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第二十三章 一次函数
23.1 一次函数的概念
目录 CONTENTS
学习目标
情境导入
知识讲解
随堂练习
课后小结
1
2
3
4
5
1.理解一次函数的概念，利用定义求未知字母的值.
2.能辨别一次函数与正比例函数的区别与关系.
3.结合具体情境意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式.（重点）
4.能利用一次函数解决简单的实际问题.（难点）
学习目标
把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少xcm，宽不变，长方形的面积y（单位：cm2）随x的变化而变化.
情境导入
10
5
x
长减少x(cm) 1 2 3 4 …
长方形面积y(cm ) 45 40 35 30 …
观察规律发现：y随x均匀变化.
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.其中k叫作比例系数.
知识点一 一次函数的概念
知识讲解
一次函数的特点：
（1）解析式中自变量x的次数是1次;
（2）比例系数k≠0；
（3）常数项：通常不为0，但也可以等于0.
问题1 一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体,弹簧伸长2cm.
(1)求弹簧的长度y(单位:cm)关于所挂物体质量x(单位:kg)的函数解析式;
(2)当挂5kg的物体时，弹簧的长度是多少
解：(1) y关于x的函数解析式为y=2x+12.
知识讲解
(2) 把x=5代入y=2x+12，得y=2×5+12=22
因此，当挂5kg的物体时，弹簧的长度是22cm.
问题2 一次函数y=kx+b，当x=1时，y=5；当x=-1时，y=1.求k和b的值.
知识讲解
解：∵当x=1时，y=5；当x=-1时，y=1;
∴
解得k=2，b=3.
问题3 已知函数y=(m-2)x3-|m|+m+7(m是常数).当m为何值时,y是x的一次函数？
知识讲解
解：∵自变量x的次数为1：3-|m|=1，解得
|m|=2，即m=2或m=-2；
又∵比例系数不为0：m-2≠0，即m≠2
∴当m=2时，y是x的一次函数.
利用定义求一次函数y=kx+b解析式时，必须保证：
(1)k≠0；(2)自变量x的次数是“1”.
知识点二 一次函数与正比例函数的关系
当b=0时，y=kx+b 即y=kx(k≠0)，此时该一次函数是正比例函数.
知识讲解
正比例函数是一种特殊的一次函数.
问题1 如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2m/s.
（1）求小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数解析式．它是一次函数吗？是正比例函数吗
（2）求第2.5s时小球的速度.
知识讲解
解：(1)v=2t,是一次函数，也是正比例函数.
(2)将t=2.5s代入v=2t中，得v=5m/s.
问题2 下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
知识讲解
（1）是一次函数，又是正比例函数；
（4）是一次函数.
（1）y=-8x；
（2）y=-
（3）y=5x2+6;
（4）y=-0.5x-1
问题3 已知函数y=(m-2)x+4-m2
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数？
（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数？
知识讲解
解：（1）∵比例系数不为0：m-2≠0，即m≠2
∴当m≠2时，这个函数是一次函数.
（2）∵常数项=0，即4-m2=0
解得m=-2
即m=-2时，这个函数是正比例函数.
知识点三 确定一次函数的解析式
(1)根据题意找出各个量之间的数量关系；
(2)根据数量关系写出含有两个变量的等式；
(3)将等式变形为函数的解析式(即用含自变量的式子表示函数).
知识讲解
问题1 小丽同学发现一个水龙头未拧紧，经调查这个水龙头每分钟会滴出120滴水，每滴水约0.05毫升.若这个未拧紧的水龙头滴水x分钟，滴水量为y毫升，则y与x之间的关系式是（　　）
A.y=6x B.y=120x C.y=0.05x D.y=0.05x+120
知识讲解
A
问题2 手机初始电量为20%，充电速度为每小时增加 30%的电量，手机当前电量y（单位：%）与充电时间x（单位：小时）之间的关系式为 .
知识讲解
y=20+30x (0≤x≤ )
注意变量的实际意义，手机电量最多100%.
1.已知函数y=2x2a+b+a+2b是正比例函数，则a= ,b= .
随堂练习
2.下列问题中，是正比例函数的是（　　）
A.矩形面积固定，长和宽的关系
B.正方形面积和边长之间的关系
C.三角形的面积一定，底边和底边上的高之间的关系
D.匀速运动中，速度固定时，路程和时间的关系
D
随堂练习
3.今年植树节，同学们种的树苗高约1.80米，据介绍，这种树苗在10年内平均每年长高0.35 米，则树高y与年数x之间的函数关系式是 ，它是 函数，同学们在3年之后毕业，则这些树高 米.
y=1.8+0.35x
随堂练习
一次
2.85
4.一台机器开始工作时油箱中储油4升，如果每小时耗油 0.5升，那么油箱中所剩油y(升)与它工作时间t(小时)之间的函数关系式是（　　）
A.y=0.5t B.y=4-0.5t C.y=4+0.5t D.y=
随堂练习
B
5.一种移动通讯服务的收费标准为:每月基本服务费为30元，每月免费通话时间为120分，以后每分收费0.4元.
(1)写出每月话费y元与通话时间x(x>120)的函数关系式;
(2)分别求每月通话时间为100分，200分的话费.
随堂练习
解：(1) y=0.4x-18(x>120).
(2)当x=100时，y=30元；当x=200时，y=62元.
一次函数的概念
利用定义求未知字母的值
辨别一次函数与正比例函数的区别与关系
结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式
课后小结
利用一次函数解决简单的实际问题

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