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第二十二章 函数
22.1 函数的概念
22.1第1课时函数的概念
1.了解变量、常量的意义，并能正确区分常量与变量.（重点）
2.找变量间的简单的关系，试列简单关系式.
3.理解函数的概念，能准确识别出函数关系中的自变量和函数.（难点）
学习目标
汽车行驶里程随行驶时间而变化，气温随海拔而变化，万物皆变，那事物不同量之间有怎样的关系？又有什么变化规律呢？
情境导入
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量.
知识点一 常量与变量
知识讲解
区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否发生改变，即是否可以取不同的值.
问题1 下列变化过程中，哪些量是变化的？哪些量是不变的？
汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶时间为 t h，行驶路程为 s km．
变量是行驶时间 t h，行驶路程 s km；
常量是速度60km/h.
知识讲解
问题2 指出下列问题中的常量和变量:
(1)某市居民生活用水的价格为5元/t.记某户的月用水量为x t，月应缴水费为y元.
(2)在某地乘坐公交车，刷公交卡每次收费1元.李明在公交卡中存入30元，记此后他乘坐公交车n次，公交卡中的余额为w元.
(3)用20m长的绳子围一个矩形，记矩形的一边长为x m，矩形的面积为S m .
知识讲解
(1)常量：生活用水的价格，变量：某户的月用水量x和月应缴水费y.
(2)常量：刷公交卡每次收费和存人的钱数，变量：乘坐公交车的次数n和公交卡中的余额w.
(3)常量：绳的长度，变量：矩形的一边长x和面积S是变量.
问题3 指出下列问题中的常量和变量:
(1)某人持续以a米/分的速度用t分钟时间跑了s米，其中常量是 ，变量是 .
(2)s米的路程，不同的人以不同的速度a米/分各需跑的时间为t分，其中常量是 ，变量是 .
知识讲解
a
t,s
s
a,t
常量与变量是相对而言的,是相对某个变化过程来说的,在这个变化过程中是变量,而在另一个变化过程中有可能是常量.
注意：常量除了用常数表示也可以用字母表示.
知识点二 函数的概念
一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
知识讲解
关键点：（1）两个变量；（2）一个量变化另一个量也变化；（3）给一个x的值，确定一个y的值.
问题1 判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系.如果是，指出其中的自变量与函数.
(1)骆驼某日的体温T随着这天时间t的变化而变化.
(2)菱形的周长y随菱形的边长x的变化而变化.
知识讲解
(1)是函数关系，自变量是t，函数是T;
(2)是函数关系，自变量是x，函数是y.
问题2 用10m长的绳子围成长方形，若改变长方形的长度，长方形的面积会怎样变化．
知识讲解
一边长为x(m) 4 3 2.5 2 …
另一边长为 ( )(m) …
长方形面积S(m ) …
5-x
1
4
2
6
2.5
6.25
3
6
设一边长为x,长方形的面积为S(m ),它们之间的关系式可以表示为：S=x(5-x)
问题3 下列各关系式中,y不是x的函数的是（　　）
A.y=3x+1 B.y= C.y=x+1 D.|y|=3x+1
判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应.
知识讲解
D
1.圆周长公式C=2πR中，下列说法正确的是（　　）
A.π、R是变量，2为常量
B.C、R为变量，2、π为常量
C.R为变量，2、π、C为常量
D.C为变量，2、π、R为常量
随堂练习
B
2.笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，在这个问题中：①a是常量时,y是变量;②a是变量时,y是常量;③a是变量时,y也是变量;④a,y可以都是常量或都是变量，上述判断正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
随堂练习
3.下列关于变量x ，y 的关系式：①y=2x+3；②y=x +3；
③y=2|x|；④y=；⑤y -3x=10，其中表示y是x 的函数关系的是 .
①②③
随堂练习
4.等腰三角形的顶角为y，底角为x.
(1)用含x的式子表示y;(2)指出(1)中式子里的常量与变量.
随堂练习
解：(1)由题意得y+x+x=180，即y+2x=180，
移项后y=180-2x.
(2)常量为180，变量为x和y.
5.“沙漏”作为一种计量时间的仪器，它根据一个容器里的细沙漏到另一个容器中的数量来计量时间，请说出这个变化过程中的自变量。
在一个变化过程中，发生变化的量是自变量。在沙漏计量时间这个过程中，漏到另一个容器中的细沙数量，会随着时间的变化而变化，所以自变量是时间.
随堂练习
函数的概念
常量与变量
列出变量之间的关系式
识别函数关系中的自变量和函数
课后小结
22.1第2课时函数的解析式
1.确定函数中自变量的取值范围，使函数解析式有意义. （重点）
2.理解函数解析式的概念，根据函数解析式求函数值.
3.能根据简单的实际问题写出函数解析式，注意各变量所代表的实际意义，确定自变量的取值范围.（难点）
学习目标
小明带100元现金去超市买苹果，苹果单价8元/千克，至少需要买1千克苹果，总金额y（元）随数量x（千克）的变化而变化.
情境导入
想一想：x有限制范围吗？
在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围.
知识点一 自变量的取值范围
知识讲解
①当表达式为整式时，自变量取全体实数.
②当表达式是分式时，自变量取值是使分母不为零的任意实数.
③当函数的表达式是二次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数非负.
④当函数的表达式中自变量出现零次幂或负整数次幂的底数中时,自变量取值是使底数不为零的实数。
知识讲解
对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义.
当表达式是上述情况的组合时，自变量的取值范围是其公共部分.
问题1 请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系：
（1）汽车以70km/h的速度匀速行驶，行驶的时间为t（单位：h），行驶的路程为 s（单位：km）；
（2）多边形的边数为n，内角和的度数为y．
s=70t
知识讲解
y=180° (n-2)
想一想：问题（1）中，t取-2有实际意义吗？
问题（2）中，n取2有意义吗？
问题2 求下列函数中自变量x的取值范围.
（1）y=3x-1；
（2）y=+
（3）y=
知识讲解
解：(1)x是任意实数；
(3)根据题意得：x-1≠0，
解得：x≠1；
(2)根据题意得：，
解得：x≥2且x≠3；
问题3 某函数自变量x满足x >2，则该函数可能是（　　）
A.y= B.y= C.y= D.y=
知识讲解
C
知识点二 函数的解析式与函数值
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式.
知识讲解
①函数解析式是等式.
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数.
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y=x+9时表示y是x的函数，若写成x=-y+9就表示x是y的函数.
函数值
函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值.如果当x=a时y=b，那么b叫作当自变量的值为时的函数值.
知识讲解
①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值;当己知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程;
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的.但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个.
问题1 汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子;
（2）指出自变量x的取值范围；
（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少油？
知识讲解
解：(1)函数关系式为: y = 50-0.1x.
(2)由x≥0及50-0.1x ≥0，得0 ≤ x ≤ 500.
∴自变量的取值范围是0 ≤ x ≤ 500.
(3)当x = 200时,函数y的值为
y=50-0.1×200=30.
当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L.
问题2 梯形的上底长2cm，高3cm，下底x cm大于上底但不超过5cm.写出梯形面积S关于x的函数解析式及自变量x的取值范围.
知识讲解
解：由梯形的面积公式，得S=(2+x)×3，即S=x+3
由题意：下底长x需满足“大于上底（2cm）”且
“不超过5cm”，得2x ≤5.
问题3 已知A、B两地相距3千米，小黄从A地到B地，平均速度为4千米/小时，若用x表示行走的时间（小时），y表示余下的路程（千米），则y关于x的函数解析式是（　　）
A.y＝4x（x≥0）
B.y＝4x-3（x≥）
C.y＝3-4x（x≥0）
D.y＝3-4x（0≤x ≤）
知识讲解
D
1.下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式.
（1）购买单价为4元的本子，总金额y（元）随本子数x（本）的变化而变化；
（2）汽车离开A站4km后，以40km/h的平均速度前进了t h，汽车离开A站距离s（km）随时间t（h）的变化而变化.
随堂练习
解：(1)x是自变量，y是x的函数，函数解析式为：y=4x；
(2)t是自变量，s是t的函数，函数解析式为：s=40t+4.
2.按如图所示的程序计算函数y的值,如果输入的x的数值为-2,那么输出的y的数值为 ;如果输出的y的数值为5,那么输人的x的数值为 .
随堂练习
3.在函数y=中,自变量x的取值范围是（　　）
A.x≥3
B.x>3
C.x≠3
D.x≤3且x≠2
随堂练习
A
4.在学习地理时,我们知道:“海拔越高,气温越低”,海拔h(千米)与此高度处气温t(℃)的关系如表.
根据上表,回答以下问题:
(1)写出气温t与海拔h的关系式.
(2)当气温是-40℃时,其海拔是多少
随堂练习
解：(1)由题表可知,海拔每升高1千米,气温就减少6℃,所以t=20-6h.
(2)当t=-40时,20-6h=-40,解得h=10.
答:当气温是-40℃时,其海拔是10千米.
5.某水果批发市场规定，批发水果不少于100千克时，批发价为每千克2.5元．小王携带现金300元到该市场采购苹果，并以批发价买进，如果购买的苹果的质量为x千克，小王付款后的剩余现金为y元．写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
解：由题可得y与x的函数关系式：y=300-2.5x,
∵批发苹果不少于100千克，至多可以买300÷2.5=120kg
故自变量x的取值范围：100≤x≤120；
综上所述，y与x之间的函数关系式为：
y=300-2.5x（100≤x≤120）
随堂练习
函数的解析式
确定函数中自变量的取值范围
根据函数解析式求函数值
根据实际问题写出函数解析式
课后小结
注意各变量所代表的实际意义

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