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第二十一章 四边形
21.1.2 多边形及其内角和
1.掌握多边形对角线的定义及公式，并能运用公式解决相关问题.
2.掌握多边形的内角和公式与外角和公式与推导过程.（重点）
3.灵活运用多边形的内角和与外角和公式解决有关问题，归纳图形性质的推理方法.（难点）
学习目标
多边形在生活中很常见，观察图片，你能找到其中的多边形吗？
它们可能藏着怎样的数学规律？
情境导入
1.多边形的定义：在平面内，由n（n≥3）条线段首尾顺次相接组成的图形叫作多边形.多边形有几条边就叫作几边形，其中三角形是最简单的多边形.
知识点一 多边形及其相关概念
知识讲解
2.相关概念：多边形的边、顶点、对角线、内角、外角等与四边形相应的概念类似.
知识讲解
3.n边形的一个顶点可作出（n-3）条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形，n(n≥3)边形共有对角线 条.
4.正多边形必备两个条件：①各个角都相等；②各条边都相等，二者缺一不可.
问题1 请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数.
知识讲解
三角形
六边形
四边形
八边形
……
五边形
七边形
从同一顶点引出的对角线的条数
分割的三角形的个数
n边形
0
1
2
3
1
2
3
4
4
5
5
n-3
6
n-2
问题2 观察下列图形中有多少条对角线？
知识讲解
三角形：
0条
四边形：
2条
五边形：
5条
六边形：
9条
想一想：十边形有多少条对角线？n边形呢？
n(n≥3)边形共有对角线 条.
问题3 下列属于正多边形的特征的有(　　).
①各边相等；②各个内角相等；③各个外角相等；④各条对角线都相等；⑤从一个顶点引出的对角线将n边形分成面积相等的(n-2)个三角形．
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
知识讲解
B
知识点二 多边形的内角和
1.多边形的内角和定理：n边形的内角和=(n-2)180.
2.多边形内角和公式的常见应用
（1）利用多边形的边数求内角和，或者利用多边形的内角和求边数；
（2）正n边形每个内角的度数=
知识讲解
3.多边形的截角问题
一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条.
①从所截角的两边截，边数增加1.
知识讲解
多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和增加180.
③从所截角的一边及相邻角的顶点截，边数不变.
②从所截角的相邻两角的顶点截，边数减少1.
问题1 一个多边形的内角和是720,这个多边形的边数是（　　）.
A.4 B.5 C.6 D.7
知识讲解
C
解：设这个多边形边数为n，
则有(n-2)180=720，n=6.
问题2 若正多边形的每一个内角都为135°.则这个正多边形的边数是__________．
知识讲解
8
解：设这个多边形边数为n，
则有=135，解得n=8.
问题3 一个多边形截去一个角后,形成的多边形内角和是2520,则原多边形的边数是（　　）.
A.15或16 B.16或17 C.15或17 D.15,16或17
知识讲解
解：设原多边形边数为n，
①当边数增加一条，则有(n+1-2)×180=2520，解得n=15；
②当边数不变，则有(n-2)×180=2520，解得n=16；
③当边数减少一条，则有(n-1-2)×180=2520解得n=17；
D
知识点三 多边形的外角和
1.多边形的外角和定理：多边形的外角和恒等于360，与边数无关.
2.正n边形的每个内角都相等,所以它的每个外角也都相等,每一个外角的度数等于.
知识讲解
问题1 一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形
知识讲解
解：设这个多边形边数为n，
则有内角和=(n-2)180，外角和=360，
即(n-2)180=2×360，解得n=6.
∴这个多边形是六边形.
问题2 若正多边形的一个外角是60,则该正多边形的内角和为（　　）.
A.360 B.540 C.720 D.900
知识讲解
C
解：设这个多边形边数为n，
则有=60，n=6.
所以内角和=（6-2）×180=720.
1.下列说法中正确的是（　　）.
A.五个内角都相等的五边形是正五边形
B.六条边都相等的六边形是正六边形
C.四个角都是直角的四边形是正方形
D.七个内角都相等的七边形不一定是正七边形
随堂练习
D
2.一个正多边形的边长为2,每个内角为135,则这个多边形的周长是______．
随堂练习
16
3.分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是（　　）.
A.① B.② C.③ D.④
随堂练习
C
4.小明在求一个多边形的内角和时，由于疏忽，把一个内角加了两遍，而求出的结果为2018，这个内角是多少度？这个多边形是几边形？
随堂练习
解：设这个多边形边数为n，
因为多边形内角和是180的整数倍，
所以2018180=11......38.所以内角度数为38，
(n-2)180=201838=1980，解得n=13.
所以这个多边形是十三边形.
5.如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在形内作正方形ABMN，连接MC．求∠BCM的大小．
解：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠ABC==120，AB=BC．
∵四边形ABMN为正方形，
∴∠ABM=90，AB=BM．
∴∠MBC=120-90=30，BM=BC．
∴∠BCM=∠BMC．
∴∠BCM=×(180-30)=75.
随堂练习
多边形及其内角和
多边形的定义及相关概念
多边形的内角和定理：n边形的内角和=(n-2)180
课后小结
多边形的外角和定理：恒等于360，与边数无关
正多边形：内角=，外角=

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