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提优点5　极化恒等式与等和线
【知识拓展】
1.极化恒等式:a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].
(1)几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
(2)模式:在平行四边形ABCD中,O是对角线交点,则:
①·(||2－||2)(平行四边形模式);
②·＝||2－||2(三角形模式).
2.平面向量共线定理
已知平面内一组基向量,,且＝λ＋μ(λ,μ∈R),若λ＋μ＝1,则A,B,P三点共线;反之亦然.
3.平面向量等和线定理
平面内一组基底,,且＝λ＋μ(λ,μ∈R),若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上,且k＝,则λ＋μ＝k(定值),反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.
(1)当等和线恰为直线AB时,k＝1;
(2)当等和线在O点和直线AB之间时,k∈(0,1);
(3)当直线AB在O点和等和线之间时,k∈(1,＋∞);
(4)当等和线过O点时,k＝0.
【类型突破】
类型一　利用极化恒等式求向量的数量积
例1 (1)(2023·全国乙卷)已知正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,则·＝　　　　.
(2)(2025·宁波调研)在平面直角坐标系中,A(－12,0),B(0,6),点P在圆O:x2＋y2＝50上.若·≤20,则点P横坐标的取值范围是　　　　.
答案　(1)3　(2)[－5,1]
解析　(1)法一(公式法)　在正方形ABCD中,E为AB的中点,且AB＝2,
所以||＝||＝,
的夹角为∠DEC,
且cos∠DEC＝,
所以·＝3.
法二(基底法)　在正方形ABCD中,E为AB的中点,且AB＝2,
所以·＝()·()
＝()·()＝||2－||2
＝4－1＝3.
法三(坐标法)　以A为坐标原点,,的方向分别为x,y轴的正方向,
建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,2),E(1,0),C(2,2),
所以＝(1,2),＝(－1,2),
所以·＝1×(－1)＋2×2＝3.
法四(极化恒等式)　设CD的中点为F,
则EF＝BC＝2,
由极化恒等式得·＝||2－||2＝22－×22＝3.
(2)法一(坐标法)　设P(x,y),
则＝(－12－x,－y),
＝(－x,6－y),由·≤20,
得(－12－x)(－x)＋(－y)(6－y)≤20,
即(x＋6)2＋(y－3)2≤65,
所以点P为圆(x＋6)2＋(y－3)2≤65上或其内部一点,
又点P在圆x2＋y2＝50上,
联立得
解得
即P为圆x2＋y2＝50的劣弧MN上的一点(如图所示虚线部分).
易知－5≤x≤1.
法二(极化恒等式)　设AB的中点为E,则E(－6,3),
由极化恒等式知·－45≤20,即≤65,
所以点P在以E为圆心,以为半径的圆上或其内部,
即圆E:(x＋6)2＋(y－3)2＝65.
联立圆O:x2＋y2＝50与圆E:(x＋6)2＋(y－3)2＝65得x＝1,y＝7或x＝－5,y＝－5.
易求得圆O与x轴的交点为(－5,0),(5,0),所以点P横坐标的取值范围是[－5,1].
规律方法　在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤
(1)取第三边的中点,连接向量的起点与终点;
(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;
(3)利用平面几何法或正、余弦定理求中线及第三边的长度,从而求出数量积.如需进一步求数量积的范围,可以用点到直线的距离最小,或用三角形两边之和大于第三边,或用基本不等式等求得中线长的最值(范围).
注:对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量,再利用极化恒等式.
训练1 (1)(2025·武汉质检)已知△ABC是边长为4的等边三角形,P为△ABC所在平面内一点,则·()的最小值为　　　　.
(2)(2025·重庆诊断)如图,在平面四边形ABCD中,O为BD的中点,且OA＝3,OC＝5.若·＝－7,则·＝　　　　.
答案　(1)－6　(2)9
解析　(1)如图,取BC中点D,
连接AD,PD.
可知AD＝2,由平行四边形法则知＝2,
则·()＝2·.
在△PAD中,取AD的中点E,连接PE,
则AE＝,由极化恒等式得,
2·＝2()＝2(－3).
因为P为△ABC所在平面内一点,
所以当点P与点E重合时,即PE＝0时,有最小值,最小值为－6.
(2)法一　由极化恒等式可得·＝－7,解得||＝8,
故由极化恒等式可得·＝9.
法二　在平面四边形ABCD中,O为BD的中点,且OA＝3,OC＝5,
∴＝0.
·＝－7,
则·＝()·()
＝···
＝·()－
＝32－＝－7,
∴＝16,
∴||＝||＝4,
∴·＝()·()
＝···
＝－·[－()]＋
＝－42＋0＋52＝9.
类型二　利用等和线求基底系数和的值
例2 (1)如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若＝λ＋μ(λ,μ∈R),则λ＋μ＝(　　)
A.1 B.
C. D.
(2)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD＝AB,BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1,λ2为实数),则λ1＋λ2的值为　　　　.
答案　(1)B　(2)
解析　(1)法一　∵E为线段AO的中点,
∴()＝
＝＝λ＋μ,
∴λ＝,μ＝,则λ＋μ＝.
法二(等和线法)　
如图,AD为,为基底值是1的等和线,过E作AD的平行线,
设λ＋μ＝k,
则k＝.
由图易知,故选B.
(2)法一　由题意作图如图.
∵在△ABC中,
＝()
＝－＝λ1＋λ2,
∴λ1＝－,λ2＝.故λ1＋λ2＝.
法二(利用等和线)　
如图,过点A作,连接DF.
设AF与BC的延长线交于点H,
如图,BH为值是1的等和线,
设λ1＋λ2＝k,
则k＝,
由图易知,.因此λ1＋λ2＝.
规律方法　利用等和线求基底系数和的步骤
(1)确定值为1的等和线;
(2)平移该线,作出满足条件的等和线;
(3)从长度比或点的位置两个角度,计算满足条件的等和线的值.
训练2 在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM的中点,＝λ＋μ,则λ＋μ的值为(　　)
A. B.
C. D.1
答案　A
解析　法一　设＝t,
则()＝()
＝,
∴λ＝,μ＝,∴λ＋μ＝.
法二(等和线法)　如图,BC为以,为基底值是1的等和线,过N作BC的平行线,设λ＋μ＝k,
则k＝.
由图易知,,故选A.
【精准强化练】
一、单选题
1.设向量a,b满足|a＋b|＝,|a－b|＝,则a·b＝(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　A
解析　由极化恒等式得a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]＝(|a＋b|2－|a－b|2)＝×(10－6)＝1.
2.如图,在四边形MNPQ中,若,||＝6,||＝10,·＝－28,则·＝(　　)
A.64 B.42
C.36 D.28
答案　C
解析　由·
＝36－＝－28,
解得＝64,所以＝64,
所以··＝100－64＝36.
3.(2025·泉州质检)已知半径为2的圆O上有三点A,B,C,满足＝0,点P是圆内一点,则··的取值范围是(　　)
A.[－4,14) B.(－4,14]
C.[－4,4) D.(－4,4]
答案　A
解析　由＝0得,
在平行四边形ABOC中,OB＝OC,故易知平行四边形ABOC是菱形,且BC＝2.
设菱形ABOC对角线的交点为E,
由极化恒等式得·－1,
·－3,
所以··＝2－4.
因为P是圆内一点,所以0≤||<3,
所以－4≤2－4<14,
即－4≤··<14.故选A.
4.(2025·沧州模拟)如图,△BCD与△ABC的面积之比为2,点P是区域ABDC内(含边界)任意一点,且＝λ＋μ(λ,μ∈R),则λ＋μ的取值范围是(　　)
A.[0,1] B.[0,2]
C.[0,3] D.[0,4]
答案　C
解析　过点P作GH∥BC,分别交AC,AB的延长线于点G,H,过点D作C'B'∥GH,分别交AC,AB的延长线于点C',B',则＝x＋y,且x＋y＝1.
当点P位于点D处时,G,H分别位于C',B'处,
∵△BCD与△ABC的面积之比为2,
∴AC'＝3AC,AB'＝3AB,
此时,,
∴＝x＋y＝x＋y
＝x·3＋y·3＝μ＋λ,
∴μ＝3x,λ＝3y,即λ＋μ＝3x＋3y＝3.
当点P位于点A处时,显然有λ＋μ＝0,
∴λ＋μ的取值范围是[0,3].故选C.
5.(2025·广州调研)如图,在边长为2的正六边形ABCDEF中,动圆Q的半径为1,圆心Q在线段CD(含端点)上运动,P是圆Q上及内部的动点.若向量＝m＋n(m,n∈R),则m＋n的取值范围是(　　)
A.(1,2] B.[5,6]
C.[2,5] D.[3,5]
答案　C
解析　连接BF,过线段BC的中点P1作BF的平行线,交AB的延长线于点G,
分别以D,C为圆心,1为半径作圆,
过AB延长线上点H作平行于BF的直线HP2,且与圆D相切于点P2,连接AP1,AP2,如图所示.
设＝m＋n,
由等和线定理可知m＋n＝＝2,
此时m＋n取最小值,点P位于点P1处;
同理,设＝m＋n,
由等和线定理可知m＋n＝＝5,
此时m＋n取最大值,点P位于点P2处.
综上可知,m＋n∈[2,5].
二、多选题
6.在△ABC中,A＝30°,BC＝2,则·的值可能是(　　)
A.0 B.2
C.4 D.13
答案　BC
解析　因为A＝30°,BC＝2,所以＝4,
则△ABC外接圆的半径为2.
如图所示,圆O的半径为2,BC是圆O的一条弦,点A在圆O的优弧上,D是线段BC的中点,连接DO并延长交圆O于点E.
因为,,
所以·－1.
因为点A在圆O的优弧上,
所以1<||≤||＝2＋,
所以·的取值范围是(0,6＋4].结合选项可得选BC.
7.阅读以下材料,解决本题:我们知道①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2;②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.由①－②得(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b a·b＝
,我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”,它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形ABCD中,BD＝8,·＝48,E为BD中点,且＝2,则(　　)
A.AE＝8 B.AE＝4
C.·＝240 D.·＝120
答案　AC
解析　因为·＝48,BD＝8,
由极化恒等式得
·
＝＝AE2－
＝AE2－16＝48,所以AE＝8,
又2,所以EC＝2AE＝16,
由极化恒等式得
·
＝＝CE2－＝256－16＝240.
三、填空题
8.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,如图所示,点C在以O为圆心的弧上运动,若＝x＋y(x,y∈R),则x＋y的最大值是　　　　.
答案　2
解析　(等和线法)如图所示,设x＋y＝k,则直线AB为以,为基底k＝1的等和线,所有与直线AB平行的直线中,切线离圆心O最远,即此时k取得最大值,易知OE⊥AB,
因为OA＝1,∠AOB＝,
所以OE＝,则k＝＝2,
即x＋y的最大值为2.
9.(2025·长沙模拟)已知点C为扇形AOB的弧上任意一点,且∠AOB＝60°,若＝λ＋μ(λ,μ∈R),则λ＋μ的取值范围是　　　　.
答案　
解析　法一　设λ＋μ＝k,
如图,当C位于点A或点B时,A,B,C三点共线,所以k＝λ＋μ＝1;
由等和线定理可知,当点C运动到的中点时,λ＋μ最大,k＝λ＋μ＝,
所以λ＋μ∈.
法二　设圆O的半径为1,由已知可设O为坐标原点,OB所在直线为x轴,过O作x轴的垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
其中A,B(1,0),C(cos θ,sin θ),
其中∠BOC＝θ,θ∈.
由＝λ＋μ(λ,μ∈R),可得(cos θ,sin θ)＝λ＋μ(1,0),
整理得λ＋μ＝cos θ,λ＝sin θ,
解得λ＝,μ＝cos θ－,
则λ＋μ＝＋cos θ－
＝sin θ＋cos θ＝sin.
又θ∈,所以θ＋∈,
sin∈,
当且仅当θ＝时取到最大值1,
当θ＝0或θ＝时,取到最小值,
所以λ＋μ∈.
10.(2025·安庆调研)四边形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,AB＝2,CD＝2,EF＝1,点P满足·＝0,则·的最大值为　　　　.
答案　2
解析　因为,,
又点F分别是CD的中点,
所以＝－,所以,·＝()·()＝＝||2－＝||2－2,
又·＝0,所以PA⊥PB,
又点E是AB的中点,
所以PE＝AB＝1,
因为,
所以＝()2＝－2·,
即＝2·,
设<,>＝θ,||＝x,
则x2＝2×1×x×cos θ,所以x＝2cos θ,
所以·＝x2－2＝4cos2θ－2＝2cos 2θ,
所以当2θ＝0即θ＝0时,cos 2θ有最大值1,
即·有最大值为2.提优点5　极化恒等式与等和线
【知识拓展】
1.极化恒等式:a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].
(1)几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
(2)模式:在平行四边形ABCD中,O是对角线交点,则:
①·(||2－||2)(平行四边形模式);
②·＝||2－||2(三角形模式).
2.平面向量共线定理
已知平面内一组基向量,,且＝λ＋μ(λ,μ∈R),若λ＋μ＝1,则A,B,P三点共线;反之亦然.
3.平面向量等和线定理
平面内一组基底,,且＝λ＋μ(λ,μ∈R),若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上,且k＝,则λ＋μ＝k(定值),反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.
(1)当等和线恰为直线AB时,k＝1;
(2)当等和线在O点和直线AB之间时,k∈(0,1);
(3)当直线AB在O点和等和线之间时,k∈(1,＋∞);
(4)当等和线过O点时,k＝0.
【类型突破】
类型一　利用极化恒等式求向量的数量积
例1 (1)(2023·全国乙卷)已知正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,则·＝　　　　.
(2)(2025·宁波调研)在平面直角坐标系中,A(－12,0),B(0,6),点P在圆O:x2＋y2＝50上.若·≤20,则点P横坐标的取值范围是　　　　.
规律方法　在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤
(1)取第三边的中点,连接向量的起点与终点;
(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;
(3)利用平面几何法或正、余弦定理求中线及第三边的长度,从而求出数量积.如需进一步求数量积的范围,可以用点到直线的距离最小,或用三角形两边之和大于第三边,或用基本不等式等求得中线长的最值(范围).
注:对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量,再利用极化恒等式.
训练1 (1)(2025·武汉质检)已知△ABC是边长为4的等边三角形,P为△ABC所在平面内一点,则·()的最小值为　　　　.
(2)(2025·重庆诊断)如图,在平面四边形ABCD中,O为BD的中点,且OA＝3,OC＝5.若·＝－7,则·＝　　　　.
类型二　利用等和线求基底系数和的值
例2 (1)如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若＝λ＋μ(λ,μ∈R),则λ＋μ＝(　　)
A.1 B.
C. D.
(2)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD＝AB,BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1,λ2为实数),则λ1＋λ2的值为　　　　.
规律方法　利用等和线求基底系数和的步骤
(1)确定值为1的等和线;
(2)平移该线,作出满足条件的等和线;
(3)从长度比或点的位置两个角度,计算满足条件的等和线的值.
训练2 在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM的中点,＝λ＋μ,则λ＋μ的值为(　　)
A. B.
C. D.1
【精准强化练】
一、单选题
1.设向量a,b满足|a＋b|＝,|a－b|＝,则a·b＝(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
2.如图,在四边形MNPQ中,若,||＝6,||＝10,·＝－28,则·＝(　　)
A.64 B.42
C.36 D.28
3.(2025·泉州质检)已知半径为2的圆O上有三点A,B,C,满足＝0,点P是圆内一点,则··的取值范围是(　　)
A.[－4,14) B.(－4,14]
C.[－4,4) D.(－4,4]
4.(2025·沧州模拟)如图,△BCD与△ABC的面积之比为2,点P是区域ABDC内(含边界)任意一点,且＝λ＋μ(λ,μ∈R),则λ＋μ的取值范围是(　　)
A.[0,1] B.[0,2]
C.[0,3] D.[0,4]
5.(2025·广州调研)如图,在边长为2的正六边形ABCDEF中,动圆Q的半径为1,圆心Q在线段CD(含端点)上运动,P是圆Q上及内部的动点.若向量＝m＋n(m,n∈R),则m＋n的取值范围是(　　)
A.(1,2] B.[5,6]
C.[2,5] D.[3,5]
二、多选题
6.在△ABC中,A＝30°,BC＝2,则·的值可能是(　　)
A.0 B.2
C.4 D.13
7.阅读以下材料,解决本题:我们知道①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2;②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.由①－②得(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b a·b＝
,我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”,它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形ABCD中,BD＝8,·＝48,E为BD中点,且＝2,则(　　)
A.AE＝8 B.AE＝4
C.·＝240 D.·＝120
三、填空题
8.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,如图所示,点C在以O为圆心的弧上运动,若＝x＋y(x,y∈R),则x＋y的最大值是　　　　.
9.(2025·长沙模拟)已知点C为扇形AOB的弧上任意一点,且∠AOB＝60°,若＝λ＋μ(λ,μ∈R),则λ＋μ的取值范围是　　　　.
10.(2025·安庆调研)四边形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,AB＝2,CD＝2,EF＝1,点P满足·＝0,则·的最大值为　　　　.

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