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知识精准 重点聚焦 梯度明晰 学练无忧
第一单元 第2课时 余数和除数的关系 知识梳理
人教版 数学 二年级下册（新教材）
知识点一：余数与除数的核心规律
1. 规律内容
核心结论：在有余数的除法中，余数一定小于除数（用数学表达式表示为：余数＜除数）；
示例验证：用小棒摆三角形（除数=3），余数只能是1或2，均小于3；摆五边形（除数=5），余数只能是1、2、3、4，均小于5。
2. 规律本质
逻辑依据：余数是“平均分后剩余且不够再分一份”的数量，若余数大于或等于除数，说明剩余部分仍能再分一份，不符合余数的定义；
反例佐证：
余数=除数：如12根小棒摆三角形（除数=3），12÷3=4（个），正好分完，无余数，与“余数=除数”矛盾；
余数＞除数：如13根小棒摆三角形（除数=3），若余数记为4，4根小棒可再摆1个三角形，实际余数应为1，与“余数＞除数”矛盾。
【名师精研】
规律记忆技巧：用“不够再分”口诀辅助——余数要比除数小，不够再分才达标，避免出现“余数≥除数”的错误；
实操强化：用不同除数（如4、6、7）摆图形，记录余数情况，通过多次验证加深对规律的认知，形成条件反射。
知识点二：余数的取值范围
1. 关键取值边界
最小余数：1（余数表示有剩余，最少剩余1个，若余数为0则属于整除，无剩余）；
最大余数：除数-1（余数必须小于除数，比除数小的最大整数即为“除数-1”）；
示例：除数=8时，最大余数=8-1=7；除数=6时，最大余数=6-1=5。
2. 完整取值范围
取值集合：所有大于或等于1、且小于除数的整数，即1～（除数-1）之间的所有整数；
示例：除数=4时，余数的可能取值为1、2、3；除数=9时，余数的可能取值为1、2、3、4、5、6、7、8。
【名师精研】
取值判断技巧：已知除数，先算“最大余数=除数-1”，再确定取值从1到最大余数，不重不漏；
防错提醒：余数不能为0（0表示无剩余，属于整除），也不能等于或大于除数，可通过“除数-余数≥1”验证取值是否合理。
知识点三：规律的应用场景与方法
1. 场景一：判断余数是否合理
应用方法：对比余数与除数，若余数＜除数则合理，若余数≥除数则不合理；
示例：判断算式“17÷5=3……4”是否合理，除数=5，余数=4，4＜5，合理；判断“20÷6=3……2”是否合理，余数=2＜6，合理；判断“11÷4=2……3”是否合理，余数=3＜4，合理；判断“15÷4=3……3”是否合理，余数=3＜4，合理；判断“14÷3=4……2”是否合理，余数=2＜3，合理；判断“9÷2=3……3”是否合理，余数=3＞2，不合理。
2. 场景二：求最大余数
应用方法：直接套用公式“最大余数=除数-1”；
示例：把一些苹果平均分给7个小朋友，若有剩余，最多剩几个？除数=7，最大余数=7-1=6，即最多剩6个。
3. 场景三：确定余数的可能值
应用方法：先明确除数，再列出1到“除数-1”之间的所有整数；
示例：用小棒摆六边形（每个六边形需6根小棒），若有剩余，可能剩几根？除数=6，余数可能为1、2、3、4、5。
【名师精研】
应用技巧：遇到与余数相关的问题，先锁定“除数”这个关键条件，再根据规律推导结果，避免盲目判断；
拓展应用：逆向思考“已知余数是5，除数最小是几？”，根据“除数＞余数”，除数最小为5+1=6，强化对规律的灵活运用。
知识点四：规律与有余数除法的关联
1. 对算式书写的规范作用
书写前提：列有余数除法算式时，需先确保余数＜除数，再规范书写商、余数及单位；
示例：10根小棒摆四边形（除数=4），能摆2个剩2根，算式为10÷4=2（个）……2（根），余数2＜4，书写规范；若误写为10÷4=1（个）……6（根），余数6＞4，不符合规律，书写错误。
2. 对除法计算的验证作用
验证方法：计算出商和余数后，通过“余数＜除数”验证结果是否正确；
示例：计算19÷5，若得出商=3、余数=4，4＜5，结果合理。
【名师精研】
关联记忆技巧：将“余数＜除数”与有余数除法的定义、算式书写结合，形成“定义→规律→书写→验证”的完整逻辑链；
实操建议：计算有余数除法时，先算出余数，再第一时间与除数对比，养成“先验证、再定稿”的习惯，减少计算错误。

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