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微专题5　构造函数比较大小
高考定位　导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容,经常以客观题出现,通过已知等式或不等式的结构特性构造新函数,解决比较大小、解不等式、恒成立问题.
【真题体验】
1.(2022·全国甲卷)已知a＝,b＝cos ,c＝4sin,则(　　)
A.c>b>a B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
2.(2022·新高考Ⅰ卷)设a＝0.1e0.1,b＝,c＝－ln 0.9,则(　　)
A.aC.c3.(2021·全国乙卷)设a＝2ln 1.01,b＝ln 1.02,c＝－1,则(　　)
A.aC.b【热点突破】
热点一　根据导数运算构造函数
抽象函数的构造技巧
已知函数 构造函数
f(x)＋f'(x) g(x)＝exf(x)
f(x)－f'(x) g(x)＝
f(x)＋xf'(x) g(x)＝xf(x)
f(x)－xf'(x) g(x)＝
nf(x)＋f'(x) g(x)＝enxf(x)
nf(x)－f'(x) g(x)＝
nf(x)＋xf'(x) g(x)＝xnf(x)
nf(x)－xf'(x) g(x)＝
f'(x)cos x－f(x)sin x g(x)＝f(x)cos x
f'(x)sin x＋f(x)cos x g(x)＝f(x)sin x
考向1　利用f(x)与xn构造
例1 已知函数f(x)的定义域为(0,＋∞),若xf'(x)>2f(x),则下列不等式成立的是(　　)
A.2 0252f(2 026)>2 0262f(2 025)
B.2 0252f(2 026)<2 0262f(2 025)
C.2 025f(2 026)>2 026f(2 025)
D.2 025f(2 026)<2 026f(2025)
考向2　利用f(x)与ex构造
例2 已知f(x)是可导的函数,且f'(x)A.f(1)B.f(1)>ef(0),f(2 026)>e2 026f(0)
C.f(1)>ef(0),f(2 026)D.f(1)e2 026f(0)
考向3　利用f(x)与sin x,cos x构造
例3 已知函数y＝f(x)对于任意的x∈满足f'(x)cos x＋f(x)sin x>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是(　　)
A.f>f
B.f>f
C.f(0)>f
D.f(0)>2f
规律方法　1.根据条件中关于f'(x)的不等式结构,逆用导数的运算法则构造原函数,进而利用其单调性.
2.熟悉知识拓展抽象函数的构造技巧,以便于构造原函数.
训练1 (1)已知定义域为R的函数f(x),其导函数为f'(x),且f'(x)＋2f(x)<0,f(0)＝1,则(　　)
A.f(－1)C.f> D.ef(1)>f
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,其导函数为f'(x),且当x<0时,2f(x)＋xf'(x)<0,则不等式(x－2 025)2f(x－2 025)－f(－1)<0的解集为　　　　.
(3)已知f'(x)是定义域为的函数f(x)的导函数,且f'(x)sin x＋f(x)cos x<0,则不等式f(x)sin x>f的解集为　　　　.
热点二　根据数值特征构造函数
根据数值特征构造函数的类型:
(1)构造相同的函数,利用其单调性解决问题.
(2)构造不同的函数,通过比较两个函数的函数值确定大小.
例4 (1)(2025·西安质检)设a＝,b＝ln ,c＝sin,则(　　)
A.cC.c(2)(2025·郑州调研)若ln(a＋1)＝0.2,ln(2b)＝－ln 3,ec＝1.2,则(　　)
A.aC.c规律方法　1.观察实数的结构,对实数适当变形寻找实数间的联系.
2.放缩法的应用:(1)用基本初等函数单调性放缩;(2)用切线不等式:ex≥x＋1,ln x≤x－1(x>0),sin x训练2 (1)若a＝,b＝,c＝,则(　　)
A.cC.a(2)(2025·南京调研)已知a＝ln 1.01,b＝1.01,c＝e0.01则(　　)
A.aC.c【精准强化练】
一、单选题
1.设f(x),g(x)是R上的可导函数,f'(x),g'(x)分别为f(x),g(x)的导函数,且f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)<0,则当aA.f(x)g(b)>f(b)g(x)
B.f(x)g(a)>f(a)g(x)
C.f(x)g(x)>f(b)g(b)
D.f(x)g(x)>f(a)g(a)
2.已知a＝e2,b＝e3,c＝e4,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.aC.c3.已知f'(x)是函数f(x)(x∈R)的导数,且 x∈R,f'(x)>2x,f(2)＝5,则不等式f(x)>x2＋1的解集为(　　)
A.(－∞,2) B.(2,＋∞)
C.(－∞,) D.(,＋∞)
4.(2025·福州质检)已知a＝ln,b＝ln ,c＝ln,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
5.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)>f'(x),则必有(　　)
A.函数y＝为增函数
B.函数y＝为增函数
C.函数y＝为减函数
D.函数y＝为减函数
6.已知函数 f(x) 的定义域为R,设f(x)的导函数是 f'(x),且f(x)·f'(x)＋x>0恒成立,则(　　)
A.f(1)f(－1)
C.|f(1)|>|f(－1)| D.|f(1)|<|f(－1)|
7.函数f(x)的定义域为R,且f(x)2ex＋1的解集为(　　)
A.(－∞,0) B.(0,＋∞)
C.(－∞,1) D.(1,＋∞)
8.定义在上的函数f(x),f'(x)是f(x)的导函数,且f'(x)<－tan x·f(x)成立,a＝2f,b＝f,c＝f,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.b>a>c B.c>b>a
C.c>a>b D.a>b>c
所以c>b>a.
二、多选题
9.已知函数f(x)的定义域为R,其导数f'(x)满足f(x)＋f'(x)>0,则(　　)
A.< B.>f(1)
C.f
10.下列说法正确的是(　　)
A.若x1B.若x1sin x1－sin x2
C.若eD.若ex1ln x2
11.(2025·杭州模拟)设a>0,b>0,则下列说法正确的是(　　)
A.若ea＋ln a＝eb＋b,则a>b
B.若ea－e－b≥eb－e－a,则a≥b
C.若ln＝2a－b－eb－1,则a≥b
D.若ln＝b＋eb－1－2a,则a≥b
三、填空题
12.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,若xf'(x)＋f(x)>0,且f(－1)＝2,则不等式f(x)＋<0的解集为　　　　.
13.(2025·石家庄调研)定义在R上的奇函数 f(x),满足 f(x)＋f'(－x)>0,f(2)＝1,则不等式 f(x＋1)> 的解集为　　　　.
14.已知a＝,b＝2sin,c＝ln ,则a,b,c的大小关系为　　　　. 微专题5　构造函数比较大小
高考定位　导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容,经常以客观题出现,通过已知等式或不等式的结构特性构造新函数,解决比较大小、解不等式、恒成立问题.
【真题体验】
1.(2022·全国甲卷)已知a＝,b＝cos ,c＝4sin,则(　　)
A.c>b>a B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
答案　A
解析　设f(x)＝cos x＋x2－1,x∈(0,＋∞),
f'(x)＝－sin x＋x>0,
所以f(x)在(0,＋∞)上单调递增,
则f>f(0)＝0,
所以cos >0,所以b>a,
因为＝4tan ,
因为当x∈,sin x所以tan >,即>1,所以c>b.
2.(2022·新高考Ⅰ卷)设a＝0.1e0.1,b＝,c＝－ln 0.9,则(　　)
A.aC.c答案　C
解析　a＝0.1e0.1＝e0.1,b＝,
则e0.1,
构造f(x)＝(1－x)ex,则f'(x)＝－xex,
当x>0时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
∴f(0.1)下面比较a与c.
设g(x)＝xex＋ln(1－x),
则g'(x)＝(x＋1)ex＋,
令h(x)＝ex(x2－1)＋1,
则h'(x)＝ex(x2＋2x－1),
易知当0则h(x)在上为减函数,
∴h(x)又x－1<0,∴g'(x)>0,
∴g(x)在上为增函数,
∴g(0.1)>g(0),∴0.1e0.1＋ln 0.9>0,∴a>c.
综上,b>a>c.
3.(2021·全国乙卷)设a＝2ln 1.01,b＝ln 1.02,c＝－1,则(　　)
A.aC.b答案　B
解析　显然1.012>1.02,故b令f(x)＝ln(1＋x)－＋1(0∵1＋x＝>,
∴f'(x)＝<0,
∴f(x)在(0,1)上单调递减,
∴f(x)∴ln(1＋x)－＋1<0,
故ln(1＋0.02)<－1,
即ln 1.02<－1,
故b令g(x)＝2ln(1＋x)－＋1,
g'(x)＝
＝2
＝2×,
令g'(x)＝0,得x＝2,
当x∈(0,2)时,g'(x)>0,
∴g(x)在(0,2)上单调递增,
∴g>g(0)＝0,
即2ln ＋1>0,
即a>c③;
结合①②③得a>c>b,故选B.
【热点突破】
热点一　根据导数运算构造函数
抽象函数的构造技巧
已知函数 构造函数
f(x)＋f'(x) g(x)＝exf(x)
f(x)－f'(x) g(x)＝
f(x)＋xf'(x) g(x)＝xf(x)
f(x)－xf'(x) g(x)＝
nf(x)＋f'(x) g(x)＝enxf(x)
nf(x)－f'(x) g(x)＝
nf(x)＋xf'(x) g(x)＝xnf(x)
nf(x)－xf'(x) g(x)＝
f'(x)cos x－f(x)sin x g(x)＝f(x)cos x
f'(x)sin x＋f(x)cos x g(x)＝f(x)sin x
考向1　利用f(x)与xn构造
例1 已知函数f(x)的定义域为(0,＋∞),若xf'(x)>2f(x),则下列不等式成立的是(　　)
A.2 0252f(2 026)>2 0262f(2 025)
B.2 0252f(2 026)<2 0262f(2 025)
C.2 025f(2 026)>2 026f(2 025)
D.2 025f(2 026)<2 026f(2025)
答案　A
解析　令g(x)＝(x>0),
则g'(x)＝
＝,
∵xf'(x)>2f(x),∴g'(x)>0,
∴g(x)在(0,＋∞)上单调递增,
∴g(2 025)2 0262f(2 025).
考向2　利用f(x)与ex构造
例2 已知f(x)是可导的函数,且f'(x)A.f(1)B.f(1)>ef(0),f(2 026)>e2 026f(0)
C.f(1)>ef(0),f(2 026)D.f(1)e2 026f(0)
答案　A
解析　设F(x)＝,x∈R,
则F'(x)＝<0,
可得F(x)＝在R上单调递减,
所以F(0)>F(1),F(0)>F(2 026),
即>,>,
所以f(1)考向3　利用f(x)与sin x,cos x构造
例3 已知函数y＝f(x)对于任意的x∈满足f'(x)cos x＋f(x)sin x>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是(　　)
A.f>f
B.f>f
C.f(0)>f
D.f(0)>2f
答案　A
解析　设g(x)＝,x∈,
则g'(x)＝>0,
g(x)在上单调递增,
对于A,<,化简得f>f,A正确;
对于B,<,
化简得f对于C,<,
化简得f(0)对于D,<,
化简得f(0)<2f,D错误.
规律方法　1.根据条件中关于f'(x)的不等式结构,逆用导数的运算法则构造原函数,进而利用其单调性.
2.熟悉知识拓展抽象函数的构造技巧,以便于构造原函数.
训练1 (1)已知定义域为R的函数f(x),其导函数为f'(x),且f'(x)＋2f(x)<0,f(0)＝1,则(　　)
A.f(－1)C.f> D.ef(1)>f
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,其导函数为f'(x),且当x<0时,2f(x)＋xf'(x)<0,则不等式(x－2 025)2f(x－2 025)－f(－1)<0的解集为　　　　.
(3)已知f'(x)是定义域为的函数f(x)的导函数,且f'(x)sin x＋f(x)cos x<0,则不等式f(x)sin x>f的解集为　　　　.
答案　(1)B　(2)(－∞,2 024)∪(2 026,＋∞)
(3)
解析　(1)令g(x)＝e2xf(x),
则g'(x)＝2e2xf(x)＋e2xf'(x)＝e2x[f'(x)＋2f(x)],
又f'(x)＋2f(x)<0,e2x>0,所以g'(x)<0,
即g(x)＝e2xf(x)在R上单调递减,
对于A,因为g(－1)＝e－2f(－1)>g(0)＝f(0)＝1,
所以f(－1)>e2,故A错误;
对于B,因为g(0)＝f(0)＝1>g(1)＝e2f(1),
所以f(1)<,故B正确;
对于C,因为g(0)＝f(0)＝1>g＝ef,所以f<,故C错误;
对于D,g＝ef>g(1)＝e2f(1),
所以ef(1)(2)令F(x)＝x2f(x),则F'(x)＝2xf(x)＋x2f'(x)＝x[2f(x)＋xf'(x)],
当x<0时,2f(x)＋xf'(x)<0,所以当x<0时,F'(x)＝x[2f(x)＋xf'(x)]>0,
即F(x)在(－∞,0)上是增函数,
由题意f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f(－x)＝f(x),
所以F(－x)＝(－x)2f(－x)＝x2f(x)＝F(x),
所以F(x)是偶函数,在(0,＋∞)单调递减,
所以F(x－2 025)＝(x－2 025)2f(x－2 025),
F(－1)＝(－1)2f(－1)＝f(－1),
即不等式(x－2 025)2f(x－2 025)－f(－1)<0等价为F(x－2 025)所以|x－2 025|>1,解得x<2 024或x>2 026.
(3)设g(x)＝f(x)sin x,x∈,
g'(x)＝f'(x)sin x＋f(x)cos x<0,
所以函数g(x)在上单调递减,
由f(x)sin x>f,
得f(x)sin x>fsin,即g(x)>g,
得
所以0热点二　根据数值特征构造函数
根据数值特征构造函数的类型:
(1)构造相同的函数,利用其单调性解决问题.
(2)构造不同的函数,通过比较两个函数的函数值确定大小.
例4 (1)(2025·西安质检)设a＝,b＝ln ,c＝sin,则(　　)
A.cC.c(2)(2025·郑州调研)若ln(a＋1)＝0.2,ln(2b)＝－ln 3,ec＝1.2,则(　　)
A.aC.c答案　(1)C　(2)D
解析　(1)设f(x)＝x－sin x,x∈(0,1),
f'(x)＝1－cos x≥0,
所以f(x)单调递增,则f>f(0)＝0,
所以>sin,即a>c,
设g(x)＝ln(1＋2x)－x,x∈,
g'(x)＝－1＝>0,x∈,
所以g(x)在上单调递增,
所以g>g(0)＝0,
所以ln＝ln >,则b>a,
所以b>a>c.
(2)依题意,a＝e0.2－1,b＝,c＝ln 1.2,
令f(x)＝ln x＋,x>1,
则f'(x)＝>0,f(x)在(1,＋∞)上单调递增,
则f(x)>f(1)＝1,即ln x>1－(x>1),
因此ln 1.2>1－,即c>b;
令g(x)＝ex－1－1－ln x,则当x>1时,g'(x)＝ex－1－>0,函数g(x)在(1,＋∞)上单调递增,则g(x)>g(1)＝0,
因此e1.2－1－1>ln 1.2,
即e0.2－1>ln 1.2,即a>c,所以b规律方法　1.观察实数的结构,对实数适当变形寻找实数间的联系.
2.放缩法的应用:(1)用基本初等函数单调性放缩;(2)用切线不等式:ex≥x＋1,ln x≤x－1(x>0),sin x训练2 (1)若a＝,b＝,c＝,则(　　)
A.cC.a(2)(2025·南京调研)已知a＝ln 1.01,b＝1.01,c＝e0.01则(　　)
A.aC.c答案　(1)C　(2)A
解析　(1)因为a＝,b＝,c＝,
所以构造函数f(x)＝(x>0且x≠1),
则f'(x)＝,
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递减,
当x∈(1,e)时,f'(x)<0,所以f(x)在(1,e)上单调递减;
当x∈(e,＋∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(e,＋∞)上单调递增;
综上可知,f(x)＝在(0,1)与(1,e)上单调递減,在(e,＋∞)上单调递增.
所以b＝＝f(4)>f(3)＝＝c.
又因为e<2<3,
所以c＝＝f(3)>f(2)＝＝a,
可得a(2)易知a＝ln 1.01<1,c＝e0.01>1,
构造函数f(x)＝ex－(x＋1),
f'(x)＝ex－1,易知当x≥0时,f'(x)＝ex－1≥0,f(x)单调递增;
所以f(0.01)＝e0.01－(0.01＋1)>f(0)＝0,
所以c>b>1,所以a【精准强化练】
一、单选题
1.设f(x),g(x)是R上的可导函数,f'(x),g'(x)分别为f(x),g(x)的导函数,且f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)<0,则当aA.f(x)g(b)>f(b)g(x)
B.f(x)g(a)>f(a)g(x)
C.f(x)g(x)>f(b)g(b)
D.f(x)g(x)>f(a)g(a)
答案　C
解析　∵[f(x)g(x)]'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)<0,
∴函数y＝f(x)g(x)是R上的减函数.
∴当af(x)g(x)>f(b)g(b),故选C.
2.已知a＝e2,b＝e3,c＝e4,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.aC.c答案　B
解析　令f(x)＝,
则f'(x)＝,易得f(x)在[2,＋∞)上单调递增,
∴f(2)3.已知f'(x)是函数f(x)(x∈R)的导数,且 x∈R,f'(x)>2x,f(2)＝5,则不等式f(x)>x2＋1的解集为(　　)
A.(－∞,2) B.(2,＋∞)
C.(－∞,) D.(,＋∞)
答案　B
解析　令g(x)＝f(x)－x2,
则g'(x)＝f'(x)－2x>0,
所以g(x)在R上单调递增,又f(2)＝5,
所以g(2)＝f(2)－22＝1,
不等式f(x)>x2＋1,即f(x)－x2>1,
即g(x)>g(2),所以x>2,
即不等式f(x)>x2＋1的解集为(2,＋∞).
4.(2025·福州质检)已知a＝ln,b＝ln ,c＝ln,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
答案　A
解析　构造函数f(x)＝ln x＋1－x,f'(x)＝－1＝,
当00,f(x)单调递增,
所以f>f>f,a>b>c.
5.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)>f'(x),则必有(　　)
A.函数y＝为增函数
B.函数y＝为增函数
C.函数y＝为减函数
D.函数y＝为减函数
答案　D
解析　由y＝可得
y'＝,
由于f'(x)－f(x)的正负无法确定,
因此无法判断y＝的单调性,故AC错误;
由y＝得y'＝
＝<0,
因此函数y＝为减函数,故D正确.
6.已知函数 f(x) 的定义域为R,设f(x)的导函数是 f'(x),且f(x)·f'(x)＋x>0恒成立,则(　　)
A.f(1)f(－1)
C.|f(1)|>|f(－1)| D.|f(1)|<|f(－1)|
答案　C
解析　设 g(x)＝f2(x)＋x2,
则g'(x)＝2f(x)·f'(x)＋2x>0,
故 y＝g(x) 在定义域上是增函数,
于是 g(1)>g(－1),
即 f2(1)＋1>f2(－1)＋1,
即有f2(1)>f2(－1),
故得 |f(1)|>|f(－1)|.
7.函数f(x)的定义域为R,且f(x)2ex＋1的解集为(　　)
A.(－∞,0) B.(0,＋∞)
C.(－∞,1) D.(1,＋∞)
答案　B
解析　设g(x)＝.
对g(x)求导,则g'(x)＝
＝.
已知f(x)即f'(x)－f(x)＋1>0,而ex>0恒成立,
所以g'(x)>0恒成立.
函数g(x)在R上单调递增.
已知f(0)＝3,则g(0)＝＝2.
不等式f(x)>2ex＋1可变形为f(x)－1>2ex,即>2,即g(x)>g(0).
因为g(x)在R上单调递增,所以x>0.
不等式f(x)>2ex＋1的解集为(0,＋∞).
8.定义在上的函数f(x),f'(x)是f(x)的导函数,且f'(x)<－tan x·f(x)成立,a＝2f,b＝f,c＝f,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.b>a>c B.c>b>a
C.c>a>b D.a>b>c
答案　B
解析　因为x∈时,cos x>0,
所以f'(x)<－tan x·f(x)可化为f'(x)＋tan x·f(x)<0,
设g(x)＝,x∈,
则g'(x)＝'＝<0,
所以函数g(x)在上单调递减,
因为<<,
所以g>g>g,
所以>>,
即f>f>2f,
所以c>b>a.
二、多选题
9.已知函数f(x)的定义域为R,其导数f'(x)满足f(x)＋f'(x)>0,则(　　)
A.< B.>f(1)
C.f
答案　ACD
解析　设F(x)＝ex·f(x),
则F'(x)＝exf(x)＋exf'(x)
＝ex[f(x)＋f'(x)],
因为f'(x)＋f(x)>0,
则F'(x)>0,则F(x)在R上单调递增.
因为ln 2<1,所以eln 2·f(ln 2)因为0<1,所以e0·f(0)因为<1,所以·ff因为－1<1,所以e－1·f(－1),所以D正确.
10.下列说法正确的是(　　)
A.若x1B.若x1sin x1－sin x2
C.若eD.若ex1ln x2
答案　AD
解析　令f(x)＝x－sin x,
则f'(x)＝1－cos x≥0在R上恒成立,
所以f(x)在R上单调递增,
所以x1－sin x1即x1－x2令g(x)＝,
所以g'(x)＝<0在(e,＋∞)上恒成立,
所以g(x)在(e,＋∞)上单调递减,
所以当eg(x2),
即x2ln x1>x1ln x2,故C错误,D正确.
11.(2025·杭州模拟)设a>0,b>0,则下列说法正确的是(　　)
A.若ea＋ln a＝eb＋b,则a>b
B.若ea－e－b≥eb－e－a,则a≥b
C.若ln＝2a－b－eb－1,则a≥b
D.若ln＝b＋eb－1－2a,则a≥b
答案　ABD
解析　令f(x)＝x－ln x,f'(x)＝1－,由f'(x)<0,可得00,
可得x>1,可得f(x)＝x－ln x在(0,1)单调递减,在(1,＋∞)单调递增,
所以f(x)＝x－ln x≥f(1)＝1,即x≥ln x＋1>ln x.
对于A,∵a>ln a,∴ea＋a>ea＋ln a＝eb＋b,
而函数y＝ex＋x是增函数,∴a>b,故A正确;
对于B,当x>0时,令函数g(x)＝ex＋e－x,
则g'(x)＝ex－e－x>0,
∴函数g(x)＝ex＋e－x在(0,＋∞)上单调递增,
由ea－e－b≥eb－e－a,可得g(a)≥g(b),
∴a≥b,故B正确;
对于C,由x≥ln x＋1,可得x－1≥ln x,
即x≤ex－1,可得b≤eb－1,
∴ln ＝2a－b－eb－1≤2a－2b,
即2a－ln a≥2b－ln b,
而函数y＝2x－ln x,求得y'＝2－在(0,＋∞)有正有负,
所以y＝2x－ln x在(0,＋∞)上不是增函数,故C不正确;
对于D,ln ＝b＋eb－1－2a≥2b－2a,
即2a＋ln a≥2b＋ln b,
易知函数y＝2x＋ln x在(0,＋∞)上是增函数,∴a≥b,故D正确,故选ABD.
三、填空题
12.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,若xf'(x)＋f(x)>0,且f(－1)＝2,则不等式f(x)＋<0的解集为　　　　.
答案　(－1,0)
解析　由xf'(x)＋f(x)>0,
可得[xf(x)]'>0,
令g(x)＝xf(x),则g(x)在R上单调递增,且g(－1)＝－2.
当x>0时,由f(x)＋<0,
可得xf(x)<－2,即g(x)所以x<－1,无解;
当x<0时,由f(x)＋<0,
可得xf(x)>－2,即g(x)>g(－1),
所以x>－1,则－1综上,不等式f(x)＋<0的解集为(－1,0).
13.(2025·石家庄调研)定义在R上的奇函数 f(x),满足 f(x)＋f'(－x)>0,f(2)＝1,则不等式 f(x＋1)> 的解集为　　　　.
答案　(1,＋∞)
解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数,
则f(－x)＝－f(x).
两边求导,得到f'(－x)＝f'(x).
已知f(x)＋f'(－x)>0,可得f(x)＋f'(x)>0.
令g(x)＝ex－2f(x),
g'(x)＝ex－2f(x)＋ex－2f'(x)
＝ex－2[f(x)＋f'(x)].
由于f(x)＋f'(x)>0,
又ex－2>0,所以g'(x)>0,
g(x)在R上单调递增.
不等式f(x＋1)>可化为ex－1f(x＋1)>1.
不等式ex－1f(x＋1)>1即ex＋1－2f(x＋1)>e2－2f(2),即g(x＋1)>g(2).
因为g(x)单调递增,所以x＋1>2,解得x>1.
故不等式f(x＋1)>的解集为(1,＋∞).
14.已知a＝,b＝2sin,c＝ln ,则a,b,c的大小关系为　　　　.
答案　b>a>c
解析　构造函数f(x)＝2sin x－x,x∈,
则f'(x)＝2cos x－1,
当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
∴f＝2sin>f(0)＝2sin 0－0＝0,
即2sin>;
构造函数g(x)＝x－ln(1＋x),x∈(0,1),
g'(x)＝1－>0,
∴g(x)在(0,1)单调递增,
∴g－ln>g(0)＝0,
即>ln ,所以b>a>c.

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