资源简介

提优点4　必要性探路
【知识拓展】
1.必要性探路法,是指对一类函数的恒成立问题,可以通过取函数定义域内的某个特殊的值或某几个特殊的值,先得到一个必要条件,初步获得参数的范围,再在该范围内讨论,或去验证其充分条件,进而解决问题的方法.
2.虽然这种必要性探路的方法求出的参数并不一定就是所求的实际范围,但可以限定问题成立的大前提,缩小参数的讨论范围,在一定程度可以减少分类讨论的类别,降低思维难度.
【类型突破】
类型一　端点效应
例1 (2025·太原模拟改编)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1),当x>1时,f(x)>0,求a的取值范围.
规律方法　1.端点效应的适用条件
(1)函数在端点处取得最值;(2)导函数单调且含参.
2.端点效应的实质
满足题设的函数只能是“单调函数在端点处取得最值”这一种情况,利用端点处所满足的必要条件缩小参数的取值范围,在很多情况下,该范围即为所求,然后再证明充分性即可.
3.端点效应的注意点
由导函数向前层层递推就可解出此类问题,但要理清每次求导对原函数的作用.
训练1 (2025·青岛调研改编)设函数f(x)＝ex－ax2－x－1.若当x≥0时,f(x)≥0,求实数a的取值范围.
类型二　内点效应
例2 已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.当x≥0时,f(x)≥x3＋1,求a的取值范围.
规律方法　1.端点效应失效时,可以考虑内点效应.
2.内点效应的实质:函数不在端点处取得最值,而是在区间中间某个点(即内点)取得最值,或者在端点和内点同时取得最小值.
3.满足端点效应的函数的如左图,满足内点效应的函数的图象如右图.
4.解题的关键是如何找到“内点”,一般可以通过方程组解出内点x0,但有些题目很难找出来,此类题目可用“导中切”来解答.
训练2 已知f(x)＝xln x－x,g(x)＝ax2＋2sin(x－1),若f(x)≥g(x),求参数a的取值范围.
类型三　显点效应
例3 (2025·湖州质检改编)已知函数f(x)＝2(x－2)ln x＋ax2－1.若f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
规律方法　显点的“点”也是内点,显点效应是内点效应的补充,找点的两个途径:
(1)猜想内点
出现对数时,考虑(猜想)特殊点1,e,;
出现指数时,考虑(猜想)特殊点0,1;
出现三角函数时,考虑(猜想)特殊点0,,,π等.
(2)解方程组找到内点.
训练3 已知函数f(x)＝ln x－ax.设g(x)＝ex－1＋xf(x),若g(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
类型四　极点效应
例4 (2025·南京调研改编)已知函数f(x)＝axex,其中a≠0.当x∈时,f(x)≥sin x＋cos x－1恒成立,求实数a的取值范围.
规律方法　1.极点效应(极值点效应),也就是函数的极值点和零点是同一个数,并且这个数必须是定义域“内点”.
2.满足极点效应的函数只能在定义域中间某个点取得最值.如果在端点处取得最值,则不能用极点效应这种方法解题.
3.极点效应可以理解为:在开区间内若函数存在最值,那么最值必定为极值.
训练4 已知函数f(x)＝ax2－ax－xln x,且f(x)≥0,求实数a的值.
【精准强化练】
1.已知f(x)＝ln (ax＋1)＋(x≥1),若f(x)≥ln 2恒成立,求实数a的取值范围.
2.已知f(x)＝ex－ln (x－m),若对定义域内的一切实数x,都有f(x)>4,求整数m的最小值.(参考数据:≈3.49)提优点4　必要性探路
【知识拓展】
1.必要性探路法,是指对一类函数的恒成立问题,可以通过取函数定义域内的某个特殊的值或某几个特殊的值,先得到一个必要条件,初步获得参数的范围,再在该范围内讨论,或去验证其充分条件,进而解决问题的方法.
2.虽然这种必要性探路的方法求出的参数并不一定就是所求的实际范围,但可以限定问题成立的大前提,缩小参数的讨论范围,在一定程度可以减少分类讨论的类别,降低思维难度.
【类型突破】
类型一　端点效应
例1 (2025·太原模拟改编)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1),当x>1时,f(x)>0,求a的取值范围.
解　由f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)得f(1)＝0,
f'(x)＝ln x＋＋1－a(x>1),
又f″(x)＝'＝>0,
∴f'(x)在(1,＋∞)上单调递增,
∴f'(x)>f'(1)＝2－a,
当2－a≥0,即a≤2时,f'(x)>0,
∴f(x)在(1,＋∞)上单调递增,
∴f(x)>f(1)＝0,符合题意;
当2－a<0,即a>2时,
f'(1)＝2－a<0,f'(ea)＝＋1>0,
∴ x0∈(1,ea),使得f'(x0)＝0,
又f'(x)在(1,＋∞)上单调递增,
∴当x∈(1,x0)时,f'(x)<0,
∴f(x)在(1,x0)上单调递减,
∴f(x)综上所述,a的取值范围为(－∞,2].
规律方法　1.端点效应的适用条件
(1)函数在端点处取得最值;(2)导函数单调且含参.
2.端点效应的实质
满足题设的函数只能是“单调函数在端点处取得最值”这一种情况,利用端点处所满足的必要条件缩小参数的取值范围,在很多情况下,该范围即为所求,然后再证明充分性即可.
3.端点效应的注意点
由导函数向前层层递推就可解出此类问题,但要理清每次求导对原函数的作用.
训练1 (2025·青岛调研改编)设函数f(x)＝ex－ax2－x－1.若当x≥0时,f(x)≥0,求实数a的取值范围.
解　由f(x)＝ex－ax2－x－1得f(0)＝0.
f'(x)＝ex－2ax－1,f'(0)＝0,
f″(x)＝ex－2a,f″(0)＝1－2a,
①当1－2a≥0,即a≤时,
f″(x)在[0,＋∞)上单调递增,
∴f″(x)>f″(0)≥0,
∴f'(x)在[0,＋∞)上单调递增,
∴f'(x)>f'(0)＝0,
∴f(x)在[0,＋∞)上单调递增,
∴f(x)>f(0)＝0,符合题意.
②当1－2a<0,即a>时,
f″(0)＝1－2a<0,f″(ln 2a)＝0,
f″(x)在[0,＋∞)上单调递增,
∴当x∈(0,ln 2a)时,f″(x)<0,
∴f'(x)在(0,ln 2a)上单调递减,
∴f'(x)≤f'(0)＝0,∴f(x)在(0,ln 2a)上单调递减,
∴f(x)≤f(0)＝0,不合题意,舍去;
综上所述,实数a的取值范围为.
类型二　内点效应
例2 已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.当x≥0时,f(x)≥x3＋1,求a的取值范围.
解　由f(x)≥x3＋1得ex＋ax2－x－x3－1≥0,
设g(x)＝ex＋ax2－x－x3－1,
则当x≥0时,g(x)≥0,
由g(2)≥0得a≥.
下面证明充分性,
当a≥时,g(x)＝ex＋ax2－x－x3－1≥ex＋·x2－x－x3－1.
要证ex＋·x2－x－x3－1≥0,
只需证ex≥x3＋x2＋x＋1,
只需证e－x－1≤0,
设h(x)＝e－x－1(x≥0),
则h'(x)＝
＝
当x∈∪(2,＋∞)时,
h'(x)<0,当x∈时,h'(x)>0,
∴h(x)在,(2,＋∞)上单调递减,
在上单调递增,
又h(0)＝h(2)＝0,
∴当x≥0时,h(x)≤0,
∴当a≥时,g(x)≥0.
综上所述,a的取值范围为.
规律方法　1.端点效应失效时,可以考虑内点效应.
2.内点效应的实质:函数不在端点处取得最值,而是在区间中间某个点(即内点)取得最值,或者在端点和内点同时取得最小值.
3.满足端点效应的函数的如左图,满足内点效应的函数的图象如右图.
4.解题的关键是如何找到“内点”,一般可以通过方程组解出内点x0,但有些题目很难找出来,此类题目可用“导中切”来解答.
训练2 已知f(x)＝xln x－x,g(x)＝ax2＋2sin(x－1),若f(x)≥g(x),求参数a的取值范围.
解　∵f(x)≥g(x),
∴xln x－x≥ax2＋2sin(x－1),
取x＝1,则a≤－1,
下面证明:当a≤－1时,f(x)≥g(x)恒成立.
∵x2>0,∴ax2≤－x2,
∴ax2＋2sin(x－1)≤－x2＋2sin(x－1),
∴只需证xln x－x≥－x2＋2sin(x－1),
设h(x)＝xln x＋x2－x－2sin(x－1),
h'(x)＝2x＋ln x－2cos(x－1),
h″(x)＝2＋＋2sin(x－1)>0,
h'(x)在(0,＋∞)上单调递增,又h'(1)＝0,
当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
当x∈(1,＋∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
h(x)min＝h(1)＝0,
∴h(x)≥0在(0,＋∞)上恒成立,
即xln x－x≥－x2＋2sin(x－1)在(0,＋∞)上恒成立,故a∈(－∞,－1].
类型三　显点效应
例3 (2025·湖州质检改编)已知函数f(x)＝2(x－2)ln x＋ax2－1.若f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
解　由题意得f(1)≥0,即a－1≥0,解得a≥1,
这是f(x)≥0恒成立的一个必要条件,下面证明充分性.
当a≥1时,f(x)＝2(x－2)ln x＋ax2－1≥2(x－2)ln x＋x2－1,x>0.
令g(x)＝2(x－2)ln x＋x2－1,x>0,
则g'(x)＝2ln x＋2－＋2x,
令h(x)＝g'(x),则h'(x)＝＋2>0,
∴g'(x)在(0,＋∞)上单调递增,又g'(1)＝0,
∴当x∈(0,1)时,g'(x)<0;
当x∈(1,＋∞)时,g'(x)>0.
∴g(x)min＝g(1)＝0,即g(x)≥0,∴f(x)≥0.
综上所述,a的取值范围为[1,＋∞).
规律方法　显点的“点”也是内点,显点效应是内点效应的补充,找点的两个途径:
(1)猜想内点
出现对数时,考虑(猜想)特殊点1,e,;
出现指数时,考虑(猜想)特殊点0,1;
出现三角函数时,考虑(猜想)特殊点0,,,π等.
(2)解方程组找到内点.
训练3 已知函数f(x)＝ln x－ax.设g(x)＝ex－1＋xf(x),若g(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
解　由题意得,g(x)＝ex－1＋xln x－ax2≥0(x>0)恒成立,
∴g(1)＝1－a≥0,解得a≤1.
当a≤1时,h(x)＝
＝＋ln x－ax
≥＋ln x－x
＝ex－1－ln x－(x－1－ln x)－1≥0,x>0.
(用到切线放缩ex－x－1≥0,x－1－ln x≥0,答题时需要证明)
综上所述,a的取值范围为(－∞,1].
类型四　极点效应
例4 (2025·南京调研改编)已知函数f(x)＝axex,其中a≠0.当x∈时,f(x)≥sin x＋cos x－1恒成立,求实数a的取值范围.
解　设g(x)＝f(x)－sin x－cos x＋1＝axex－sin x－cos x＋1,
则由题意得,当x∈时,g(x)≥0恒成立,
又g(0)＝0,∴x＝0是g(x)的极小值点,
∴g'(0)＝0,
又g'(x)＝a(x＋1)ex－cos x＋sin x,
∴g'(0)＝a－1＝0,解得a＝1.
下面证明:当a＝1时,g(x)＝xex－sin x－cos x＋1＝xex＋1－sin≥0恒成立.
①当x∈时,xex＋1≥－＋1>0,sin≤0,
∴g(x)>0,满足题意.(y＝xex为六大超越函数之一)
②当x∈时,
令h(x)＝＝x－,
则h'(x)＝1－≤0,
∴h(x)在上单调递减,
∴h(x)≥h(0)＝0,
∴g(x)≥0,满足题意.
③当x>0时,g'(x)＝(x＋1)ex－cos x＋sin x,
g″(x)＝(x＋2)ex＋sin x＋cos x>2＋sin x＋cos x>0,
∴g'(x)在(0,＋∞)上单调递增,
∴g'(x)>g'(0)＝0,
∴g(x)在(0,＋∞)上单调递增,
∴g(x)>g(0)＝0,满足题意;
综上所述,a＝1.
规律方法　1.极点效应(极值点效应),也就是函数的极值点和零点是同一个数,并且这个数必须是定义域“内点”.
2.满足极点效应的函数只能在定义域中间某个点取得最值.如果在端点处取得最值,则不能用极点效应这种方法解题.
3.极点效应可以理解为:在开区间内若函数存在最值,那么最值必定为极值.
训练4 已知函数f(x)＝ax2－ax－xln x,且f(x)≥0,求实数a的值.
解　f(x)＝ax2－ax－xln x的定义域为(0,＋∞),
令g(x)＝＝ax－a－ln x,则g(x)≥0,
又g(1)＝0,∴x＝1为g(x)的极小值点,
∴g'(1)＝0,
又g'(x)＝a－,∴由a－1＝0得a＝1.
∴当a＝1时,g(x)＝x－1－ln x≥0.
综上所述,a＝1.
【精准强化练】
1.已知f(x)＝ln (ax＋1)＋(x≥1),若f(x)≥ln 2恒成立,求实数a的取值范围.
解　必要性:对于x≥1,f(x)≥ln 2恒成立,
即ln (ax＋1)＋－ln 2≥0在(1,＋∞)上恒成立.
令g(x)＝ln (ax＋1)＋－ln 2,
所以g(1)＝ln (a＋1)－ln 2≥0,解得a≥1.
充分性:当a≥1时,
g(x)≥－1(x≥1).
令t＝≥1,
则令h(t)＝ln t＋－1(t≥1),
所以h'(t)＝(t≥1),
则h(t)在(1,＋∞)上单调递增,
所以h(t)≥h(1)＝0,
所以g(x)≥0恒成立,
综上所述,a的取值范围是[1,＋∞).
2.已知f(x)＝ex－ln (x－m),若对定义域内的一切实数x,都有f(x)>4,求整数m的最小值.(参考数据:≈3.49)
解　f(x)的定义域为(m,＋∞),取x＝m＋1,
则有f(m＋1)＝em＋1>4,
∴m>ln 4－1>0,
以下证明m＝1时,f(x)>4成立,
当m＝1时,f(x)＝ex－ln (x－1)(x>1),
f'(x)＝ex－在(1,＋∞)上单调递增,
f'＝3.49－4<0,f'－2>0,
∴ x0∈,
使得f'(x0)＝0,即,
x0＝－ln (x0－1),
f(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,＋∞)上单调递增,
∴f(x)min＝f(x0)＝－ln (x0－1)＝＋x0,
显然f(x0)在递增,
∴f(x0)min＝f>4,
∴f(x)>4成立,故整数m的最小值为1.

展开更多......

收起↑