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提优点3　爪形结构与分角定理、张角定理
【知识拓展】
1.三点共线的向量表示
(1)若A,P,B三点共线,则存在唯一实数t使=tAB.
(2),为平面的一组基向量,点P在直线AB上的充要条件是存在唯一一组实数对(λ,μ),使=λ+μ且λ+μ=1.
2.(1)定比分点的向量公式:在平面上任取一点O,设=a,=b,若=λ(λ≠-1),则=a+b(特别地,当λ=1时,即P为线段P1P2的中点,则有=a+b).
(2)三角形的等分线:在△ABC中,D是边BC上的点,且=(m,n>0),
则=+(也叫“爪形结构”).
3.张角定理与分角定理
(1)张角定理=+
[证明如下:
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,
∴AB×AC×sin(α+β)=AB×AD×sin α+AC×AD×sin β,
两边同除以AB·AC·AD得=+.]
(2)分角定理
在△ABC中,D是边BC上(异于B,C)或其延长线上的一点,则有sin α∶sin β=∶.
[证明如下:
=,①
=
=·,②
得=·,
故sin α∶sin β=∶.]
4.梅涅劳斯定理与塞瓦定理
(1)梅涅劳斯定理
已知直线DF交△ABC三边所在直线于D,E,F三点,则有:··=1.
[证明如下:
设=q,=m,=n,=t,
则有=,=,
=,①
因为D,E,F三点共线,
所以(t+1)=t+.
又因为=+,
从而(t+1)+(t+1)=t+,②
当①代入②,可得(t+1)+=+,
即++=0.
注意到++=0,且,,两两方向不同,故有t+1-==.
由=可知t=-1,
将其代入t+1-=,整理可得qmn=1,即··=1.](2)塞瓦定理
已知点O为△ABC内任意一点,AO,BO,CO的延长线分别交边BC,CA,AB于D,E,F,则有:
··=1.
[证明如下:
设=p,=q,=r,=n,
则有=,=(q+1),
=(n+1),①
因为F,B,A三点共线,
所以=+,②
将①代入②,
即有(n+1)=+,
(n+1)=+.
注意到B,O,E三点共线,A,O,D三点共线,
所以有n+1=+,(n+1)=+,
整理可得pqr=1,即··=1.
注:本定理用面积证法更简单.]
【类型突破】
类型一　三点共线、定比分点、三角形等分线的向量表示
例1 (1)(2025·郑州质检)如图,在△ABC中,=,=3,若=a,=b,则=(　　)
A.a+b B.-a+b
C.a+b D.-a+b
(2)在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=　　　　,y=　　　　.
答案　(1)B　(2)　-
解析　(1)==(-)=(b-a).
=+=-a+×(b-a)=-a+b.
(2)=+=+,=.
∴=-=-,
又=x+y,
∴x=,y=-.
规律方法　利用三点共线、定比分点和三角形等分线,能快速求解有关的线性向量表示、求系数及交点坐标等问题.
训练1 (1)(2025·烟台调研)如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为　　　　.
(2)(2025·福州质检)已知点A(-1,-1),B(2,5),点C为直线AB上一点,且=-5,则点C的坐标为　　　　.
答案　(1)2　(2)
解析　(1)因为2=+=m+n,
由于M,O,N三点共线,所以m+n=2.
(2)∵=-5,∴λ==5,
利用定比分点的坐标公式有
=+=(-1,-1)+(2,5)=.
∴C点的坐标为.
类型二　张角定理、分角定理的应用
例2 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sin 2A+sin 2B=C.
(1)求C;
(2)若c=2,a=3b,点D在边AB上,且∠ACD=∠BCD,求CD的长.
解　(1)由正弦定理,条件等式可化为
a2+b2=c2-absin C,
又a2+b2=c2+2abcos C,
∴-absin C=2abcos C,
∴tan C=-,∴C=.
(2)∵c=2,a=3b,
由余弦定理,得(2)2=a2+b2-2ab=9b2+b2-6b2=13b2,∴b=2.
由张角定理,得=+,
∴=+=,∴CD==.
规律方法　在三角形中经常会遇到证明角度或线段长度关系的问题,若能灵活应用张角定理、分角定理常能起到事半功倍的效果.
训练2 在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果∠BAD=α,AD是∠BAC的角平分线,证明:
(1)cos α=;
(2)S△ABC=AD×(b+c)×sin α≥AD2tan α.
证明　(1)∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,
∴AB×AC×sin 2α=AB×AD×sin α+AC×AD×sin α,
即cb×2sin α×cos α=c×AD×sin α+b×AD×sin α.
两边同除以bc·sin α得2cos α=+,
∴cos α=.
(2)∵由角平分线张角定理得
cos α=,
∴=+.
∵(b+c)=++2≥2+2=4(当且仅当b=c时取“=”),
∴(b+c)×≥4,
即b+c≥4×=,
∴S△ABC=AD×(b+c)×sin α≥AD××sin α=AD2tan α.
类型三　梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用
例3 在△OAB的边OA,OB上分别取点M,N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,设线段AN与BM交于点P,记=a,=b.
(1)用a,b表示向量;
(2)延长OP与AB交于点D,用a,b表示向量.
解　(1)法一　∵B,P,M共线,
∴记=s,
∴=+
=+=b+a,①
同理,记=t,
得=a+b,②
∵a,b不共线,
∴由①、②得
∴=a+b.
法二　△OAN被直线MB所截,由梅涅劳斯定理,得··=1,
即2··=1,
∴=,
∴=+=+·=+,即=a+b.
或者,同理△OBM被直线NA所截,得
··=1,
即3··=1,∴=,
∴=+=+·=+,即=a+b.
(2)由塞瓦定理得··=1,
即··=1,
∴=,下面只要求出P分OD的比即可.
△OAD被直线MB所截,由梅涅劳斯定理,得··=1,
即×·=1,
∴=.
∴===+,
即=a+b.
规律方法　1.两定理均可解决三角形中的线段比问题.
2.运用梅涅劳斯定理关键确定此三角形、截线及分点.
3.塞瓦定理特征是三线交于一点,关键确定三角形和交点.
训练3 如图,四边形ABCD的两组对边延长线分别交于E,F,对角线BD∥EF,AC的延长线交EF于G,求的值.
解　对△AEF及点C,由塞瓦定理有··=1,
由BD∥EF,有=,
代入上式,得=1.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2025·西安质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若=a1+a200,且A,B,C三点共线,设直线不过点O,则S200=(　　)
A.100 B.101 C.200 D.201
答案　A
解析　易知a1+a200=1,
∴S200==100.
2.在△ABC中,=,点P是BN上一点,若=m+,则实数m的值为(　　)
A. B. C. D.1
答案　B
解析　=λ+(1-λ),
=,=λ+,
又=m+,
∴∴m=.
3.在△ABC中,=2,=2,若=m+n,则m+n=(　　)
A. 　　B.
C. 　　D.1
答案　B
解析　=+=+=··+=+,
∴m=,n=,∴m+n=.
4.(2025·石家庄调研)已知A(2,1),B(3,-1)及直线l:y=4x-5,直线AB与l相交于P点,若=λ,则λ=(　　)
A.- B.- C. D.
答案　B
解析　O为原点,设P(x,y),由=λ,
得λ=,由定比分点公式得
=+,
即(x,y)=(2,1)+(3,-1)
=,
又∵P点在直线l上,
∴=-5,∴λ=-.
5.在△ABC中,点D为AB的中点,E,F为BC的两个三等分点,AE交CD于点M.设=a,=b,则=(　　)
A.a-b B.a+b
C.a-b D.a+b
答案　A
解析　∵D,M,C共线,
∴=x+(1-x)
=+(1-x);
∵A,M,E共线,
∴=y=y=+,
∴∴=2-2x,∴x=,
∴=+,=-
=+-
=+
=-=a-b.
6.(2025·合肥模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,角A的角平分线交BC于点D.若asin A=bsin B+(c-b)sin C,且AD=,b=3c,则a的值为(　　)
A. B. C.3 D.2
答案　B
解析　由asin A=bsin B+(c-b)sin C及正弦定理得a2=b2+(c-b)c,
由余弦定理得cos A==,
则A=,
由三角形内角平分线定理得==,
所以=+,
两边平方得||2==+·+,
即()2=c2+c·3c·+(3c)2,
解得c=,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=42+-2×4××=,a=.
二、多选题
7.设P是△OAB内部(不含边界)的一点,以下可能成立的是(　　)
A.=+ B.=+
C.=+ D.=+
答案　AC
解析　对于A,如下图所示,可知P在△OAB内部,故成立;
对于B,如图所示,可知P在△OAB外部,故不成立;
对于C,因为=+=++=+,如下图所示,可知P在△OAB内部,故成立;
对于D,因为=+=++=-+,如图所示,可知P在△OAB外部,故不成立,故选AC.
8.(2025·南昌调研)如图所示,在凸四边形ABCD中,对边BC,AD的延长线交于点E,对边AB,DC的延长线交于点F,若=λ,=μ(λ,μ>0),=3,则(　　)
A.=+ B.λμ=
C.+的最大值为1 D.≥-
答案　ABD
解析　由=3,得
-=3-3,
∴=+,A正确;
直线FD交△ABE三边所在直线于D,C,F,
由梅涅劳斯定理,得··=1,
··=1,λμ=,
+≥2=4,当且仅当λ=μ时,等号成立,所以B正确,C错误;
==-·,
(1+λ)(1+μ)=λμ+λ+μ+1≥+2+1=,≥-,当且仅当λ=μ时,等号成立,故D正确.
三、填空题
9.边长为4的等边三角形ABC中,=,=3,CD与BE交于点O,则|++|=　　　　.
答案　
解析　++=2+,
∵直线BE交△ADC三边所在直线于E,O,B,
由梅涅劳斯定理得··=1,
即··=1,∴=,
∴|++|=|2+|=|-3+|=|-2|=|CD|=.
10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AD是∠BAC的角平分线,若∠BAC=,|AD|=2,则2b+c的最小值为　　　　.
答案　6+4
解析　如图.
∵AD是∠BAC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=,
由张角定理得=+,
即=+,∴+=,
∴2b+c=(2b+c)×2
=++6≥6+2=6+4.
四、解答题
11.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为,AD为∠BAC的角平分线,且交BC于点D,AD=1.
(1)若b+c=,求△ABC周长.
(2)若=3,求tan B的值.
解　(1)如图,令∠BAC=2θ,
由张角定理得S△ABC=S△ABD+S△ACD,
∴=+,又AD=1,
∴bc·sin 2θ=(b+c)·sin θ,
∴2bc·cos θ=b+c,又b+c=,
∴bc·cos θ=.①
又S△ABC==S△ABD+S△ACD=,
∴(b+c)·sin θ=,又b+c=,
∴sin θ=,∴θ=,∴∠BAC=2θ=,
代入①,得bc·=,∴bc=.
在△ABC中,由余弦定理得
a2=b2+c2-2bc·cos ∠BAC,
即a2=(b+c)2-2bc-2bc·cos 2θ,
∴a2=-2×-2××=,
∴a=,∴周长=a+b+c=.
(2)∵=3,∴DC=3BD,
由角平分线性质可知===,
设AB=y,则AC=3y,BD=x,则DC=3x,
由(1)知,(b+c)·sin θ=,
∴(3y+y)·sin θ=,∴ysin θ=,②
又S△ABC==,
∴y·3y·sin 2θ=,
∴y2·sin 2θ=,③
由②③得,tan θ=,∴θ=,y=,
∴c=,b=3y=4.
在△ABC中,由余弦定理得,
a2=b2+c2-2bc·cos 2θ,
∴a==x+3x,∴x=.
在△ABD中,由余弦定理得,
AD2=BD2+AB2-2BD·AB·cos B,
∴1=x2+y2-2x·y·cos B,
∴cos B=,
∴sin B==,
∴tan B==.提优点3　爪形结构与分角定理、张角定理
【知识拓展】
1.三点共线的向量表示
(1)若A,P,B三点共线,则存在唯一实数t使=tAB.
(2),为平面的一组基向量,点P在直线AB上的充要条件是存在唯一一组实数对(λ,μ),使=λ+μ且λ+μ=1.
2.(1)定比分点的向量公式:在平面上任取一点O,设=a,=b,若=λ(λ≠-1),则=a+b(特别地,当λ=1时,即P为线段P1P2的中点,则有=a+b).
(2)三角形的等分线:在△ABC中,D是边BC上的点,且=(m,n>0),
则=+(也叫“爪形结构”).
3.张角定理与分角定理
(1)张角定理=+
[证明如下:
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,
∴AB×AC×sin(α+β)=AB×AD×sin α+AC×AD×sin β,
两边同除以AB·AC·AD得=+.]
(2)分角定理
在△ABC中,D是边BC上(异于B,C)或其延长线上的一点,则有sin α∶sin β=∶.
[证明如下:
=,①
=
=·,②
得=·,
故sin α∶sin β=∶.]
4.梅涅劳斯定理与塞瓦定理
(1)梅涅劳斯定理
已知直线DF交△ABC三边所在直线于D,E,F三点,则有:··=1.
[证明如下:
设=q,=m,=n,=t,
则有=,=,
=,①
因为D,E,F三点共线,
所以(t+1)=t+.
又因为=+,
从而(t+1)+(t+1)=t+,②
当①代入②,可得(t+1)+=+,
即++=0.
注意到++=0,且,,两两方向不同,故有t+1-==.
由=可知t=-1,
将其代入t+1-=,整理可得qmn=1,即··=1.]
(2)塞瓦定理
已知点O为△ABC内任意一点,AO,BO,CO的延长线分别交边BC,CA,AB于D,E,F,则有:
··=1.
[证明如下:
设=p,=q,=r,=n,
则有=,=(q+1),
=(n+1),①
因为F,B,A三点共线,
所以=+,②
将①代入②,
即有(n+1)=+,
(n+1)=+.
注意到B,O,E三点共线,A,O,D三点共线,
所以有n+1=+,(n+1)=+,
整理可得pqr=1,即··=1.
注:本定理用面积证法更简单.]
【类型突破】
类型一　三点共线、定比分点、三角形等分线的向量表示
例1 (1)(2025·郑州质检)如图,在△ABC中,=,=3,若=a,=b,则=(　　)
A.a+b B.-a+b
C.a+b D.-a+b
(2)在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=　　　　,y=　　　　.
规律方法　利用三点共线、定比分点和三角形等分线,能快速求解有关的线性向量表示、求系数及交点坐标等问题.
训练1 (1)(2025·烟台调研)如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为　　　　.
(2)(2025·福州质检)已知点A(-1,-1),B(2,5),点C为直线AB上一点,且=-5,则点C的坐标为　　　　.
类型二　张角定理、分角定理的应用
例2 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sin 2A+sin 2B=C.
(1)求C;
(2)若c=2,a=3b,点D在边AB上,且∠ACD=∠BCD,求CD的长.
规律方法　在三角形中经常会遇到证明角度或线段长度关系的问题,若能灵活应用张角定理、分角定理常能起到事半功倍的效果.
训练2 在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果∠BAD=α,AD是∠BAC的角平分线,证明:
(1)cos α=;
(2)S△ABC=AD×(b+c)×sin α≥AD2tan α.
类型三　梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用
例3 在△OAB的边OA,OB上分别取点M,N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,设线段AN与BM交于点P,记=a,=b.
(1)用a,b表示向量;
(2)延长OP与AB交于点D,用a,b表示向量.
规律方法　1.两定理均可解决三角形中的线段比问题.
2.运用梅涅劳斯定理关键确定此三角形、截线及分点.
3.塞瓦定理特征是三线交于一点,关键确定三角形和交点.
训练3 如图,四边形ABCD的两组对边延长线分别交于E,F,对角线BD∥EF,AC的延长线交EF于G,求的值.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2025·西安质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若=a1+a200,且A,B,C三点共线,设直线不过点O,则S200=(　　)
A.100 B.101 C.200 D.201
2.在△ABC中,=,点P是BN上一点,若=m+,则实数m的值为(　　)
A. B. C. D.1
3.在△ABC中,=2,=2,若=m+n,则m+n=(　　)
A. 　　B.
C. 　　D.1
4.(2025·石家庄调研)已知A(2,1),B(3,-1)及直线l:y=4x-5,直线AB与l相交于P点,若=λ,则λ=(　　)
A.- B.- C. D.
5.在△ABC中,点D为AB的中点,E,F为BC的两个三等分点,AE交CD于点M.设=a,=b,则=(　　)
A.a-b B.a+b
C.a-b D.a+b
6.(2025·合肥模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,角A的角平分线交BC于点D.若asin A=bsin B+(c-b)sin C,且AD=,b=3c,则a的值为(　　)
A. B. C.3 D.2
二、多选题
7.设P是△OAB内部(不含边界)的一点,以下可能成立的是(　　)
A.=+ B.=+
C.=+ D.=+
8.(2025·南昌调研)如图所示,在凸四边形ABCD中,对边BC,AD的延长线交于点E,对边AB,DC的延长线交于点F,若=λ,=μ(λ,μ>0),=3,则(　　)
A.=+ B.λμ=
C.+的最大值为1 D.≥-
三、填空题
9.边长为4的等边三角形ABC中,=,=3,CD与BE交于点O,则|++|=　　　　.
10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AD是∠BAC的角平分线,若∠BAC=,|AD|=2,则2b+c的最小值为　　　　.
四、解答题
11.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为,AD为∠BAC的角平分线,且交BC于点D,AD=1.
(1)若b+c=,求△ABC周长.
(2)若=3,求tan B的值.

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