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微专题6　切线与公切线问题
高考定位　曲线的切线与公切线问题是高考考查的热点,一般单独考查,难度较小,也可与函数的单调性、极值、最值综合考查,难度较大.
【真题体验】
1.(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝,则曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　f'(x)＝,
所以f'(0)＝3,所以曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝3(x－0),即3x－y＋1＝0,
切线与两坐标轴的交点分别为(0,1),,
所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×,故选A.
2.(2025·新高考Ⅰ卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线,则a＝　　　　.
答案　4
解析　设直线y＝2x＋5与曲线y＝ex＋x＋a相切于点(x0,＋x0＋a),
由y＝ex＋x＋a得y'＝ex＋1,
所以y'＋1＝2,解得x0＝0,
所以切点坐标为(0,1＋a),
又切点(0,1＋a)在切线y＝2x＋5上,
所以1＋a＝5,解得a＝4.
3.(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0,1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线,则a＝　　　　.
答案　ln 2
解析　由题意,令f(x)＝ex＋x,则f'(x)＝ex＋1,
所以f'(0)＝2,所以曲线y＝ex＋x在点(0,1)处的切线方程为y＝2x＋1.
令g(x)＝ln(x＋1)＋a,则g'(x)＝,
设直线y＝2x＋1与曲线y＝g(x)相切于点(x0,y0),则＝2,
得x0＝－,则y0＝2x0＋1＝0,
所以0＝ln＋a,所以a＝ln 2.
4.(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　.
答案　(－∞,－4)∪(0,＋∞)
解析　因为y＝(x＋a)ex,
所以y'＝(x＋a＋1)ex.
设切点为A(x0,(x0＋a)),O为坐标原点,
依题意得,切线斜率
kOA＝y'＝(x0＋a＋1),
化简得＋ax0－a＝0.
因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线,
所以关于x0的方程＋ax0－a＝0有两个不同的根,
所以Δ＝a2＋4a>0,解得a<－4或a>0,
所以a的取值范围是(－∞,－4)∪(0,＋∞).
5.(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为　　　　,　　　　.
答案　y＝x　y＝－x
解析　先求当x>0时,曲线y＝ln x过原点的切线方程,设切点为(x0,y0),
则由y'＝,得切线斜率为,
又切线的斜率为,所以,
解得y0＝1,代入y＝ln x,得x0＝e,
所以切线斜率为,切线方程为y＝x.
同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－x.
综上可知,两条切线方程为
y＝x,y＝－x.
【热点突破】
热点一　曲线的切线
导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.
(3)切点既在切线上,又在曲线上.
例1 (1)过点A(0,1)且与曲线f(x)＝x3＋2x－1相切的直线方程是(　　)
A.y＝5x＋1 B.y＝2x＋1
C.y＝x＋1 D.y＝－2x＋1
(2)(2025·佛山模拟)若直线y＝x＋a与曲线y＝ln(x＋b)相切,则a2＋b2的最小值为　　　　.
答案　(1)A　(2)
解析　(1)f'(x)＝3x2＋2,点A不在曲线上,
设切点为(x0,＋2x0－1),
则f'(x0)＝3＋2＝,
解得x0＝－1,得切点(－1,－4),
则k＝f'(－1)＝5,切线方程为y＝5x＋1.
(2)设直线y＝x＋a与曲线y＝ln(x＋b)的切点为(x0,y0).
对y＝ln(x＋b)求导,
可得y'＝.
因为直线y＝x＋a的斜率为1,
由导数的几何意义可知,在切点处＝1,
即x0＝1－b.
又因为切点(x0,y0)既在直线上又在曲线上,
所以y0＝x0＋a且y0＝ln(x0＋b),
即ln(x0＋b)＝x0＋a.
将x0＝1－b代入ln(x0＋b)＝x0＋a,可得
ln(1－b＋b)＝1－b＋a,即a＝b－1.
将a＝b－1代入a2＋b2,可得
a2＋b2＝(b－1)2＋b2
＝2b2－2b＋1＝2,
所以当b＝,a＝－时,
a2＋b2取得最小值为.
规律方法　求过某点的切线方程时(不论这个点在不在曲线上,这个点都不一定是切点),应先设切点的坐标,再根据切点的“一拖三”(切点的横坐标与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上)求切线方程.
训练1 (1)(2025·莆田二模)曲线y＝xex－x在点P处的切线的斜率为－1,则P的坐标为　　　　.
(2)过y轴上一点(0,a)可以作函数f(x)＝x3＋x2－x图象的3条切线,则a的取值范围是　　　　.
答案　(1)　(2)
解析　(1)y'＝(x＋1)ex－1,
令(x＋1)ex－1＝－1,
则(x＋1)ex＝0,故x＝－1,
当x＝－1时,y＝－e－1－(－1)＝1－,
即P的坐标为.
(2)因为f(x)＝x3＋x2－x,
所以f'(x)＝3x2＋2x－1,
设切点为(x0,－x0),
则切线方程y＝(3＋2x0－1)(x－x0)＋－x0,
而切线过点(0,a),将点(0,a)代入方程得到a＝－2,
由题意,a＝－2有3个实根.
令g(x)＝－2x3－x2,g'(x)＝－6x2－2x,
令g'(x)<0,x∈∪(0,＋∞),此时g(x)单调递减,
令g'(x)>0,x∈,此时g(x)单调递增,
故g(x)有极小值g＝－,有极大值g(0)＝0,
则得a∈.
热点二　曲线的公切线
导数中的公切线问题,重点是导数的几何意义,通过双变量的处理,从而转化为零点问题,主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养.
考向1　切点相同的公切线问题
例2 (1)若曲线y＝ex－1与曲线y＝a在公共点处有公共切线,则实数a＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2025·济南调研)若函数f(x)＝acos x与g(x)＝x2＋bx＋3图象在交点(0,m)处有公切线,则a＋b＋m＝(　　)
A.6 B.4
C.3 D.2
答案　(1)A　(2)A
解析　(1)设公共点为P(s,t),y＝ex－1的导数为y'＝ex－1,
曲线y＝ex－1在P(s,t)处的切线斜率k＝es－1,y＝a的导数为y'＝,
曲线y＝a在P(s,t)处的切线斜率k＝,
因为两曲线在公共点P处有公共切线,
所以es－1＝,且t＝es－1,t＝a,
所以
即a,解得s＝,
所以＝a,
解得a＝,故选A.
(2)f'(x)＝－asin x,g'(x)＝2x＋b,
f(0)＝a,g(0)＝3,得a＝m＝3.
由于函数f(x)＝acos x与g(x)＝x2＋bx＋3图象在交点(0,m)处有公切线,
所以f'(0)＝g'(0),即0＝b,
所以a＋b＋m＝3＋0＋3＝6.
考向2　切点不同的公切线问题
例3 (1)若曲线y＝在点(4,2)处的切线也是曲线y＝aex的切线,则a＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2025·辽宁名校联考)若至少存在一条直线与曲线f(x)＝2x2＋3和g(x)＝3－tln x(t≠0)均相切,则t的取值范围是　　　　.
答案　(1)D　(2)[－4e,0)∪(0,＋∞)
解析　(1)y＝的导数y'＝,
令x＝4,则y'＝,
所以曲线y＝在点(4,2)处的切线方程为y－2＝(x－4),即x－4y＋4＝0.
y＝aex的导数y'＝aex,
设直线x－4y＋4＝0与曲线y＝aex切于点(x0,a),
则曲线y＝aex在点(x0,a)处的切线方程为y－a＝a(x－x0),
即x－y＋1－x0＝0,
所以解得a＝.
(2)f'(x)＝4x,g'(x)＝－,
设公切线与曲线y＝f(x)切于点(x1,2＋3),
与曲线y＝g(x)切于点(x2,3－tln x2)(x2>0),
则切线方程分别为y＝4x1x－2＋3,
y＝－x＋t＋3－tln x2,
所以
由①得,代入②得t＝8ln x2－8.
令h(x)＝8x2ln x－8x2(x>0),
则h'(x)＝8x(2ln x－1),
所以当0当x>时,h'(x)>0,
所以h(x)在区间(0,)内单调递减,
在区间(,＋∞)内单调递增,
所以h(x)min＝h()＝－4e,
又当x→＋∞时,h(x)→＋∞,
所以h(x)的值域为[－4e,＋∞),
所以t的取值范围是[－4e,0)∪(0,＋∞).
规律方法　求两条曲线的公切线,如果同时考虑两条曲线与直线相切,头绪会比较乱,为了使思路更清晰,一般是把两条曲线分开考虑,先分析其中一条曲线与直线相切,再分析另一条曲线与直线相切,直线与抛物线相切可用判别式法.
训练2 (1)若直线l是曲线y＝ex－1与y＝ex－1的公切线,则直线l的方程为(　　)
A.y＝x－1 B.y＝x
C.y＝x＋1 D.y＝ex
(2)已知曲线y＝ln x与曲线y＝a有唯一交点,且在交点处有相同的切线,则a＝　　　　.
答案　(1)B　(2)
解析　(1)由y＝ex－1,得y'＝ex－1,
由y＝ex－1,得y'＝ex.
设直线l与曲线y＝ex－1切于点(x1,),
与曲线y＝ex－1切于点(x2,－1),
则,①
又,②
由方程①②解得x1＝1,x2＝0,
所以直线l过点(1,1),斜率为1,即l的方程为y＝x.
(2)因为ln 1＝0,a＝0,
又曲线y＝ln x与曲线y＝a有唯一交点,
所以y＝ln x与y＝a的交点为(1,0),
因为(ln x)'＝,所以y＝ln x在(1,0)处的切线斜率为k＝1,
又'＝a,
则a＋＝1,解得a＝.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2025·北京东城区模拟)曲线y＝xln x在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A.4 B.3
C.1 D.
答案　D
解析　由y＝xln x得y'＝ln x＋1,
故所求切线斜率为k＝ln 1＋1＝1,
切点坐标为(1,0),
所以曲线y＝xln x在x＝1处的切线方程为y＝x－1,
该切线交x轴于点(1,0),交y轴于点(0,－1),
因此,曲线y＝xln x在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×12＝.
2.(2025·兰州模拟)若函数y＝(e为自然对数的底数)的一条切线与x轴平行,则切点的坐标为(　　)
A.(1,0) B.(0,1)
C.(1,1) D.(1,e)
答案　B
解析　设切点坐标为(x0,y0),
函数y＝,
所以y'＝,
因为切线与x轴平行,
所以y'＝0,
解得x0＝0,y0＝＝1,
故切点坐标为(0,1).
3.(2025·烟台模拟)已知A为抛物线y2＝2px(p>0)上一点,若过点A且与该抛物线相切的直线交x轴于点(－2,0),则p的值为(　　)
A.1 B.2
C.4 D.8
答案　C
解析　不妨令m>0,由y＝,
由y'＝,
所以切点为A的直线斜率为k＝1,
则切线为y＝x＋2,故m＝＋2,
又m2＝2p×＝p2,
即m＝p(负值舍),则＋2＝p,得p＝4.
4.(2025·合肥调研)曲线y＝|ln(x＋1)|在A(x1,y1),B(x2,y2)两点处的切线互相垂直,则的值为(　　)
A.－1 B.0
C.1 D.e
答案　A
解析　由y＝|ln(x＋1)|
＝
得y'＝
所以由对称性不妨设x1根据题意可得－1则有k1＝－,k2＝,
此时k1k2＝－1,得x1x2＋x1＋x2＝0,
得＝－1.
5.(2025·秦皇岛模拟)已知曲线C:y＝ex＋x在点P(x0,y0)处的切线l与直线l':y＝2x－1平行,则l与l'之间的距离为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意y'＝ex＋1,
切线l的斜率为2,则＋1＝2,得x0＝0,
故y0＝＋x0＝1,
故切线l的方程为y－1＝2x,
即2x－y＋1＝0,
直线l':y＝2x－1,即2x－y－1＝0,
故两直线的距离为d＝.
6.(2025·长沙长郡中学质检)已知曲线y＝ex在x＝1处的切线l恰好与曲线y＝a＋ln x相切,则实数a的值为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　B
解析　由y＝ex得y'＝ex,又切点为(1,e),
故切线l的斜率为e,因此切线l的方程为y＝ex.
设直线l与曲线y＝a＋ln x的切点为(x0,ex0),
对函数y＝a＋ln x求导得y'＝,
所以＝e,
可得切点为,
所以a＋ln ＝a－1＝1,解得a＝2.故选B.
7.(2025·上饶调研)已知f(x)＝x3＋nx－52,g(x)＝x2－3ln x,若直线x＋y＋m＝0是曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的公切线,则m－n＝(　　)
A.－30 B.－25
C.26 D.28
答案　C
解析　设直线x＋y＋m＝0与曲线y＝f(x)相切于点(a,－a－m),
与曲线y＝g(x)相切于点(b,－b－m),b>0.
由g(x)＝x2－3ln x得g'(x)＝2x－,
又两曲线的公切线斜率为－1,
则2b－＝－1,
解得b＝1或b＝－(舍去).
所以1－3ln 1＝－1－m,解得m＝－2.
由f(x)＝x3＋nx－52知f'(x)＝3x2＋n,
又两曲线的公切线斜率为－1,
则3a2＋n＝－1,即n＝－3a2－1,
故a3－(3a2＋1)a－52＝－a＋2,
整理得a3＝－27,故a＝－3,
所以n＝－3a2－1＝－28,故m－n＝26.
8.(2025·武汉质检)曲线y＝(a>0)与y＝ln x、y＝ex分别交于A,B两点,设曲线y＝ln x在A处的切线斜率为k1,y＝ex在B处的切线斜率为k2,若k1＋k2＝,则a＝(　　)
A.2ln 2 B.2ln 3
C.3ln 2 D.3ln 3
答案　A
解析　因为y＝ln x和y＝ex互为反函数,
其图象关于直线y＝x对称,
且反比例函数y＝(a>0)的图象也关于直线y＝x对称,
可知点A,B关于直线y＝x对称,
设A(x0,ln x0),x0>1,则B(ln x0,x0),
设f(x)＝ln x,g(x)＝ex,
则f'(x)＝,g'(x)＝ex,
由题意可得k1＋k2＝＋x0＝,
解得x0＝2或x0＝(舍去),
可得A(2,ln 2),则＝ln 2,所以a＝2ln 2.
二、多选题
9.已知函数f(x)＝ex,则下列结论正确的是(　　)
A.曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1
B.曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－1
C.过点(0,1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条
D.过点(0,0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条
答案　AC
解析　对于A,令f'(x)＝ex＝1,得x＝0,
所以曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1,
故A正确;
对于B,令f'(x)＝ex＝－1,无解,
所以曲线y＝f(x)的切线斜率不可以是－1,
故B错误;
对于C,因为点(0,1)在曲线上,
所以点(0,1)是切点,则f'(0)＝1,
所以切线方程为y－1＝x,即y＝x＋1,
所以过点(0,1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条,故C正确;
对于D,因为点(0,0)不在曲线上,
所以设切点(x0,),
则切线方程为y－(x－x0),
因为点(0,0)在切线上,
所以＝x0,解得x0＝1,
所以过点(0,0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条,故D错误.
10.(2025·太原调研)已知曲线f(x)＝2x2＋3x＋4,g(x)＝－ex＋n,h(x)＝－x＋m,则(　　)
A.直线y＝7x＋2与曲线f(x)相切
B.若直线y＝－x－4与曲线g(x)相切,则n＝－3
C.当曲线h(x)与曲线f(x),g(x)都相切时,m＋n＝－1
D.当n＝0时,若过原点可作曲线y＝g(x)h(x)的两条切线,则m<0或m>4
答案　ACD
解析　A中,联立f(x)＝2x2＋3x＋4和y＝7x＋2,
得x2－2x＋1＝0,Δ＝0,
所以直线y＝7x＋2与曲线f(x)相切,故A正确;
B中,由g(x)＝－ex＋n,
得g'(x)＝－ex＋n,
由
得故B错误;
C中,由f(x)＝2x2＋3x＋4,
得f'(x)＝4x＋3,
令f'(x)＝－1,
得x＝－1,
则f(－1)＝2－3＋4＝3,
所以切线方程为y－3＝－(x＋1),
即y＝－x＋2,
则m＝2,
令g'(x)＝－ex＋n＝－1,
得x＝－n,
则g(－n)＝－e0＝－1,
所以切线方程为y＋1＝－(x＋n),
即y＝－x－n－1,
则－n－1＝2,n＝－3,
所以m＋n＝－1,故C正确;
D中,当n＝0时,g(x)＝－ex,
令t(x)＝g(x)h(x)＝－ex(－x＋m),
则t'(x)＝－ex(－x＋m－1),
设过原点的直线与曲线t(x)切于点
(x0,－(－x0＋m)),
则切线方程为y＋(－x0＋m)
＝－(－x0＋m－1)(x－x0),
将原点(0,0)代入得(－x0＋m)＝x0(－x0＋m－1),整理得－mx0＋m＝0,
则Δ'＝m2－4m>0,
解得m<0或m>4,故D正确.
11.已知O为坐标原点,曲线y＝ln x在点P(x1,y1)处的切线与曲线y＝ex相切于点Q(x2,y2),则(　　)
A.x1y2＝1
B.＋x2＝0
C.·的最大值为0
D.当x2<0时,x1＋x2>e2－2
答案　AB
解析　对于A,因为y＝ln x,
所以y'＝,
又P(x1,ln x1),
所以曲线y＝ln x在点P处的切线的斜率k1＝,切线方程为y－ln x1＝(x－x1),
即y＝x－1＋ln x1.
因为y＝ex,所以y'＝ex,
又Q(x2,),所以曲线y＝ex在点Q处的切线的斜率k2＝,
切线方程为y－(x－x2),
即y＝x＋(1－x2).
由题意可知两切线重合,
所以
所以x1＝1,
即x1y2＝1,故A正确;
对于B,当x1＝1时,两切线不重合,不符合题意,所以x1≠1,所以(1－x2)＝(1－x2)＝ln x1－1＝ln －1＝－x2－1,
所以－x1x2－x1＝1－x2,
所以x1x2－x2＋x1＋1＝0,
则＋x2＝0,故B正确;
·＝x1x2＋y1y2
＝x1(－ln x1)＋(ln x1)
＝－x1ln x1＋ln x1,
当00,ln x1<0,
则·<0,
当x1>1时,－x1<0,ln x1>0,
则·<0,
所以·<0,故C错误;
对于D,设f(x)＝ex(1－x),x<0,
则f'(x)＝－xex>0,
所以函数f(x)在(－∞,0)上单调递增,
当x→0－时,f(x)→1,
当x→－∞时,f(x)→0＋,
所以0所以当x2<0时,0<(1－x2)<1,
所以0所以e记g(x)＝x－ln x(e则g'(x)＝1－>0,
所以函数g(x)在(e,e2)上单调递增,
当x→e2时,g(x)→e2－2,
则g(x)三、填空题
12.曲线y＝ln(x－1)过点(1,0)的切线方程为　　　　.
答案　x－ey－1＝0
解析　设切点为(x0,ln(x0－1)),
则y'＝,切线斜率为k＝,
故切线方程为y＝(x－x0)＋ln(x0－1),
将(1,0)代入可得0＝(1－x0)＋ln(x0－1),解得x0＝e＋1,
故切线方程为y＝(x－e－1)＋1,
即x－ey－1＝0.
13.(2025·成都二模)设函数f(x)＝2x3＋ax2＋bx,若f(x)的图象过点P(1,3),且曲线y＝f(x)在(0,0)处的切线也过点P,则a＝　　　　.
答案　－2
解析　函数f(x)＝2x3＋ax2＋bx,
求导得f'(x)＝6x2＋2ax＋b,
则f'(0)＝b,而f(0)＝0,
因此曲线y＝f(x)在(0,0)处的切线方程为y＝bx,
依题意
所以a＝－2.
14.(2025·嘉兴调研)若过点(2,m)可作出曲线f(x)＝x3－3x的三条切线,则m的取值范围是　　　　.
答案　(－6,2)
解析　f'(x)＝3x2－3,
则过(t,f(t))的切线为y－f(t)＝f'(t)(x－t),即y＝(3t2－3)x－2t3.
由过点(2,m)可作曲线y＝f(x)的三条切线得m＝－2t3＋6t2－6有3个不等实根.
令g(t)＝2t3－6t2＋6＋m,
g'(t)＝6t2－12t,
由g'(t)＝0得t＝0或t＝2.
当t<0或t>2,g'(t)>0,g(t)单调递增;
当0故当t＝0时,函数g(t)取得极大值为6＋m;
当t＝2时,函数g(t)取得极小值为m－2.
要使g(t)＝0有3个不等实根,
则6＋m>0,且m－2<0,
即－6即所求m的取值范围是(－6,2).微专题6　切线与公切线问题
高考定位　曲线的切线与公切线问题是高考考查的热点,一般单独考查,难度较小,也可与函数的单调性、极值、最值综合考查,难度较大.
【真题体验】
1.(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝,则曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A. B.
C. D.
2.(2025·新高考Ⅰ卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线,则a＝　　　　.
3.(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0,1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线,则a＝　　　　.
4.(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　.
5.(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为　　　　,　　　　.
【热点突破】
热点一　曲线的切线
导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.
(3)切点既在切线上,又在曲线上.
例1 (1)过点A(0,1)且与曲线f(x)＝x3＋2x－1相切的直线方程是(　　)
A.y＝5x＋1 B.y＝2x＋1
C.y＝x＋1 D.y＝－2x＋1
(2)(2025·佛山模拟)若直线y＝x＋a与曲线y＝ln(x＋b)相切,则a2＋b2的最小值为　　　　.
规律方法　求过某点的切线方程时(不论这个点在不在曲线上,这个点都不一定是切点),应先设切点的坐标,再根据切点的“一拖三”(切点的横坐标与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上)求切线方程.
训练1 (1)(2025·莆田二模)曲线y＝xex－x在点P处的切线的斜率为－1,则P的坐标为　　　　.
(2)过y轴上一点(0,a)可以作函数f(x)＝x3＋x2－x图象的3条切线,则a的取值范围是　　　　.
热点二　曲线的公切线
导数中的公切线问题,重点是导数的几何意义,通过双变量的处理,从而转化为零点问题,主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养.
考向1　切点相同的公切线问题
例2 (1)若曲线y＝ex－1与曲线y＝a在公共点处有公共切线,则实数a＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2025·济南调研)若函数f(x)＝acos x与g(x)＝x2＋bx＋3图象在交点(0,m)处有公切线,则a＋b＋m＝(　　)
A.6 B.4
C.3 D.2
考向2　切点不同的公切线问题
例3 (1)若曲线y＝在点(4,2)处的切线也是曲线y＝aex的切线,则a＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2025·辽宁名校联考)若至少存在一条直线与曲线f(x)＝2x2＋3和g(x)＝3－tln x(t≠0)均相切,则t的取值范围是　　　　.
规律方法　求两条曲线的公切线,如果同时考虑两条曲线与直线相切,头绪会比较乱,为了使思路更清晰,一般是把两条曲线分开考虑,先分析其中一条曲线与直线相切,再分析另一条曲线与直线相切,直线与抛物线相切可用判别式法.
训练2 (1)若直线l是曲线y＝ex－1与y＝ex－1的公切线,则直线l的方程为(　　)
A.y＝x－1 B.y＝x
C.y＝x＋1 D.y＝ex
(2)已知曲线y＝ln x与曲线y＝a有唯一交点,且在交点处有相同的切线,则a＝　　　　.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2025·北京东城区模拟)曲线y＝xln x在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A.4 B.3
C.1 D.
2.(2025·兰州模拟)若函数y＝(e为自然对数的底数)的一条切线与x轴平行,则切点的坐标为(　　)
A.(1,0) B.(0,1)
C.(1,1) D.(1,e)
3.(2025·烟台模拟)已知A为抛物线y2＝2px(p>0)上一点,若过点A且与该抛物线相切的直线交x轴于点(－2,0),则p的值为(　　)
A.1 B.2
C.4 D.8
4.(2025·合肥调研)曲线y＝|ln(x＋1)|在A(x1,y1),B(x2,y2)两点处的切线互相垂直,则的值为(　　)
A.－1 B.0
C.1 D.e
5.(2025·秦皇岛模拟)已知曲线C:y＝ex＋x在点P(x0,y0)处的切线l与直线l':y＝2x－1平行,则l与l'之间的距离为(　　)
A. B.
C. D.
6.(2025·长沙长郡中学质检)已知曲线y＝ex在x＝1处的切线l恰好与曲线y＝a＋ln x相切,则实数a的值为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
7.(2025·上饶调研)已知f(x)＝x3＋nx－52,g(x)＝x2－3ln x,若直线x＋y＋m＝0是曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的公切线,则m－n＝(　　)
A.－30 B.－25
C.26 D.28
8.(2025·武汉质检)曲线y＝(a>0)与y＝ln x、y＝ex分别交于A,B两点,设曲线y＝ln x在A处的切线斜率为k1,y＝ex在B处的切线斜率为k2,若k1＋k2＝,则a＝(　　)
A.2ln 2 B.2ln 3
C.3ln 2 D.3ln 3
二、多选题
9.已知函数f(x)＝ex,则下列结论正确的是(　　)
A.曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1
B.曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－1
C.过点(0,1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条
D.过点(0,0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条
10.(2025·太原调研)已知曲线f(x)＝2x2＋3x＋4,g(x)＝－ex＋n,h(x)＝－x＋m,则(　　)
A.直线y＝7x＋2与曲线f(x)相切
B.若直线y＝－x－4与曲线g(x)相切,则n＝－3
C.当曲线h(x)与曲线f(x),g(x)都相切时,m＋n＝－1
D.当n＝0时,若过原点可作曲线y＝g(x)h(x)的两条切线,则m<0或m>4
11.已知O为坐标原点,曲线y＝ln x在点P(x1,y1)处的切线与曲线y＝ex相切于点Q(x2,y2),则(　　)
A.x1y2＝1
B.＋x2＝0
C.·的最大值为0
D.当x2<0时,x1＋x2>e2－2
三、填空题
12.曲线y＝ln(x－1)过点(1,0)的切线方程为　　　　.
13.(2025·成都二模)设函数f(x)＝2x3＋ax2＋bx,若f(x)的图象过点P(1,3),且曲线y＝f(x)在(0,0)处的切线也过点P,则a＝　　　　.
14.(2025·嘉兴调研)若过点(2,m)可作出曲线f(x)＝x3－3x的三条切线,则m的取值范围是　　　　.

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