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重点培优练2　三角函数中ω，φ的范围问题
1．(2025·浙江杭州二模)设甲：“函数f(x)＝2sinωx在上单调递增”，乙：“0<ω≤2”，则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件　　　
D．既不充分也不必要条件
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(2025·河南湘豫名校二模)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间(π，2π)内没有最小值，则ω的取值范围为(　　)
A．
B．
C．
D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．(2025·广东清远二模)已知函数f(x)＝sin πωx－cos πωx(ω>0)在[0，1]内恰有3个最值点和3个零点，则实数ω的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，若f(x)>2对任意的x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．(多选)已知函数f(x)＝cos ωx(ω>0，0A．若f(x)单调递减，则ω≥1
B．若f(x)的最小值为－1，则ω>1
C．若f(x)仅有两个零点，则<ω≤
D．若f(x)仅有两个极值点，则2<ω≤3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6．(2025·江苏镇江模拟)若函数f(x)＝sin (ω>0)在上恰有三个零点，则ω的可能取值为________．(写出一个满足条件的正整数ω)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7．已知函数f(x)＝2cos －1(ω>0)在上的最小值为－3，则ω的最小值为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
重点培优练2
1．A　[若“函数f(x)＝2sin ωx在－上单调递增”，则ω>0，
由－≤ωx≤得－，
则解得0<ω≤．
所以甲是乙的充分不必要条件．故选A．]
2．D　[由x∈(π，2π)，则t＝ωx∈(ωπ，2ωπ)且ω>0，
所以y＝sin t在(ωπ，2ωπ)上没有最小值，
若0<ωπ<2ωπ≤，可得0<ω≤；
若＋2kπ≤ωπ<2ωπ≤＋2kπ且k∈N，可得＋2k≤ω≤＋k，k∈N，所以k＝0，所以≤ω≤．综上，ω∈．故选D．]
3．D　[因为f(x)＝sin πωx－cos πωx＝2sin(ω>0)，
且当0≤x≤1时，－≤πωx－≤πω－，因为函数f(x)在[0，1]内恰有3个最值点和3个零点，
所以≤πω－<3π，解得≤ω<．故选D．]
4．D　[因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，所以函数周期T＝π，ω＝2，由f(x)>2知sin(2x＋φ)>，又当x∈时，2x＋φ∈＋φ，＋φ，且|φ|≤，
所以≤φ≤．故选D．]
5．BD　[因为0因为f(x)单调递减，所以由余弦函数图象性质得，0<ωπ≤π，0<ω≤1，故A错误；
因为f(x)的最小值为－1，故由余弦函数图象性质得，ωπ>π，即ω>1，故B正确；
因为f(x)仅有两个零点，故由余弦函数图象性质得，<ωπ≤<ω≤，故C错误；
因为f(x)仅有两个极值点，故由余弦函数图象性质得，2π<ωπ≤3π，得2<ω≤3，故D正确．故选BD．]
6.6(6或7均可)　[函数f(x)＝sinωx＋(ω>0)，当x∈时，ωx＋∈ω＋，
又函数f(x)在上恰有3个零点，
所以3π≤ω＋<4π，解得≤ω<，所以ω的可能取值为6或7．]
7．　[由x∈，可得2ωx－，
令t＝2ωx－，
由题意可知，y＝cos t在t∈－上可取到－1，结合余弦函数的性质可知需满足≥π，
解得ω≥，所以ω的最小值为．]
2/2培优课2　三角函数中ω，φ的范围问题
三角函数中ω，φ的范围求解问题是高考的重点和热点问题之一，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，解决这类问题的一般思路是利用“团体”思想，数形结合求解．
类型1　三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围
【典例1】　(1)若函数f(x)＝2sin (ω>0)，x∈的值域为，则ω的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
(2)若函数f(x)＝4sin (4x＋φ)(－π<φ<π)在上的最小值大于－2，则φ的取值范围是________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的取值范围．
1．已知函数f(x)＝4cos2－3(ω>0)在区间上恰有2个极大值点和1个极小值点，则ω的取值范围为________．
类型2　单调性与ω，φ的取值范围
【典例2】　函数f(x)＝sin(2x－φ)在上单调递增，则φ的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解．
2．(1)若直线x＝是曲线y＝sin (ω>0)的一条对称轴，且函数y＝sin 在区间上不单调，则ω的最小值为(　　)
A．9　　　 B．7　　　 C．11　　　 D．3
(2)已知函数f(x)＝tan (ω>0)在上是增函数，则ω的取值范围是________．
类型3　零点与ω，φ的取值范围
【典例3】　(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　已知函数的零点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式，直接求函数的零点即可．
3．(2025·北京高考)设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，若f(x＋π)＝f(x)恒成立，且f(x)在上存在零点，则ω的最小值为(　　)
A．8 B．6 C．4 D．3
培优课2　三角函数中ω，φ的范围问题
典例1　(1)D　(2)　[(1)由x∈，得ωx－∈－ω－.
显然当x＝0时，可得2sin，
由f(x)的值域为ω－≤ω≤，即ω的取值范围是.
故选D．
(2)因为x∈，所以4x＋φ∈φ，＋φ，因为－π<φ<π，所以－＋φ<，
则 解得－<φ<．
故φ的取值范围是．]
考教衔接
1．　[f(x)＝2cos－1，因为x∈，
所以2ωx－∈－ω－，
又函数f(x)在区间上恰有2个极大值点和1个极小值点，即在区间内恰好取得2次最大值和1次最小值，由余弦函数的图象可知2π<ω－≤3π，
解得<ω≤，即ω的取值范围为．]
典例2　C　[由x∈，可得2x－φ∈，
又|φ|≤－φ≤，且f(x)在上单调递增，
所以≤φ≤，即φ的取值范围为．故选C．]
考教衔接
2． (1)C　(2)　[(1)因为直线x＝是曲线y＝sinωx－(ω>0)的一条对称轴，
则ω－＝kπ＋，k∈Z，
即ω＝4k＋3，k∈Z，由－≤ωx－，得－，
则函数y＝sin在－上单调递增，
而函数y＝sin在区间0，上不单调，则，解得ω>9，
所以ω的最小值为11．
(2)根据题意，，解得ω≤1，又ω>0，则ω∈(0，1]．
当x∈时，ωx－∈－ω－ω－，
由题可得－ω－ω－，解得ω≤．
综上所述，ω的取值范围是．]
典例3　[2，3)　[因为0≤x≤2π，ω>0，所以0≤ωx≤2ωπ，
令f(x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，
令t＝ωx，则cos t＝1有且仅有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，
结合余弦函数y＝cos t的图象可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3．
]
考教衔接
3．C　[由已知得f(x)＝，又f(x＋π)＝f(x)恒成立，所以T＝π，所以k·＝π，即ω＝2k，k∈N*，当k＝1时，ω＝2，f(x)＝，因为x∈，所以2x＋，f(x)>0，故k＝1不符合题意；当k＝2时，ω＝4，f(x)＝，此时f(0)＝＝1>0，f＝－1<0，f(0)f<0，即f(x)在0，上存在零点，故ω＝4即为所求．故选C．]
2/2(共50张PPT)
专题一　
三角函数与解三角形
培优课2　三角函数中ω，φ的范围问题
三角函数中ω，φ的范围求解问题是高考的重点和热点问题之一，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，解决这类问题的一般思路是利用“团体”思想，数形结合求解．
√
类型1　三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围
【典例1】　(1)若函数f (x)＝2sin (ω>0)，x∈的值域为，则ω的取值范围是(　　)
A．　　　　　　 B．
C． D．
(2)若函数f (x)＝4sin (4x＋φ)(－π<φ<π)在上的最小值大于
－2，则φ的取值范围是__________．
　
(1)D　(2)　[(1)由x∈，得ωx－∈．
显然当x＝0时，可得2sin ＝－，
由f (x)的值域为，利用正弦函数的图象性质可得ω－，解得≤ω≤，即ω的取值范围是．
故选D．
(2)因为x∈，所以4x＋φ∈，因为－π<φ<π，所以－<＋φ<，
则 解得－<φ<．
故φ的取值范围是．]
反思领悟　求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的取值范围．
1．已知函数f (x)＝4cos2－3(ω>0)在区间上恰有2个极大值点和1个极小值点，则ω的取值范围为________．
　[f (x)＝2cos－1，因为x∈，所以2ωx－∈，
　
又函数f (x)在区间上恰有2个极大值点和1个极小值点，即在区间内恰好取得2次最大值和1次最小值，由余弦函数的图象可知2π<ω－≤3π，
解得<ω≤，
即ω的取值范围为．]
√
类型2　单调性与ω，φ的取值范围
【典例2】　函数f (x)＝sin(2x－φ)在上单调递增，则φ的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
C　[由x∈，可得2x－φ∈，
又|φ|≤，则－φ≤，且f (x)在上单调递增，
所以解得≤φ≤，即φ的取值范围为．
故选C．]
√
【教用·备选题】
1．已知函数f (x)＝cos ＋cos(ω＞0)在上单调递增，则ω的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
C　[法一：由题意得，f (x)＝cos ＋cos ＝
cos ＋sin
＝2cos ＝2cos ，
令π＋2kπ≤ωx＋≤2π＋2kπ，k∈Z，
因为ω>0，所以≤x≤，k∈Z，
因为f (x)在上单调递增，
所以
解得＋4k≤ω≤＋2k．
由＋4k≤＋2k，得k≤，
又k∈Z且ω>0，所以k＝0，故≤ω≤．
法二：由题f (x)＝cos ＋cos ＝cos ＋sin
＝2cos
＝2cos ，
由设f (x)的最小正周期为T，则由题意得π－＝，所以0<ω≤2，
从而<≤π＋，
结合函数y＝cos x在[π，2π]上单调递增，f (x)在上单调递增，
得解得≤ω≤．]
2．(2025·江苏泰州模拟)已知ω>0，函数f (x)＝cos 在区间上单调递减，则ω的最大值为________．
　[已知x∈，ω>0，
所以2ωx＋∈，
　
因为函数y＝cos t在[0，π]上单调递减，
而函数f (x)＝cos 在上单调递减，所以 [0，π]，
由此可得不等式组
解得ω≤，则ω的最大值为．]
反思领悟　若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解．
√
2．(1)若直线x＝是曲线y＝sin (ω>0)的一条对称轴，且函数y＝sin 在区间上不单调，则ω的最小值为(　　)
A．9　　　B．7　　　C．11　　　D．3
(2)已知函数f (x)＝tan (ω>0)在上是增函数，则ω的取值范围是________．
　
(1)C　(2)　[(1)因为直线x＝是曲线y＝sin (ω>0)的一条对称轴，
则ω－＝kπ＋，k∈Z，即ω＝4k＋3，k∈Z，由－≤ωx－，
得－≤x≤，则函数y＝sin 在上单调递增，
而函数y＝sin 在区间上不单调，
则<，解得ω>9，
所以ω的最小值为11．
(2)根据题意，，解得ω≤1，又ω>0，则ω∈(0，1]．
当x∈时，ωx－∈，
由题可得－ω－≥－ω－，解得ω≤．
综上所述，ω的取值范围是．]
类型3　零点与ω，φ的取值范围
【典例3】　(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．
[2，3)　[因为0≤x≤2π，ω＞0，所以0≤ωx≤2ωπ，
令f (x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，
令t＝ωx，则cos t＝1有且仅有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，
结合余弦函数y＝cos t的图象可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3．]
[2，3)　
反思领悟　已知函数的零点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式，直接求函数的零点即可．
√
3．(2025·北京高考)设函数f (x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，若f (x＋π)＝f (x)恒成立，且f (x)在上存在零点，则ω的最小值为(　　)
A．8 B．6 C．4 D．3
C　[由已知得f (x)＝sin ，又f (x＋π)＝f (x)恒成立，所以T＝π，所以k·＝π，即ω＝2k，k∈N*，当k＝1时，ω＝2，f (x)＝sin ，因为x∈，所以2x＋∈，f (x)>0，故k＝1不符合题意；当k＝2时，ω＝4，f (x)＝sin ，此时f (0)＝sin ＝1>0，f ＝sin ＝－1<0，f (0)·f <0，即f (x)在上存在零点，故ω＝4即为所求．故选C．]
【教用·备选题】
1．(2025·江苏连云港模拟)设函数f (x)＝2sin (ω>0)在上至多有一个零点，则实数ω的取值范围是__________________．
　[因为函数f (x)＝2sin (ω>0)在上至多有一个零点，
　
所以方程sin ＝(ω>0)在上至多有一个解．
现令方程sin ＝(ω>0)在上至少有两个解，
所以ωπ－≤ωx－≤2ωπ－，
所以 k∈Z，解得k∈Z，
所以＋k≤ω≤＋2k，k∈Z．
又因为＋k≤＋2k，k∈Z，
所以k≥－，k∈Z，所以k＝0，1，2，…，
所以≤ω≤或ω≥．
所以方程sin ＝(ω>0)在上至多有一个解时，ω∈．]
2．(2025·陕西西安二模)已知函数f (x)＝3cos (ωx＋φ)(ω>0)，若
f ＝3，f ＝0，且f (x)在区间上没有零点，则ω的一个取值为___________________________________．
(答案不唯一，，2，，6均可)　[由题意，在f (x)＝3cos(ωx＋φ)(ω>0)中，f ＝3，f ＝0，
所以
(答案不唯一，，2，，6均可)
所以k1，k2∈Z，两式相减得ω＝(k2－2k1)π＋，以ω＝(k2－2k1)＋，即ω＝，n∈Z，
因为x∈，ω>0，所以ωx＋φ∈，
令ωx＋φ＝t，t∈，
由题意知y＝3cos t在t∈上无零点，故 ，k∈Z，
所以k∈Z，
即k∈Z，
两式相加得－ω≥－π，所以0<ω≤6，又ω＝，n∈Z，所以当n＝0时，ω＝；当n＝1时，ω＝2；当n＝2时，ω＝；当n＝3时，ω＝；当n＝4时，ω＝6，所以ω的取值有5个，取其中一个填写即可．]
重点培优练2　三角函数中ω，φ的范围问题
题号
1
3
5
2
4
6
7
√
1．(2025·浙江杭州二模)设甲：“函数f (x)＝2sin ωx在上单调递增”，乙：“0<ω≤2”，则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件　　　 D．既不充分也不必要条件
题号
1
3
5
2
4
6
7
A　[若“函数f (x)＝2sin ωx在上单调递增”，则ω>0，
由－≤ωx≤得－≤x≤，
则解得0<ω≤．
所以甲是乙的充分不必要条件．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
√
2．(2025·河南湘豫名校二模)若函数f (x)＝sin ωx(ω>0)在区间(π，2π)内没有最小值，则ω的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
7
D　[由x∈(π，2π)，则t＝ωx∈(ωπ，2ωπ)且ω>0，
所以y＝sin t在(ωπ，2ωπ)上没有最小值，
若0<ωπ<2ωπ≤，可得0<ω≤；
若＋2kπ≤ωπ<2ωπ≤＋2kπ且k∈N，
可得＋2k≤ω≤＋k，k∈N，所以k＝0，
所以≤ω≤．综上，ω∈．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
3．(2025·广东清远二模)已知函数f (x)＝sin πωx－cos πωx(ω>0)在[0，1]内恰有3个最值点和3个零点，则实数ω的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
D　[因为f (x)＝sin πωx－cos πωx
＝2sin (ω>0)，
且当0≤x≤1时，－≤πωx－≤πω－，
因为函数f (x)在[0，1]内恰有3个最值点和3个零点，
所以≤πω－<3π，解得≤ω<．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
4．已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，若f (x)>2对任意的x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
D　[因为函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，所以函数周期T＝π，ω＝2，由
f (x)>2知sin (2x＋φ)>，
又当x∈时，2x＋φ∈，且|φ|≤，
所以解得≤φ≤．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
√
5．(多选)已知函数f (x)＝cos ωx(ω>0，0(　　)
A．若f (x)单调递减，则ω≥1
B．若f (x)的最小值为－1，则ω>1
C．若f (x)仅有两个零点，则<ω≤
D．若f (x)仅有两个极值点，则2<ω≤3
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
BD　[因为0因为f (x)单调递减，所以由余弦函数图象性质得，
0<ωπ≤π，0<ω≤1，故A错误；
因为f (x)的最小值为－1，故由余弦函数图象性质得，
ωπ>π，即ω>1，故B正确；
因为f (x)仅有两个零点，故由余弦函数图象性质得，<ωπ≤，即<ω≤，故C错误；
因为f (x)仅有两个极值点，故由余弦函数图象性质得，2π<ωπ≤3π，得2<ω≤3，故D正确．故选BD．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
6．(2025·江苏镇江模拟)若函数f (x)＝sin(ω>0)在上恰有三个零点，则ω的可能取值为_____________．(写出一个满足条件的正整数ω)
6(6或7均可)
题号
1
3
5
2
4
6
7
6(6或7均可)　[函数f (x)＝sin (ω>0)，
当x∈时，ωx＋∈，
又函数f (x)在上恰有3个零点，
所以3π≤ω＋<4π，解得≤ω<，
所以ω的可能取值为6或7．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
7．已知函数f (x)＝2cos －1(ω>0)在上的最小值为－3，则ω的最小值为____．
　[由x∈，可得2ωx－∈，令t＝2ωx－∈，由题意可知，y＝cos t在t∈上可取到－1，结合余弦函数的性质可知需满足≥π，
解得ω≥，所以ω的最小值为．]
　
【教用·备选题】
已知f (x)＝2cos ，其中ω>0．
(1)若ω＝2，求函数y＝f (x)，x∈的值域；
(2)若f ＝0，且函数y＝f (x)在内有极小值，但无极大值，求ω的值．
[解]　(1)当ω＝2时，f (x)＝2cos ，由x∈，得2x＋∈，
则－1≤cos ，－2≤f (x)≤，
所以函数y＝f (x)，x∈的值域是[－2，]．
(2)由f ＝0，得ω＋＝＋kπ，k∈N*，解得ω＝－1＋4k，k∈N*，
当0，则<ωx＋<，
又函数f (x)在内有极小值，无极大值，
则n∈Z，
解得n∈Z，
于是8n－3<6n＋<8n＋1<6n＋或6n＋<8n－3<6n＋<8n＋1，n∈Z，解得－当n＝0时，<ω<1，又ω＝－1＋4k，k∈N*，无解；
当n＝1时，<ω<9，又ω＝－1＋4k，k∈N*，则k＝2，ω＝7；
当n＝2时，13≤ω≤，又ω＝－1＋4k，k∈N*，则k＝4，ω＝15；
当n＝3时，21≤ω≤，又ω＝－1＋4k，k∈N*，无解，
所以ω的值是7或15．
谢 谢！

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