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微专题7　导数与函数的零点
高考定位　导数与函数的零点问题是高考的热点题型.常见题型:(1)判断、证明或讨论函数零点的个数;(2)已知零点存在情况求参数范围;(3)函数零点性质的研究.
【难点突破】
[高考真题] (2025·新高考Ⅱ卷节选)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2－kx3,其中0证明　因为f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2－kx3,k∈,
所以f'(x)＝－1＋x－3kx2
＝
＝.
当x>0时,令f'(x)＝0,
解得x＝－1>0,
所以当00,f(x)单调递增;
当x>－1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
所以x＝－1是f(x)在(0,＋∞)上唯一的极值点,是极大值点.
因为f>f(0)＝0,f＝ln＝ln<0,
所以 x0∈,f(x0)＝0,
所以x0是f(x)在(0,＋∞)上唯一的零点.
样题1 (2025·烟台模拟改编)已知函数f(x)＝x(x－3)2,若函数g(x)＝f(x)＋a有三个不同的零点,求实数a的取值范围.
解　函数f(x)＝x(x－3)2,求导可得f'(x)＝3(x－1)(x－3),
令f'(x)＝0,解得x＝1或3,可得下表:
x (－∞,1) 1 (1,3) 3 (3,＋∞)
f'(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数f(x)的极大值为f(1)＝4,极小值为f(3)＝0,函数g(x)＝f(x)＋a存在三个零点,等价于函数f(x)图象与直线y＝－a存在三个交点,如图所示.
由图可得0<－a<4,则－4样题2 (2025·南通调研改编)已知函数f(x)＝xex＋ax2,讨论f(x)的零点个数.
解　令f(x)＝xex＋ax2＝0,解得x＝0或ex＋ax＝0.
设函数g(x)＝ex＋ax.
当a＝0时,g(x)＝ex>0恒成立,g(x)没有零点,则f(x)有唯一的零点.
当a>0时,易证g(x)是R上的增函数,
因为g－1<0,g(0)＝1>0,
所以g(x)有唯一的零点x0∈(－,0),
则f(x)有两个零点.
当a<0时,g'(x)＝ex＋a.
由g'(x)>0,得x>ln(－a),
由g'(x)<0,得x则g(x)在(－∞,ln(－a))上单调递减,在(ln(－a),＋∞)上单调递增,
故g(x)极小值＝g(ln(－a))＝－a＋aln(－a).
当－e0,
所以g(x)没有零点,则f(x)有唯一的零点;
当a＝－e时,g(x)极小值＝－a＋aln(－a)＝0,
所以g(x)有一个零点,则f(x)有两个零点;
当a<－e时,g(x)极小值＝－a＋aln(－a)<0,
因为g(0)＝1>0,
所以g(x)有两个小于0的零点,则f(x)有三个零点.
综上,当－e当a>0或a＝－e时,f(x)有两个零点;
当a<－e时,f(x)有三个零点.
样题3 已知函数f(x)＝,g(x)＝a(x2－2x)(a<0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)有两个零点,求a的取值范围.
解　(1)由f(x)＝ex－1＋e－x＋1,
可得f'(x)＝－e－x＋1＝,
令f'(x)＝0,解得x＝1,
当x<1时,f'(x)<0,f(x)在(－∞,1)上单调递减;
当x>1时,f'(x)>0,f(x)在(1,＋∞)上单调递增,
故函数f(x)的单调递减区间是(－∞,1),单调递增区间是(1,＋∞).
(2)由h(x)＝0,得f(x)＝g(x),
因此函数h(x)的零点个数等价于函数f(x)与g(x)的图象的交点个数,
因为g(x)＝a(x2－2x)(a<0),所以g(x)的图象关于直线x＝1对称,且单调递增区间是(－∞,1),单调递减区间是(1,＋∞),
所以当x＝1时,g(x)取最大值g(1)＝－a,
由(1)可知,函数f(x)的单调递减区间是(－∞,1),
单调递增区间是(1,＋∞).
当x＝1时,f(x)取最小值f(1)＝2,
又f(1－x)＝f(1＋x),所以f(x)的图象关于直线x＝1对称,
故当－a>2,即a<－2时,函数f(x)与g(x)的图象有两个交点,
即函数h(x)有两个零点,
故a的取值范围是(－∞,－2).
规律方法　1.三步求解函数零点(方程根)的个数问题
第一步:将问题转化为函数的零点问题,进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题;
第二步:利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质;
第三步:结合图象求解.
2.已知零点求参数的取值范围:(1)结合图象与单调性,分析函数的极值点;(2)依据零点确定极值的范围;(3)对于参数要选择恰当的分类标准进行讨论.
训练 (2025·北京西城区调研)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若函数g(x)＝f(x)－kx在(－∞,0)上恰有两个零点,求k的取值范围.
解　(1)由f(x)＝(2x＋1)ex,
得f'(x)＝(2x＋3)ex,
则f(0)＝1,f'(0)＝3,
所以曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y－1＝3x,
即3x－y＋1＝0.
(2)令g(x)＝f(x)－kx＝0,
则k＝,
令h(x)＝,x∈(－∞,0),
则h'(x)＝,x∈(－∞,0),
令h'(x)>0,则x<－1,
令h'(x)<0,则－1所以函数h(x)在(－∞,－1)上单调递增,在(－1,0)上单调递减,
所以h(x)max＝h(－1)＝,
h(x)＝＝2ex＋,当x→－∞时,h(x)→0,
当x→0时,h(x)→－∞,如图,作出函数h(x)的大致图象,
因为函数g(x)＝f(x)－kx在(－∞,0)上恰有两个零点,
所以函数y＝k,y＝h(x)的图象恰有两个交点,所以k的取值范围为.
【精准强化练】
1.(2025·成都诊断改编)已知曲线f(x)＝ex(x＋1).若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点,求实数m的取值范围.
解　因为g(x)＝f(x)－3ex－m＝ex(x－2)－m,
函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点,
相当于曲线u(x)＝ex(x－2)与直线y＝m有两个交点,
又u'(x)＝ex(x－2)＋ex＝ex(x－1),
当x∈(－∞,1)时,u'(x)<0,所以u(x)在(－∞,1)上单调递减,
当x∈(1,＋∞)时,u'(x)>0,所以u(x)在(1,＋∞)上单调递增,
所以x＝1时,u(x)取得极小值u(1)＝－e,
又x→＋∞时,u(x)→＋∞,且当x<2时,u(x)<0,所以u(x)＝ex·(x－2)的图象如图所示.
由图可得实数m的取值范围为{m|－e2.(2025·天津卷节选)已知函数f(x)＝ax－(ln x)2.
(1)a＝1时,求曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)有3个零点,求a的取值范围.
解　(1)当a＝1时,f(x)＝x－(ln x)2,f(1)＝1,故切点为(1,1).
f'(x)＝1－,f'(1)＝1,
故曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y－1＝x－1,
即x－y＝0.
(2)由f(x)＝0,得a－＝0,
令g(x)＝a－,
则g'(x)＝,
所以g(x)在(0,1),(e2,＋∞)上单调递增,在(1,e2)上单调递减,
因为x→0时,g(x)→－∞,x→＋∞时,g(x)→a,
要使g(x)有三个零点,必有
解得0所以此时g(x)有三个零点,
故a的取值范围为.
3.(2025·湛江模拟改编)已知函数f(x)＝aln(x－1)＋x2－2x.当a<－2时,试判断f(x)的零点个数,并证明.
解　函数f(x)＝aln(x－1)＋x2－2x的定义域为(1,＋∞),
f'(x)＝,
法一　因为f(2)＝0,故f(x)有一个零点是2.
令f'(x)＝0,解得x1＝1－<1(舍去),
x2＝1＋.
当x∈(1,x2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
当x∈(x2,＋∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
当a<－2时,
x2＝1＋∈(2,＋∞),f(x2)f(1－a)＝aln(－a)＋a2－1
＝－a[－a－ln(－a)]－1.
下面先证明当x≥1时,x－ln x≥1.
令g(x)＝x－ln x(x≥1),
g'(x)＝1－≥0,
故g(x)在[1,＋∞)上单调递增,
所以g(x)≥g(1)＝1.
因为－a>2>1,
所以f(1－a)＝－a[－a－ln(－a)]－1>－a－1>0.
易知1－a>x2,
所以f(x)在(x2,＋∞)上存在唯一的零点x3,
所以当a<－2时,f(x)有两个零点,为2和x3.
法二　当x＝2时,f(2)＝0,故2是f(x)的一个零点.
令f'(x)＝0,又x>1,所以x0＝1＋.
当x∈(1,x0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(x0,＋∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
所以x＝x0是f(x)的极小值点.
当a<－2时,x0>2,所以f(x0)<0.
下证ln x≤x－1(x>0).
令g(x)＝x－1－ln x,
则g'(x)＝1－.
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
当x∈(1,＋∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
从而g(x)≥g(1)＝0,
所以当x>1时,ln(x－1)≤x－2,
所以aln(x－1)≥ax－2a,
即f(x)≥ax－2a＋x2－2x
＝x[x＋(a－2)]－2a.
令x1>2－a,则有x1＋a－2>0,
则f(x1)>0.
易得当a<－2时,2－a>x0,所以f(x)＝0在(x0,＋∞)上有唯一解.
综上,当a<－2时,f(x)有两个零点.
4.(2025·邵阳模拟改编)已知函数f(x)＝f'(1)ex－x－1.若函数g(x)＝(eax－x＋1－eax－x)[f(x)＋x＋1]＋有两个零点,求实数a的取值范围.
解　由题意得f'(x)＝f'(1)ex－1,
令x＝1,得f'(1)＝,
所以f(x)＝－x－1,
g(x)＝eax－x(e－1)·
＝eax＋(x≠0),
当x>0时,g(x)>0,
故函数y＝g(x)没有零点;
当x<0时,令g(x)＝0,得a＝.
令t＝－x,则a＝,t>0,
因为g(x)有2个零点,
所以y＝a和h(t)＝有2个交点,
令h(t)＝(t>0),
所以h'(t)＝.
令h'(t)＝0,得t＝e.
当t∈(0,e)时,h'(t)>0,h(t)单调递增;
当t∈(e,＋∞)时,h'(t)<0,h(t)单调递减.
所以h(t)极大值＝h(e)＝,
当0当t＝1时,h(t)＝0;
当1当t→＋∞时,h(t)>0且h(t)→0.
所以实数a的取值范围为.微专题7　导数与函数的零点
高考定位　导数与函数的零点问题是高考的热点题型.常见题型:(1)判断、证明或讨论函数零点的个数;(2)已知零点存在情况求参数范围;(3)函数零点性质的研究.
【难点突破】
[高考真题] (2025·新高考Ⅱ卷节选)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2－kx3,其中0样题1 (2025·烟台模拟改编)已知函数f(x)＝x(x－3)2,若函数g(x)＝f(x)＋a有三个不同的零点,求实数a的取值范围.
样题2 (2025·南通调研改编)已知函数f(x)＝xex＋ax2,讨论f(x)的零点个数.
样题3 已知函数f(x)＝,g(x)＝a(x2－2x)(a<0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)有两个零点,求a的取值范围.
规律方法　1.三步求解函数零点(方程根)的个数问题
第一步:将问题转化为函数的零点问题,进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题;
第二步:利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质;
第三步:结合图象求解.
2.已知零点求参数的取值范围:(1)结合图象与单调性,分析函数的极值点;(2)依据零点确定极值的范围;(3)对于参数要选择恰当的分类标准进行讨论.
训练 (2025·北京西城区调研)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若函数g(x)＝f(x)－kx在(－∞,0)上恰有两个零点,求k的取值范围.
【精准强化练】
1.(2025·成都诊断改编)已知曲线f(x)＝ex(x＋1).若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点,求实数m的取值范围.
2.(2025·天津卷节选)已知函数f(x)＝ax－(ln x)2.
(1)a＝1时,求曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)有3个零点,求a的取值范围.
3.(2025·湛江模拟改编)已知函数f(x)＝aln(x－1)＋x2－2x.当a<－2时,试判断f(x)的零点个数,并证明.
4.(2025·邵阳模拟改编)已知函数f(x)＝f'(1)ex－x－1.若函数g(x)＝(eax－x＋1－eax－x)[f(x)＋x＋1]＋有两个零点,求实数a的取值范围.

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