x＝﹣1时，函数y的最大值为＝﹣2a．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键．
8．（2025 洞头区模拟）已知A（x1，t），B（x2，t+1）两点在反比例函数的图象上，下列判断正确的是（　　）
A．当t＞0时，0＜x2＜x1 B．当﹣1＜t＜0时，x1＜x2＜0
C．当﹣1＜t＜0时，0＜x2＜x1 D．当t＜﹣1时，x1＜x2＜0
【点拨】由反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质判断即可．
【解析】解：∵k＝2＞0，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，
当t＞0时，A（x1，t），B（x2，t+1）在第一象限，则0＜x2＜x1，故A正确；
当﹣1＜t＜0时，A（x1，t）在第三象限，B（x2，t+1）在第一象限，则x1＜0＜x2，故B、C错误；
当t＜﹣1时，A（x1，t），B（x2，t+1）在第三象限，则x2＜x1＜0，故D错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
9．（2025 浙江模拟）如图，一次函数y1＝﹣2x+8的图象与反比例函数的图象相交于第一象限内的两点A（m，3n），B（m+2，n），且直线y1＝﹣2x+8与x轴交于点C，则下列结论中正确的是（　　）
A．m＝2 B．k＝8 C．2AB＝3BC D．当y1＞y2＞0时，1＜x＜3
【点拨】根据题意得，解得，即A（1，6），B（3，2），再求出k＝6，结合直线y1＝﹣2x+8与x轴交于点C，得出C（4，0），运用勾股定理算出，，运用数形结合思想进行分析当y1＞y2＞0时，1＜x＜3，即可作答．
【解析】解：由条件可知，
解得，
故A选项不符合题意；
把n＝2，m＝1代入A（m，3n），B（m+2，n），得A（1，6），B（3，2），
则把A（1，6）代入，得，
∴k＝6，
故B选项不符合题意；
∵直线y1＝﹣2x+8与x轴交于点C，
∴令y1＝0，则0＝﹣2x+8，
解得x＝4，
∴C（4，0），
∵A（1，6），B（3，2），
则，
，
则AB＝2BC，
∴2AB＝4BC，
故C选项不符合题意；
依题意，一次函数y1＝﹣2x+8的图象与反比例函数的图象相交于第一象限内的两点A（1，6），B（3，2），
∴当y1＞y2＞0时，1＜x＜3，
故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
10．（2025 浙江模拟）如图，点A，B在反比例函数（常数k＞0）图象上，作AC⊥x轴于点C，AD⊥y轴于点D，过B作BE⊥AC于点E，连接OA，OE，BC．则下列三角形中，与△OAE的面积一定相等的是（　　）
A．△OAD B．△OCE C．△ABE D．△BCE
【点拨】连接OB，延长BE交y轴于点F，则四边形OFEC为矩形，有和S△BCE＝S△BOF+S△BCO﹣SOFEC，结合反比例函数的几何性质化简即可．
【解析】解：连接OB，延长BE交y轴于点F，如图，
由条件可知四边形OFEC为矩形，S△OAE＝OC AC﹣OC CE＝k﹣OC CE，
＝，
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数的几何性质和等面积代换，熟练掌握以上知识点是关键．
11．（2025 宁波模拟）函数与y＝kx的图象交于A，B两点，若点A坐标为（2，4），则点B坐标为　（﹣2，﹣4）　 ．
【点拨】根据正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，进而得到点A，B关于原点对称，即可得出结果．
【解析】解：∵点A，B关于原点对称，
∵点A坐标为（2，4），
∴点B坐标为（﹣2，﹣4）；
故答案为：（﹣2，﹣4）．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数图象的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．
12．（2025 浙江模拟）反比例函数y＝的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是k＜3　 ．
【点拨】先根据当x＞0时，y随x的增大而增大判断出k﹣3的符号，求出k的取值范围即可．
【解析】解：∵反比例函数y＝的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴k﹣3＜0，解得k＜3．
故答案为：k＜3．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
13．（2025 富阳区二模）已知点M（m，y1），N（m+1，y2）在反比例函数（k是常数）的图象上，当m＞0时，y1＜y2，则k的取值范围是k＜0　 ．
【点拨】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可．
【解析】解：∵点M（m，y1），N（m+1，y2）在反比例函数（k是常数）的图象上，m＞0，
∴0＜m＜m+1，
∵y1＜y2，
∴反比例函数图象上分布在第二、四象限，
∴k＜0．
故答案为：k＜0．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是关键．
14．（2025 嘉兴二模）已知xy＝4，若y≥﹣2，则x的取值范围是x≤﹣2或x＞0　 ．
【点拨】利用反比例函数进行求解即可．
【解析】解：∵xy＝4，
∴，
∵4＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，
∴当y≥﹣2时，x的取值范围是x≤﹣2或x＞0，
故答案为：x≤﹣2或x＞0．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．
15．（2025 西湖区模拟）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地，当他按照原路返回时，汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系式是v＝　 ．
【点拨】先求得路程，再由等量关系“速度＝路程÷时间”列出关系式即可．
【解析】解：∵一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了4小时到达乙地，那么路程为80×4＝320千米，
∴汽车的速度v（千米/小时）与时间t（小时）的函数关系为v＝．
故答案为v＝．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，重点是找出题中的等量关系．
16．（2025 丽水一模）如图，以菱形OABC的顶点O为原点，边OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，∠AOC＝60°，OA＝2，过C点的反比例函数部分图象交AB于点D，则AD的值为　　 ．
【点拨】作CE⊥x轴交x轴于E，作DF⊥x轴交x轴于F，根据菱形的性质得到OC＝2，OC∥AB，根据三角函数求出OE＝1，，即，代入可求出，设AF＝a，根据三角函数可知，AD＝2a，则，可得，求出，即可求出AD的值．
【解析】解：如图，作CE⊥x轴交x轴于E，作DF⊥x轴交x轴于F，
由条件可知OC＝2，OC∥AB，
∵∠AOC＝60°，
∴∠OCE＝30°，
∴OE＝1，，
即，
∵过C点的反比例函数部分图象交AB于点D，
∴，
即，
由条件可知∠AOC＝∠FAB＝60°，
设AF＝a，则，AD＝2a，
∴OF＝2+a，
即，
∵过C点的反比例函数部分图象交AB于点D，
∴，
整理得：a2+2a﹣1＝0，
解得，（舍去），
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，菱形的性质，三角函数，解一元二次方程．熟练掌握以上知识点是关键．
17．（2023 绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 　2　 ．
【点拨】证明出点A、B为矩形边的中点，根据三角形OAB的面积求出矩形面积，再求出三角形ABC面积即可．
【解析】解：如图，延长CA交y轴于E，延长CB交x轴于点F，
∴CE⊥y轴，CF⊥x轴，
∴四边形OECF为矩形，
∵x2＝2x1，
∴点A为CE的中点，
由几何意义得，S△OAE＝S△OBF，
∴点B为CF的中点，
∴S△OAB＝S矩形OECF＝6，
∴S矩形OECF＝16，
∴S△ABC＝×16＝2．
故答案为：2．
2
【点睛】本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用及矩形特性是解题关键．
18．（2025 台州一模）函数（k为常数）的图象过点A（4，2），B（1，m）．
（1）求k，m的值；
（2）小明说：“该函数图象上的任意一点（a，b），若a＜4，则b＞2”，你赞同小明的说法吗？请说明理由．
【点拨】（1）根据反比例函数系数k＝xy求得即可；
（2）利用反比例函数的性质即可判断小明的说法不正确．
【解析】解：（1）∵函数（k为常数）的图象过点A（4，2），B（1，m），
∴k＝1 m＝4×2，
∴k＝8，m＝8；
（2）不赞同小明的说法，
∵k＝8，
∴函数（k为常数）的图象在第一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，
∵该函数图象上的任意一点（a，b），
∴若0＜a＜4，则b＞2，若a＜0，则b＜0，
∴小明的说法不正确．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
19．（2025 西湖区二模）在直角坐标系中，函数与函数y＝2x的图象交于两个不同的点A，B，点A的横坐标为2．
（1）求k的值和点B的坐标．
（2）若函数y＝2x的图象向下平移m（m＞0）个单位后经过点C（3，1），与y轴交于点D．
①求m的值．
②求△ABD的面积．
【点拨】（1）根据正比例函数的解析式求得A点的坐标，然后利用待定系数法求得k的值，利用反比例函数的对称性即可求得B的坐标；
（2）①利用平移的规律得到y＝2x﹣m，代入C（3，1），即可求得m的值；
②利用S△ABD＝S△AOD+S△BOD求得即可．
【解析】解：（1）∵函数与函数y＝2x的图象交于两个不同的点A，B，点A的横坐标为2，
∴y＝2×2＝4，
∴A（2，4），
∴k＝2×4＝8，
∵函数与函数y＝2x的图象交于两个不同的点A（2，4），B，
∴B（﹣2，﹣4）；
（2）①函数y＝2x的图象向下平移m（m＞0）个单位后得到y＝2x﹣m，
∵过点C（3，1），
∴1＝6﹣m，
∴m＝5；
②由①可知D（0，﹣5），
∵A（2，4），B（﹣2，﹣4），
∴S△ABD＝S△AOD+S△BOD＝．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象与几何变换，三角形的面积，求得交点的坐标是解题的关键．
20．（2025 瓯海区二模）某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度y（℃）与时间x（min）的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从30℃加热到60℃需要10min；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分．
（1）求材料加热到90℃的时间．
（2）求材料自然降温时，y关于x的函数表达式．
（3）已知该工艺品操作时温度需保持在60～90℃（包括60℃，90℃），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？
方案 恒温60℃工作 间歇加热工作
过程 ①从30℃加热到60℃； ②保持60℃进行加工． ①从30℃加热到90℃； ②自然降温到60℃； ③再次加热到90℃； 循环②③两个阶段．
加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然降温阶段不产生成本）
【点拨】（1）利用待定系数法求出解析式，然后把 y＝90时代入即可求解；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解．
【解析】解：（1）由题意，结合图象，从30℃加热到60℃是一次函数的图象，
∴可设函数解析式为y＝kx+b．
又图象过（0，30），（10，60），
∴．
∴．
∴函数的解析式为y＝3x+30．
∴令y＝3x+30＝90，则x＝20．
∴材料加热到90℃的时间为20min．
（2）由题意，设所求函数为y＝，
又∵材料自然降温时图象过（20，90），
∴m＝20×90＝1800．
∴所求函数为y＝．
（3）由题意可知，加热时长为10分钟．恒温阶段8×60﹣10＝470（分钟），
费用为：10×100+470×60＝29200（元）．
间加热工作：对于，
令y＝60，
∴x＝30．
∴除第一次加热到60℃需要10分钟，后续60℃加热到90℃，自然降温到60℃一轮需要20分钟，一天8小时中，加热时间为10+23×10+10＝250（分钟）．
∴费用为：250×100＝25000（元），25000＜29200．
∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
21．（2025 金华模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知△OAB为等边三角形，AB＝6，点C为AB的中点，反比例函数的图象经过A，B两点，且与OC交于点D，∠BOE＝15°，点B的横纵坐标之和为．
（1）点C的坐标为 　　 ；（请直接写出结果）
（2）求反比例函数的解析式；
（3）求线段CD的长度．
【点拨】（1）过点B作BM⊥x轴于M，过点A作AN⊥y轴于N，证明△OBM≌△OAN（AAS），得BM＝AN，OM＝ON，设B（x，y），则A（y，x），然后由中点坐标公式求解；
（2）设B点坐标为（x，y），则．再根据，求得xy＝9，即可求得k＝9，从而求解；
（3）先由点C坐标求得，再证明OC是第一象限角的平分线，从而可得OC所在直线的解析式为y＝x，再联立，求得D点的坐标为（3，3），从而可求得OD的长，然后由CD＝OC﹣OD求解即可．
【解析】解：（1）过点B作BM⊥x轴于M，过点A作AN⊥y轴于N，
则∠BMO＝∠ANO＝90°，
∵△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，OA＝OB，
∵∠BOE＝15°，
∴∠AON＝∠BOE＝15°，
∴△OBM≌△OAN（AAS），
∴BM＝AN，OM＝ON，
设B（x，y），则A（y，x），
∵点C为AB的中点，
∴点，
∵点B的横纵坐标之和为，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵△OAB为等边三角形，AB＝6，
∴OB＝AB＝6，
设B点坐标为（x，y），则．
∵B的横纵坐标之和为，
∴．
解得xy＝9．
∴k＝9．
∴反比例函数的解析式为．
（3）∵，
∴，
∵△OAB为等边三角形，点C为AB的中点，
∴，
∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝45°，
∴OC是第一象限角的平分线，
∴OC所在直线的解析式为y＝x．
联立，
解得，
∴D点的坐标为（3，3）．
∴OD＝3，
∴．
∴CD的长度为．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定与性质，反比例与一次函数交点，等边三角形的性质，中点坐标公式等知识，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键．
22．（2024 临安区一模）如图，在平面直角坐标系中放置一块45°角的三角板ABC，∠BAC＝90°，A，B两点分别落在x轴和y轴上，直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，AB右侧有一条直线l到AB的距离为．
（1）求AC的长．
（2）用尺规作出直线l（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）若直线l与BC边交于点D，双曲线经过点D，求出k的值．
【点拨】（1）根据直线解析式求出点A、B坐标，利用勾股定理求出AB长，AC＝AB即可；
（2）根据题意做出线段AC的垂直平分线即可；
（3）利用一线三直角证明△ABO≌△CAF继而可求出点C坐标，再根据中点坐标公式求出D点坐标，即可求出双曲线中的k值．
【解析】解：（1）由题意可知，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，
在直线y＝﹣2x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝1，
∴A（1，0），B（0，2），
∴AC＝AB＝＝，
（2）∵AC＝，AB⊥AC，AB右侧有一条直线l到AB的距离为．
∴作线段AC的垂直平分线即可，如图示：
（3）如图，作CF⊥x轴，垂足为F，
在△ABO和△CAF中，
，
∴△ABO≌△CAF（AAS），
∴OA＝CF＝1，OB＝AF＝2，
∴C（3，1），
根据（2）作图可知，直线l∥AB，
∴点D为线段BC的中点，
∴xD＝＝，yD＝＝，
∴D（，），
∵点D（，）在双曲线y＝图象上，
∴k＝＝．
【点睛】本题考查了反比例函数综合应用，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键．
1．（2025 丽江模拟）下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，由此判断即可．
【解析】解：A、是正比例函数，故此选项不符合题意；
B、是反比例函数，故此选项符合题意；
C、不是反比例函数，故此选项不符合题意；
D、不是反比例函数，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握这个定义是解题的关键．
2．（2025 西双版纳一模）若一个反比例函数的图象经过点（3，﹣6），则这个反比例函数的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】设反比例函数的解析式为：，把（3，﹣6）代入运算即可．
【解析】解：设反比例函数的解析式为：，由条件可得，
解得：k＝﹣18，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数式子，熟悉掌握运算方式是解题的关键．
3．（2025 湖南）对于反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．点（2，2）在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当x＞0时，y随x的增大而减小
【点拨】根据反比例函数的性质，k＝2＞0，函数位于第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小．
【解析】解：A、把点（2，2）代入反比例函数y＝，1＝2不成立，故不符合题意；
B、k＝2＞0，函数图象分别位于第一、三象限，故不符合题意；
C、当x＜0时，y随x的增大而减小，故不符合题意；
D、当x＞0时，y随x的增大而减小，故符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．
4．（2025 广东模拟）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据一次函数图象经过的象限即可得出a、b的正负，由此即可得出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【解析】解：A、∵一次函数图象应该过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，
∴反比例函数的图象经在二、四象限，
故A错误；
B、∵一次函数图象应该过第一、三、四象限，
∴a＞0，b＜0，
∴ab＜0，
∴反比例函数的图象经在二、四象限，
故B错误；
C、∵一次函数图象应该过第一、二、三象限，
∴a＞0，b＞0，
∴ab＞0，
∴反比例函数的图象经在一、三象限，
故C错误；
D、∵一次函数图象应该过第二、三、四象限，
∴a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
∴反比例函数的图象经在一、三象限，
故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定反比例函数图象经过的象限是解题的关键．
5．（2025 丽水一模）若点A（m﹣5，y1），B（m﹣1，y2），C（m+5，y3）（其中1＜m＜5）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【点拨】由反比例函数的解析式可得反比例函数在每个象限内，y随着x的增大而增大，结合1＜m＜5得出x1＜0＜x2＜x3即可得解．
【解析】解：∵点A（m﹣5，y1），B（m﹣1，y2），C（m+5，y3）（其中1＜m＜5）都在反比例函数的图象上，k＝﹣5＜0，
∴反比例函数的图象分别位于第二、四象限，且在每个象限内，y随着x的增大而增大，
∵1＜m＜5，
∴m﹣5＜0，m﹣1＞0，m+5＞6，
∴x1＜0＜x2＜x3，
∴y2＜y3＜y1，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
6．（2024 浙江模拟）已知反比例函数，对于一个正数m，当自变量x满足m≤x≤2m时，函数y的最大值为a，则当﹣2m≤x≤﹣m时，函数y有（　　）
A．最大值﹣2a B．最小值﹣2a C．最大值﹣a D．最小值
【点拨】根据反比例函数的性质，可知图象在第二、四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，再根据对于一个正数m，当自变量x满足m≤x≤2m时，函数y的最大值为a，求出解析式为y＝，再根据反比例函数的性质即可得出答案．
【解析】解：∵反比例函数，
∴图象在第二、四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，
∵对于一个正数m，当自变量x满足m≤x≤2m时，函数y的最大值为a，
∴＝a，
∴k＝2ma，
∴y＝，
∴当﹣2m≤x≤﹣m时，
当x＝﹣2m时，函数y有最小值＝﹣a，
当x＝﹣m时，函数y有最大值＝﹣2a．
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键．
7．（2025 萧山区二模）已知一次函数y1＝kx+b过点（﹣1，0），反比例函数，当x＞1时，y1＞y2恒成立，则k的取值范围是（　　）
A．k＞3 B．k≥3 C．k＞ D．k≥
【点拨】先结合一次函数过已知点求出b与k的关系，再根据x＞1时的取值范围，以及一次函数的性质来确定k的取值范围．
【解析】解：∵一次函数y1＝kx+b过点（﹣1，0），将点代入函数可得：
0＝﹣k+b，即b＝k，
∴y1＝kx+k，
∵对于反比例函数y2＝，当x＞1时，y2随x的增大而减小，
∴x＝1时，y2＝3，当x＞1时，0＜y2＜3，
∵当x＞1时，y1＞y2恒成立，即kx+k＞在x＞1时恒成立，
当x＝1时，y1＝k×1+k＝2k，要使x＞1时y1＞y2恒成立，即kx+k＞在x＞1时恒成立，
当x＝1时，y1＝k×1+k＝2k，要使x＞1时y1＞y2恒成立，首先x＝1时，需满足y1≥y2（因为x＞1时，y2＜3），即2k≥3，
∴k≥，
∵一次函数y1＝kx+k，当k＞0时，函数单调递增，才能保证在x＞1时始终满足y1＞y2，而k≥满足k＞0，
∴k的取值范围是k≥，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，关键在于利用函数的性质，通过特殊点（x＝1）的函数值关系来确定参数的取值范围，需要熟练掌握一次函数的单调性、反比例函数在特定区间的取值变化规律，体现了函数性质的综合运用能力．
8．（2025 绍兴一模）如图，已知点A在函数y＝（k是常数，k＞0，x＞0）图象上，点C在函数y＝﹣（x＞0）图象上，连结AC交x轴于点B，D是x轴上的点，若OA＝AB，BC＝CD，且△BCD的面积为1，则△AOB的面积为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，则AE∥CF，由题意设点A（m，），点C（n，﹣），则BE＝OE＝m，AE＝，DF＝BF＝n﹣2m，CF＝，通过证得△ABE∽△CBF，得到n＝（+1）m，然后根据△BCD的面积为1，即可求得k的值．
【解析】解：作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，则AE∥CF，
∵OA＝AB，BC＝CD，
∴OE＝BE，BF＝DF，
由题意设点A（m，），点C（n，﹣），则BE＝OE＝m，AE＝，DF＝BF＝n﹣2m，CF＝，
∴BD＝2（n﹣2m），
∵AE∥CF，
∴△ABE∽△CBF，
∴，即，
∴m2＝n2﹣2mn，
∴2m2＝（n﹣m）2，
∴n＝（+1）m或n＝（1﹣）m（舍去），
∴BD＝2（）m，CF＝，
∵△BCD的面积为1，
∴＝，
∴k＝3+2，
∵S△AOE＝，
∴S△AOB＝2S△AOE＝k＝3+2．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．
9．（2026 浙江一模）已知：点P（m，n）在直线y＝﹣x+5上，也在双曲线y＝﹣上，则m2+n2的值为 　29　 ．
【点拨】将点P分别代入一次函数解析式和反比例函数解析式，得到两个关于m和n的方程，再利用完全平方差公式解题．
【解析】解：∵点P（m，n）在直线y＝﹣x+5上，也在双曲线y＝﹣上，
∴n＝﹣m+5，n＝﹣，
∴n+m＝5，mn＝﹣2，
∴m2+n2＝（n+m）2﹣2mn＝52﹣2×（﹣2）＝29．
故答案为：29．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数图象上点的特征和完全平方差公式的应用，解题的关键是将点P代入求出关于m和n的方程．
10．（2025 鹿城区二模）如图，当阻力与阻力臂一定时，动力F（N）与动力臂L（cm）成反比例．动力F与动力臂L的部分数据如表所示，则表中b的值为　　 ．
F（N） … a 3a …
L（cm） … b b﹣5 …
【点拨】设动力F（N）与动力臂L（cm）的解析式为F＝，把F＝a时，L＝b，F＝3a时，L＝b﹣5代入得到k＝ab＝3a（b﹣5），求解即可．
【解析】解：∵当阻力与阻力臂一定时，动力F（N）与动力臂L（cm）成反比例，
∴设动力F（N）与动力臂L（cm）的解析式为F＝，
把F＝a时，L＝b，F＝3a时，L＝b﹣5代入得，k＝ab＝3a（b﹣5），
解得b＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，根据待定系数法得到关于a，b的等式是解决问题的关键．
11．（2025 银川校级一模）已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，当x＝1时，y＝4，x＝2时，．则当x＝﹣3时，y＝　﹣4　 ．
【点拨】根据题意，设，分别代入计算得到解得，则，即可求解．
【解析】解：∵y1与x成正比例，y2与x成反比例，
∴设，
∵y＝y1+y2，
∴，
当x＝1时，y＝4，x＝2时，，
∴，
解得，
∴y与x的关系式为：，
当x＝﹣3时，，
故答案为：﹣4．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法求反比例函数的解析式，掌握待定系数法是关键．
12．（2025 浙江模拟）反比例函数，当2m≤x≤m（m≠0）时，函数的最大值为a，则反比例函数的最大值为　　 （用含a的代数式表示）．
【点拨】先根据k＜0判断出函数图象所在的象限及其增减性，进而可得出结论．
【解析】解：∵反比例函数，
∴此函数的图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵当2m≤x≤m（m≠0）时，函数的最大值为a，
∴当x＝m时，y最大＝a，
∴a＝，即k＝am，
∵反比例函数中，﹣k＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵2m≤x≤m（m≠0），
∴当x＝2m时，y最大＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象，反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
13．（2025 缙云县二模）如图，在平面直角坐标系中，BA⊥x轴，垂足A在x轴上，点C，D分别为OB，OA的中点，AC，BD交于点E，反比例函数的图象经过点E，已知△ODE的面积为3，则k的值为　8　 ．
【点拨】设A（a，0），B（a，b），根据点C，D分别为OB，OA的中点，得出C（，），D（，0），然后用待定系数法求出直线AC和BD所对应的函数解析式，再求出直线AC和BD的交点E的坐标，再根据三角形ODE的面积为3，求出ab＝36，然后根据反比例函数系数k的几何意义求出k．
【解析】解：设A（a，0），B（a，b），
∵点C，D分别为OB，OA的中点，
∴C（，），D（，0），
设直线AC的函数解析式为y＝kx+c（k≠0），
把A，C坐标代入解析式得：，
解得，
∴直线AC的函数解析式为y＝﹣；
设直线BD的函数解析式为y＝mx+n（m≠0），
把B，D坐标代入解析式，得，
解得，
∴直线BD的函数解析式为y＝x﹣b，
联立方程组，
解得，
∴E（，b），
∵△ODE的面积为3，
∴××b＝3，
∴ab＝36，
∵点E在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝a×b＝×36＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题关键．
14．（2025 西湖区一模）在直角坐标系中，设函数y1＝与函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1k2≠0）的图象交于点A（1，4），B（﹣2，t）．
（1）求函数y1，y2的表达式．
（2）当x＞2时，比较y1与y2的大小．（直接写出结果）
（3）若点C在函数y2的图象上，将点C先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求点C的坐标．
【点拨】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）画出图象，利用数形结合解答即可；
（3）根据点的平移法则设点C坐标为（m，2m+2），写出点D的坐标再代入反比例函数解析式求出m值即可点的点C坐标．
【解析】解：（1）∵两个函数图象交于点A（1，4），B（﹣2，t）．
∴k1＝1×4＝﹣2t，
∴k1＝4，t＝﹣2，
∴y1＝，
∵点A（1，4），B（﹣2，﹣2）在直线y2＝k2x+b图象上，
，解得，
∴y2＝2x+2．
（2）两个函数图象如图所示，
由图可知，当x＞2时，y1＜y2．
（3）设点C坐标为（m，2m+2），
∵将点C先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点D，
∴D（m﹣1，2m﹣4），
∵点D恰好落在函数y1的图象上，
∴（m﹣1）（2m﹣4）＝4，
整理得m（m﹣3）＝0，
∴m＝3或m＝0，
∴C（3，8）或（0，2）．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
15．（2025 龙港市二模）随着夏天的到来，天气变热，蚊子增多．某校对教室采用药薰法进行灭蚊，药物燃烧时，室内空气的含药量y（mg/m3）与药物点燃后的时间x（min）成正比例，药物燃尽后，室内空气的含药量y（mg/m3）与x（min）成反比例（如图）．已知药物点燃后10min燃尽，此时室内空气的含药量为8mg/m3．
（1）求出药物燃尽后y与x之间函数的表达式．
（2）从熏药开始经过40min时，求此时室内空气的含药量是多少？
（3）当室内空气的含药量不低于4mg/m3且持续时间不低于12min时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？
【点拨】（1）设药物燃尽后的函数表达式为，利用待定系数法求解即可；
（2）将x＝40代入求解即可；
（3）将y＝4代入得到x＝20，然后 由图可得，x＝5时，y＝4，进而求解即可．
【解析】解：（1）设药物燃尽后的函数表达式为，将（10，8）代入得：
8＝，
解得：k＝80，
∴函数表达式为；
（2）当x＝40时，得：，
答：此时空气中的含药量是2mg/m3；
（3）此次灭蚊是有效；理由如下：
当y＝4时，得：，
解得：x＝20，
由图可得：x＝5时，y＝4，
∴20﹣5＝15＞12，
∴本次灭蚊有效．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是正确分析图象．
16．（2025 浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（6，1），B（1，6）都在反比例函数的图象上，直线AB与x轴，y轴分别相交于点C，D．
（1）求k的值，并根据图象直接写出当直线在反比例函数图象上方时，x的取值范围．
（2）求证：AD＝BC．
【点拨】（1）将A（6，1）代入，即可求出k的值，根据图象便可以直接写出当直线在反比例函数图象上方时，x的取值范围；
（2）利用A（6，1），B（1，6）可求出直线AB的解析式，再分别求出D（0，7）和C（7，0），结合A（6，1），B（1，6），可求出AC和BD，则可得AC＝BD，即可证明．
【解析】解：（1）将A（6，1）代入，
得：，
解得：k＝6，
根据图象可得当直线在反比例函数图象上方时，x的取值范围为1＜x＜6；
（2）设直线AB的解析式为y＝mx+n，由条件可得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+7，
令x＝0，得：y＝7，
∴D（0，7），
令y＝0，得：0＝﹣x+7，
解得：x＝7，
∴C（7，0），
∵点A（6，1），B（1，6），
∴，，
∴AC＝BD，
∴AC+AB＝BD+AB，
∴AD＝BC．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，直角坐标系中的两点距离公式，熟练掌握反比例函数与一次函数的交点问题是解题的关键．
17．（2025 石嘴山一模）如图，直线y1＝﹣x+4，都与双曲线交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
（1）分别求出函数y2与y3的函数表达式；
（2）直接写出当x＞0时，不等式的解集；
（3）若点P为y轴上的一个动点，当AP+BP最小时，求出点P坐标．
【点拨】（1）将点A的坐标代入y1＝﹣x+4，求出m，再将点A的坐标代入，把A（1，3）代入，进而求得y2的解析式；
（2）根据函数图象的交点坐标即可解答；
（3）求出点B、点B关于y轴对称点B′（﹣4，0），待定系数法求得直线AB′的解析式，进而求得P的坐标，即可求解．
【解析】解：（1）直线y1＝﹣x+4，都与双曲线交于点A（1，m），将点A的坐标代入y1＝﹣x+4得：
m＝﹣1+4＝3，
∴A（1，3），
将点A的坐标代入双曲线，得：k＝1×3＝3，
∴y3与x之间的函数关系式为．
把点A的坐标代入，得：
，
解得：，
∴，
（2）∵A（1，3），
∴当x＞0时，不等式的解集为：0＜x＜1；
（3）直线y1＝﹣x+4与x轴交于B，
当y1＝0时，得：﹣x+4＝0，
解得：x＝4，
∴点B的坐标为（4，0），则点B关于y轴对称点B′（﹣4，0），
设直线AB′的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0），将点A，点B′的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴，
当x＝0时，，
∴AP+BP＝AP+B′P≥AB′，当AP+BP最小，即AP+BP＝AP+B′P＝AB′时，．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了一次函数与反比例函数的综合知识，利用待定系数法求函数解析式，图象与坐标轴的交点坐标，函数图象与几何图形面积问题，正确掌握一次函数与反比例函数的综合知识点是解题的关键．
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第三章 函数
3.5反比例函数
反比例函数 定义 我们把形如 k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．自变量 ． 反比例函数有三种表达形式：①y＝(k为常数，k≠0)；②y＝kx－1(k为常数，k≠0)；③xy＝k(k为常数，k≠0)． 自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
图象 和性质 图象的特征 反比例函数的图象是双曲线，它关于坐标原点成中心对称，两个分支在第一、三象限或第二、四象限.．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
图象和性质 k>0 图象的两个分支位于第 象限 在每个象限内，y随x的增大而
k<0 图象的两个分支位于第 象限 在每个象限内，y随x的增大而
求反比例函数解析式 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为（k≠0）； （2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式
k的几何意义 同一象限内运用k的几何意义
S矩形PAOB＝|k|　 S△AOP＝　 S△ACP＝
两个象限内运用k的几何意义
S△ABC＝|k|　　　　　　S△APP1＝2|k|
双反比例函数中运用k的几何意义
S矩形ABCD＝|k1|－|k2|　 S△ABO＝　 S△ABC＝S△ABO＝
涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． 1.正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|； 2.如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； 3.如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
反比例函数与一次函数的综合 （1）当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。 （2）针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
【题型一】反比例函数的概念及解析式
【例1.1】（2025 绥化一模）在下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝2x B． C． D．
【例1.2】（2025 闵行区二模）正多边形的一个外角的大小y（度）随着它的边数n的变化而变化，下列说法正确的是（　　）
A．y与n之间是正比例函数关系 B．y与n之间是反比例函数关系
C．y与n之间是一次函数关系 D．y与n之间是二次函数关系
【例1.3】（2024 浙江模拟）已知P（x，y）是反比例函数的图象上的动点，若我们把叫做点P的伴随点，则点Q所在函数的表达式为（　　）
A． B．y＝x C． D．
【题型二】反比例函数的图象与性质
【例2.1】（2025 化州市一模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的图象大致（　　）
A． B． C． D．
【例2.2】（2023 黄岩区一模）下列关于反比例函数的描述中，正确的是（　　）
A．图象位于第二、四象限 B．图象过点（1，3）
C．y随x的增大而增大 D．当x＞﹣1时，y＞3
【例2.3】（2024 温州二模）已知两个反比例函数y1＝，y2＝﹣（m≠0）．当1≤x≤2时，y1的最大值和最小值分别为a1，b1，y2的最大值和最小值分别为a2，b2．若a1﹣a2＝4，则b1﹣b2的值为（　　）
A．﹣5 B． C． D．5
【例2.4】（2025 浙江模拟）已知反比例函数的图象经过（﹣3，2），（m，n）两点．
（1）当m＞2时，求n的取值范围．
（2）设一次函数y2＝ax+3a+2（a＜0），当x＜0时，比较y1与y2的大小．
【例2.5】（2024 萧山区二模）如图，平面直角坐标系xOy中， OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数的图象经过点A（5，6）和点M．
（1）求k的值和点M的坐标；
（2）求 OABC的周长．
【题型三】反比例系数k的几何意义
【例3.1】（2025 定海区一模）如图，点B，C在反比例函数的图象上，点A在x轴上，连结AB交y轴于点E，延长BC交x轴于点D．已知点A（﹣2，0），且BC＝CD，AE＝BE．若△ABC面积为10，则k的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【例3.2】（2025 湖州一模）如图，A是函数的图象上一点，过点A作AB∥x轴，AB交函数的图象于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积是2，则k的值是　　 ．
【题型四】反比例函数与一次函数综合
【例4.1】（2025 富阳区一模）如图，一次函数y1＝x﹣1与反比例函数y2＝的图象交于点A（2，1），B（﹣1，﹣2），则使y1＜y2的x的取值范围是　 　 ．
【例4.2】2024 北仑区一模）如图，一次函数y＝k1（x﹣1）+3与反比例函数（k1k2≠0）的图象相交于A（1，m）、两点．
（1）求m、n的值；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）过A、B两点分别作x轴的平行线和垂线，四条直线的另两个交点为C、D，求证：直线CD经过原点．
【题型五】反比例函数的实际应用
【例5.1】（2025 临平区模拟）某校科技小组进行野外考查，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图，点A在反比例函数图象上，坐标是（8，30），当压强P（Pa）是4800Pa时，木板面积为 　0.05　 m2
【例5.2】（2025 临平区校级二模）在探究欧姆定律时，小明发现小灯泡电路上的电压保持不变，通过小灯泡的电流越大，灯就越亮．设选用小灯泡的电阻为R（Ω），通过的电流强度为I（A）．
（1）若电阻为40Ω，通过的电流强度为0.30A，求I关于R的函数表达式．
（2）如果电阻小于40Ω，那么与电阻为40Ω时相比，小灯泡亮度将发生什么变化？
【例5.3】（2025 景宁县二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由32℃烧到800℃后立即开始锻造操作，当材料温度低于480℃时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度y（℃）与时间x（min）成一次函数关系，第一次锻造造时温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为600℃．
（1）求第一次锻造操作的时长；
（2）求第二次开始锻造的时间．
【题型六】反比例函数综合
【例6.1】（2024 义乌市模拟）如图，直线y＝mx+n与双曲线相交于A（﹣1，3）、B（3，b）两点，与y轴相交于点C．
（1）求直线AB的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）点D在y轴上，且，在x轴上是否存在一点G，使得GD+GB的值最小？若存在，求点G的坐标，若不存在请说明理由．
【例6.2】（2025 南山区一模）数学兴趣小组对面积为9的矩形，其周长m的范围进行了探索，兴趣小组的同学们已经能用“代数”的方法来解决：
（1）建立函数模型．
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为9，得xy＝9，即，由周长为m，得2（x+y）＝m，即．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第　一　 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象．
函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线y＝﹣x平移得到，请在同一平面直角坐标系中画出直线y＝﹣x．
（3）观察函数图象．
平移直线y＝﹣x，
①当直线平移到与函数的图象有唯一交点（3，3）时，周长m的值为　 　 ；
②在直线平移过程中，直线与函数的图象交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论．
面积为9的矩形，它的周长m的取值范围为 　 ．
1．（2025 浙江）已知反比例函数y＝.下列选项正确的是（　　）
A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大
2．（2024 浙江）反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）两点．下列正确的选项是（　　）
A．当t＜﹣4时，y2＜y1＜0 B．当﹣4＜t＜0时，y2＜y1＜0
C．当﹣4＜t＜0时，0＜y1＜y2 D．当t＞0时，0＜y1＜y2
3．（2023 宁波）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1＞0）的图象与反比例函数y2＝（k2＞0）的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣2＜x＜0或0＜x＜1
4．（2024 玉环市模拟）如图所示，满足函数y＝k（x﹣1）和y＝（k≠0）的大致图象是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
5．（2025 西湖区二模）反比例函数的图象在第二、四象限，则二次函数y＝kx2+4x的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025 嵊州市模拟）如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价＝单价×数量）最多的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（2025 衢州三模）已知反比例函数，当2≤x≤3时，函数y的最小值为a，则当﹣2≤x≤﹣1时，函数y有（　　）
A．最小值﹣2a B．最大值﹣2a C．最大值﹣a D．最小值﹣
8．（2025 洞头区模拟）已知A（x1，t），B（x2，t+1）两点在反比例函数的图象上，下列判断正确的是（　　）
A．当t＞0时，0＜x2＜x1 B．当﹣1＜t＜0时，x1＜x2＜0
C．当﹣1＜t＜0时，0＜x2＜x1 D．当t＜﹣1时，x1＜x2＜0
9．（2025 浙江模拟）如图，一次函数y1＝﹣2x+8的图象与反比例函数的图象相交于第一象限内的两点A（m，3n），B（m+2，n），且直线y1＝﹣2x+8与x轴交于点C，则下列结论中正确的是（　　）
A．m＝2 B．k＝8 C．2AB＝3BC D．当y1＞y2＞0时，1＜x＜3
10．（2025 浙江模拟）如图，点A，B在反比例函数（常数k＞0）图象上，作AC⊥x轴于点C，AD⊥y轴于点D，过B作BE⊥AC于点E，连接OA，OE，BC．则下列三角形中，与△OAE的面积一定相等的是（　　）
A．△OAD B．△OCE C．△ABE D．△BCE
11．（2025 宁波模拟）函数与y＝kx的图象交于A，B两点，若点A坐标为（2，4），则点B坐标为　　 ．
12．（2025 浙江模拟）反比例函数y＝的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是　 ．
13．（2025 富阳区二模）已知点M（m，y1），N（m+1，y2）在反比例函数（k是常数）的图象上，当m＞0时，y1＜y2，则k的取值范围是　 ．
14．（2025 嘉兴二模）已知xy＝4，若y≥﹣2，则x的取值范围是　 ．
15．（2025 西湖区模拟）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地，当他按照原路返回时，汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系式是 ．
16．（2025 丽水一模）如图，以菱形OABC的顶点O为原点，边OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，∠AOC＝60°，OA＝2，过C点的反比例函数部分图象交AB于点D，则AD的值为　　 ．
17．（2023 绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 　　 ．
18．（2025 台州一模）函数（k为常数）的图象过点A（4，2），B（1，m）．
（1）求k，m的值；
（2）小明说：“该函数图象上的任意一点（a，b），若a＜4，则b＞2”，你赞同小明的说法吗？请说明理由．
19．（2025 西湖区二模）在直角坐标系中，函数与函数y＝2x的图象交于两个不同的点A，B，点A的横坐标为2．
（1）求k的值和点B的坐标．
（2）若函数y＝2x的图象向下平移m（m＞0）个单位后经过点C（3，1），与y轴交于点D．
①求m的值．
②求△ABD的面积．
20．（2025 瓯海区二模）某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度y（℃）与时间x（min）的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从30℃加热到60℃需要10min；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分．
（1）求材料加热到90℃的时间．
（2）求材料自然降温时，y关于x的函数表达式．
（3）已知该工艺品操作时温度需保持在60～90℃（包括60℃，90℃），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？
方案 恒温60℃工作 间歇加热工作
过程 ①从30℃加热到60℃； ②保持60℃进行加工． ①从30℃加热到90℃； ②自然降温到60℃； ③再次加热到90℃； 循环②③两个阶段．
加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然降温阶段不产生成本）
21．（2025 金华模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知△OAB为等边三角形，AB＝6，点C为AB的中点，反比例函数的图象经过A，B两点，且与OC交于点D，∠BOE＝15°，点B的横纵坐标之和为．
（1）点C的坐标为 　 　 ；（请直接写出结果）
（2）求反比例函数的解析式；
（3）求线段CD的长度．
22．（2024 临安区一模）如图，在平面直角坐标系中放置一块45°角的三角板ABC，∠BAC＝90°，A，B两点分别落在x轴和y轴上，直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，AB右侧有一条直线l到AB的距离为．
（1）求AC的长．
（2）用尺规作出直线l（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）若直线l与BC边交于点D，双曲线经过点D，求出k的值．
1．（2025 丽江模拟）下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 西双版纳一模）若一个反比例函数的图象经过点（3，﹣6），则这个反比例函数的解析式为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025 湖南）对于反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．点（2，2）在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当x＞0时，y随x的增大而减小
4．（2025 广东模拟）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025 丽水一模）若点A（m﹣5，y1），B（m﹣1，y2），C（m+5，y3）（其中1＜m＜5）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
6．（2024 浙江模拟）已知反比例函数，对于一个正数m，当自变量x满足m≤x≤2m时，函数y的最大值为a，则当﹣2m≤x≤﹣m时，函数y有（　　）
A．最大值﹣2a B．最小值﹣2a C．最大值﹣a D．最小值
7．（2025 萧山区二模）已知一次函数y1＝kx+b过点（﹣1，0），反比例函数，当x＞1时，y1＞y2恒成立，则k的取值范围是（　　）
A．k＞3 B．k≥3 C．k＞ D．k≥
8．（2025 绍兴一模）如图，已知点A在函数y＝（k是常数，k＞0，x＞0）图象上，点C在函数y＝﹣（x＞0）图象上，连结AC交x轴于点B，D是x轴上的点，若OA＝AB，BC＝CD，且△BCD的面积为1，则△AOB的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．（2026 浙江一模）已知：点P（m，n）在直线y＝﹣x+5上，也在双曲线y＝﹣上，则m2+n2的值为 　 　 ．
10．（2025 鹿城区二模）如图，当阻力与阻力臂一定时，动力F（N）与动力臂L（cm）成反比例．动力F与动力臂L的部分数据如表所示，则表中b的值为　 ．
F（N） … a 3a …
L（cm） … b b﹣5 …
11．（2025 银川校级一模）已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，当x＝1时，y＝4，x＝2时，．则当x＝﹣3时，y＝　 　 ．
12．（2025 浙江模拟）反比例函数，当2m≤x≤m（m≠0）时，函数的最大值为a，则反比例函数的最大值为　　 （用含a的代数式表示）．
13．（2025 缙云县二模）如图，在平面直角坐标系中，BA⊥x轴，垂足A在x轴上，点C，D分别为OB，OA的中点，AC，BD交于点E，反比例函数的图象经过点E，已知△ODE的面积为3，则k的值为　　 ．
14．（2025 西湖区一模）在直角坐标系中，设函数y1＝与函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1k2≠0）的图象交于点A（1，4），B（﹣2，t）．
（1）求函数y1，y2的表达式．
（2）当x＞2时，比较y1与y2的大小．（直接写出结果）
（3）若点C在函数y2的图象上，将点C先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求点C的坐标．
15．（2025 龙港市二模）随着夏天的到来，天气变热，蚊子增多．某校对教室采用药薰法进行灭蚊，药物燃烧时，室内空气的含药量y（mg/m3）与药物点燃后的时间x（min）成正比例，药物燃尽后，室内空气的含药量y（mg/m3）与x（min）成反比例（如图）．已知药物点燃后10min燃尽，此时室内空气的含药量为8mg/m3．
（1）求出药物燃尽后y与x之间函数的表达式．
（2）从熏药开始经过40min时，求此时室内空气的含药量是多少？
（3）当室内空气的含药量不低于4mg/m3且持续时间不低于12min时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？
16．（2025 浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（6，1），B（1，6）都在反比例函数的图象上，直线AB与x轴，y轴分别相交于点C，D．
（1）求k的值，并根据图象直接写出当直线在反比例函数图象上方时，x的取值范围．
（2）求证：AD＝BC．
17．（2025 石嘴山一模）如图，直线y1＝﹣x+4，都与双曲线交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
（1）分别求出函数y2与y3的函数表达式；
（2）直接写出当x＞0时，不等式的解集；
（3）若点P为y轴上的一个动点，当AP+BP最小时，求出点P坐标．
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