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24.2 数据的离散程度
24.2第1课时 离差与方差
1.理解离差、离差平方和的定义，能准确计算一组数据的离差与离差平方和.
2.掌握方差的概念、计算公式和求解步骤，能通过方差判断数据的波动大小（稳定性）.（重点）
3.理解用样本方差估计总体方差的统计思想，能结合实际问题完成估计过程.（难点）
学习目标
某工厂生产了两批共1000个乒乓球，标准直径为40mm.质检人员从两批产品中各随机抽取5个乒乓球，测得直径数据（单位：mm）如下：
第一批样本：39.8、40.0、40.2、39.9、40.1
第二批样本：39.5、40.3、39.7、40.5、39.0
情境导入
平均数都为40
想一想：两批样本的平均直径都是40mm，为什么实际产品的质量感觉有差异？
知识点一 离差与离差平方和
知识讲解
一般地，有n个数据x1、x2，，xn，用表示它们的平均数，我们把xi- (i=1,2,，n)叫做xi关于平均数的离差或偏差.
特征：用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，反映数据偏离平均数的方向和程度；但一组数据的离差总和为0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异.
知识讲解
为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和，我们把
(x1- +(x2- + + (xn-
叫作这n个数据关于平均数的离差平方和，记作“d ”.
离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况.
问题1 已知一组数据：2、4、6、8、10，求这组数据的离差和离差平方和.
知识讲解
解：=6.
离差：2-6=-4、4-6=-2、 6-6=0、8-6=2、10-6=4.
离差平方和：( 4) +( 2) +0 +2 +4 =16+4+0+4+16=40.
问题2 某工厂生产了两批共1000个乒乓球，标准直径为40mm.质检人员从两批产品中各随机抽取5个乒乓球，测得直径数据（单位：mm）如下：
第一批样本：39.8、40.0、40.2、39.9、40.1
第二批样本：39.5、40.3、39.7、40.5、39.0
计算两批乒乓球样本的离差平方和，并比较波动大小.
知识讲解
解：=.
d1 =(39.8 40) +(40.0 40) ++(40.1 40) =0.1
d2 =(39.5 40) +(40.3 40) + +(39.0 40) =1.68
第二批离差平方和更大，说明其波动更明显.
知识点二 方差
把离差的平方的平均数
叫作这组数据的方差，记作“s ”
知识讲解
方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量.方差越大，数据的波动程度越大;
方差越小，数据的波动程度越小.
问题1 计算数据：3、5、7、9、11的方差.
知识讲解
解：=7.
s =[(3 7) +(5 7) +(7 7) +(9 7) +(11 7) ]= =8.
问题2 某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表：
知识讲解
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢？
知识讲解
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
解：=7.537，
=7.515
甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大.
知识讲解
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
解：=0.010，
=0.002
，乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉米产量波动较小，稳定性较好.
知识讲解
甲种甜玉米的产量
乙种甜玉米的产量
用折线图感受波动曲线的波动程度，关联其方差的大小.方差越小，数值变化幅度小、波动平缓；反之，方差越大，折线图会呈现更剧烈的上下起伏.
问题3 甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如下表：
知识讲解
甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10
乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9
哪名射击运动员的发挥更稳定？
解：=8.7
=8.6
=2.41
==1.04
所以乙射击运动员发挥更稳定.
知识点三 用样本方差估计总体方差
当总体数量庞大或调查具有破坏性时，无法计算总体方差，需用样本方差估计总体方差.
知识讲解
一般步骤：
① 确定总体（如一批产品的某项指标）；
② 随机抽取样本；(样本需随机抽取、具有代表性（避免偏差）
③ 计算样本方差；
④ 用样本方差作为总体方差的估计值.
问题1 某果园种植了500棵苹果树，随机抽取20棵，测得每棵树的苹果产量（单位：kg）如下：
120、115、125、130、118、122、128、116、124、126、132、119、123、127、131、117、129、121、133、114
估计这批苹果树产量的总体方差.
知识讲解
解：=123.
s =[(120 123) +(115 123) + +(114 123) ]= .
根据样本估计总体，这批苹果树产量的总体方差为32.6kg .
方差的单位就是原数据单位的平方，它只是一个单位，没有实际意义.
问题2 自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差(实际含量-标准含量).甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为500mL的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取10瓶饮料进行测量，结果(单位:mL)如表所示：
知识讲解
甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501
乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499
知识讲解
(1)如果每瓶饮料含量的误差的绝对值超过10mL为不合格品，两条灌装线的灌装质量是不是都合格
甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501
乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499
甲组误差/ml 1 -4 -2 -1 3 -2 5 -2 1 1
乙组误差/ml -4 -7 4 -5 0 6 4 5 -2 -1
甲、乙灌装线灌装的误差绝对值最大分别为5mL、7mL，两者都小于10mL，因此两条灌装线灌装的质量都是合格的.
知识讲解
(1)哪条灌装线的灌装质量更好？
甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501
乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499
解：=500
=500
=6.6
==18.8
甲灌装线饮料实际含量与标准含量的平均差异更小.根据样本估计总体，甲灌装线的灌装质量更好.
1.若甲、乙、丙、丁四位同学一学期4次数学测试的平均成绩恰好都是85分，方差分别为=0.80， =1.31， =1.72， =0.42，则成绩最稳定的同学是(　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
D
随堂练习
2. 小林的妈妈利用业余时间在小区摆地摊,他对某一周7天的收入数据进行分析,并列出方差公式:
=(90 -2+ (100 -3+ (110 -],则该组数据的平均数和方差分别为(　　)
A.100,　　　　B.100,60　　
C.110,　　　　D.110,70
随堂练习
A
解：=100.
s = (90 -100 2+ (100 -3+ (110 -100] = .
3. 为备战运动会,某县区对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试,他们射击测试成绩的平均数 (单位:环)及方差s2如下表所示:
根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛应选择 .
随堂练习
甲 乙 丙 丁
9.6 8.9 9.6 9.6
s2 1.4 0.8 2.3 0.8
解：甲、丙、丁的平均成绩较好,而丁成绩的方差更小,成绩更稳定.
丁
4. 为迎接“外研社杯”全国英语演讲大赛.某市举行优秀学生选拔赛,学校为了迎接比赛,特组织学生进行英语口语比赛训练,把20名学生分成甲、乙两个小组,训练测试成绩如下(单位:分):
甲组:76,90,84,86,87,86,81,82,83,85；
乙组:82,84,85,89,79,91,89,80,79,74.
判断哪个小组学生的成绩比较整齐.
随堂练习
甲组:76,90,84,86,87,86,81,82,83,85；
乙组:82,84,85,89,79,91,89,80,79,74.
判断哪个小组学生的成绩比较整齐.
随堂练习
解：=84
=83.2
=13.2
==26.36
所以甲组学生的成绩比较整齐.
5. 某外贸公司要出口一批规格为200克/盒的红枣,现有甲、乙两个厂家提供货源,它们的价格相同,品质也相近.质检员从两厂产品中各随机抽取15盒进行检测,测得它们的平均质量均为200克,每盒红枣的质量如图所示,则产品更符合规格要求的厂家是 .(填“甲”或“乙”)
随堂练习
甲
离差与方差
离差与离差平方和
用样本方差估计总体方差
方差不受数据个数影响
课后小结
离差可以刻画每个数据与平均数的差异
方差
离差平方和可以刻画一组数据的离散程度
局限性
方差越大，数据的波动程度越大;方差越小数据的波动程度越小
24.2第2课时用方差作决策
学习目标
情境导入
知识讲解
随堂练习
课后小结
目 录
学习目标
1.应用方差作决策问题；（重点）
2.综合运用平均数、众数、中位数和方差解决实际问题.（难点）
现要从甲，乙两名射击选手中挑选一名射击选手参加比赛.若你是教练，你认为挑选哪一位比较合适？
甲，乙两名射击选手的测试成绩统计如下：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数 7 8 8 8 9
乙命中环数 10 6 10 6 8
情境导入
选谁呢？
1.在解决实际问题时，方差的作用是什么？
反映数据的波动大小．
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
可用样本方差估计总体方差．
2.先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，
再利用样本方差来估计总体数据的波动情况．
知识点 根据方差作决策
知识讲解
例 某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近 10 次选拔赛中，他们的成绩 (单位： cm) 如下：
甲：585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙：613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
(1) 这两名运动员的运动成绩各有何特点？
由上面计算结果可知：甲队员的平均成绩较好，也比较稳定，乙队员的成绩相对
不稳定．但甲队员的成绩不突出，乙队员和甲队员相比比较突出．
(585+596+610+598+612+597+604+600+613+601)=601.6，s2甲 ≈ 65.84；
(613+618+580+574+618+593+585+590+598+624)=599.3，s2乙 ≈ 284.21．
知识讲解
队员 平均成绩 方差
甲 9.7 2.12
乙 9.6 0.56
丙 9.8 0.56
丁 9.6 1.34
1.甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩(环)及方差统计如表，现要
根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是( )
A. 甲 B. 乙 C.丙 D.丁
C
随堂练习
2.某篮球队对运动员进行 3 分球投篮成绩测试，每人每天投 3 分球 10 次，对甲、乙两名队员在五天中进球的个数统计结果如下：
队员 每人每天进球数 甲 10 6 10 6 8
乙 7 9 7 8 9
经过计算，甲进球的平均数为 = 8，方差为 = 3.2
随堂练习
(1) 求乙进球的平均数和方差；
(2) 现在需要根据以上结果，从甲、乙两名队员中选出一人去参加 3 分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员去？为什么？
(2) 应该选乙队员去参加 3 分球投篮大赛.
因为甲乙的平均成绩一样，s2甲 = 3.2，s2乙 = 0.8，
所以 s2甲＞s2乙，说明乙队员进球数更稳定.
解：(1) 乙进球的平均数为
== 0.8
随堂练习
用方差作决策
方差的作用：比较数据的稳定性
利用样本方差估计总体方差
课后小结

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