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第二十一章 四边形
21.1.1 四边形及其内角和
1.掌握四边形的定义及各元素概念.
2.掌握四边形的内角和定理及外角和定理，能灵活运用计算角度.（重点）
3.明确四边形不稳定性的特点，知晓其在生活中的应用，以及使四边形具有稳定性的方法.
学习目标
在实际生活当中，除了三角形，很多物体都有四边形的形象.观察图片，你能找到其中的四边形吗？
情境导入
1.四边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的四条线段首位顺次相接组成的图形叫作四边形.
知识点一 四边形的定义及相关概念
知识讲解
2.相关概念：四边形的边、顶点、对角线、内角、外角等.
3.运用四边形的内角和与外角和定理解决问题，外角问题转化为内角与邻补角.
知识讲解
顶点:每相邻两条线段的公共端点
边:组成四边形的各条线段
内角：四边形相邻两边组成的角.
外角：四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角.
对角线：连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.
知识讲解
A
B
C
D
E
F
G
H
凸四边形:画出四边形任何一条边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧
凹四边形:被一条边所在的直线分成了两部分，不在这条直线同侧
如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形.
问题1 我们曾经学过三角形的内角和是180长方形的内角和是360，那么任意一个四边形的内角和是多少度？
知识讲解
解：如图，连接AC，
A
B
C
D
把四边形分割成三角形，转化成三角形内角和求解.
四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
1802=360.
问题2 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少？
知识讲解
A
B
C
D
1
2
4
3
知识讲解
解：∵∠1与∠BAD为邻补角，
∴∠1+∠BAD=180，同理：
∠2+∠ABC=180，
∠3+∠BCD=180，
∠4+∠ADC=180，
∵四边形内角和∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360，
∴四边形外角和∠1+∠2+∠3+∠4=720-360=360
A
B
C
D
四边形的每一个内角和与和它相邻的外角是邻补角，利用四边形的内角和求出外角和.
1
2
4
3
问题3 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.
知识讲解
A
B
C
D
解：如图，四边形ABCD中，
∠A+∠C=180
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360
∴∠B＋∠D=360-(∠A＋∠C)
=360–180=180.
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.
知识点二 四边形的不稳定性
1.四边形的不稳定性指的是确定四边形的各条边的长，但并不能确定四边形的形状和大小.
2.四边形不稳定性生活中的应用价值.
知识讲解
a
a
问题1 下列图中中具有稳定性的是（　　）.
A.
B.
C.
D.
知识讲解
C
问题2 小强同学为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个长方形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（　　）.
A.四边形ABCD由长方形变为平行四边形
B.BD的长度变大
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
原来长方形ABCD的面积等于BC乘AB，变化后平行四边形高度小于AB，所以四边形ABCD的面积变小了.
知识讲解
A
B
C
D
C
1.在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？
随堂练习
分析：四边形的内角和为360.钝角大于90，如果四边形有四个钝角，则内角和将超过360，因此最多只能有三个钝角.同理，锐角小于90，如果四边形有四个锐角，则内角和将小于360，因此最多只能有三个锐角.
在四边形的四个内角中，最多能有3个钝角，最多能有3个锐角.
2.若一个四边形的四个内角度数之比是1:2:3:4，则该四边形最大内角度数是__________．
随堂练习
144°
3.在四边形ABCD中，AD边最大，BC边最小．
求证：∠B>∠D．
随堂练习
A
B
C
D
证明：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD中，AD边最大，BC边最小，
∴AD＞AB，CD＞BC，
∴∠ABD＞∠ADB，∠CBD＞∠CDB，
∴∠ABD∠CBD＞∠ADB∠CDB，
∴∠ABC＞∠ADC．
4.如图，∠______．
45°
随堂练习
5.一个四边形木框，四边长分别为AB=8，BC=6，CD=4，AD=5，其形状不稳定，试确定对角线AC和BD长度的取值范围.
解：对于AC：
∵AC＜AD+DC=5+4=9，AC＞AB-BC=8-6=2.
∴AC的取值范围是2＜AC＜9.
对于BD：
∵BD＜BC+CD=6+4=10；BD＞AB-AD=8-5=3.
∴BD的取值范围是3＜BD＜10.
随堂练习
四边形及其内角和
四边形的定义及相关概念
四边形的内角和定理
课后小结
四边形的外角和定理
四边形的不稳定性及生活应用

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