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第十九章 二次根式
19.2 二次根式的乘法与除法
第十九章 二次根式
19.2第1课时二次根式的乘法
目 录
学习目标
情境导入
知识讲解
随堂练习
课后小结
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1.理解二次根式的乘法法则.（重点）
2.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.（难点）
3.二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用．
学习目标
情景1：运用运载火箭发射航天行器时，火箭必须达到一定的速度（第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v12=gR，其中g是重力加速度.请用含g，R的代数式表示出第一宇宙速度v1.
第一宇宙速度v1可以表示为 .
情境导入
情景2：飞行器脱离地心引力，进入围绕太阳运行的轨道所需要的速度称为第二宇宙速度.第二宇宙速度为v2= v1，请结合问题1用含g，R的代数式表示出第二宇宙速度v2.
第二宇宙速度v2可以表示为 .
思考：若已知地球半径R≈6371km及重力加速度g≈10m/s2，要求第二宇宙速度，本质是把两个二次根式相乘，该怎么乘呢？
情境导入
(1) ___×___=____;
=_________;
计算下列各式:
(2) ___×___=____;
(3) ___×___=____;
=_________;
=_________.
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5
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观察两者有什么关系？
知识点一 二次根式的乘法
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
(2)
(3)
思考 你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？
猜测：
知识讲解
求证：
证明：根据积的乘方法则，有
∴
就是ab的算术平方根.
又∵ 表示ab的算术平方根，
∴ .
知识讲解
一般地，对于二次根式的乘法是
语言表述：
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
二次根式的乘法法则:
二次根式相乘，________不变，________相乘.
根指数
被开方数
归纳总结
注意：a,b都必须是非负数.
在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数．
知识讲解
二次根式的乘法法则的推广：
多个二次根式相乘时此法则也适用，即
当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即
知识讲解
比较两个二次根式大小的方法：
可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小，
被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.
知识讲解
例1 计算:
解:
(3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，
即 .
知识讲解
例2 计算:
解:
知识讲解
知识点二 二次根式乘法法则的逆用
二次根式乘法法则的逆用：
语言叙述：
积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积.
知识讲解
逆用二次根式乘法法则化简的步骤
(1)将被开方数进行因数分解或因式分解，如化简时，先把化成的形式。
(2)利用 将能开得尽方的因数或因式开到根号外，如
知识讲解
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式
a2 = ,把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简.
1.把被开方数分解因式(或因数).
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
式(或因数)的算术平方根的积.
化简二次根式的步骤：
知识讲解
解：（1）
例1 化简：
（1）　　　 　；（2） ．　　
（2）
(2)中4a2b3含有像4，a2，b2，这样开的尽方的因数或因式，把它们开方后移到根号外.
知识讲解
（1）　　　 ； （2） ．　　
例2 化简：
解：（1）　　　 　
　　
当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算.
（2）
知识讲解
例3 计算：
（1） 　 ；（2） ； （3） ．　　
　　解：（1）
（2）
（3）
知识讲解
1.计算：
解：
随堂练习
3.比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜” 或“=”）：
＞
＜
2.计算：
随堂练习
4.已知 试着用a,b表示 .
解：
随堂练习
5.计算：
随堂练习
二次根式的乘法
乘法法则
二次根式的大小比较
二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘
二次根式乘法法则的逆用
课后小结
第十九章 二次根式
19.2第2课时二次根式的除法
目 录
学习目标
情境导入
知识讲解
随堂练习
课后小结
1
2
3
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5
1.了解二次根式的除法法则.
2.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算.（难点）
3.能将二次根式化为最简二次根式.（重点）
学习目标
情景 站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符合公式为.
解：
问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即时，他看到的水平线的距离d1是多少？
情境导入
问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
解：
解：
思考 乘法法则是如何得出的？除法有没有类似的法则？
情境导入
(1) ___÷___=____;
= _____;
计算下列各式:
(2) ___÷___=____;
(3) ___÷___=____;
= _____;
= _____.
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观察两者有什么关系？
知识点一 二次根式的除法
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
(2)
(3)
思考 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式除法运算法则，你能说出二次根式的结果吗？
特殊
一般
知识讲解
问题 在前面发现的规律中，a,b的取值范围有没有限制呢？
你们都错啦，a≥0，b＞0,b=0时等式两边的二次根式就没有意义啦.
a,b同号就可以啦.
不对，同乘法法则一样，a,b都为非负数.
知识讲解
二次根式的除法法则:
文字叙述: (a
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得 (
知识讲解
例1 计算：
解:
除式是分数或分式时，先要转化为乘法再进行运算.
知识讲解
类似(4)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
知识讲解
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.
我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.类似地，把二次根式的除法法则反过来，就得到
二次根式的商的算术平方根的性质:
知识点二 商的算术平方根的性质
知识讲解
例1 化简:
解:
补充解法：
知识讲解
解：
先运用商的算术平方根的性质，再运用积的平方根性质.
知识讲解
问题1 你还记得分数的基本性质吗？
分数的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分数与原分数相等.即(.
问题2 前面我们学习了二次根式的除法法则，你会去掉这样的式子中分母的根号吗？
知识点三 最简二次根式
知识讲解
满足如下两个特点：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
知识讲解
分母有理化一般经历如下三步：
“一移”，即将分子、分母中能开得尽方的因数(式)移
到根号外；
“二乘”，即将分子、分母同乘分母的有理化因数(式)；
“三化”，即化简计算．
把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.
知识讲解
二次根式比较大小的方法
(1)平方法：若两个二次根式同号，可先将两个二次根式分别平方，再根据实数比较大小的方法比较即可.
(2)比较被开方数法：逆用公式，先把根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，在比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大.
知识讲解
(3)作商法：同号两数相除，比较商与1的大小，
如当a,b都是正数时，
①若则. ②若,则③若
则
知识讲解
例1 计算:
解:
分母形如的式子，分子、分母同乘以可使分母不含根号.
知识讲解
例1 设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知 ，，求a的值.
解:∵
∴
知识点四 二次根式除法的应用
知识讲解
例2 高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式 .从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？
知识讲解
解:由题意得
知识讲解
1.若使等式成立，则实数k的取值范围是（ ）
B
A.k≥1 B.k≥2 C.1＜k≤2 D.1≤k≤2
2.下列各式的计算中，结果为的是（　　）
A. B.
C. D.
C
随堂练习
3.计算：(1) (2) (3)
解：(1)
(2)
(3)
随堂练习
4.化简：
解:
随堂练习
5.化简并求值：
解：原式＝
将a＝ －2代入，得原式＝
随堂练习
二次根式的除法
除法法则
商的算术平方根的性质
(
最简二次根式
二次根式除法的实际应用
分母有理化
课后小结

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