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22.2 函数的表示
22.2第1课时函数的图象及其画法
情境引入
1.理解函数的图象的概念.
2.掌握画函数图象的一般步骤,能画出一些简单的函数图象.（重点）
3.能根据所给函数图象读出一些有用的信息.（难点）
学习目标
心电图
记录的是心脏本身的生物电在每一心动周期中发生的电变化情况.
情境导入
问题1：正方形的面积S与边长x的函数解析式为 ，其中x的取值范围是 .
我们还可以利用在坐标系中画图的方法来表示S与x的关系.
S=x2
x>0
合作探究
知识点一 函数的图象
知识讲解
先确定点的坐标.　　　　
取一些自变量的值，计算出相应的函数值．
(2)怎样获得组成图形的点？
(4)自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一
的函数值S，是否唯一确定了一个点（x，S）呢？
(3)怎样确定满足函数关系的点的坐标？
(1)在平面直角坐标系中，平面内的点可以用一对
来表示.即坐标平面内 与有序数对是一一 的.
对应
想一想：
有序数对
点
知识讲解
x
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
S
0.25
1
2.25
4
6.25
9
12.25
一般地，对于一个函数，如
果把自变量与函数的每对对应值
分别作为点的横、纵坐标，那么
坐标平面内由这些点组成的图形，
就是这个函数的图象．如右图中
的曲线就叫函数（x＞0）
的图象．
用空心圈表示不在曲线的点.
填写下表：
知识讲解
第一步，列表——表中给出一些自变量的值及
其 ；
第二步，描点——在平面直角坐标系中，以自
变量的值为 ，相应的函数值为 ，描出表格中数值对应的各点；
第三步：连线——按照横坐标 的顺序，
把所描出的各点用 连接起来.
对应的函数值
横坐标
纵坐标
平滑曲线
由小到大
归纳总结
画函数图象的一般步骤：
知识讲解
　我们知道，函数图象是以自变量的值和对应的函数值分别为横、纵坐标的点组成的图形，这样的点有无数个，那么怎样判断一个点是否在函数图象上？
把点的横坐标（即自变量x）的取值代入解析式求出相应的函数值y值，看是否等于该点的纵坐标，如果等于，则该点在函数图象上；如不等于，则该点不在函数图象上.
知识讲解
例1 画出下列函数的图象：
（1） ； （2） .
解：(1)从函数解析式可以看出，x的取值范围是
.
第一步：从x的取值范围中选取一些简洁的数值，
算出y的对应值，填写在表格里：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … …
-5 -3 -1 1 3 5 7
全体实数
知识讲解
O
x
y
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
3
1
4
2
5
-2
-4
-1
-3
y=2x+1
第二步：根据表中数值描点（x，y）；
第三步：用平滑曲线连接这些点.
当自变量的值越来越大时，
对应的函数值 .
画出的图象是一条 ，
直线
越来越大
知识讲解
x … -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 …
y …
…
-6
6
-3
-2
-1.2
-1.5
3
2
1.5
1.2
为什么没有“0”？
解：(2)列表：取一些自变量的值，并求出对应的函数值，填入表中.
知识讲解
y
5
x
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-5
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
6
-6
(2)描点：分别以表中
对应的x、y为横纵
坐标,在坐标系中描
出对应的点.
(3)连线：用光滑的曲线把这些点依次连接起来.
(1,-6)
知识讲解
解答图象信息题主要运用数形结合思想,化图象信息为数字信息.
主要步骤如下:
(1)了解横、纵轴的意义；
(2)从 上判定函数与自变量的关系；
(3)抓住图象中端点，拐点等特殊点的实际意义.
图象形状
知识点二 实际问题中的函数
知识讲解
-3
O
4
14
24
8
T/℃
t/时
思考：下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化．
你从图象中得到了哪些信息？
从图象中可以看出这一天中任一时刻的气温.
知识讲解
（1）从这个函数图象可知：这一天中 时气温最低（ ）,最高气温 最低气温（ ）;
4
-3°C
14时
8°C
（2）从_ __至 气温呈下降状态，从4时至 14时气温呈上升状态，从 至 气温又呈下降状态.
0时
4时
14时
24时
-3
O
4
14
24
8
T/℃
t/时
知识讲解
例2 下图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上．
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
根据图象回答下列问题：
(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
解：(1)食堂离小明家0.6km，小明从家到食堂用了8min.
知识讲解
（2）小明在食堂吃早餐用了多少时间？
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
（2）25-8=17，小明在食堂吃早餐用了17min.
知识讲解
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
（3）食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？
（3）0.8-0.6=0.2，食堂离图书馆0.2km；
28-25=3，小明从食堂到图书馆用了3min.
知识讲解
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
（4）小明读报用了多长时间？
（4）58-28=30，小明读报用了30min.
知识讲解
（5）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
（5）图书馆离小明家0.8km，小明从图书馆回家用了68-58=10(min)，由此算出的平均速度是0.08km/min.
知识讲解
例3 小明同学骑自行车去郊外春游，
如图表示他离家的距离y(km)与所
用的时间x(h)之间关系的函数图象.
（1）根据图象回答：小明到达离
家最远的地方用了______h；
（2）小明出发2.5 h后离家_______km；
（3）小明出发__________h后离家12 km.
3
22.5
2.5
12
0.8或5.2
知识讲解
1.某人早上进行登山活动，从山脚到山顶休息一会儿又沿原路返回，若用横轴表示时间t，纵轴表示与山脚距离h，那么下列四个图中反映全程h与t的关系图是（ ）
D
随堂练习
2.最近中旗连降雨雪，德岭山水库水位上涨．如图表示某一天水位变化情况，0时的水位为警戒水位．结合图象判断下列叙述不正确的是 （ 　）
A．8时水位最高
B．P点表示12时水位为0.6米
C．8时到16时水位都在下降
D．这一天水位均高于警戒水位
C
随堂练习
3.(1)在所给的平面直角坐标系中画出函数x的图象.（先填写下表，再描点、连线）
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … …
-1
0
1
随堂练习
O
x
y
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
3
1
2
-2
-1
-3
不在
(2)点P(5，2) 该函数的图象上(填“在”或“不在”).
随堂练习
（1）体育场离张强家多远？张强从家到体育场用了多少时间？
答：2.5千米.
答：15分钟.
4.下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔,然后散步走回家，图中x表示时间，y表示张强离家的距离.
随堂练习
（2）体育场离文具店多远？
（3）张强在文具店停留了多少时间？
（4）张强从文具店回家的平均速度是多少？
答：2.5-1.5=1（千米）
答：65-45=20（分钟）
随堂练习
函数的图象及其画法
图象的画法
图象表达的实际意义
描点
列表
连线
课后小结
22.2第2课时函数的表示方法
情境引入
1．了解函数的三种表示方法及其优点.
2．能用适当的方式表示简单实际问题中的变量之间的函数关系.(重点）
3．能对函数关系进行分析，对变量的变化情况进行初步讨论.（难点）
学习目标
在计算器上按照下面的程序进行操作：
输入x（任意一个数）
按键
×
2
=
显示y（计算结果）
　x 1 3 －4 0 101
　y
7
11
－3
5
207
显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么
填表：
+
5
如果是，写出它的解析式.
y = 2x+5
动手操作
情境导入
用平面直角坐标系中的一个图象来表示的．
问题1 下图是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线，气温T是不是时间t的函数？
这里是怎样表示气温T与时间t之间的函数关系的？
是
知识点一 函数的三种表示方法
知识讲解
问题2 正方形的面积S与边长x的取值如下表，面积S是不是边长x的函数？
这里是怎样表示正方形面积S与边长x之间的函数关系的？
列表格来表示的．
1 4 9 16 25 36 49
是
知识讲解
问题3 某城市居民用的天然气，１m3收费2.88元，使用x（m3）天然气应缴纳的费用y（元）为y = 2.88x． y是不是x的函数？
这里是怎样表示缴纳的天然气费y与所用天然气的体积x的函数关系的？
用函数解析式y＝2.88x来表示．
是
知识讲解
总结：函数的三种表示法：
y = 2.88x
图象法、
列表法、
解析式法．
1 4 9 16 25 36 49
知识讲解
1.解析式法：准确地反映了函数与自变量之间的数量关系.
2.列表法：具体地反映了函数与自变量的数值对应关系.
3.图象法：直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律.
议一议
这三种表示函数的方法各有什么优点？
知识讲解
1.解析式法：从函数解析式很难直观地看出函数的变化规律，而且有些函数不能用解析式法表示.
2.列表法：列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律.
3.图象法：从自变量的值常常难以找到对应函数得准确值.
议一议
这三种表示函数的方法各有什么缺点？
知识讲解
　例1 如图，要做一个面积为12 m2的小花坛，该花坛的一边长为xm，周长为ym．
　 （1）变量y是变量x的函数吗？如果是，写出自变量的取值范围；
　 （2）能求出这个问题的函数解析式吗？
x
解：（1)y是x的函数，自变量x 的取值范围是x＞0．
　（2）y =2（x +　 ）　
知识讲解
　 （3）当x的值分别为1，2，3，4，5，6 时，请列表表示变量之间的对应关系；
　 （4）能画出函数的图象吗？
x/m 1 2 3 4 5 6
y/m 26 16 14 14 14.8 16
40
35
30
25
20
15
10
5
5
10
O
x
y
（3）
知识讲解
例2 已知等腰三角形的面积为30cm2，设它的底边长为xcm，底边上的高为ycm.
(1)求底边上的高y随底边长x变化的函数解析式．并求自变量的取值范围．
(2)当底边长为10cm时,底边上的高是多少
解：
(2)当x=10时，y=60÷10=6
(1) (x
知识讲解
例3 一水库的水位在最近5h内持续上涨，下表记录了这5h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度．
　
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，
这些点是否在一条直线上？由此你发现水位变化有什么规律？
t/h 0 1 2 3 4 5
y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
知识讲解
x/h
y/m
O
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
解：可以看出，这6个点
，
且每小时水位 .
由此猜想，在这个时间
段中水位可能是以同一
速度均匀上升的.
在同一直线上
上升0.3m
5
知识讲解
（2）水位高度y是否为时间t的函数？如果是，试写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出函数图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？
（2）由于水位在最近5小时内持续上涨，对于时间t的每一个确定的值，水位高度y都有 的值与其对应，所以，y t 的函数.
函数解析式为： .
自变量的取值范围是： .它表示在这 小时内，水位匀速上升的速度为 ，这个函数可以近似地表示水位的变化规律.
唯一
是
y=0.3t+3
0≤t≤5
5
0.3m/h
知识讲解
（3）据估计这种上涨规律还会持续2h，预测再过2h水位高度将达到多少m．
（3）如果水位的变化规律不变，按上述函数预测，再持续2小时，水位的高度： .
此时函数图象（线段AB）向 延伸到对应的位置，这时水位高度约为 m.
5.1m
右
5.1
知识讲解
1.小明所在学校与家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家.如图，能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用时间t(分)之间的关系图象的是（ ）
D
随堂练习
2.某工厂投入生产一种机器，每台成本y（万元/台）与生产数量x（台）之间是函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x（单位：台） 10 20 30
y（单位：万元/台） 60 55 50
C
则y与x之间的解析式是（ ）
A.y=80- 2x B.y=40+ 2x
C. y=65 x
D.y=60x
随堂练习
3.用列表法与解析式法表示n边形的内角和m（单位：度）关于边数n的函数.
解：因为n表示的是多边形的边数，所以n是大于等于3的自然数，列表如下：
n 3 4 5 6 …
m …
所以m=（n-2）·180°（n≥3，且n为自然数）.
180
360
540
720
提示：n边形的内角和公式是:(n-2) ×180°.
随堂练习
4.用解析式法与图象法表示等边三角形的周长l关于边长a的函数.
a … 1 2 3 4 …
l … 3 6 9 12 …
描点、连线：
用描点法画函数l=3a的图象.
O
2
x
y
1
2
3
4
5
8
6
4
10
12
解：因为等边三角形的周长l是边长a的3倍，所以周长l与边长a的函数关系可表示为l=3a（a＞0）.
随堂练习
函数的表示方法
解析式法：反映了函数与自变量之间的数量关系
列表法：反映了函数与自变量的数值对应关系
图象法：反映了函数随自变量的变化而变化的规律
三种表示方法得优缺点
课后小结

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