资源简介

提优点1　隐零点问题
【知识拓展】
导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的,我们称之为“隐零点”,即能确定其存在,但又无法用显性的代数进行表达.这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求,利用整体代换思想,再结合题目条件解决问题.
【类型突破】
类型一　不含参函数的隐零点问题　　　　　　　　　　 　　　　
例1 (2025·丹东段测改编)已知函数f(x)＝x(2ln x＋1)－ax＋a.当x>1时,求使f(x)>0恒成立的实数a的最大偶数值.
解　当x>1时,f(x)>0等价于a<.
令g(x)＝(x>1),
所以g'(x)＝.
令h(x)＝2x－2ln x－3(x>1),
所以h'(x)＝2－>0,
所以h(x)在(1,＋∞)上单调递增.
又因为h(2)＝1－2ln 2<0,
h(2.5)＝2－2ln 2.5>0,
所以 x0∈(2,2.5),使得h(x0)＝0,
即2x0－3＝2ln x0,
所以当x∈(1,x0)时,h(x)<0,即g'(x)<0;
当x∈(x0,＋∞)时,h(x)>0,即g'(x)>0.
所以g(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,＋∞)上单调递增,
所以g(x)的最小值为g(x0)＝＝2x0.
因为x0∈(2,2.5),g(x)≥g(x0)＝2x0,
所以a<2x0,且2x0∈(4,5),
所以使f(x)>0恒成立的实数a的最大偶数值为4.
规律方法　已知不含参函数f(x),导函数方程f'(x)＝0的根存在,却无法求出,利用零点存在定理判断零点存在,设方程f'(x)＝0的根为x0,则:①有关系式f'(x0)＝0成立;②注意确定x0的范围.
训练1 (2025·盐城质检)已知函数f(x)＝ln x－ax＋1,g(x)＝x(ex－x).
(1)若直线y＝2x与函数f(x)的图象相切,求实数a的值;
(2)当a＝－1时,求证:f(x)≤g(x)＋x2.
(1)解　设直线y＝2x与函数f(x)的图象相切于点(x0,f(x0)),
由f'(x)＝－a,得f'(x0)＝－a,
所以切线方程为y－(ln x0－ax0＋1)＝(x－x0),即y＝x＋ln x0.
因为直线y＝2x与函数f(x)的图象相切,
所以解得a＝－1.
(2)证明　当a＝－1时,f(x)＝ln x＋x＋1,
令F(x)＝g(x)－f(x)＋x2
＝xex－ln x－x－1(x>0),
则F'(x)＝(x＋1)ex－－1＝(xex－1),
令G(x)＝xex－1(x>0),
则G'(x)＝(x＋1)ex>0,
所以函数G(x)在区间(0,＋∞)上单调递增,
又G(0)＝－1<0,G(1)＝e－1>0,
所以函数G(x)存在唯一的零点x0∈(0,1),
且当x∈(0,x0)时,G(x)<0,F'(x)<0;
当x∈(x0,＋∞)时,G(x)>0,F'(x)>0.
所以函数F(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,＋∞)上单调递增,
故F(x)min＝F(x0)＝x0－ln x0－x0－1,
由G(x0)＝0得x0＝1,
两边取对数得ln x0＋x0＝0,故F(x0)＝0,
所以g(x)－f(x)＋x2≥0,即f(x)≤g(x)＋x2.
类型二　含参函数的隐零点问题
例2 已知函数f(x)＝2exsin x－ax.若0解　对f(x)求导得,
f'(x)＝2ex(sin x＋cos x)－a,
令h(x)＝f'(x),
则h'(x)＝4excos x.
∴当x∈时,h'(x)>0;
当x∈时,h'(x)<0,
∴h(x)在上单调递增,在上单调递减,即f'(x)在上单调递增,在上单调递减.
且f'(0)＝2－a,f'－a>0,
f'(π)＝－2eπ－a<0.
①当2－a≥0,即0∴ x0∈,使得f'(x0)＝0,
∴当x∈(0,x0)时,f'(x)>0;
当x∈(x0,π)时,f'(x)<0,
∴f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,π)上单调递减.
∵f(0)＝0,∴f(x0)>0,又f(π)＝－aπ<0,
∴由零点存在定理可得,此时f(x)在(0,π)上仅有一个零点;
②若2又∵f'(x)在上单调递增,在上单调递减,
∴ x1∈,x2∈,
使得f'(x1)＝0,f'(x2)＝0,
且当x∈(0,x1)∪(x2,π)时,f'(x)<0;当x∈(x1,x2)时,f'(x)>0.
∴f(x)在(0,x1)和(x2,π)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增.
∵f(0)＝0,∴f(x1)<0,
∵fa>－3π>0,
∴f(x2)>0,
又∵f(π)＝－aπ<0,
由零点存在定理可得,f(x)在(x1,x2)和(x2,π)内各有一个零点,
即此时f(x)在(0,π)上有两个零点.
综上,当0当2规律方法　已知含参函数f(x,a),其中a为参数,导函数方程f'(x,a)＝0的根存在,却无法求出,设方程f'(x)＝0的根为x0,需根据题意对参数进行分类讨论.
训练2 (2025·厦门质检改编)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－ax＋a.若x>1,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
解　由题意得f'(x)＝ln x＋＋1－a,
令h(x)＝ln x＋＋1－a,x∈(1,＋∞),
则h'(x)＝,
因为x∈(1,＋∞),
所以h'(x)>0,
所以f'(x)在(1,＋∞)上单调递增,
所以当x>1时,f'(x)>f'(1)＝2－a.
①当a≤2时,f'(x)>0在(1,＋∞)上恒成立,
所以f(x)在(1,＋∞)上单调递增,
所以当x>1时,f(x)>f(1)＝0,满足题意.
②当a>2时,f'(1)＝2－a<0,
f'(ea)＝1＋>0,
又当x∈(1,＋∞)时,f'(x)单调递增,
所以f'(x)在(1,＋∞)上有唯一零点,记为x0,
则当x∈(1,x0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)综上,a的取值范围为(－∞,2].
【精准强化练】
1.(2025·成都诊断)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax的图象在x＝0处的切线方程是x＋y＋b＝0.
(1)求a,b的值;
(2)求证:f(x)有唯一的极值点x0,且f(x0)>－.
(1)解　因为f'(x)＝xex－a,
由f'(0)＝－1得a＝1.
又f(0)＝－1,
所以切线方程为y－(－1)＝－1(x－0),
即x＋y＋1＝0,所以b＝1.
(2)证明　令g(x)＝f'(x)＝xex－1,
则g'(x)＝(x＋1)ex,
所以当x<－1时,g(x)单调递减,
且此时g(x)<0,
则g(x)在(－∞,－1)内无零点;
当x≥－1时,g(x)单调递增,
且g(－1)<0,g(1)＝e－1>0,
所以g(x)＝0有唯一解x0,f(x)有唯一的极值点x0.
由x0＝1,得,
f(x0)＝－x0＝1－,
又g－1<0,
g(1)＝e－1>0,
可得可得2<＋x0<,
所以f(x0)>－.
2.已知函数f(x)＝aex－ln (x＋1)－1.
(1)当a＝e时,求曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积;
(2)证明:当a>1时,f(x)没有零点.
(1)解　当a＝e时,f(x)＝ex＋1－ln (x＋1)－1,
f(0)＝e－1.
f'(x)＝ex＋1－,f'(0)＝e－1,
故曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y－(e－1)＝(e－1)x,
即y＝(e－1)x＋e－1.
因为该切线在x,y轴上的截距分别为－1和e－1,
所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积
S＝×|－1|×(e－1)＝.
(2)证明　当a>1时,
因为f(x)＝aex－ln (x＋1)－1,
所以f'(x)＝aex－(x>－1),
令g(x)＝aex(x＋1)－1(x>－1),
则g'(x)＝aex(x＋2),
因为a>1,x>－1,
所以g'(x)>0,
所以g(x)在(－1,＋∞)上单调递增,
又g(－1)＝－1<0,g(0)＝a－1>0,
故g(x)在(－1,0)上有唯一的零点β,
即g(β)＝0,因此有aeβ(β＋1)＝1.
当x∈(－1,β)时,g(x)<0,即f'(x)<0;
当x∈(β,＋∞)时,g(x)>0,即f'(x)>0.
所以f(x)在(－1,β)上单调递减,在(β,＋∞)上单调递增,
故f(β)为最小值.
由aeβ(β＋1)＝1,
得－ln (β＋1)＝ln a＋β,
所以当－1<β<0时,
f(β)＝aeβ－ln (β＋1)－1
＝＋β－1＋ln a
＝ln a＋,
因为a>1,所以ln a>0,
又因为－1<β<0,
所以>0,
所以f(β)>0.
所以f(x)≥f(β)>0.
因此当a>1时,f(x)没有零点.提优点1　隐零点问题
【知识拓展】
导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的,我们称之为“隐零点”,即能确定其存在,但又无法用显性的代数进行表达.这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求,利用整体代换思想,再结合题目条件解决问题.
【类型突破】
类型一　不含参函数的隐零点问题　　　　　　　　　　 　　　　
例1 (2025·丹东段测改编)已知函数f(x)＝x(2ln x＋1)－ax＋a.当x>1时,求使f(x)>0恒成立的实数a的最大偶数值.
规律方法　已知不含参函数f(x),导函数方程f'(x)＝0的根存在,却无法求出,利用零点存在定理判断零点存在,设方程f'(x)＝0的根为x0,则:①有关系式f'(x0)＝0成立;②注意确定x0的范围.
训练1 (2025·盐城质检)已知函数f(x)＝ln x－ax＋1,g(x)＝x(ex－x).
(1)若直线y＝2x与函数f(x)的图象相切,求实数a的值;
(2)当a＝－1时,求证:f(x)≤g(x)＋x2.
类型二　含参函数的隐零点问题
例2 已知函数f(x)＝2exsin x－ax.若0规律方法　已知含参函数f(x,a),其中a为参数,导函数方程f'(x,a)＝0的根存在,却无法求出,设方程f'(x)＝0的根为x0,需根据题意对参数进行分类讨论.
训练2 (2025·厦门质检改编)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－ax＋a.若x>1,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
【精准强化练】
1.(2025·成都诊断)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax的图象在x＝0处的切线方程是x＋y＋b＝0.
(1)求a,b的值;
(2)求证:f(x)有唯一的极值点x0,且f(x0)>－.
2.已知函数f(x)＝aex－ln (x＋1)－1.
(1)当a＝e时,求曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积;
(2)证明:当a>1时,f(x)没有零点.

展开更多......

收起↑