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提优点6　奔驰定理与三角形四心
【知识拓展】
1.奔驰定理
如图,已知P为△ABC内一点,则有S1＋S2＋S3＝0(其中S1,S2,S3分别为△PBC,△PAC,△PAB的面积).
证明:设∠APB＝α,∠APC＝β,||＝x,
||＝y,||＝z.
根据三角形正弦定理面积公式得
S1＋S2＋S3yzsin[2π－(α＋β)]·xzsin βxysin α
＝－yzsin(α＋β)xzsin βxysin α,①
把①式两边与向量作数量积得
(S1＋S2＋S3)·
＝－x2yzsin(α＋β)＋x2yzsin βcos α
＋x2yzsin αcos β
＝x2yz[－sin(α＋β)＋sin βcos α＋sin αcos β]＝0.
同理:①式两边与向量,作数量积都得0.
但是S1＋S2＋S3,,三个向量垂直,而,,也不可能都为0,所以S1＋S2＋S3＝0.
该例对应的图形特别像奔驰汽车的标志,所以我们把上述结论称为奔驰定理,该定理对于推导出三角形的四心的向量结论有直接的作用.
2.三角形四心的向量表示及结论(利用奔驰定理自行完成证明)
(1)点O是△P1P2P3的重心 ＝0 ;
(2)点O是△P1P2P3的垂心 ··· tan P1·＋tan P2·＋tan P3·＝0 ∶∶＝tan P1∶tan P2∶tan P3(△P1P2P3不是直角三角形);
(3)点O是△P1P2P3的内心 a＋b＋c＝0 ∶∶＝a∶b∶c(其中a,b,c是△P1P2P3的三边,分别所对角P1,P2,P3);
(4)点O是△P1P2P3的外心 ||＝||＝|| sin 2P1＋sin 2P2＋sin 2P3＝0 ∶∶＝sin 2P1∶sin 2P2∶sin 2P3.
【类型突破】
类型一　利用奔驰定理解决与三角形面积比有关的问题
例1 (1)已知O是△ABC内部一点,满足＋2＋m＝0,且,则实数m＝　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　
(2)(2025·成都诊断)已知点A,B,C,P在同一平面内,,,,则S△ABC∶S△PBC＝　　　　.
答案　(1)4　(2)
解析　(1)法一　延长CO到点M(图略),
使得＝－,
因为＋2＋m＝0,
所以－,
即,
所以A,B,M三点共线,
又因为反向共线,
所以,
所以,
解得m＝4.
法二(奔驰定理法)　由奔驰定理得
S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0,
又＋2＋m＝0,
所以S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.
所以,解得m＝4.
(2)法一　∵,
∴以PQ为底的△PQR与△PQB的高之比为1∶3,
∴S△PQB＝3S△PQR,即S△PRB＝2S△PQR,
∵以BR为底的△PBR与△BCR的高之比为1∶3,
∴S△BCR＝3S△PBR＝6S△PQR,
∴S△PBC＝2S△PBR＝4S△PQR,
同理可得S△ACP＝S△ABQ＝6S△PQR,
∴
＝.
法二(奔驰定理法)　由,
得(),
整理得,
由,得(),
整理得＝－,
∴－,
整理得4＋6＋9＝0,
∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝.
规律方法　已知P为△ABC内一点,且x＋y＋z＝0(x,y,z∈R,xyz≠0,x＋y＋z≠0),则有
(1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝|x|∶|y|∶|z|;
(2),,
.
训练1 设O在△ABC的内部,D为AB的中点,且＋2＝0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为　　　　.
答案　4
解析　法一　∵D为AB的中点,
则(),
又＋2＝0,
∴＝－,∴O为CD的中点.
又∵D为AB的中点,
∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC,
则＝4.
法二(奔驰定理法)　
∵＋2＝0,
根据奔驰定理,
∴＝4.
类型二　奔驰定理和三角形的四心(四心在三角形内部)
考向1　奔驰定理与重心
例2 (2025·兰州模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,重心为G.若a＋bc＝0,则∠BAC＝　　　　.
答案　
解析　由G为△ABC的重心知＝0,
则＝－,
因此a＋bc(－)
＝＝0.
又,不共线,所以a－c＝b－c＝0,
即a＝b＝c.
由余弦定理得
cos∠BAC＝,
且0<∠BAC<π,所以∠BAC＝.
考向2　奔驰定理与外心
例3 已知点P是△ABC的外心,且＋λ＝0,C＝,则λ＝　　　　.
答案　－1
解析　依题意得,
sin 2A∶sin 2B∶sin 2C＝1∶1∶λ,
∴sin 2A＝sin 2B,
∴2A＝2B或2A＋2B＝π(舍),∴A＝B.
又C＝,∴A＝B＝,
又,∴λ＝＝－1.
考向3　奔驰定理与内心
例4 (2025·南阳质检)在△ABC中,AB＝2,AC＝3,BC＝4,O为△ABC的内心,若＝λ＋μ,则3λ＋6μ的值为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　C
解析　＝λ＋μ可化为
＋λ－λ＋μ－μ＝0,
整理得(1－λ)＋(λ－μ)＋μ＝0,
所以(1－λ)∶(λ－μ)∶μ＝4∶3∶2,
解得λ＝,μ＝,
所以3λ＋6μ＝3×＋6×＝3.
考向4　奔驰定理与垂心
例5 (2025·温州调研)如图,已知O是△ABC的垂心,且＋2＋3＝0,则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝(　　)
A.1∶2∶3 B.1∶2∶4
C.2∶3∶4 D.2∶3∶6
答案　A
解析　由奔驰定理得S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0,
又＋2＋3＝0,
所以S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶3,
又O是△ABC的垂心,
所以,,
即S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶3,
所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB
＝1∶2∶3.
易错提醒　涉及三角形的四心问题时,内心和重心一定在三角形内部,而外心和垂心有可能在三角形外部,上述定理及推论中的点都在三角形内部,解题时,要注意观察题目有无这一条件.
训练2 (1)设I为△ABC的内心,且2＋3＝0,则角C＝　　　　.
(2)设点P在△ABC内部且为△ABC的外心,∠BAC＝,如图.若△PBC,△PCA,△PAB的面积分别为,x,y,则x＋y的最大值是　　　　.
答案　(1)　(2)
解析　(1)由2＋3＝0,
可得a∶b∶c＝2∶3∶,
令a＝2k,b＝3k,c＝k,
则cos C＝,
又C∈(0,π),所以C＝.
(2)法一　据奔驰定理得,
＋x＋y＝0,
即＝2x＋2y,
平方得＝4x2＋4y2＋8xy||·||·cos∠BPC,
又∵点P是△ABC的外心,
∴||＝||＝||,
且∠BPC＝2∠BAC＝,
∴x2＋y2＋xy＝,
从而(x＋y)2＝＋xy≤,
解得0当且仅当x＝y＝时取等号,
∴(x＋y)max＝.
法二　S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C＝∶x∶y,
又∠BAC＝,∴sin 2A＝,
∵x＝sin 2B,y＝sin 2C,
∴x＋y＝(sin 2B＋sin 2C)
＝
＝sin,
又∵B∈,∴2B－∈,
∴sin∈,
∴x＋y∈,∴(x＋y)max＝.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2025·江苏部分学校联考)已知平面上四个点A,B,C,D,其中任意三点不共线.若··,则直线AD一定经过三角形ABC的(　　)
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
答案　D
解析　因为··,
所以·＝()·
＝··＝0,
所以AD⊥CB,即直线AD一定经过三角形ABC的垂心.故选D.
2.点O为△ABC内一点,若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2,设＝λ＋μ,则实数λ和μ的值分别为(　　)
A., B.,
C., D.,
答案　A
解析　根据奔驰定理,得3＋2＋4＝0,
即3＋2()＋4()＝0,
整理得,故选A.
3.已知O是△ABC内一点,＝0,·＝2且∠BAC＝60°,则△OBC的面积为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　∵＝0,
∴O是△ABC的重心,
∴S△OBC＝S△ABC,
∵·＝2,
∴||||cos∠BAC＝2,
∵∠BAC＝60°,∴||||＝4,
又S△ABC＝||||sin∠BAC＝,
∴△OBC的面积为.
4.(2025·成都诊断)已知点P,Q在△ABC内,若＋2＋3＝2＋3＋5＝0,则等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　根据奔驰定理得
S△PBC∶S△PAC∶S△ PAB＝1∶2∶3,
S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5,
∴S△PAB＝S△QAB＝S△ABC,
∴PQ∥AB,
又∵S△PBC＝S△ABC,S△QBC＝S△ABC,
∴.
5.(2025·石家庄质检)平面向量中有一个非常优美的结论:已知O为△ABC内的一点,△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC,则SA＋SB＋SC＝0.因其几何表示酷似奔驰的标志,所以称为“奔驰定理”.已知O为△ABC的内心,三个角所对的边分别为a,b,c,已知a＝3,b＝2,c＝5,则·＝(　　)
A.2－8 B.－2
C.－7 D.3－9
答案　A
解析　因为a＝3,b＝2,c＝5,
所以cos B＝,
因为O为△ABC的内心,
如图,设∠1＝∠OBC,∠2＝∠OBA,
由题意∠1＝∠2,
则SA∶SC
＝|BO||BC|sin∠1∶|BO||BA|sin∠2
＝a∶c,
同理可得SA∶SB∶SC＝a∶b∶c,
所以根据“奔驰定理”有a＋b＋c＝0,
所以a()＋b＋c()＝0,
即,
所以··()
＝·
＝2－8.
二、多选题
6.(2025·安徽皖江名校联考)已知△ABC,D为BC边的中点,若点P满足3＋2＝0,则下列说法正确的是(　　)
A.点P一定在△ABC内部
B.4＋2
C.S△ABC＝3S△PAC
D.点P在直线AD上
答案　ABC
解析　A中,如图所示,设AB,AC的中点分别为E,F,连接EF,
因为3＋2＝0,
所以2()＋()＝0,
所以2·2＋2＝0,
即2＝0,
所以P是线段EF上靠近点E的三等分点,
所以点P在△ABC的内部,故A正确;
B中,因为3＋2＝0,
所以4＋2＝0,
所以4＋2,故B正确;
C中,由奔驰定理知,S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0.
因为3＋2＝0,
所以S△PBC∶SPAC∶S△PAB＝3∶2∶1,
所以＝3,
即S△ABC＝3S△PAC,
故C正确;
D中,由选项A知,P是线段EF上靠近点E的三等分点,
所以点P不可能在直线AD上,故D错误.
7.(2025·贵阳模拟)奔驰定理:已知O是△ABC内的一点,△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC,则有SA＋SB＋SC＝0.设O是锐角三角形ABC内的一点,∠BAC,∠ABC,∠ACB分别是△ABC的三个内角,以下结论正确的是(　　)
A.若＝0,则O为△ABC的重心
B.若＋2＋3＝0,则SA∶SB∶SC＝1∶2∶3
C.若O为△ABC(不为直角三角形)的垂心,则tan∠BAC·＋tan∠ABC·＋tan∠ACB·＝0
D.若||＝||＝2,∠AOB＝,2＋3＋4＝0,则S△ABC＝
答案　ABC
解析　对于A,如图所示,
设D为AB的中点,连接OD,
则＝2,
故C,O,D三点共线,即O在中线CD上,
同理可得O在另外两边BC,AC的中线上,故O为△ABC的重心,故A正确;
对于B,由奔驰定理可得SA∶SB∶SC＝1∶2∶3,故B正确;
对于C,根据奔驰定理得tan∠BAC·＋tan∠ABC·＋tan∠ACB·＝0,故C正确;
对于D,由||＝||＝2,∠AOB＝
可知SC＝×2×2×sin＝1,
又2＋3＋4＝0,
所以SA∶SB∶SC＝2∶3∶4,
由SC＝1可得,SA＝,SB＝,
所以S△ABC＝SA＋SB＋SC＝＋1＝,
故D错误.
三、填空题
8.(2025·南昌调研)△ABC的内切圆圆心为O,半径为2,且S△ABC＝14,2＋2＋3＝0,则△ABC的外接圆面积为　　　　.
答案　
解析　∵2＋2＋3＝0,且O为内心,
∴a∶b∶c＝2∶2∶3,
令a＝2k,则b＝2k,c＝3k,
设△ABC内切圆半径为r,外接圆半径为R,
由S△ABC＝(a＋b＋c)·r,
得×7k×2＝14,
得k＝2,
∴a＝4,b＝4,c＝6,
∴cos C＝－,sin C＝,
由2R＝,得R＝,
∴外接圆面积S＝πR2＝.
9.若△ABC内接于以O为圆心,以1为半径的圆,且3＋4＋5＝0,则△ABC的面积为　　　　.
答案　
解析　∵3＋4＝－5,
且||＝||＝||＝1,
∴9||2＋16||2＋24·＝25||2,
∴·＝0,∴OA⊥OB,
∴S△AOB＝×1×1＝,
由奔驰定理知,S△BOC∶S△AOC∶S△ AOB＝3∶4∶5,
∴S△AOB＝·S△ABC,
∴S△ ABC＝S△AOB＝.
10.(2025·天津河北区质检)在△ABC中,点G,O分别为△ABC的重心和外心,且·＝4,||＝2,则边BC的长为　　　　.
答案　2
解析　延长AG交BC于点D,
连接OD,作OH⊥AC于点H,则D,H分别为BC,CA的中点,如图所示.
易知·
＝||||cos∠OAC
＝||||
＝||2,
同理可得·||2.
由重心的性质可知··
＝()·
＝()·()＝4,
即＝24.
又||＝||＝3,
且||＝||＝3,
可得||＝6,
所以||2＝＋2·＝36,
可得·＝6.
因此||2＝||2
＝－2·＝12,
即||＝2.提优点6　奔驰定理与三角形四心
【知识拓展】
1.奔驰定理
如图,已知P为△ABC内一点,则有S1＋S2＋S3＝0(其中S1,S2,S3分别为△PBC,△PAC,△PAB的面积).
证明:设∠APB＝α,∠APC＝β,||＝x,
||＝y,||＝z.
根据三角形正弦定理面积公式得
S1＋S2＋S3yzsin[2π－(α＋β)]·xzsin βxysin α
＝－yzsin(α＋β)xzsin βxysin α,①
把①式两边与向量作数量积得
(S1＋S2＋S3)·
＝－x2yzsin(α＋β)＋x2yzsin βcos α
＋x2yzsin αcos β
＝x2yz[－sin(α＋β)＋sin βcos α＋sin αcos β]＝0.
同理:①式两边与向量,作数量积都得0.
但是S1＋S2＋S3,,三个向量垂直,而,,也不可能都为0,所以S1＋S2＋S3＝0.
该例对应的图形特别像奔驰汽车的标志,所以我们把上述结论称为奔驰定理,该定理对于推导出三角形的四心的向量结论有直接的作用.
2.三角形四心的向量表示及结论(利用奔驰定理自行完成证明)
(1)点O是△P1P2P3的重心 ＝0 ;
(2)点O是△P1P2P3的垂心 ··· tan P1·＋tan P2·＋tan P3·＝0 ∶∶＝tan P1∶tan P2∶tan P3(△P1P2P3不是直角三角形);
(3)点O是△P1P2P3的内心 a＋b＋c＝0 ∶∶＝a∶b∶c(其中a,b,c是△P1P2P3的三边,分别所对角P1,P2,P3);
(4)点O是△P1P2P3的外心 ||＝||＝|| sin 2P1＋sin 2P2＋sin 2P3＝0 ∶∶＝sin 2P1∶sin 2P2∶sin 2P3.
【类型突破】
类型一　利用奔驰定理解决与三角形面积比有关的问题
例1 (1)已知O是△ABC内部一点,满足＋2＋m＝0,且,则实数m＝　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　
(2)(2025·成都诊断)已知点A,B,C,P在同一平面内,,,,则S△ABC∶S△PBC＝　　　　.
规律方法　已知P为△ABC内一点,且x＋y＋z＝0(x,y,z∈R,xyz≠0,x＋y＋z≠0),则有
(1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝|x|∶|y|∶|z|;
(2),,
.
训练1 设O在△ABC的内部,D为AB的中点,且＋2＝0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为　　　　.
类型二　奔驰定理和三角形的四心(四心在三角形内部)
考向1　奔驰定理与重心
例2 (2025·兰州模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,重心为G.若a＋bc＝0,则∠BAC＝　　　　.
考向2　奔驰定理与外心
例3 已知点P是△ABC的外心,且＋λ＝0,C＝,则λ＝　　　　.
考向3　奔驰定理与内心
例4 (2025·南阳质检)在△ABC中,AB＝2,AC＝3,BC＝4,O为△ABC的内心,若＝λ＋μ,则3λ＋6μ的值为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
考向4　奔驰定理与垂心
例5 (2025·温州调研)如图,已知O是△ABC的垂心,且＋2＋3＝0,则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝(　　)
A.1∶2∶3 B.1∶2∶4
C.2∶3∶4 D.2∶3∶6
易错提醒　涉及三角形的四心问题时,内心和重心一定在三角形内部,而外心和垂心有可能在三角形外部,上述定理及推论中的点都在三角形内部,解题时,要注意观察题目有无这一条件.
训练2 (1)设I为△ABC的内心,且2＋3＝0,则角C＝　　　　.
(2)设点P在△ABC内部且为△ABC的外心,∠BAC＝,如图.若△PBC,△PCA,△PAB的面积分别为,x,y,则x＋y的最大值是　　　　.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2025·江苏部分学校联考)已知平面上四个点A,B,C,D,其中任意三点不共线.若··,则直线AD一定经过三角形ABC的(　　)
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
2.点O为△ABC内一点,若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2,设＝λ＋μ,则实数λ和μ的值分别为(　　)
A., B.,
C., D.,
3.已知O是△ABC内一点,＝0,·＝2且∠BAC＝60°,则△OBC的面积为(　　)
A. B.
C. D.
4.(2025·成都诊断)已知点P,Q在△ABC内,若＋2＋3＝2＋3＋5＝0,则等于(　　)
A. B.
C. D.
5.(2025·石家庄质检)平面向量中有一个非常优美的结论:已知O为△ABC内的一点,△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC,则SA＋SB＋SC＝0.因其几何表示酷似奔驰的标志,所以称为“奔驰定理”.已知O为△ABC的内心,三个角所对的边分别为a,b,c,已知a＝3,b＝2,c＝5,则·＝(　　)
A.2－8 B.－2
C.－7 D.3－9
二、多选题
6.(2025·安徽皖江名校联考)已知△ABC,D为BC边的中点,若点P满足3＋2＝0,则下列说法正确的是(　　)
A.点P一定在△ABC内部
B.4＋2
C.S△ABC＝3S△PAC
D.点P在直线AD上
7.(2025·贵阳模拟)奔驰定理:已知O是△ABC内的一点,△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC,则有SA＋SB＋SC＝0.设O是锐角三角形ABC内的一点,∠BAC,∠ABC,∠ACB分别是△ABC的三个内角,以下结论正确的是(　　)
A.若＝0,则O为△ABC的重心
B.若＋2＋3＝0,则SA∶SB∶SC＝1∶2∶3
C.若O为△ABC(不为直角三角形)的垂心,则tan∠BAC·＋tan∠ABC·＋tan∠ACB·＝0
D.若||＝||＝2,∠AOB＝,2＋3＋4＝0,则S△ABC＝
三、填空题
8.(2025·南昌调研)△ABC的内切圆圆心为O,半径为2,且S△ABC＝14,2＋2＋3＝0,则△ABC的外接圆面积为　　　　.
9.若△ABC内接于以O为圆心,以1为半径的圆,且3＋4＋5＝0,则△ABC的面积为　　　　.
10.(2025·天津河北区质检)在△ABC中,点G,O分别为△ABC的重心和外心,且·＝4,||＝2,则边BC的长为　　　　.

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