资源简介

探源点1　三次函数
高考定位　三次函数通常考查利用导数研究函数的基本性质,如单调性、极(最)值、对称中心、零点问题等,是近年高考的热门考点,现有选择题、填空题,也有解答题.
【母题突破】
类型一　三次函数的零点　　　　　　　　　　 　　　　
母题1 (人教B版选修三P114T4)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,求实数a的取值范围.
解　法一　f'(x)＝3ax2－6x,
①若a＝0时,f(x)＝－3x2＋1,
令f(x)＝0,解得x＝±,
所以此时不符合题意;
②若a≠0,令f'(x)＝0得x＝0或x＝.
若a>0,则当x>或x<0时,f'(x)>0,
当0所以f(x)在(－∞,0)和上是增函数,
在上是减函数,
又因为f(－1)＝－a－2<0,f(0)＝1>0,
则存在x0∈(－1,0),使得f(x0)＝0,不满足题意.
若a<0,则当x<或x>0时,f'(x)<0,
当0,
所以f(x)在和(0,＋∞)上是减函数,在上是增函数,
所以当x＝0时,f(x)取得极大值1,
当x＝时,f(x)取得极小值,若要使得f(x)存在唯一零点x0,且x0>0,只需f>0,
即a·－3＋1>0,
解得a<－2或a>2(舍去).
法二　由题意知a≠0;
对f(x)求导得f'(x)＝3ax2－6x,
其判别式为Δ＝36,
令f'(x)＝0,解得x＝0或x＝,
由三次函数的性质得出该三次函数有一个零点,
即Δ>0且f(0)·f>0,
解得a<－2或a>2.
结合该三次函数的图象及f(0)＝1,
可得a<0,
综上所述,实数a的取值范围为(－∞,－2).
真题1 (1)(2023·全国乙卷)函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点,则a的取值范围是(　　)
A.(－∞,－2) B.(－∞,－3)
C.(－4,－1) D.(－3,0)
(2)(2024·全国甲卷)曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0,＋∞)上有两个不同的交点,则a的取值范围为　　　　.
答案　(1)B　(2)(－2,1)
解析　(1)法一　由题意知f'(x)＝3x2＋a,要使函数f(x)存在3个零点,则f'(x)＝0要有2个不同的根,则a<0.
令3x2＋a＝0,解得x＝±.
令 f'(x)>0,则x<－或x>,
令f'(x)<0,则－所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,
所以要使f(x)存在3个零点,
则
解得a<－3.
法二　由题意知f'(x)＝3x2＋a,
其判别式需满足Δ＝02－4×3×a>0,解得a<0.
则f'(x)＝0的两根分别为x1＝和x2＝－,
故ff<0,
解得a<－3,
综上,实数a的取值范围是(－∞,－3).
(2)法一　令x3－3x＝－(x－1)2＋a,
即a＝x3－3x＋(x－1)2,
设h(x)＝x3－3x＋(x－1)2,
则h'(x)＝3x2－3＋2(x－1)＝(3x＋5)(x－1),
令h'(x)＝0(x>0),得x＝1.
当0当x>1时,h'(x)>0,
所以h(x)在(1,＋∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减.
又h(0)＝1,h(1)＝－2,x→＋∞时,h(x)→＋∞.
作出y＝h(x)的大致图象如图,
因为曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0,＋∞)上有两个不同的交点,
所以等价于直线y＝a与函数y＝h(x)的图象有两个交点,
所以a的取值范围为(－2,1).
法二　令f(x)＝x3－3x－[－(x－1)2＋a]
＝x3＋x2－5x＋1－a,
对f(x)求导得f'(x)＝3x2＋2x－5,
其判别式Δ＝4－4×3×(－5)＝64,
令f'(x)＝0,解得x1＝1或x2＝－.
由性质我们可以得该三次函数在(0,＋∞)上有两个不同的零点,
即为解得－2所以a的取值范围为(－2,1).
规律方法　对于三次函数f(x),其导函数为f'(x),
(1)若方程f'(x)＝0的判别式Δ≤0,则函数f(x)在R上是单调函数,无极值,值域为R,函数f(x)在R上有唯一的零点.
(2)若方程f'(x)＝0的判别式Δ>0,则f'(x)有两个零点x1,x2,它们是函数f(x)的极值点.
①f(x)有一个零点 f(x1)f(x2)>0,如下图所示.
②f(x)有两个零点 f(x1)f(x2)＝0,如下图所示.
③f(x)有三个零点 f(x1)f(x2)<0,如下图所示.
样题1 函数f(x)＝x3－3x＋2的零点的个数为　　　　.
答案　2
解析　f(x)＝x3－3x＋2的定义域为R,且f'(x)＝3x2－3,
其判别式Δ＝0－4×(－3)×3＝36,
令f'(x)＝0,解得x1＝1或x2＝－1,
其判别式为Δ>0,
且f(－1)f(1)＝0,
故函数f(x)＝x3－3x＋2的零点的个数为2.
样题2 若函数f(x)＝－x3＋3x＋a恰好有两个零点,则实数a的值为　　　　.
答案　－2或2
解析　对f(x)求导得f'(x)＝－3x2＋3,
其判别式Δ＝0－4×(－3)×3＝36,
令f'(x)＝0,解得x1＝1或x2＝－1,
由性质可得出该三次函数有两个零点,
即Δ>0且f(x1)f(x2)＝0,解得a＝－2或2.
类型二　三次函数的对称性
母题2 (人教A版必修一P87T13)我们知道,函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y＝f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数.
(1)求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心;
(2)类比上述推广结论,写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论.
解　(1)∵f(x)＝x3－3x2
＝(x－1)3－3(x－1)－2,
∴y＝f(x＋1)＋2＝x3－3x.
设g(x)＝x3－3x,
则g(－x)＝(－x)3－3(－x)
＝－x3＋3x＝－g(x),
∴g(x)为奇函数,∴f(x)＝x3－3x2的图象关于点(1,－2)对称.
即f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心是点(1,－2).
(2)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数.
真题2 (多选)(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1,则(　　)
A.当a>1时,f(x)有三个零点
B.当a<0时,x＝0是f(x)的极大值点
C.存在a,b,使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴
D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心
答案　AD
解析　对f(x)求导得f'(x)＝6x2－6ax.
对于A,令f'(x)＝0,解得x1＝0或x2＝a,
由性质可得该三次函数有三个零点,
即Δ>0且f(x1)·f(x2)>0,
解得a>1,A正确;
对于B,当a<0时,由f'(x)<0得a由f'(x)>0得x>0或x则f(x)在(－∞,a)和(0,＋∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减,故x＝0是f(x)的极小值点,B错误;
对于C,假设存在这样的a,b,使得x＝b为f(x)的对称轴,
即存在这样的a,b使f(x)＝f(2b－x),
即2x3－3ax2＋1＝2(2b－x)3－3a(2b－x)2＋1,
根据二项式定理,等式右边(2b－x)3展开式含有x3的项为2(2b)0(－x)3＝－2x3,
于是等式左右两边x3的系数都不相等,原式不可能相等,
故曲线y＝f(x)必不存在对称轴,C错误;
对于D,
法一　因为f(x)＋f(2－x)＝2x3－3ax2＋1＋2(2－x)3－3a(2－x)2＋1
＝(12－6a)x2＋(12a－24)x＋18.
所以当a＝2时,有f(x)＋f(2－x)＝18,
所以存在a＝2时,f(x)的图象关于点(1,9)对称.
法二　因为f″(x)＝12x－6a,
令f″(x)＝12x－6a＝0,解得x＝,
所以＝1,即a＝2,
故存在a＝2,使得点(1,f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心,D正确,故选AD.
规律方法　三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)一定有对称中心,其对称中心的横坐标为x＝－,即f'(x)＝3ax2＋2bx＋c的顶点的横坐标,也即f″(x)＝6ax＋2b的零点,即三次函数f(x)＝ax3＋2bx2＋cx＋d(a≠0)的图象的对称中心在其导函数f'(x)＝3ax2＋2bx＋c的图象的对称轴上.若三次函数f(x)有极值,那么它的对称中心也是两个极值点的中点.
样题3 (2025·青岛段测)函数f(x)＝x3－3x2＋5x－1图象的对称中心为　　　　.
答案　(1,2)
解析　法一　由题意设对称中心的坐标为(a,b),则有2b＝f(x)＋f(2a－x)对任意x∈R均成立,代入函数解析式得,
2b＝x3－3x2＋5x－1＋(2a－x)3－3(2a－x)2＋5(2a－x)－1
整理得2b＝(6a－6)x2＋2a3－6a2＋10a－2
对任意x∈R均成立,
所以
所以a＝1,b＝2.即对称中心(1,2).
法二　∵f ″(x)＝6x－6,
令f ″(x)＝6x－6＝0,解得x＝1,
将x＝1代入得f (1)＝2,
∴对称中心为(1,2).
样题4 (2025·武汉调研)已知函数f(x)＝x3＋3x2＋x－3,若直线ax－by＋a－2b＝0与曲线y＝f(x)有三个交点P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3),则x1＋x2＋x3＝　　　　.
答案　－3
解析　法一　f(x)＝x3＋3x2＋x－3,
若b＝0,直线ax－by＋a－2b＝0 x＝－1,
此时与曲线f(x)＝x3＋3x2＋x－3只有1个交点,不合要求,故b≠0,
由b≠0时,直线ax－by＋a－2b＝0与曲线f(x)＝x3＋3x2＋x－3联立得
x3＋3x2＋x－1－＝0,
设x3＋3x2＋x－1－
＝(x－x1)(x－x2)(x－x3),
故x3＋3x2＋x－1－＝x3－(x1＋x2＋x3)x2＋(x1x2＋x2x3＋x1x3)x－x1x2x3,
所以3＝－(x1＋x2＋x3),则x1＋x2＋x3＝－3.
法二　由ax－by＋a－2b＝a(x＋1)－b(y＋2)＝0,
得直线ax－by＋a－2b＝0恒过点(－1,－2),
又f'(x)＝3x2＋6x＋1,f″(x)＝6x＋6,
令f″(x)＝0得x＝－1,f(－1)＝－2,
故f(x)关于点(－1,－2)对称,
不妨设x1故x1＋x2＋x3＝－3.
类型三　三次函数的切线条数
母题3 (人教B版选修三P108T8)已知x轴为函数f(x)＝x3＋ax＋的图象的一条切线,求实数a的值.
解　设切点为(x0,0),
由f(x)＝x3＋ax＋,得f'(x)＝3x2＋a,
则
真题3 (2021·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1,求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标.
解　记曲线y＝f(x)过坐标原点的切线为l,切点为P(x0,＋ax0＋1).
因为f'(x0)＝3－2x0＋a,
所以切线l的方程为y－(＋ax0＋1)
＝(3－2x0＋a)(x－x0).
由l过坐标原点,得2－1＝0,
解得x0＝1,
所以切线l的方程为y＝(1＋a)x.
由
解得
所以曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1,1＋a)和(－1,－1－a).
规律方法　一般地,如图,过三次函数f(x)图象的对称中心作切线l,则坐标平面被切线l和函数f(x)的图象分割为四个区域,有以下结论:
(1)过区域Ⅰ、Ⅳ内的点作曲线f(x)的切线,有且仅有3条;
(2)过区域Ⅱ、Ⅲ内的点以及对称中心作曲线f(x)的切线,有且仅有1条;
(3)过切线l或函数f(x)图象(除去对称中心)上的点作曲线f(x)的切线,有且仅有2条.
样题5 (2025·长沙质检)经过点P(1,－2)可以作与曲线y＝f(x)＝2x3－3x相切的不同直线共有(　　)
A.0条 B.1条
C.2条 D.3条
答案　D
解析　由f(0)＝0,作出y＝f(x)的大致图象,如图,
过曲线y＝f(x)对称中心的切线方程为y＝－3x,
所以点P位于线段AB(不含端点)上时,
其中A(1,－1),B(1,－3),
经过点P(1,－2)可以作3条直线与曲线y＝f(x)＝2x3－3x相切.
【精准强化练】
一、单选题
1.已知a>0,若过点P(a,b)可以作曲线y＝x3的三条切线,则(　　)
A.b<0 B.0C.b>a3 D.b(b－a3)＝0
答案　B
解析　如图,过曲线y＝f(x)对称中心的切线方程为y＝0,
当P点位于线段AB(不含端点)上时,存在三条直线与曲线y＝f(x)相切,
其中A(a,0),B(a,a3),所以02.(2025·石家庄调研)已知函数f(x)＝x3＋x2＋c有3个零点,则c的取值范围是(　　)
A. 　　B.∪(0,＋∞)
C. 　　D.∪(0,＋∞)
答案　C
解析　对f(x)求导得f'(x)＝3x2＋9x,
令f'(x)＝0,解得x1＝0或x2＝－3.
由三次函数的性质得出该三次函数有三个零点
即解得－3.已知函数f(x)＝－x3＋3x－1,下列说法错误的是(　　)
A.f(x)在x＝－1处取得极小值
B.f(x)有3个零点
C.f(x)在区间(－2,2)上的值域为(－3,1)
D.曲线y＝f(x)的对称中心为(0,－1)
答案　C
解析　由f(x)＝－x3＋3x－1,
可得f'(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1),
当x<－1或x>1时,f'(x)<0;当－10.
即函数f(x)在(－∞,－1),(1,＋∞)上单调递减;在(－1,1)上单调递增.
对于A,由上分析知f(x)在x＝－1处取得极小值,故A正确;
对于B,结合以上分析,因为f(－2)＝1>0,f(－1)＝－3<0,f(1)＝1>0,f(2)＝－3<0,
由零点存在性定理知,f(x)有3个零点,故B正确;
对于C,因为f(x)在(－2,－1)上递减,在(－1,1)上递增,在(1,2)上递减,
而f(－2)＝f(1)＝1,f(－1)＝f(2)＝－3,
故f(x)在区间(－2,2)上的值域为[－3,1],故C错误;
对于D,因为f″(x)＝－6x,
令f″(x)＝－6x＝0,解得x＝0,
则f(0)＝－1,
故曲线y＝f(x)的对称中心为(0,－1),即D正确.
4.(2025·杭州质检)对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0),现给出定义:设f'(x)是函数f(x)的导数,f″(x)是f'(x)的导数,若方程f″(x)有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数g(x)＝－x2＋,则g＋g＋g＋…＋g＝(　　)
A. B.
C.17 D.34
答案　C
解析　由函数g(x)＝－x2＋,
可得g'(x)＝x2－2x,所以g″(x)＝2x－2,
令g″(x0)＝2x0－2＝0,可得x0＝1,
又由g(1)＝－1＋＝1,
即函数g(x)的对称中心为(1,1),
所以g(x)＋g(2－x)＝2,
则g＋g＋g＋…＋g
＝g＋g＋g＋g＋…＋g＋g]＝×2×17＝17.
5.(2025·西安模拟)从点P(2,t)可向曲线y＝f(x)＝x－x3引三条不同切线,则t的取值范围为(　　)
A.－6C.－4< t <4 D.－4答案　A
解析　如图,过曲线y＝f(x)对称中心的切线方程为y＝x,
当P点位于线段AB(不含端点)上时,存在三条直线与曲线y＝f(x)相切,
其中A(2,2),B(2,－6),所以－66.过点(－7,－5)作曲线y＝x3－12x＋11的切线l,切点为P,则点P的横坐标不可能是(　　)
A.2 B.－
C.－ D.－10
答案　B
解析　设切点为(x0,－12x0＋11),而切线也过点(－7,－5),
由斜率公式得
k＝,
因为y＝f(x)＝x3－12x＋11,
所以f'(x)＝3x2－12,
由导数的几何意义得k＝f'(x0)＝3－12,
故3－12＝成立,
化简得(3－12)(x0＋7)＝－12x0＋16,
得到3－12x0＋21－84＝－12x0＋16,
即2＋21－100＝0,
显然x0＝2是方程的根,
则方程可化为(x0－2)(2＋25x0＋50)＝0,
解得x0＝－或x0＝－10,而原方程最多有三个根,
则x0＝－不可能是原方程的根,即点P的横坐标不可能是－.
7.关于函数f(x)＝x3－x2－2x＋1,下列说法正确的是(　　)
①曲线y＝f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为8x－2y－25＝0;
②f(x)的图象关于原点对称;
③f(x)在(－1,1)上单调递减;
④若y＝f(x)－m有三个不同零点,则实数m的范围是.
A.①④ B.②④
C.①②③ D.①③④
答案　D
解析　函数f(x)＝x3－x2－2x＋1,
得f'(x)＝x2－x－2＝(x＋1)(x－2),
对于①,f'(3)＝4,而f(3)＝－,
则切线方程为y＋＝4(x－3),
即8x－2y－25＝0,①正确;
对于②,f(－3)＝－≠－f(3),
则f(x)的图象关于原点不对称,②错误;
对于③,当x<－1或x>2时,f'(x)>0;
当－1所以f(x)在(－1,1)上单调递减,③正确.
对于④,令φ(x)＝f(x)－m
＝x3－x2－2x＋1,
对φ(x)求导得φ'(x)＝x2－x－2,
其判别式为Δ,令φ'(x)＝0,解得x1＝－1或x2＝2.
由三次函数的性质得出该三次函数有三个零点,
即Δ>0且φ(－1)φ(2)<0,
解得－二、多选题
8.(2025·兰州诊断)设函数f(x)＝x3－3ax＋3,则(　　)
A.存在a∈R,函数f(x)仅有一个极值点
B.曲线f(x)关于点(0,3)对称
C.当a＝1时,9x－y－13＝0是曲线f(x)的切线方程
D.当a>1时,函数f(x)有唯一零点
答案　BC
解析　对于A,由题意可得f'(x)＝3x2－3a,当a≤0时,f'(x)≥0恒成立,
函数f(x)在R上单调递减,无极值点,当a>0时,令f'(x)＝0,
即3x2－3a＝0,解得x＝±,此时函数有两个极值点,
所以不存在a∈R,使函数f(x)仅有一个极值点,故A错误;
对于B,因为f″(x)＝6x,
令f″(x)＝6x＝0,解得x＝0,将x＝0代入得f(0)＝3,
所以曲线f(x)关于点(0,3)对称,故B正确;
对于C,当a＝1时,f(x)＝x3－3x＋3,f'(x)＝3x2－3,
若9x－y－13＝0是切线方程,则其斜率为9,
令f'(x)＝3x2－3＝9,解得x＝±2,
当x＝2时,f(2)＝23－3×2＋3＝5,切线方程为y－5＝9(x－2),
化简可得9x－y－13＝0;
当x＝－2时,f(－2)＝(－2)3－3×(－2)＋3＝1,切线方程为y－1＝9(x＋2),
化简可得9x－y＋19＝0;
所以9x－y－13＝0是曲线f(x)的切线方程,故C正确;
对于D,对f(x)求导得f'(x)＝3x2－3a(a>1),
其判别式为Δ＝0－4×3×(－3a)＝36a>0,
令f'(x)＝0,解得x1＝或x2＝－,
不妨令a＝4,则f()f(－)<0,
此时f(x)有三个零点,故D错误.
9.(2025·合肥调研)已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x－m有三个零点,记为x1,x2,x3(x1A.－5B.过点A(－2,23－m)可作曲线y＝f(x)的三条切线
C.x1＋x2>－6
D.x2＋x3<2
答案　ACD
解析　由题意,得f'(x)＝3x2＋6x－9＝3(x＋3)(x－1),其判别式为Δ,
令f'(x)＝0,得到x1＝1或x2＝－3,
对于A,由三次函数的性质得出该函数有三个零点,
即Δ>0且f(1)·f(－3)<0,
解得－5对于B,过曲线y＝f(x)对称中心的切线方程为12x＋y＋m＋1＝0,
当x＝－2时,代入此切线方程得y＝23－m,
所以点A在过曲线f(x)对称中心的切线上,
故过点A可作曲线y＝f(x)的两条切线,故B错误;
对于C,令h(x)＝f(x)－f(－6－x)(－3则h'(x)＝f'(x)＋f'(－6－x)＝6(x＋3)2>0,
所以h(x)在区间(－3,1)上递增.
因为x1<－3所以h(x2)>h(－3)＝0,
即f(x2)>f(－6－x2),
因为f(x1)＝f(x2),所以f(x1)>f(－6－x2),
因为x1<－3,－6－x2<－3且f(x)在区间(－∞,－3)上单调递增,
所以x1>－6－x2,即x1＋x2>－6,
所以C正确;
对于D,令t(x)＝f(x)－f(2－x)(－3则t'(x)＝f'(x)＋f'(2－x)＝6(x－1)2>0,
所以t(x)在区间(－3,1)上递增.
因为x1<－3所以t(x2)即f(x2)因为f(x2)＝f(x3),所以f(x3)因为x3>1,2－x2>1且f(x)在区间(1,＋∞)上递增,所以x3<2－x2,即x2＋x3<2,
所以D正确,故选ACD.
三、填空题
10.已知曲线f(x)＝x3－3x2＋6x＋2在点P处的切线与在点Q处的切线平行,若点P的纵坐标为1,则点Q的纵坐标为　　　　.
答案　11
解析　法一　f(x)＝x3－3x2＋6x＋2,
则f'(x)＝3x2－6x＋6,
设P(m,1),Q(n,f(n)),
依题意f'(m)＝f'(n),
所以3m2－6m＋6＝3n2－6n＋6,
则m2－n2＝2(m－n),
显然m≠n,则m＋n＝2,
因为f(x)＝(x－1)3＋3(x－1)＋6,
所以f(x)的图象关于点(1,6)中心对称,
所以点P与点Q关于点(1,6)对称,
所以＝6,则f(n)＝11,
所以点Q的纵坐标为11.
法二　f(x)＝x3－3x2＋6x＋2,
则f'(x)＝3x2－6x＋6,
因为f'(x)＝3(x－1)2＋3>0,
所以f(x)在R上单调递增,
令x3－3x2＋6x＋2＝1,
设其根为xP,则－3＋6xP＝－1.
因为f(x)在点P处的切线与在点Q处的切线平行,
所以f'(x)＝k存在两实根,其中一个为xP,设另一个为xQ.
即3x2－6x＋6＝k两根为xP,xQ,
由韦达定理得xP＋xQ＝2,则xQ＝2－xP,
所以f(xQ)＝－3＋6xQ＋2
＝－3＋6(2－xP)＋2
＝－＋6－12xP＋8－3＋12xP－12＋12－6xP＋2＝－(－3＋6xP)＋10＝11,
所以点Q的纵坐标为11.
11.(2025·贵阳调研)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0,＋∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为　　　　.
答案　－3
解析　因为f(0)＝1,且由f'(x)＝6x2－2ax＝6x＝0,得x＝0或x＝a,
所以函数f(x)的图象是增－减－增型,
且在x＝0或x＝a处取得极值,
欲使函数在(0,＋∞)内有且只有一个零点,
当且仅当
解得a＝3.
当x∈[－1,0]时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
x∈[0,1]时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
故f(x)max＝f(0)＝1,
f(x)min＝min{f(1),f(－1)}＝－4,
所以f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为－3.
12.已知直线l与曲线y＝x3－x＋1有三个不同的交点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),且|AB|＝|AC|,则(xi＋yi)＝　　　　.
答案　3
解析　由题意,函数y＝x3－x是奇函数,
则函数y＝x3－x的图象关于原点对称,
所以函数y＝x3－x＋1的图象关于点(0,1)对称,
因为直线l与曲线y＝x3－x＋1有三个不同的交点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
且|AB|＝|AC|,所以点A为函数的对称点,
即A(0,1),且B,C两点关于点A(0,1)对称,
所以x1＋x2＋x3＝0,y1＋y2＋y3＝3,
于是(xi＋yi)＝3.
四、解答题
13.(2025·重庆诊断)已知函数f(x)＝x3＋ax(a∈R)的一个极值点为x＝1.
(1)求a的值;
(2)若过点(3,m)可作曲线y＝f(x)的三条不同的切线,求实数m的取值范围.
解　(1)f'(x)＝3x2＋a,由于x＝1是极值点,故f'(1)＝3＋a＝0,故a＝－3,
当a＝－3时,f'(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1),
当x>1或x<－1时,f'(x)>0,
当－1故x＝1是f(x)的一个极值点,故a＝－3.
(2)设切点为(x0,y0),则切点处的切线方程为y＝(3－3)(x－x0)＋－3x0,
将(3,m)代入可得m＝(3－3)(3－x0)＋－3x0,故m＝－2＋9－9,
要使过点(3,m)可作曲线y＝f(x)的三条不同的切线,则m＝－2＋9－9有三个不同的根,
记g(x)＝－2x3＋9x2－9,
则g'(x)＝－6x2＋18x＝－6x(x－3),
当x>3或x<0时,g'(x)<0,
当00,
故g(x)在(3,＋∞),(－∞,0)上单调递减,在(0,3)上单调递增,
且g(0)＝－9,g(3)＝18,因此－914.(2025·东北三省四校模拟)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)在区间[0,2]上有且仅有一个零点,求a的取值范围.
解　(1)f'(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a),
当a＝0时,f'(x)≥0恒成立,f(x)在R上单调递增;
当a<0时,令f'(x)<0,解得x∈,
令f'(x)>0,解得x∈∪(0,＋∞),
故f(x)在上单调递减,在和(0,＋∞)上单调递增;
当a>0时,令f'(x)<0,解得x∈,
令f'(x)>0,解得x∈(－∞,0)∪,
故f(x)在上单调递减,在(－∞,0)和上单调递增.
综上,a＝0时,f(x)在R上单调递增;
a<0时,f(x)在上单调递减,在和(0,＋∞)上单调递增;
a>0时,f(x)在上单调递减,在(－∞,0)和上单调递增.
(2)当a＝0时,在[0,2]上f(x)＝2x3＋1>0,故不存在零点;
当a<0时,f(x)在(0,＋∞)上单调递增,故在[0,2]上单调递增,
又x∈[0,2]时,f(x)≥f(0)＝1,故f(x)在[0,2]上不可能存在零点;
当a>0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增;
若<2,即a<6时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,
又f(0)＝1,f＝－＋1,f(2)＝17－4a,
故只能在[0,]上有零点,
由零点存在性定理有
解得a>.
或f＝－＋1＝0,解得a＝3;
故此时a∈{3}∪满足条件;
若≥2,即a≥6时,f(x)在(0,2)上单调递减,
则f(0)·f(2)<0,此时均满足题意,
故a∈[6,＋∞)满足条件.
综上,a∈{3}∪.探源点1　三次函数
高考定位　三次函数通常考查利用导数研究函数的基本性质,如单调性、极(最)值、对称中心、零点问题等,是近年高考的热门考点,现有选择题、填空题,也有解答题.
【母题突破】
类型一　三次函数的零点　　　　　　　　　　 　　　　
母题1 (人教B版选修三P114T4)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,求实数a的取值范围.
真题1 (1)(2023·全国乙卷)函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点,则a的取值范围是(　　)
A.(－∞,－2) B.(－∞,－3)
C.(－4,－1) D.(－3,0)
(2)(2024·全国甲卷)曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0,＋∞)上有两个不同的交点,则a的取值范围为　　　　.
规律方法　对于三次函数f(x),其导函数为f'(x),
(1)若方程f'(x)＝0的判别式Δ≤0,则函数f(x)在R上是单调函数,无极值,值域为R,函数f(x)在R上有唯一的零点.
(2)若方程f'(x)＝0的判别式Δ>0,则f'(x)有两个零点x1,x2,它们是函数f(x)的极值点.
①f(x)有一个零点 f(x1)f(x2)>0,如下图所示.
②f(x)有两个零点 f(x1)f(x2)＝0,如下图所示.
③f(x)有三个零点 f(x1)f(x2)<0,如下图所示.
样题1 函数f(x)＝x3－3x＋2的零点的个数为　　　　.
样题2 若函数f(x)＝－x3＋3x＋a恰好有两个零点,则实数a的值为　　　　.
类型二　三次函数的对称性
母题2 (人教A版必修一P87T13)我们知道,函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y＝f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数.
(1)求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心;
(2)类比上述推广结论,写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论.
真题2 (多选)(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1,则(　　)
A.当a>1时,f(x)有三个零点
B.当a<0时,x＝0是f(x)的极大值点
C.存在a,b,使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴
D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心
规律方法　三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)一定有对称中心,其对称中心的横坐标为x＝－,即f'(x)＝3ax2＋2bx＋c的顶点的横坐标,也即f″(x)＝6ax＋2b的零点,即三次函数f(x)＝ax3＋2bx2＋cx＋d(a≠0)的图象的对称中心在其导函数f'(x)＝3ax2＋2bx＋c的图象的对称轴上.若三次函数f(x)有极值,那么它的对称中心也是两个极值点的中点.
样题3 (2025·青岛段测)函数f(x)＝x3－3x2＋5x－1图象的对称中心为　　　　.
样题4 (2025·武汉调研)已知函数f(x)＝x3＋3x2＋x－3,若直线ax－by＋a－2b＝0与曲线y＝f(x)有三个交点P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3),则x1＋x2＋x3＝　　　　.
类型三　三次函数的切线条数
母题3 (人教B版选修三P108T8)已知x轴为函数f(x)＝x3＋ax＋的图象的一条切线,求实数a的值.
真题3 (2021·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1,求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标.
规律方法　一般地,如图,过三次函数f(x)图象的对称中心作切线l,则坐标平面被切线l和函数f(x)的图象分割为四个区域,有以下结论:
(1)过区域Ⅰ、Ⅳ内的点作曲线f(x)的切线,有且仅有3条;
(2)过区域Ⅱ、Ⅲ内的点以及对称中心作曲线f(x)的切线,有且仅有1条;
(3)过切线l或函数f(x)图象(除去对称中心)上的点作曲线f(x)的切线,有且仅有2条.
样题5 (2025·长沙质检)经过点P(1,－2)可以作与曲线y＝f(x)＝2x3－3x相切的不同直线共有(　　)
A.0条 B.1条
C.2条 D.3条
【精准强化练】
一、单选题
1.已知a>0,若过点P(a,b)可以作曲线y＝x3的三条切线,则(　　)
A.b<0 B.0C.b>a3 D.b(b－a3)＝0
2.(2025·石家庄调研)已知函数f(x)＝x3＋x2＋c有3个零点,则c的取值范围是(　　)
A. 　　B.∪(0,＋∞)
C. 　　D.∪(0,＋∞)
3.已知函数f(x)＝－x3＋3x－1,下列说法错误的是(　　)
A.f(x)在x＝－1处取得极小值
B.f(x)有3个零点
C.f(x)在区间(－2,2)上的值域为(－3,1)
D.曲线y＝f(x)的对称中心为(0,－1)
4.(2025·杭州质检)对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0),现给出定义:设f'(x)是函数f(x)的导数,f″(x)是f'(x)的导数,若方程f″(x)有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数g(x)＝－x2＋,则g＋g＋g＋…＋g＝(　　)
A. B.
C.17 D.34
5.(2025·西安模拟)从点P(2,t)可向曲线y＝f(x)＝x－x3引三条不同切线,则t的取值范围为(　　)
A.－6C.－4< t <4 D.－46.过点(－7,－5)作曲线y＝x3－12x＋11的切线l,切点为P,则点P的横坐标不可能是(　　)
A.2 B.－
C.－ D.－10
7.关于函数f(x)＝x3－x2－2x＋1,下列说法正确的是(　　)
①曲线y＝f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为8x－2y－25＝0;
②f(x)的图象关于原点对称;
③f(x)在(－1,1)上单调递减;
④若y＝f(x)－m有三个不同零点,则实数m的范围是.
A.①④ B.②④
C.①②③ D.①③④
二、多选题
8.(2025·兰州诊断)设函数f(x)＝x3－3ax＋3,则(　　)
A.存在a∈R,函数f(x)仅有一个极值点
B.曲线f(x)关于点(0,3)对称
C.当a＝1时,9x－y－13＝0是曲线f(x)的切线方程
D.当a>1时,函数f(x)有唯一零点
9.(2025·合肥调研)已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x－m有三个零点,记为x1,x2,x3(x1A.－5B.过点A(－2,23－m)可作曲线y＝f(x)的三条切线
C.x1＋x2>－6
D.x2＋x3<2
三、填空题
10.已知曲线f(x)＝x3－3x2＋6x＋2在点P处的切线与在点Q处的切线平行,若点P的纵坐标为1,则点Q的纵坐标为　　　　.
11.(2025·贵阳调研)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0,＋∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为　　　　.
12.已知直线l与曲线y＝x3－x＋1有三个不同的交点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),且|AB|＝|AC|,则(xi＋yi)＝　　　　.
四、解答题
13.(2025·重庆诊断)已知函数f(x)＝x3＋ax(a∈R)的一个极值点为x＝1.
(1)求a的值;
(2)若过点(3,m)可作曲线y＝f(x)的三条不同的切线,求实数m的取值范围.
14.(2025·东北三省四校模拟)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)在区间[0,2]上有且仅有一个零点,求a的取值范围.

展开更多......

收起↑