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第二十四章 数据的分析
24.3 数据的四分位数
目录 CONTENTS
学习目标
情境导入
知识讲解
随堂练习
课后小结
1
2
3
4
5
1.理解百分位数的定义，能初步感知百分位数对数据分布的刻画作用.
2.熟练掌握四分位数（Q1、Q2、Q3）的概念、计算步骤，能准确计算一组数据的四分位数.（重点）
3.认识箱线图的构成要素，会根据数据绘制箱线图，能通过箱线图分析数据的分布特征（范围、集中趋势、对称性等）.（重点）
4.能运用四分位数和箱线图解决实际问题，实现数据分布的比较与决策，体会统计量的实用价值.（难点）
学习目标
某银行有A、B两个理财产品经营团队.近三年，这两个团队负责经营12项理财产品，收益率（单位：%）如下：
情境导入
想一想：仅通过平均数和方差，能知道A团队有多少产品收益率高于4%？B团队收益率集中在哪个区间吗？
A 4.77 3.98 6.44 4.89 2.15 3.85 3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10
B 3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60 4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91
如果你是一位购买理财产品的投资者，会选择哪个团队的产品？
3.862
=3.863
=1.327
=0.117
知识点一 百分位数
知识讲解
将一组数据按从小到大的顺序排列，把数据分成100等份的每一分点处对应的值叫作这组数据的百分位数.
百分位数反映数据的分布信息，某一百分位数表示该组数据中小于该值的数据占比恰好为对应百分比（如50%分位数表示有50%的数据小于它）.
中位数是特殊的百分位数（50%分位数），是百分位数的简化形式.
问题1 某地区1000名职工的月薪按从小到大排列，其80%分位数为8500元，这句话的实际含义是什么？
知识讲解
解：该地区1000名职工中，月薪小于8500元的职工约占 80%，月薪大于8500元的职工约占20%.
知识点二 四分位数
将一组数据按从小到大排列后，用三个特殊分位数将数据分成四等份，每份占25%；四分位数是特殊的百分位数.
知识讲解
Q1(第一四分位数/下四分位数)：25%分位数，小于该值的数据占25%；
Q2(第二四分位数)：50%分位数（即中位数），小于该值的数据占50%；
Q3(第三四分位数/上四分位数)：75%分位数，小于该值的数据占75%.
知识讲解
计算步骤：
1.数据排序：将数据按从小到大排列；
2.找Q2：计算中位数；
3.找Q1：取Q2左侧数据的中位数；
4.找Q3：取Q2右侧数据的中位数.
注意：数据个数为n，n为奇数取中间位置数据，n为偶数取中间两个数据的平均值.
知识讲解
问题1 一组数据1，7，10，4，15，12，9，计算四分位数.
①排序：1，4，7，9，10，12，15
②找Q2(第二四分位数)：9
③找Q1(第一四分位数)：4
④找Q3(第三四分位数)：12
知识讲解
问题2 某银行有A、B两个理财产品经营团队.近三年，这两个团队负责经营12项理财产品，收益率（单位：%）如下：
A 4.77 3.98 6.44 4.89 2.15 3.85 3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10
B 3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60 4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91
分别计算两个团队的四分位数.
知识讲解
2.02 2.15 3.18 3.21 3.64 3.85 3.98 4.10 4.11 4.77 4.89 6.44
3.915
第二四分位数
A团队
3.195
第一四分位数
4.44
第三四分位数
A团队：产品收益率小于3.195%的项目数占总数的25%，产品收益率小于3.915%的项目数占总数的50%，产品收益率大于4.44%的项目数占总数的25%.产品收益率在3.195%至4.44%之间的顶目数占总数的50%.
知识讲解
3.18 3.40 3.60 3.67 3.84 3.87 3.91 3.99 4.10 4.15 4.21 4.44
3.89
第二四分位数
B团队
3.635
第一四分位数
4.125
第三四分位数
B团队：产品收益率小于3.635%的项目数占总数的25%，产品收益率小于3.89%的项目数占总数的50%，产品收益率大于4.125%的项目数占总数的25%.产品收益率在3.635%至4.125%之间的顶目数占总数的50%.
知识点三 箱线图
知识讲解
箱线图主要由矩形箱体和从箱体延伸出的两条水平线段(称为须线)构成，由最小值、Q1(第一四分位数）、Q2(第二四分位数）、Q3(第三四分位数）、最大值五个数值画出.箱线图可以按横向方向或者竖直方向画.
知识讲解
最小值
Q1
Q2
Q3
最大值
四分位距
直观反映数据的分布范围、集中区间、对称性（箱体中Q2居中则分布较对称）、波动程度（箱体和须线越短，波动越小.
箱体
须线
须线
知识讲解
用箱线图比较数据的步骤:
①比较形状：比较两个箱线图的长度和对称性，箱体较长的图数据波动程度大；
②比较中位数：中位数较高的箱线图表示其数据整体水平较高；
③比较箱体（四分位距）：箱体位置更高，数据集中趋势更大，波动小；
④观察须线：须线较长，数据波动较大；
⑤综合各方面判断，得出结论.
问题1 根据数据：3、5、6、8、9、10、12、14，绘制箱线图.
知识讲解
解：由题意：
最小值=3，最大值=14
Q2=8.5
Q1=5.5
Q3=11
0
3
6
9
12
15
问题2 根据前面计算的A、B 团队的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，并比较两个团队产品收益率的特点.
知识讲解
知识讲解
① 波动程度：A团队箱体和须线更长，说明收益率波动更大，风险更高；
② 集中区间：B团队收益率集中在 3.635-4.125 之间，分布更集中；
③ 对称性：B团队箱体中Q2居中，分布更对称；A团队右须线更长，存在高收益率极端值；
④ 决策建议：稳健型投资者选B团队，激进型投资者可考虑A团队.
问题2 甲、乙两地同一天的气温记录如下表所示.
知识讲解
时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00
甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
分别计算甲、乙两地气温的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较甲、乙两地的气温特点.
甲排序 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24
乙排序 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21
知识讲解
甲排序 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24
乙排序 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21
甲：
最小值=9，最大值=24
Q2=16，Q1=11.5，Q3=21
乙：
最小值=9，最大值=24
Q2=16，Q1=13.5，Q3=18.5
知识讲解
甲、乙两地气温的中位数相同，但甲地气温的波动明显比乙地的大，甲地约有25%时刻的气温高于乙地的最高温度，约有25%时刻的气温低于乙地的最低温度.
1.现有一组数据分别为:106,113,96,98,100,102,104,112,则上四分位数是(　　)
A.113 B.112 C.106 D.109
D
随堂练习
从小到大排序 96 98 100 102 104 106 112 113
103
Q2
2. 有一组被墨水污染的数据:4,17,7,15,★,★，18,15,10,4,4,11,这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是(　　)
A.这组数据的下四分位数是4
B.这组数据的中位数是10　　
C.这组数据的上四分位数是15
D.被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13
随堂练习
B
3. 某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图(如图)，若每班有42名学生，则三个班级的第11名中， 班的分数最高.(填“甲”“乙”或“丙”)
随堂练习
解：第11名刚好对应各班上的上四分位数，从箱线图可以看出丙班的上四分位数最大.
丙
4. 小明抽样调查了两个不同年龄段的人群晚上休息的时间，制作了统计图：
随堂练习
(1)这两个年龄段的人群晚上休息的时间有什么特点？
(2)如果一组是青年组，另一组是老年组，那么你认为哪组可能是青年组？
解：(1)A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段的人群.
(2)A年龄段的人群晚上休息时间比B年龄段人群晚，而青年人晚上休息时间普遍晚于老年人，所以A组可能是青年组.
5. 甲、乙两组的测试成绩如下:
甲:91,96,70,89,60,70,100,80,92,98；乙:92,93,70,88,82,75,96,80,92,95.
(1)求甲组数据的四分位数:
(2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，绘制甲组的箱线图;
(3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法.
随堂练习
解：(1)将甲组从小到大排列为60,70,70,80,89,91,92,96,98,100,
Q2=90，Q1=70，Q3=96.
(3)根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组相同，但甲组成绩明显比乙组的波动大.
数据的
四分位数
百分位数
箱线图
箱线图的构成和画法
课后小结
四分位数
比较数据的步骤和方法
解决实际问题，做决策建议
计算步骤
比较数据分布情况

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