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重点培优练1　与解三角形有关的最值、范围问题
1．在△ABC中，AC＝2，BC＝4，则B的最大值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a sin ＝b sin A，b＝1，则△ABC面积的最大值为(　　)
A． B． C． D．
3．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab．则的取值范围为(　　)
A． B．
C．(＋∞) D．
4．(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a＝2·＝S，则下列选项正确的是(　　)
A．A＝
B．若△ABC有两解，则b的取值范围是(2，4)
C．若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是[2，4]
D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为3
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋4b2＝6c2，则的最小值为________．
6．(2025·河南名校联盟二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的高为h．若a＝4，h＝，则bc的最小值为________；若h＝a，则的最大值为________．
7．(2025·河北沧州模拟)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝．
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2，求△ABC周长的取值范围．
重点培优练1
1．A　[设AB＝x，x>0，由余弦定理的推论可得
cos B＝，当且仅当x＝2时，等号成立．
因为0故选A．]
2．B　[由正弦定理得
sin Asin ＝sin Bsin A，∴sin Asin sin A，
∵A∈(0，π)，，∴sin A≠0，cos ≠0，∴sin ，∴，解得B＝．
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝1，
∵a2＋c2≥2ac(当且仅当a＝c时取等号)，
∴1≥2ac－ac＝ac，
∴(S△ABC)max＝．故选B．]
3．B　[由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
整理得a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝，
又0＝tan B，
因为△ABC为锐角三角形，
所以
即，
所以tan B>的取值范围为，＋∞.故选B．]
4．ABD　[对选项A，·S，故cbcos A＝bcsin A，故tan A＝，A∈(0，π)，所以A＝，故A正确；
对选项B，若△ABC有两解，则bsin A对选项C，若△ABC为锐角三角形，则0则对选项D，若D为BC边上的中点，则)2＝(c2＋2bccos A＋b2)＝(b2＋c2＋bc)，
又a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝12，b2＋c2＝12＋bc，
由基本不等式得b2＋c2＝12＋bc≥2bc，当且仅当b＝c＝2时等号成立，故bc≤12，
所以[(12＋bc)＋bc]＝3＋bc≤3＋6＝9，故||≤3，故D正确．故选ABD．]
5．　[由正弦定理得，，
因为a2＋4b2＝6c2，所以，
当且仅当a2＝4b2时等号成立，所以．]
6.6　4　[若a＝4，h＝，由S△ABC＝＝3，
所以bcsin A＝6≤bc，当且仅当sin A＝1，即A＝时取等号，所以bc的最小值为6．
若h＝a，S△ABC＝a，解得a2＝2bcsin A，
由余弦定理得2bcsin A＝b2＋c2－2bccos A，整理得b2＋c2＝4bccos A＝4bcsinA＋，
所以，当A＝取得最大值4．]
7．解：(1)在锐角三角形ABC中，因为，
所以由正弦定理得，
故a2(b－a)＝a(b2－c2)，即a(b－a)＝b2－c2，
即ab－a2＝b2－c2，即ab＝a2＋b2－c2，
所以＝1，即，
由余弦定理得cos C＝，
因为C∈，所以C＝．
(2)因为c＝2，由正弦定理，
所以a＝sin A，b＝sin B．
设△ABC的周长为l，
则l＝2＋a＋b＝2＋
＝2＋sin A
＝2＋sin A
＝2＋2sin A＋2cos A
＝2＋4sin，
因为在锐角三角形ABC中，所以A∈，B∈，所以A∈，所以A＋，故sin∈，1，
则4sin＋2∈(2＋2，6]，即l∈(2＋2，6]，
故△ABC周长的取值范围为(2＋2，6]．
1/2培优课1　与解三角形有关的最值、范围问题
在解三角形中，求解某个量(式子)的取值范围、最值是高考命题的热点，解决此类问题的常用的方法主要有利用函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等．
类型1　求角(函数值)的最值(范围)问题
【典例1】　(2025·辽宁抚顺模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a(sin B＋cos B)＝c．
(1)求角A的大小；
(2)求2cos B＋cos C的取值范围．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　三角形中的最值与范围问题的两种解决方法
(1)基本不等式法：将所求表达式转化为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值．
(2)函数性质法：将所求表达式转化为某一个角的函数，结合函数的性质确定所求表达式的范围．
提醒：注意在锐角△ABC中隐含着：①A＋B＞；
②若A＝，则＜B＜＜C＜．
1．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知a＝2，2sin B＋2sin C＝3sin A，则cos A的最小值为________．
2．(2025·山西太原模拟)在钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B＝c sin A，则sin A＋sin B的最大值是________．
类型2　求边(周长)的最值(范围)问题
【典例2】　(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　求边(周长)的最值(范围)问题一般通过正弦、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用基本不等式或函数最值求解．
3．(2025·全国名校联考)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b2＋c2－a2＝bc，O为△ABC的外心．
(1)求△BOC的面积；
(2)求△ABC周长的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　求面积的最值(范围)问题
【典例3】　(2025·广东深圳模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos C＝．
(1)求角A的大小；
(2)若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　求三角形面积的最值(范围)的两种思路
(1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围．
(2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc的最值从而求出三角形面积的最值．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2b cos C＝2a－c．
(1)求B；
(2)在①△ABC的外接圆的面积为，②△ABC的周长为12，③b＝4，这三个条件中任选一个，求△ABC的面积的最大值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
培优课1　与解三角形有关的最值、范围问题
典例1　解：(1)因为ac，
所以sin A(sin B＋cos B)＝sin C．
因为A＋B＋C＝π，
所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin Asin B＋cos Asin B，
即sin Asin B＝cos Asin B．
因为0所以sin A＝cos A，即tan A＝．
因为0(2)因为A＝，所以B＋C＝，所以C＝－B，则2cos B＋cos C＝2cos B＋cos．
因为△ABC是锐角三角形，
所以
解得，
所以<1，
则，
即2cos B＋cos C的取值范围是.
考教衔接
1．　[因为2sin B＋2sin C＝3sin A，由正弦定理可得2b＋2c＝3a，又a＝2，所以b＋c＝3，
所以bc≤，当且仅当b＝c＝时取等号．
所以cos A＝
＝，
当且仅当b＝c＝时取等号，所以cos A的最小值为．]
2．　[因为acos B＝csin A，由正弦定理得
sin Acos B＝sin Csin A，
又因为A∈(0，π)，可得sin A≠0，
所以sin C＝cos B，则C＝－B或C＝＋B．
当C＝－B时，可得A＝，与△ABC是钝角三角形矛盾，所以C＝＋B，
由得A＝－2B>0，可得0＝－2sin B－2＋，
所以当sin B＝时，sin A＋sin B的最大值为．]
典例2　解：(1)因为，即sin B＝cos Acos B－sin Asin B＝cos(A＋B)＝－cos C＝，而0(2)由(1)知，sin B＝－cos C>0，所以而sin B＝－cos C＝sin，
所以C＝＋B，即有A＝－2B．
所以
＝
＝－5，
当且仅当cos2B＝的最小值为4 －5．
考教衔接
3．解：(1)在△ABC中，b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理的推论得cos A＝．
又A∈(0，π)，所以A＝，
又O为△ABC的外心，
则由正弦定理得，所以OB＝OC＝．
又∠BOC＝2A＝，
所以S△BOC＝OB·OC·sin∠BOC＝．
(2)法一：由(1)及正弦定理得，
则b＝sin B，c＝sin C，
记△ABC的周长为l，则l＝2＋b＋c＝2＋(sin B＋sin C)．
又A＝，则C＝－B，
则sin B＋sin C＝sin B＋sin，
因为0所以sin B＋sin C∈，所以l∈(4，6]．
法二： 由b2＋c2－a2＝bc，a＝2，得(b＋c)2－4＝3bc，
因为bc≤，所以(b＋c)2－4≤3× ，
即(b＋c)2≤16，所以b＋c≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立．
因为b＋c>a＝2，所以2所以4即△ABC周长的取值范围为(4，6]．
典例3　解：(1)由余弦定理的推论，得，即a2＋b2－c2＝2b2＋bc，
整理得b2＋c2－a2＝－bc，所以cos A＝，
又0(2)因为S△ABC＝b·ADsin c·ADsin ，
所以bc＝3b＋3c．因为bc＝3b＋3c≥6，即bc≥36，
当且仅当b＝c＝6时等号成立，
所以S△ABC＝．故△ABC面积的最小值为9．
考教衔接
4．解：(1)∵2bcos C＝2a－c，
∴2sin Bcos C＝2sin A－sin C，
∴2sin Bcos C＝2sin(B＋C)－sin C，
2sin Bcos C＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C－sin C，∴2cos Bsin C＝sin C．
∵C∈(0，π)，∴sin C≠0，
∴cos B＝，∵B∈(0，π)，∴B＝．
(2)若选①，设△ABC的外接圆半径为R，
则＝π·R2，∴R＝，
∴b＝2Rsin B＝2×＝4．
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
即16＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，
当且仅当a＝c时，等号成立．
∴S△ABC＝，
即△ABC的面积的最大值为4．
若选②，∵a＋b＋c＝12，∴b＝12－(a＋c)，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
[12－(a＋c)]2＝a2＋c2－ac，
即ac＝8(a＋c)－48，
又≥ac，∴－8(a＋c)＋48≥0，
∴a＋c≥24(舍)或a＋c≤8，
当且仅当a＝c时，等号成立，∴S△ABC＝·，
即△ABC的面积的最大值为4．
若选③，由余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accos B，
即16＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，
当且仅当a＝c时，等号成立．
∴S△ABC＝，
即△ABC的面积的最大值为4．
1/4(共84张PPT)
专题一　
三角函数与解三角形
培优课1　与解三角形有关的最值、范围问题
在解三角形中，求解某个量(式子)的取值范围、最值是高考命题的热点，解决此类问题的常用的方法主要有利用函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等．
类型1　求角(函数值)的最值(范围)问题
【典例1】　(2025·辽宁抚顺模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a(sin B＋cos B)＝c．
(1)求角A的大小；
(2)求2cos B＋cos C的取值范围．
[解]　(1)因为a＝c，
所以sin A(sin B＋cos B)＝sin C．
因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝sin (A＋B)
＝sin A cos B＋cos A sin B，
所以sin A sin B＋sin A cos B＝sin A cos B＋cos A sin B，
即sin A sin B＝cos A sin B．
因为0＜B＜，所以sin B≠0，所以sin A＝cos A，即tan A＝．
因为0＜A＜，所以A＝．
(2)因为A＝，所以B＋C＝，所以C＝－B，
则2cos B＋cos C＝2cos B＋cos
＝cos B＋sin B＝sin ．
因为△ABC是锐角三角形，所以
解得＜B＜，所以＜B＋＜，
所以＜sin ＜1，
则＜sin ＜，
即2cos B＋cos C的取值范围是．
反思领悟　三角形中的最值与范围问题的两种解决方法
(1)基本不等式法：将所求表达式转化为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值．
(2)函数性质法：将所求表达式转化为某一个角的函数，结合函数的性质确定所求表达式的范围．
提醒：注意在锐角△ABC中隐含着：①A＋B＞；
②若A＝，则＜B＜＜C＜．
1．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知a＝2，2sin B＋2sin C＝3sin A，则cos A的最小值为________．
　
　[因为2sin B＋2sin C＝3sin A，由正弦定理可得2b＋2c＝3a，又a＝2，所以b＋c＝3，
所以bc≤＝，当且仅当b＝c＝时取等号．
所以cos A＝＝＝＝－1＋，
当且仅当b＝c＝时取等号，所以cos A的最小值为．]
2．(2025·山西太原模拟)在钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B＝c sin A，则sin A＋sin B的最大值是____．
　[因为a cos B＝c sin A，由正弦定理得sin A cos B＝sin C sin A，
又因为A∈(0，π)，可得sin A≠0，
所以sin C＝cos B，则C＝－B或C＝＋B．
　
当C＝－B时，可得A＝，与△ABC是钝角三角形矛盾，所以C＝＋B，
由得A＝－2B>0，可得0所以sin A＋sin B＝sin (B＋C)＋sin B＝cos 2B＋sin B＝
－2sin2B＋sinB＋1＝－2＋，
所以当sin B＝时，sin A＋sin B的最大值为．]
【教用·备选题】
在△ABC中，sin B·sin C·cos A＋2sin A·sin C·cos B＝
3sin A·sin B·cos C，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
(1)求的值；
(2)求cos C的最小值．
[解]　(1)由已知条件及正弦定理可得，
bc·cos A＋2ac·cos B＝3ab·cos C，
由余弦定理的推论得，bc·＋2ac·＝3ab·，化简得＋a2＋c2－b2
＝，从而得3c2－a2－2b2＝0，
即a2＋2b2＝3c2，
∴＝＝3．
(2)由余弦定理的推论得，
cos C＝＝
＝＝＝．
∵在△ABC中，a，b均大于0，∴cos C＝≥2＝，
当且仅当＝，即b2＝2a2时取等号，
∴cos C的最小值为．
类型2　求边(周长)的最值(范围)问题
【典例2】　(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值．
[解]　(1)因为＝＝＝，
即sin B＝cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)＝－cos C＝，
而0＜B＜，所以B＝．
(2)由(1)知，sin B＝－cos C＞0，所以＜C＜π，0＜B＜，而sin B＝－cos C＝sin ，
所以C＝＋B，即有A＝－2B．
所以＝＝
＝＝4cos2B＋－5≥2－5＝4 －5，
当且仅当cos2B＝时取等号，所以的最小值为4－5．
【教用·备选题】
1．(2025·海南海口一模)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，A＝60°，则b的取值范围是(　　)
A．(0，6)　　　　　 B．(0，2)
C．(，2) D．(，6)
√
C　[由正弦定理得b＝＝＝2sin B，
又△ABC为锐角三角形，C＝180°－A－B＝120°－B，
所以0°解得30°所以b＝2sin B∈(，2)．
故选C．]
2．(2025·江苏盐城模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且△ABC的面积为．
(1)求C；
(2)求△ABC周长的最小值．
[解]　(1)由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得a2＋b2＋2ab－c2＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab，则cos C＝＝，由C∈(0，π)，得C＝．
(2)S△ABC＝ab sin C＝ab＝，得ab＝3，
由余弦定理，有c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab，得c＝，
△ABC的周长l＝a＋b＋≥2＝2＝3，
当且仅当a＝b＝时取等号，所以△ABC周长的最小值为3．
3．(2025·黑龙江哈尔滨一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin ＝b sin A．
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，b＝，求2a－c的取值范围．
[解]　(1)因为a sin ＝b sin A，由正弦定理得sin A sin ＝sin B sin A，
故sin A cos ＝2sin cos sin A，
在△ABC中，00，0<<，则cos >0，
可得sin ＝，所以＝，所以B＝．
(2)由正弦定理可得2R＝＝＝＝＝2(R为△ABC外接圆的半径)，
所以a＝2sin A，c＝2sin C，
因为B＝，则A＋C＝，C＝－A，
所以2a－c＝4sin A－2sin ＝3sin A－cos A＝2sin ，
因为△ABC为锐角三角形，
则
解得则A－∈，sin ∈，
故2a－c∈(0，3)．
反思领悟　求边(周长)的最值(范围)问题一般通过正弦、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用基本不等式或函数最值求解．
3．(2025·全国名校联考)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b2＋c2－a2＝bc，O为△ABC的外心．
(1)求△BOC的面积；
(2)求△ABC周长的取值范围．
[解]　(1)在△ABC中，b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理的推论得cos A＝＝．
又A∈(0，π)，所以A＝，又O为△ABC的外心，
则由正弦定理得＝2OB＝2OC＝，
所以OB＝OC＝．
又∠BOC＝2A＝，所以S△BOC＝OB·OC·sin ∠BOC＝．
(2)法一：由(1)及正弦定理得＝＝＝，
则b＝sin B，c＝sin C，
记△ABC的周长为l，则l＝2＋b＋c＝2＋(sin B＋sin C)．
又A＝，则C＝－B，
则sin B＋sin C＝sin B＋sin ＝sin B＋cos B＝
sin ，因为0＜B＜，所以＜B＋＜，
所以sin B＋sin C∈，所以l∈(4，6]．
法二：由b2＋c2－a2＝bc，a＝2，得(b＋c)2－4＝3bc，
因为bc≤，所以(b＋c)2－4≤3× ，
即(b＋c)2≤16，所以b＋c≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立．
因为b＋c＞a＝2，所以2＜b＋c≤4，
所以4＜a＋b＋c≤6，
即△ABC周长的取值范围为(4，6]．
【教用·备选题】
1．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当取得最小值时，BD＝________．
－1　[设CD＝2BD＝2m>0，
则在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD cos ∠ADB＝m2＋4＋2m，
在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2CD·AD cos ∠ADC＝4m2＋4－4m，
－1
所以＝＝＝4－
≥4－＝4－2，
当且仅当m＋1＝，即m＝－1时，等号成立，
所以当取最小值时，BD＝m＝－1．]
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若cos B＝b cos C，且b＝，则△ABC周长的取值范围为____________．
(2，3]　[因为cos B＝b cos C，由正弦定理可得cos B＝sin B cos C，
所以2sin A cos B＝sin B cos C＋cos B sin C
＝sin ＝sin A，
(2，3]
因为A，B∈，则sin A>0，所以cos B＝，故B＝，由余弦定理可得，
3＝b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝－3ac≥－＝，所以≤12，即a＋c≤2，
当且仅当a＝c＝时，等号成立．
又a＋c>b＝，故2故△ABC周长的取值范围为(2，3]．]
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos C－asin C＝b．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求BC边上的中线AD长度的最小值．
[解]　(1)因为acos C－asin C＝b，
所以sin Acos C－sin Asin C＝sin B．
因为A＋B＋C＝π，
所以sin A cos C－sin A sin C＝sin (A＋C)＝(sin A cos C＋cos A sin C)，
所以－sin A sin C＝cos A sin C，
因为sin C>0，所以tan A＝－．
因为A∈(0，π)，所以A＝．
(2)在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos ，
所以4＝b2＋c2＋bc，①
即4－bc＝b2＋c2≥2bc，
解得bc≤．
因为AD为BC边上的中线，
所以＝)，
所以||2＝＝)2＝(c2＋b2－bc)，②
由①得b2＋c2＝4－bc，③
将③代入②得||2＝1－bc≥1－＝，所以AD≥，AD长度的最小值为．
类型3　求面积的最值(范围)问题
【典例3】　(2025·广东深圳模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos C＝．
(1)求角A的大小；
(2)若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值．
[解]　(1)由余弦定理的推论，得＝，即a2＋b2－c2＝2b2＋bc，整理得b2＋c2－a2＝－bc，所以cos A＝＝－，
又0(2)因为S△ABC＝bc sin ＝b·AD sin c·AD sin ，
所以bc＝3b＋3c．因为bc＝3b＋3c≥6，即bc≥36，
当且仅当b＝c＝6时等号成立，
所以S△ABC＝bc≥9．故△ABC面积的最小值为9．
反思领悟　求三角形面积的最值(范围)的两种思路
(1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围．
(2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc的最值从而求出三角形面积的最值．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
2b cos C＝2a－c．
(1)求B；
(2)在①△ABC的外接圆的面积为，②△ABC的周长为12，③b＝4，这三个条件中任选一个，求△ABC的面积的最大值．
[解]　(1)∵2b cos C＝2a－c，
∴2sin B cos C＝2sin A－sin C，
∴2sin B cos C＝2sin (B＋C)－sin C，
2sin B cos C＝2sin B cos C＋2cos B sin C－sin C，
∴2cos B sin C＝sin C．
∵C∈(0，π)，∴sin C≠0，
∴cos B＝，∵B∈(0，π)，∴B＝．
(2)若选①，设△ABC的外接圆半径为R，
则＝π·R2，∴R＝＝，∴b＝2R sin B＝2×＝4．
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
即16＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，
当且仅当a＝c时，等号成立．
∴S△ABC＝ac sin B≤×16×＝4，
即△ABC的面积的最大值为4．
若选②，∵a＋b＋c＝12，∴b＝12－(a＋c)，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
[12－(a＋c)]2＝a2＋c2－ac，即ac＝8(a＋c)－48，
又≥ac，∴－8(a＋c)＋48≥0，
∴a＋c≥24(舍)或a＋c≤8，
当且仅当a＝c时，等号成立，
∴S△ABC＝ac sin B＝ac≤·＝4，
即△ABC的面积的最大值为4．
若选③，由余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2ac cos B，
即16＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，
当且仅当a＝c时，等号成立．
∴S△ABC＝ac sin B≤×16×＝4，
即△ABC的面积的最大值为4．
【教用·备选题】
1．在△ABC中，A＝，BC边上的中线AD＝，则△ABC面积的最大值为(　　)
A．2　　B．　　C．　　D．
√
B　[AD为中线，则2＝，
两边平方得4＝＋2·，
所以4×()2＝b2＋c2＋2bc·cos ，
所以12＝b2＋c2＋bc≥3bc，所以bc≤4，
当且仅当b＝c＝2时取等号，
则S△ABC＝bc sin A＝bc≤．
故选B．]
2．(2025·山东烟台二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a2＋b2－c2)＝ab sin C，且c＝1，则△ABC面积的最大值为________．
　[因为(a2＋b2－c2)＝ab sin C，2ab cos C＝a2＋b2－c2，
所以2ab cos C＝ab sin C，
所以sin C＝2cos C．
又sin2C＋cos2C＝1，C∈(0，π)，
　
则sinC＝，cos C＝，
由余弦定理以及重要不等式得，
1＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－≥2ab－＝，
即ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，
所以S△ABC＝ab sin C＝ab≤，
即△ABC面积的最大值为．]
3．如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AB＝BC＝，∠ABC＝θ，120°≤θ<180°．
(1)若θ＝120°，AD＝3，求∠ADC的大小；
(2)若CD＝，求四边形ABCD面积的最大值．
[解]　(1)在△ABC中，AB＝BC＝，θ＝120°，所以∠BCA＝30°，由AC2＝()2＋()2－2×＝6，得AC＝．
又BC⊥CD，所以∠ACD＝60°，
在△ADC中，由正弦定理可得＝，得sin ∠ADC＝，
因为AC(2)连接BD(图略)．在Rt△BCD中，BC＝，CD＝，所以BD＝2，∠CBD＝60°．
所以四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△ABD＝×2sin ∠ABD＝＋2sin ∠ABD，
因为∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝θ－60°，120°≤θ＜180°，所以60°≤∠ABD＜120°，
所以当∠ABD＝90°，即θ＝150°时，Smax＝＋2，
即四边形ABCD面积的最大值为＋2．
4．(2025·安徽江南十校三模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b＋c－2a cos C＝0．
(1)求角A；
(2)射线AB绕A点旋转90°交线段BC于点E，且AE＝1，求△ABC的面积的最小值．
[解]　(1)因为2b＋c＝2a cos C，
由正弦定理得2sin B＋sin C＝2sin A cos C，
则2sin(A＋C)＋sin C＝2sin A cos C，
即2sin A cos C＋2cos A sin C＋sin C
＝2sin A cos C，
则2cos A sin C＋sin C＝0．
因为sin C>0且A∈(0，π)，
所以cos A＝－，所以A＝．
(2)如图，由∠BAC＝和AB⊥AE，可知∠CAE＝＝．
因为S△ABC＝S△AEB＋S△AEC，
所以bc sin ∠BAC＝c·AE＋b·AE·sin ∠CAE，
又因为AE＝1，
所以bc sin ＝c＋b sin ，即bc＝c＋b．
又bc＝c＋b≥2＝，
当且仅当c＝b时，等号成立，
所以bc≥，所以S△ABC＝bc sin ∠BAC≥＝，
所以△ABC的面积的最小值为．
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且b＝2c sin ．
(1)求C；
(2)若c＝1，D为△ABC的外接圆上的点，·＝，求四边形ABCD面积的最大值．
[解]　(1)因为b＝2c sin ，
在△ABC中，由正弦定理得，
sin B＝2sin C sin ．
又因为sin B＝sin ＝sin ，
所以sin ＝2sin C sin ，
展开得sin A cos C＋cos A sin C＝2sin C，
即sin A cos C－sin C sin A＝0，
因为A∈(0，π)，
所以sin A≠0，
故cos C＝sin C，
即tan C＝．
又因为C∈，
所以C＝．
(2)法一：如图，设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，因为·＝，所以·＝0，即·＝0，所以DA⊥BA，
故BD是⊙O的直径，所以BC⊥CD．
在△ABC中，c＝1，2R＝＝＝2，所以BD＝2．
在△ABD中，AD＝＝．
设四边形ABCD的面积为S，BC＝x，CD＝y，则x2＋y2＝4，所以S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD＋BC·CD＝xy≤·＝＋1，当且仅当x＝y＝时，等号成立．
所以四边形ABCD面积的最大值为＋1．
法二：如图(同法一)，设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，在上的投影为λ||，所以·＝λ．
又·＝＝，所以λ＝1，
所以在上的投影为||，所以DA⊥BA．
故BD是⊙O的直径，所以BC⊥CD．
在△ABC中，c＝1，2R＝＝＝2，所以BD＝2，
在△ABD中，AD＝＝．
设四边形ABCD的面积为S，∠CBD＝θ，θ∈，
则CB＝2cos θ，CD＝2sin θ，
所以S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD＋CB·CD＝＋sin 2θ，
当2θ＝时，S最大，所以四边形ABCD面积的最大值为＋1．
法三：设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，
在△ABC中，c＝1，2R＝＝＝2，故△ABC外接圆⊙O的半径R＝1．
即OA＝OB＝AB＝1，所以∠AOB＝．
如图，以△ABC外接圆的圆心为原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A，B(1，0)．
因为C，D为单位圆上的点，设C(cos α，sin α)，D(cos β，sin β)，
其中α∈，β∈．
所以＝，＝(cos β－1，sin β)，
代入·＝，即·＝1，
可得－cos β＋sin β＝1，即sin ＝．
由β∈可知β－∈，
所以解得β－＝或β－＝，即β＝或β＝π．
当β＝时，A，D重合，舍去；当β＝π时，BD是⊙O的直径．
设四边形ABCD的面积为S，
则S＝S△ABD＋S△CBD＝BD·BD·＝，
由α∈知≤1，所以当α＝时，
即C的坐标为时，S最大，
所以四边形ABCD面积的最大值为＋1．
重点培优练1　与解三角形有关的最值、 范围问题
题号
1
3
5
2
4
6
7
√
1．在△ABC中，AC＝2，BC＝4，则B的最大值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
题号
1
3
5
2
4
6
7
A　[设AB＝x，x>0，由余弦定理的推论可得
cos B＝＝＝≥2＝，当且仅当x＝2时，等号成立．
因为0题号
1
3
5
2
4
6
7
√
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a sin ＝
b sin A，b＝1，则△ABC面积的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
7
B　[由正弦定理得sin A sin ＝sin B sin A，
∴sin A sin ＝sin A cos ＝2sin cos sin A，
∵A∈(0，π)，∈，∴sin A≠0，cos ≠0，∴sin ＝，∴＝，解得B＝．
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝1，
∵a2＋c2≥2ac(当且仅当a＝c时取等号)，
∴1≥2ac－ac＝ac，∴(S△ABC)max＝ac sin B＝×1×＝．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
3．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab．则的取值范围为(　　)
A． B．
C．(＋∞) D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
B　[由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
整理得a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝，
又0＝＝＝tan B，
因为△ABC为锐角三角形，
所以
即所以tan B>，即＝tan B>，
所以的取值范围为．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
题号
1
3
5
2
4
6
7
4．(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a＝2·＝S，则下列选项正确的是
(　　)
A．A＝
B．若△ABC有两解，则b的取值范围是(2，4)
C．若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是[2，4]
D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为3
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
ABD　[对选项A，·＝S，故cb cos A＝bc sin A，故tan A＝，A∈(0，π)，所以A＝，故A正确；
对选项B，若△ABC有两解，则b sin A对选项C，若△ABC为锐角三角形，则0，故则对选项D，若D为BC边上的中点，则＝)，
故＝)2＝(c2＋2bc cos A＋b2)＝(b2＋c2＋bc)，
又a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc＝12，b2＋c2＝12＋bc，
由基本不等式得b2＋c2＝12＋bc≥2bc，当且仅当b＝c＝2时等号成立，故bc≤12，
所以＝[(12＋bc)＋bc]＝3＋bc≤3＋6＝9，故||≤3，故D正确．故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
题号
1
3
5
2
4
6
7
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋4b2＝6c2，则的最小值为________．
　[由正弦定理得，＝，
因为a2＋4b2＝6c2，所以＝＝＝，
当且仅当a2＝4b2时等号成立，所以的最小值为．]
　
题号
1
3
5
2
4
6
7
6．(2025·河南名校联盟二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的高为h．若a＝4，h＝，则bc的最小值为________；若h＝a，则的最大值为________．
6
4
题号
1
3
5
2
4
6
7
6　4　[若a＝4，h＝，由S△ABC＝bc sin A＝ah＝×4×＝3，
所以bc sin A＝6≤bc，当且仅当sin A＝1，即A＝时取等号，
所以bc的最小值为6．
若h＝a，S△ABC＝bc sin A＝a×a，解得a2＝2bc sin A，
由余弦定理得2bc sin A＝b2＋c2－2bc cos A，
整理得b2＋c2＝4bc＝4bc sin ，
所以＝4sin ，当A＝时，取得最大值4．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
7．(2025·河北沧州模拟)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝．
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2，求△ABC周长的取值范围．
题号
1
3
5
2
4
6
7
[解]　(1)在锐角三角形ABC中，因为＝，
所以由正弦定理得＝，
故a2(b－a)＝a(b2－c2)，即a(b－a)＝b2－c2，
即ab－a2＝b2－c2，即ab＝a2＋b2－c2，
所以＝1，即＝，
由余弦定理得cosC＝，因为C∈，所以C＝．
题号
1
3
5
2
4
6
7
(2)因为c＝2，由正弦定理＝＝＝＝，
所以a＝sin A，b＝sin B．
设△ABC的周长为l，
则l＝2＋a＋b＝2＋sin A＋sin B＝2＋sin A＋sin
＝2＋sin A＋
＝2＋sin A＋2cos A＋sin A
＝2＋2sin A＋2cos A＝2＋4sin ，
题号
1
3
5
2
4
6
7
因为在锐角三角形ABC中，所以A∈，B∈，
所以－A∈，所以A∈，
所以A＋∈，故sin ∈，
则4sin ＋2∈(2＋2，6]，即l∈(2＋2，6]，
故△ABC周长的取值范围为(2＋2，6]．
谢 谢！

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